北師大版九年級數(shù)學下冊1.3解直角三角形的中考?？碱}專項訓練(50道)同步練習(學生版+解析)

專題1.3解直角三角形的中考?？碱}專項訓練（50道）【北師大版】考卷信息：本套訓練卷共50題，其中選擇題15題，填空題15題，解答題20題.題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了解直角三角形的中考?？碱}的綜合問題的所有類型！一、選擇題（共15題）1．（2022·湖北武漢·中考真題）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．332．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，則△DBCA．3314 B．9314 C．3．（2022·浙江寧波·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于點D，BD=3．若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則EF的長為（

A．33 B．32 C．1 4．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E在BC的延長線上，連接DE，點F是DE的中點，連接OF交CD于點G，連接CF，若CE=4，OF=6．則下列結(jié)論：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤5．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，在△ABC中，點O是角平分線AD、BE的交點，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（

）A．12 B．2 C．63 6．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（A．33 B．22 C．17．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點D是AC上一點，連接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=A．25 B．3 C．5 8．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．259．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

A．2 B．52 C．5 10．（2022·四川綿陽·中考真題）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則sinθ?cosθA．15 B．55 C．3511．（2022·貴州遵義·中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計算tan15°時，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACA．2+1 B．2﹣1 C．2 D．12．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=14，點D是邊BC的中點，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，連結(jié)CE，則CEA．32 B．3 C．152 13．（2022·山東淄博·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CE是斜邊AB上的中線，過點E作EF⊥AB交AC于點F．若BC=4,△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（

A．35 B．55 C．4514．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上，下列結(jié)論錯誤的是（）A．sinB=13 B．sinC．tanB=12 D．sin2B+sin215．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F，F(xiàn)G∥AD交AE于點G，若cosB=14A．3 B．83 C．2153二、填空題（共15題）16．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則如tan∠DEC17．（2022·廣東深圳·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=1218．（2022·廣東·中考真題）如圖，在?ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=45．過點D作DE⊥AB，垂足為19．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=1220．（2022·山東濱州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2．若點P是△ABC內(nèi)一點，則PA+PB+PC的最小值為____________．21．（2022·山東德州·中考真題）如圖．在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點.ΔABC的頂點都在格點上,則∠BAC的正弦值是__________．22．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B對應(yīng)點B′落在BA的延長線上．若sin∠B′AC=91023．（2022·上海·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=24．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=25．（2022·四川·中考真題）如圖，由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cosα+β26．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中點，將ΔCBH沿CH折疊，點B落在矩形內(nèi)點P處，連接AP，則tan∠HAP=27．（2022·山東濟南·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內(nèi)點F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝1228．（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，矩形ABCD中，點G，E分別在邊BC,DC上，連接AG,EG,AE，將△ABG和△ECG分別沿AG,EG折疊，使點B，C恰好落在AE上的同一點，記為點F．若CE=3,CG=4，則sin∠DAE=29．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，點C在線段AB上，且AC=2BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan∠CEG=30．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4，點D、E分別在CA、CB上，點F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，則sin∠FBA=三、解答題（共20題）31．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段的兩個端點均在小正方形的頂點上.(1)在圖中畫出以為底、面積為12的等腰，且點在小正方形的頂點上；(2)在圖中畫出平行四邊形，且點和點均在小正方形的頂點上，，連接，請直接寫出線段的長.32．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在?ABCD中過點A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點，且∠AFE=∠D．