2023-2024學(xué)年江蘇省連云港市東海縣高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省連云港市東?？h2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)與分別表示向量與，因?yàn)?，所以表示向量的?fù)數(shù)為.故選：C.2.中，“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，由大角?duì)大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當(dāng)時(shí)，，，由正弦定理可得，由大邊對(duì)大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C.3.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，所以.故選：A.4.設(shè)為實(shí)數(shù)，向量，，且，則的值為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，解得?故選：D.5.在中，已知．若最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為，則最短邊的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵在中，，，，，即為最大角，與都為銳角，，，即為最小角，為最小邊，，，由正弦定理得：，解得.故選：B.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線．若曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后函數(shù)〖解析〗式為：，即，又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，，解得，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值是.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，則，再分子分母同時(shí)除以可得：，即，所以.故選：C.8.在中，，，是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，所以，，所以，因?yàn)椋ㄆ渲星遥?，所以，從?故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)是三個(gè)非零向量，則下列命題正確的有（）A. B.C.不與垂直 D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)楸硎九c共線的向量，表示與共線的向量，當(dāng)與不共線，且時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C，，所以與垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)、不共線時(shí)，所以、、組成三角形的三邊，所以，當(dāng)、同向時(shí)，當(dāng)、反向時(shí)，又，，所以，故D正確.故選：BD.10.已知，是關(guān)于的方程的兩根，其中，．若（為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗A、B：由題意可得，即，所以，故，故A、B正確；C：利用AB〖解析〗可得，故C錯(cuò)誤；D：利用AB〖解析〗由可得，所以，而，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.外接圓面積是 B.面積的最大值是C.周長(zhǎng)的取值可以是 D.內(nèi)切圓半徑的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗由，結(jié)合正弦定理，可得：，因?yàn)樵阡J角三角形中，，所以.由，又為銳角，所以，對(duì)A：設(shè)的外接圓半徑為，由，所以，所以外接圓面積為：，故A正確；對(duì)B：由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，故B正確；對(duì)C：因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，所以，由正弦定理：，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍為，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，又，，，所以，由，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的零點(diǎn)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由.故〖答案〗：.13.某人在高出海面的山頂處，測(cè)得海面上的航標(biāo)A在正東方向，俯角為，航標(biāo)B在南偏東的方向上，俯角為，若航標(biāo)A、B間的距離為400米，則山的海拔高度為_(kāi)____米．〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)山在海平面處為，由題意可得，設(shè)山的海拔高度為，則，在中，由余弦定理得，即，解得，即山的海拔高度為米.故〖答案〗為：.14.已知中，，，在邊上，且，是邊上的中點(diǎn).若與交于點(diǎn)，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，設(shè)，可得，所以，而，由，可得，解得，所以，，由，設(shè)，則，可得，在中，由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，即，可?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知點(diǎn)，且點(diǎn)滿足．（1）若點(diǎn)在直線上，求的值；（2）若，求．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，故可設(shè)點(diǎn)，所以，，，由得，，即，解得.（2）由已知，由已知，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，因此，?6.已知銳角，滿足，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以，，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?17.已知滿足．（1）求；（2）若為的角平分線，，，求的周長(zhǎng).解：（1）在中，由正弦定理：，則，，，因?yàn)?，所以，即，由余弦定理：，因?yàn)?，所?（2）設(shè)邊上的高為，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，所以面積：，的面積：，因此，又，，所以，在中，由余弦定理：，所以，而，，所以，又因?yàn)?，即，解得，所以的周長(zhǎng)為：．18.已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）解不等式；（3）若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意可得：，所以函數(shù)的最小正周期.（2）由可得，令，解得，所以的解集為.（3）由題意可得：，由可得，即對(duì)成立，因?yàn)?，則，可得，令，可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，可得對(duì)成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知中，角，，的對(duì)邊為，，，是邊上的中點(diǎn)．（1）若．（i）求；（ii）若，，求的面積；（2）若，，，試探究存在時(shí)滿足的條件．解：（1）（i）在中，因?yàn)?，由正弦定理可得，，所以，因?yàn)榈?，所以，?（ii）在中，由余弦定理得，即，①因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，②①②得，所以的面積為.（2）（法一）如圖1，在中，由余弦定理得，即①；因?yàn)槭沁吷系闹芯€，所以，兩邊平方有②，將①式代入②得，與同號(hào)，當(dāng)時(shí)，，存在；當(dāng)時(shí)，，由②得，因?yàn)?，所以，即③，?dāng)為銳角時(shí)，，，，③式為，令，，知在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，，，，③式為，令，，知在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，存在；當(dāng)為銳角時(shí)，，存在；當(dāng)為鈍角時(shí)，，存在.