（1）求證：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF33．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A'B'C'，使點A'(1)判斷四邊形ACC(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=1213，求C34．（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，點M是正方形ABCD邊CD上一點，連接AM，作DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，連接BE．（1）求證：AE=BF；（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．35．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34（1）求邊AC的長；（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D，求ADDB36．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分別是邊AC、AB的中點，過點C作CE∥AB交DO的延長線于點E，連接AE．(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC=34，求BC37．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，點E是BC邊上的點，BE=3(1)求證：△ABE≌△(2)連接CF，求sin∠DCF的值；(3)連接AC交DF于點G，求AGGC38．（2022·湖南常德·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13（1）求BC的長；（2）求tan∠DAE的值．39．（2022·浙江紹興·中考真題）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．（1）如圖1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求證∶EF=CD．（2）如圖2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值．40．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，D為BC上一點，AB=5???,???（1）求AD的長；（2）求sinα41．（2022·湖北宜昌·中考真題）如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE，點F落在AD上．（1）求證：△ABF∽△DFE；（2）若，求tan∠EBC的值．42．（2022·福建廈門·中考真題）已知ABCD，對角線AC與BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P分別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．（1）如圖，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF＝BC＋32－4，求BC的長．43．（2022·山東濱州·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為10，∠ABC=60°，對角線AC,BD相交于點O，點E在對角線BD上，連接AE，作∠AEF=120°且邊EF與直線DC相交于點F．(1)求菱形ABCD的面積；(2)求證AE=EF．44．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=3DF，①當CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+3CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+3CF的最小值；如果不是，請說明理由．45．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，點P為斜邊BC上一動點，將△ABP沿直線AP折疊，使得點B的對應(yīng)點為B'，連接AB'，CB（1）如圖①，若PB'⊥AC（2）如圖②，若AB=AC，BP=3PC，求cos∠（3）如圖③，若∠ACB=30°，是否存在點P，使得AB=CB'．若存在，求此時46．（2022·山東濟南·中考真題）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝12∠ACB，連接BD，BE，點F是BD的中點，連接CF（1）當∠CAB＝45°時．①如圖1，當頂點D在邊AC上時，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當頂點D在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；學生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；思路二：取DE的中點G，連接AG，CG，并把△CAG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識來解快問題．（2）當∠CAB＝30°時，如圖3，當頂點D在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．47．（2022·四川南充·中考真題）如圖，點E在正方形ABCD邊AD上，點F是線段AB上的動點（不與點A重合）．DF交AC于點G，GH⊥AD于點H，AB=1，DE=1（1）求tan∠ACE（2）設(shè)AF=x，GH=y，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）．（3）當∠ADF=∠ACE時，判斷EG與AC的位置關(guān)系并說明理由．48．（2022·山東煙臺·中考真題）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出BDCE(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．連接BD①求BDCE②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．49．（2022·貴州安順·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD邊上的一點，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點D恰好落在AB邊上的點F處，延長CE交BA的延長線于點G．(1)求線段AE的長；(2)求證四邊形DGFC為菱形；(3)如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動點（與端點不重合），且∠DMN=∠DCM，設(shè)DN=x，是否存在這樣的點N，使△DMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．50．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐數(shù)學是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學．數(shù)學實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學習與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，體會數(shù)學實踐活動帶給我們的樂趣．如圖①，在矩形ABCD中，點E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點，連接EF、DF，H為DF的中點，連接GH．將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長度也隨之變化．當△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°時，請解決下列問題：(1)圖②中，AB=BC，此時點E落在AB的延長線上，點F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則GHCE=(3)當AB=m,BC=n時．GHCE=(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC，并沿對角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點C的對應(yīng)點P落在AB的延長線上，若PM平專題1.3解直角三角形的中考常考題專項訓練（50道）【北師大版】考卷信息：本套訓練卷共50題，其中選擇題15題，填空題15題，解答題20題.題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了解直角三角形的中考常考題的綜合問題的所有類型！一、選擇題（共15題）1．（2022·湖北武漢·中考真題）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．33【答案】A【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：連接AD，如圖：∵網(wǎng)格是有一個角60°為菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=33【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，則△DBCA．3314 B．9314 C．【答案】D【分析】過點C作CE⊥AB的延長線于點E，由等高三角形的面積性質(zhì)得到S△DBC:S△ABC=3:7，再證明△ADB～△ACE，解得ABAE=【詳解】解：過點C作CE⊥AB的延長線于點E，∵△DBC與△ADB是等高三角形，S∴∵BD⊥AB∴△ADB～△ACE∴∴∵AB=2∴AE=∴BE=∵∠ABC=150°,∴∠CBE=180°?150°=30°∴CE=設(shè)S∴∴∴∴x=∴3x=3【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．（2022·浙江寧波·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于點D，BD=3．若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則EF的長為（

A．33 B．32 C．1 【答案】A【分析】根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC長，再根據(jù)中位線定理可知EF=AC2【詳解】解：因為AD垂直BC，則△ABD和△ACD都是直角三角形，又因為∠B=45°,∠C=60°,所以AD=BD=3因為sin∠C=ADAC所以AC=2，因為EF為△ABC的中位線，所以EF=AC2【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)條件分析利用定理推導，是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E在BC的延長線上，連接DE，點F是DE的中點，連接OF交CD于點G，連接CF，若CE=4，OF=6．則下列結(jié)論：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤【答案】A【分析】由題意易得BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，①由三角形中位線可進行判斷；②由△DOC是等腰直角三角形可進行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進行求解；④根據(jù)題意可直接進行求解；⑤過點D作DH⊥CF，交CF的延長線于點H，然后根據(jù)三角函數(shù)可進行求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，AC⊥BD，∵點F是DE的中點，∴OF=1∵OF=6，CE=4，∴BE=12，則CD=BC=8，∵OF∥BE，∴△DGF∽△DCE，∴DGCD∴GF=2，故①正確；∴點G是CD的中點，∴OG⊥CD，∵∠ODC=45°，∴△DOC是等腰直角三角形，∴OD=2∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，∴tan∠CDE=∵tan∠CDE=∴∠CDE≠45°，∴∠ODF≠90°，故④錯誤；過點D作DH⊥CF，交CF的延長線于點H，如圖所示：∵點F是CD的中點，∴CF=DF，∴∠CDE=∠DCF，∴tan∠CDE=設(shè)DH=x，則CH=2x，在Rt△DHC中，x2解得：x=±8∴DH=8∴正確的結(jié)論是①②③⑤；故選C．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，在△ABC中，點O是角平分線AD、BE的交點，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（

）A．12 B．2 C．63 【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AD⊥BC，BD=12BC=6，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得AB【詳解】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=12BC∴AD=102過點O作OF⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴OF=OD，∵S△AOB∴ABBD=AOOD=∴tan∠OBD=ODBD故選A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出ABBD6．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（A．33 B．22 C．1【答案】A【分析】由P1,1可知，OP與x軸的夾角為45°，又因為OP∥AB，則△OAB為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x【詳解】∵P點坐標為（1，1），則OP與x軸正方向的夾角為45°，又∵OP∥AB，則∠BAO=45°，△OAB為等腰直角形，∴OA=OB，設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，則OB=OA=3x，∴tan∠OAP=【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點坐標推出特殊角是解題的關(guān)鍵．7．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點D是AC上一點，連接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=A．25 B．3 C．5 【答案】A【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出AC=25，再由勾股定理求出AB=5,過點D作DE⊥AB于點E，依據(jù)三角函數(shù)值可得DE=12AE,DE=13BE,從而得BE=32AE，再由AE+BE=5得【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5∴tan∴AC=2BC=25由勾股定理得,AB=A過點D作DE⊥AB于點E，如圖，∵tan∠A=12∴DEAE∴DE=1∴12∴BE=3∵AE+BE=5,∴AE+3∴AE=2,∴DE=1,在RtΔADE中,∴AD=∵AD+CD=AC=25∴CD=AC?AD=2故選：C【點睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【答案】A【分析】過點C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點C作AB的垂線交AB于一點D，如圖所示，∵每個小正方形的邊長為1，∴AC=5設(shè)AD=x，則BD=5?x，在Rt△ACD中，DC在Rt△BCD中，DC∴10?(5?x)解得x=2，∴cos∠BAC=【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．9．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