（法二）當(dāng)為直角時(shí)，即時(shí)，；已知角和對(duì)邊，當(dāng)為銳角時(shí)（如圖2），點(diǎn)在優(yōu)弧上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，（為圓心，為邊中點(diǎn)），因?yàn)?，所以，即，又，所以在和中，由余弦定理得：，故，?dāng)為鈍角時(shí)（如圖3），點(diǎn)在劣弧上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，（為圓心，為邊中點(diǎn)），因?yàn)?，所以，即，又，所以在和中，由余弦定理得：?江蘇省連云港市東?？h2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)與分別表示向量與，因?yàn)?，所以表示向量的?fù)數(shù)為.故選：C.2.中，“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋纱蠼菍?duì)大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當(dāng)時(shí)，，，由正弦定理可得，由大邊對(duì)大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C.3.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，所以.故選：A.4.設(shè)為實(shí)數(shù)，向量，，且，則的值為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，解得?故選：D.5.在中，已知．若最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為，則最短邊的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵在中，，，，，即為最大角，與都為銳角，，，即為最小角，為最小邊，，，由正弦定理得：，解得.故選：B.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線．若曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后函數(shù)〖解析〗式為：，即，又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，，解得，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值是.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，則，再分子分母同時(shí)除以可得：，即，所以.故選：C.8.在中，，，是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，所以，，所以，因?yàn)?，（其中且），所以，從?故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)是三個(gè)非零向量，則下列命題正確的有（）A. B.C.不與垂直 D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)楸硎九c共線的向量，表示與共線的向量，當(dāng)與不共線，且時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C，，所以與垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)、不共線時(shí)，所以、、組成三角形的三邊，所以，當(dāng)、同向時(shí)，當(dāng)、反向時(shí)，又，，所以，故D正確.故選：BD.10.已知，是關(guān)于的方程的兩根，其中，．若（為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗A、B：由題意可得，即，所以，故，故A、B正確；C：利用AB〖解析〗可得，故C錯(cuò)誤；D：利用AB〖解析〗由可得，所以，而，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.外接圓面積是 B.面積的最大值是C.周長(zhǎng)的取值可以是 D.內(nèi)切圓半徑的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗由，結(jié)合正弦定理，可得：，因?yàn)樵阡J角三角形中，，所以.由，又為銳角，所以，對(duì)A：設(shè)的外接圓半徑為，由，所以，所以外接圓面積為：，故A正確；對(duì)B：由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，故B正確；對(duì)C：因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，所以，由正弦定理：，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍為，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)D：設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，又，，，所以，由，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的零點(diǎn)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由.故〖答案〗：.13.某人在高出海面的山頂處，測(cè)得海面上的航標(biāo)A在正東方向，俯角為，航標(biāo)B在南偏東的方向上，俯角為，若航標(biāo)A、B間的距離為400米，則山的海拔高度為_(kāi)____米．〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)山在海平面處為，由題意可得，設(shè)山的海拔高度為，則，在中，由余弦定理得，即，解得，即山的海拔高度為米.故〖答案〗為：.14.已知中，，，在邊上，且，是邊上的中點(diǎn).若與交于點(diǎn)，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，設(shè)，可得，所以，而，由，可得，解得，所以，，由，設(shè)，則，可得，在中，由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，即，可?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知點(diǎn)，且點(diǎn)滿足．（1）若點(diǎn)在直線上，求的值；（2）若，求．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，故可設(shè)點(diǎn)，所以，，，由得，，即，解得.（2）由已知，由已知，所以，因?yàn)椋?，解得，所以，因此，?6.已知銳角，滿足，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以，，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?17.已知滿足．（1）求；（2）若為的角平分線，，，求的周長(zhǎng).解：（1）在中，由正弦定理：，則，，，因?yàn)椋?，即，由余弦定理：，因?yàn)?，所?（2）設(shè)邊上的高為，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，所以面積：，的面積：，因此，又，，所以，在中，由余弦定理：，所以，而，，所以，又因?yàn)?，即，解得，所以的周長(zhǎng)為：．18.已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）解不等式；（3）若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意可得：，所以函數(shù)的最小正周期.（2）由可得，令，解得，所以的解集為.（3）由題意可得：，由可得，即對(duì)成立，因?yàn)椋瑒t，可得，令，可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，可得對(duì)成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知中，角，，的對(duì)邊為，，，是邊上的中點(diǎn)．（1）若．（i）求；（ii）若，，求的面積；（2）若，，，試探究存在時(shí)滿足的條件．解：（1）（i）在中，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，所以，因?yàn)榈?，所以，?（ii）在中，由余弦定理得，即，①因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，②①②得，所以的面積為.（2）（法一）如圖1，在中，由余弦定理得，即①；