A．2 B．52 C．5 【答案】B【分析】過A點作AH⊥BC于H點，先由sin∠B及AB=3算出AH的長，再由tan∠C算出CH的長，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長．【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H點，如下圖所示：由sin∠B=AHAB=1由tan∠C=AHCH=2，且∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=A【點睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識，如果圖形中無直角三角形時，可以通過作垂線構(gòu)造直角三角形進而求解．10．（2022·四川綿陽·中考真題）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則sinθ?cosθA．15 B．55 C．35【答案】D【分析】根據(jù)正方形的面積公式可得大正方形的邊長為55【詳解】解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，∴大正方形的邊長為55∴55∴cosθ?∴sinθ?故選A．【點睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度適中，解題的關(guān)鍵是正確得出cosθ?11．（2022·貴州遵義·中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計算tan15°時，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACA．2+1 B．2﹣1 C．2 D．【答案】B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.【詳解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝x，則：BC＝x，AB＝2x，CD＝(1tan22.5°故選：B.【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.12．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=14，點D是邊BC的中點，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，連結(jié)CE，則CEA．32 B．3 C．152 【答案】D【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出AD=BD=CD=12BC，在結(jié)合題意可得∠BAD=∠B=∠ADE，即證明AB//DE，從而得出∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，即易證△ADE?△CDE(SAS)，得出AE=CE．再由等腰三角形的性質(zhì)可知AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，即證明△ABD～△ADE，從而可間接推出CEAD=BDAB【詳解】∵在Rt△ABC中，點D是邊BC的中點，∴AD=BD=CD=1∴∠BAD=∠B=∠ADE，∴AB//DE．∴∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，∴在△ADE和△CDE中，AD=CD∠ADE=∠CDE∴△ADE?△CDE(SAS)，∴AE=CE，∵△ADE為等腰三角形，∴AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，∴△ABD～△ADE，∴DEBD=AD∵cosB=∴ABBD∴CEAD故選D．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識點并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022·山東淄博·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CE是斜邊AB上的中線，過點E作EF⊥AB交AC于點F．若BC=4,△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（

A．35 B．55 C．45【答案】D【分析】由題意易得△AEF∽△ACB，設(shè)CE=BE=AE=x，則有AB=2x，則有AC=4x2?16，EF=10x，然后可得410x=【詳解】解：∵EF⊥AB，∠ACB=90°，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF∽△ACB，∵CE是斜邊AB上的中線，∴CE=BE=AE=1設(shè)CE=BE=AE=x，則有AB=2x，∵BC=4，∴由勾股定理可得AC=A∵△AEF的面積為5，∴EF=10∵△AEF∽△ACB，∴BCEF=ACAE，即解得：x2=5或當x2=5時，則∴當x2=20時，即x=25，過點C作CH⊥AB∴AB=45,AC=8，CE=25∴∠CEF=∠ECH，sin∠B=∴CH=BC?sin∴HE=C∴sin∠CEF=故選A．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上，下列結(jié)論錯誤的是（）A．sinB=13 B．sinC．tanB=12 D．sin2B+sin2【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長，進而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而解答即可．【詳解】解：由勾股定理得：AB=∴BC∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴sinB=ACBC=210=故選擇題：A．【點睛】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長解答．15．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F，F(xiàn)G∥AD交AE于點G，若cosB=14A．3 B．83 C．2153【答案】B【分析】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=14，即可得到FG【詳解】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點，∴BE=2，又∵cosB=∴BH=1，即H是BE的中點，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分線，F(xiàn)G∥∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵PF∥AD，∴PF=AD=4，設(shè)FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，∵PF∥∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP=12PGAG=2?解得x=83故選B．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（共15題）16．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則如tan∠DEC【答案】3【分析】過C向BD作垂線，可以構(gòu)造出一個30°直角三角△CDF，進而求出△AEB≌△CFD，設(shè)直角△CDF最小邊DF=a,并用a的代數(shù)式表示出其他邊，即可求出答案．【詳解】解：過C作CF⊥BD，垂足為F點∵矩形ABCD,∠ADB=30°∴AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°,∠DBC=∠ADB=30°,AB=CD∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠DBC=90°,∠FBC+∠FCB=∠FCB+∠FCD=90°,∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°設(shè)DF=a,則CF=3a，CD=2a，BD=∵AE⊥BD∴∠AEB=∠CFD=90°∴△AEB≌△CFD，∴EB=DF=a∴EF=4a∴tan∠DEC=故答案是32【點睛】本題主要考察了矩形的性質(zhì)和解直角三角形知識點，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題關(guān)鍵．17．（2022·廣東深圳·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12【答案】3【分析】過B點作BE//AD交AC于點E，證明△ADO∽△EBO，得到AO=3OE,再證明∠ABE=∠ACB,利用tan∠ACB=BECE【詳解】解：過B點作BE//AD交AC于點E，∠DAC=90°,∴BE⊥AD，∴△ADO∽△EBO，∴AOEO∵∴AO∴AO=3由tan∠ACB=∴BE∴CE=2BE,∵∠ABC=90°,BE⊥AC,∴∠ABE+∠CBE=90°=∠CBE+∠ACB,∴∠ABE=∠ACB,∴tan∴BE=2AE,∴CE=2BE=4AE,∴S=設(shè)OE=a,則AO=3∴AE=AO+OE=74a,CE=7a,S故答案為：318．（2022·廣東·中考真題）如圖，在?ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=45．過點D作DE⊥AB，垂足為【答案】9【分析】首先根據(jù)題目中的sinA，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出sin【詳解】∵DE⊥AB，∴△ADE為直角三角形，又∵AD=5,sin∴sinA=解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=A又∵AB=12,∴BE=AB?AE=12?3=9,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：EC=C過點B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=12又∵S△EBC=1∴210解得BF=9在Rt△BFC中，sin∠BCF=故填：910【點睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計算和等面積法求一邊上的高．19．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12【答案】2【分析】過點C作CF⊥BD于點F，易證ΔABE?ΔCDF(AAS)，從而可求出AE=CF，BE=FD，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，根據(jù)三角形的面積可求出AE，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：如圖，過點C作CF⊥BD于點F，設(shè)CD=2a，在ΔABE與ΔCDF中，∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDF∴ΔABE?ΔCDF(AAS)，∴AE=CF，BE=FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ABAD＝1設(shè)AB＝a，則AD＝2a，∴BD＝5a，∵S△ABD＝12BD?AE＝12AB?∴AE＝CF＝255∴BE＝FD＝55a∴EF＝BD﹣2BE＝5a﹣255a＝3∴tan∠DEC＝CFEF＝2故答案為：23【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．20．（2022·山東濱州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2．若點P是△ABC內(nèi)一點，則PA+PB+PC的最小值為____________．【答案】7【分析】根據(jù)題意，首先以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．【詳解】解：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，CB則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB=AB∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cos∠BAC=2×cos30°=2×3∴CB′=AC故答案為：7．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學思想是數(shù)形結(jié)合的思想．21．（2022·山東德州·中考真題）如圖．在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點.ΔABC的頂點都在格點上,則∠BAC的正弦值是__________．【答案】5【詳解】分析：先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．詳解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，則sin∠BAC=BCAB=5

故答案為55點睛：本題考查的是勾股定理以及銳角三角函數(shù)，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．22．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B對應(yīng)點B′落在BA的延長線上．若sin∠B′AC=910【答案】25【分析】如圖，作CD⊥BB′于D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BCB′為等腰直角三角形，從而可求得CD的長，在Rt△ACD中，根據(jù)sin∠DAC=CDAC=910，即可求得【詳解】如圖，過點C作CD⊥BB′于D∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B對應(yīng)點B′落在BA的延長線上∴CB=CB′=5，∠BCB′=90°∴△BCB′為等腰直角三角形∴BB′=2BC=52∵CD⊥BB′∴CD=12BB′=在Rt△ACD中，sin∠DAC=CDAC=∴AC=522×10故答案為：25【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．23．（2022·上海·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=【答案】15【詳解】試題分析：如圖，將△ABC沿直線l翻折后，點B落在邊AC的中點E處，過點E作AH⊥BC于點H，EF⊥BC于F，則EF是△ACH的中位線∵AB=AC，BC=8，∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得HC=BH=4.∵tanC=32，即tanC=AH∴AH=6.∴EF=3，F(xiàn)C=2.設(shè)BD=x，則根據(jù)翻折的性質(zhì)，DE="BD="x，又DF=BC-BD-FC=8-x-2=6-x.在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得x2=(6-x)2+32，解得x=154，即BD=24．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=【答案】2【分析】過A點作BC的垂線，則得到兩個直角三角形，根據(jù)勾股定理和正余弦公式，求AC的長.【詳解】過A作AD⊥BC于D點，設(shè)AC=2x，則AB=2x，因為∠C=45°，所以AD=CD=x，則由勾股定理得BD=AB2?AD2=【點睛】本題考查勾股定理和正余弦公式的運用，要學會通過作輔助線得到特殊三角形，以便求解.25．（2022·四川·中考真題）如圖，由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cosα+β【答案】217【分析】給圖中各點標上字母，連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結(jié)合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=3a，利用勾股定理可得出AD的長，再結(jié)合余弦的定義即可求出cos（α+β）的值．【詳解】給圖中各點標上字母，連接DE，如圖所示．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°．同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=3a，∴AD=A∴cos（α+β）=DEAD故答案為217【點睛】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及規(guī)律型：圖形的變化類，構(gòu)造出含一個銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關(guān)鍵．26．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中點，將ΔCBH沿CH折疊，點B落在矩形內(nèi)點P處，連接AP，則tan∠HAP=【答案】4【分析】連接PB，交CH于E，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB=90°，即可得到AP∥HE，進而得出∠BAP=∠BHE，依據(jù)RtΔBCH中，tan【詳解】如圖，連接PB，交CH于E，由折疊可得，CH垂直平分BP，BH=PH，又∵H為AB的中點，∴AH=BH，∴AH=PH=BH，∴∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB，又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180∴∠APB=90∴∠APB=∠HEB=90∴AP∥HE，∴∠BAP=∠BHE，又∵RtΔBCH中，tan∴tan∠HAP=故答案為43【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．27．（2022·山東濟南·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內(nèi)點F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝12【答案】5?【分析】已知tan∠BAF=12【詳解】過點F作MN∥AD，交AB、CD分別于點M、N，則MN⊥AB，MN⊥CD，由折疊得：EC＝EF，BC＝BF＝5，∠C＝∠BFE＝90°，∵tan∠BAF＝12＝FM在Rt△BFM中，由勾股定理得：x2+（4﹣2x）2＝（5）2，解得：x1＝1，x2＝115∴FM＝1，AM＝BM＝2，∴FN＝5﹣1，易證△BMF∽△FNE，∴BFEF=BM解得：EF＝5?5故答案為5?5【點睛】考查矩形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、軸對稱的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識，作合適的輔助線，恰當?shù)睦妙}目中的已知條件，是解決問題的關(guān)鍵．28．（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，矩形ABCD中，點G，E分別在邊BC,DC上，連接AG,EG,AE，將△ABG和△ECG分別沿AG,EG折疊，使點B，C恰好落在AE上的同一點，記為點F．若CE=3,CG=4，則sin∠DAE=【答案】7【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GE=5，BC=AD=8，證得Rt△EGF~Rt△EAG，求得EA=25【詳解】矩形ABCD中，GC=4，CE=3，∠C=90°，∴GE=GC2根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE=∠C=90°，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180°，∴∠AGE=90°，∴Rt△EGF~Rt△EAG，∴EGEA=EF∴EA=25∴DE=AE2∴sin∠DAE故答案為：725【點睛】本考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的知識等，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求線段的長度是本題的關(guān)鍵．29．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，點C在線段AB上，且AC=2BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan∠CEG=【答案】1【分析】設(shè)BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長、∠GCD=ECD=45°，進而說明△ECG為直角三角形，最后運用正切的定義即可解答．【詳解】解：設(shè)BC=a，則AC=2a∵正方形ACDE∴EC=2a2+2a同理：CG=2a,∠GCD=1∴tan∠CEG=故答案為12【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說明△ECG是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．30．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4，點D、E分別在CA、CB上，點F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，則sin∠FBA=【答案】10【分析】連接AF，CF，過點F作FM⊥AB，由S△ABC=S【詳解】解：連接AF，CF，過點F作FM⊥AB，∵四邊形CDFE是邊長為1的正方形，∴∠C=90°，∴AB=32∵S△ABC∴12∴FM=1，∵BF=4?12∴sin∠FBA=1故答案是：1010【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法“是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共20題）31．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段的兩個端點均在小正方形的頂點上.(1)在圖中畫出以為底、面積為12的等腰，且點在小正方形的頂點上；(2)在圖中畫出平行四邊形，且點和點均在小正方形的頂點上，，連接，請直接寫出線段的長.【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析，CD=.【詳解】試題分析：（1）因為AB為底、面積為12的等腰△ABC，所以高為4，點C在線段AB的垂直平分線上，由此即可畫出圖形；（2）根據(jù)tan∠EAB=的值確定點E的位置，由此即可解決問題，利用勾股定理計算CD的長；試題解析：（1）如圖所示；（2）如圖所示，CD==．考點：1.作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；2.勾股定理；3.平行四邊形的判定；4.解直角三角形．32．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在?ABCD中過點A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點，且∠AFE=∠D．（1）求證：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF【答案】（1）證明見解析；（2）25【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，證出∠C=∠AFB，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BE，由三角函數(shù)求出AE，再由相似三角形的性質(zhì)求出AF的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：BE=AE在Rt△ADE中，AE=AD?sinD=5×45∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴AFBC即AF5解得：AF=25．33．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A'B'C'，使點A'(1)判斷四邊形ACC(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=1213，求C【答案】(1)四邊形ACC(2)C【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理（有一組對邊平行且相等的四邊形是平四邊形）推知四邊形ACC（2）通過解直角△ABC得到AC、BC的長度，由（1）中菱形ACC'A'的性質(zhì)推知AC=AA'，由平移的性質(zhì)得到四邊形（1）解：四邊形ACC由平移的性質(zhì)得到：AC∥A'C'，且AC=A'C'，∴四邊形ACC∴∠ACC'=∠AA'C'，∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，∴∠ACA∵AC∥A'C'，∴∠AA∴∠ACA∴AA∴四邊形ACC（2）解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=1213∴cos∠BAC=ABAC=12即24AC=12∴AC=26，∴由勾股定理知：BC=AC2?A由（1）可知，四邊形ACC∴AC=AA'=26，由平移的性質(zhì)得到：AB∥A'B'，AB=A'B'，則四邊形ABB∴AA'=BB'=26，∴CB'=BB'?BC=16．【點睛】本題主要考查四邊形綜合題，涉及到菱形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、解直角三角形等，掌握相關(guān)性質(zhì)并結(jié)合圖形進行應(yīng)用是關(guān)鍵．34．（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，點M是正方形ABCD邊CD上一點，連接AM，作DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，連接BE．（1）求證：AE=BF；（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）sin∠EBF=213【分析】（1）通過證明△ABF≌△DAE得到BF=AE；（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，利用四邊形ABED的面積等于△ABE的面積與△ADE的面積之和得到12?x?x+12?x?2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，則EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理計算出【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DAE中，∠BFA=∠DEA∠ABF=∠EAD∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF=AE；（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，∵四邊形ABED的面積為24，∴12?x?x+12?x?2=24，解得x1=6，x∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE=42+6∴sin∠EBF=EFBE【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、解直角三角形等，熟知正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，會運用全等三角形的知識解決線段相等問題是解題的關(guān)鍵．35．（2022·上海·中考真題）如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34（1）求邊AC的長；（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D，求ADDB【答案】（1）AC=10；（2）AD【分析】（1）過A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，利用勾股定理求出BD的長，進而求出AD的長，即可求出所求．【詳解】解：（1）如圖，過點A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=3∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：AC=32+1（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=52∵tan∠DBF=DFBF∴DF=158在Rt△BFD中，根據(jù)勾股定理得：BD=522+∴AD=5﹣258=15則ADBD【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線、根據(jù)邊角關(guān)系熟練應(yīng)用三角函數(shù)進行解答是解題的關(guān)鍵.36．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分別是邊AC、AB的中點，過點C作CE∥AB交DO的延長線于點E，連接AE．(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC=34，求BC【答案】(1)證明見解析；(2)BC=6．【分析】（1）由ASA證明△AOD≌△COE，得出對應(yīng)邊相等AD=CE，證出四邊形AECD是平行四邊形，即可得出四邊形AECD是菱形；（2）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥ED，再利用三角函數(shù)解答即可．（1）證明：∵點O是AC中點，∴OA=OC，∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，在△AOD和△COE中，∠DAO∴△AOD≌△COE（ASA），∴AD=CE，∵CE∥AB，∴四邊形AECD是平行四邊形，又∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=AD，∴四邊形AECD是菱形；（2）解：由（1）知，四邊形AECD是菱形，∴AC⊥ED，在Rt△AOD中，tan∠DAO設(shè)OD=3x，OA=4x，則ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由題意可得：6x解得：x=1，∴OD=3，∵O，D分別是AC，AB的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴BC=2OD=6．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，熟練掌握菱形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．37．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，點E是BC邊上的點，BE=3(1)求證：△ABE≌△(2)連接CF，求sin∠DCF的值；(3)連接AC交DF于點G，求AGGC【答案】(1)證明見解析；(2)sin∠DCF=2【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出AE，矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明；(2)連接DE交CF于點H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AB=CD=4，AF(3)過點C作CK⊥AE交AE的延長線于點K，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90∴∠AEB在△ABE和△∠AEB=∠DAF∠B=∠AFD∴△ABE≌△(2)連接DE交CF于點H，如圖，∵△ABE≌△∴DF=AB∴EF∴DE∴∠DCH∴∠DCH在Rt△DCE中，CD=4∴DE∴sin∠DCF(3)如圖，過點C作CK⊥∴AG在Rt△EK=∴FK∴AG【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理、三角函數(shù)的應(yīng)用等，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.38．（2022·湖南常德·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13（1）求BC的長；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）22+【分析】（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=22（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=13∴AB=∴BD=∴BC=（2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE=12BC=2∴DE=CE﹣CD=2?∴tan∠【點睛】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關(guān)鍵．39．（2022·浙江紹興·中考真題）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．（1）如圖1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求證∶EF=CD．（2）如圖2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值．【答案】（1）見解析；（2）1∶3【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據(jù)AC∶AB=1∶2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD．（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF∶EG=EQ∶EH，然后在△BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=12BE，在△AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=32AE，又BE=AE，進而求出EF∶【詳解】解∶（1）證明∶如圖1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB．∵AC∶AB=1∶2，∴AB=2AC．∵點E為AB的中點，∴AB=2BE．∴AC=BE．在△ACD與△BEF中，∠CAD=∠B∠ADC=∠BFE=90°∴△ACD≌△BEF（AAS）．∴CD=EF，即EF=CD．（2）如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四邊形EQDH是矩形．∴∠QEH=90°．∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG．，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH．∴EF∶EG=EQ∶EH．∵AC∶AB=1∶3，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB=EQBE=1在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE=32∵點E為AB的中點，∴BE=AE，∴EF∶EG=EQ∶EH=12BE∶32AE=1∶40．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，D為BC上一點，AB=5???,???（1）求AD的長；（2）求sinα【答案】（1）AD=32；（2）sin【分析】（1）根據(jù)tanB=34，可設(shè)AC=3x，得BC=4x，再由勾股定理列出x的方程求得x（2）過點D作DE⊥AB于點E，解直角三角形求得BE與DE，進而求得結(jié)果．【詳解】解：（1）∵tanB=34，可設(shè)AC=3x∵AC∴3x2解得，x=?1（舍去），或x=1，∴AC=3???∵BD=1，∴CD=3，∴AD=C（2）過點作DE⊥AB于點E，∵tanB=34，可設(shè)DE=3y∵AE∴3y2解得，y=?15（舍），或∴DE=3∴sinα=【點睛】考核知識點：解直角三角形.理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵.41．（2022·湖北宜昌·中考真題）如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE，點F落在AD上．（1）求證：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE=1【答案】見解析【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°．∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°．∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°．又∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE．（2）在Rt△DEF中，sin∠DFE=∴設(shè)DE＝a，則EF＝3a，∴DF=E∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴CE＝EF＝3a，∠EBC＝∠EBF，∴CD＝DE＋CE＝4a，∴AB＝4a．又由（1）知△ABF∽△DFE，∴FEBF∴tan∠EBF=FEBF42．（2022·福建廈門·中考真題）已知ABCD，對角線AC與BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P分別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．（1）如圖，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF＝BC＋32－4，求BC的長．【答案】（1）60°（2）4【分析】（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解．（2）根據(jù)條件證出?ABCD是正方形．根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計算即可得解．【詳解】解：（1）連接PO,∵PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）．∴∠EPO＝∠FPO．在Rt△PEO中，tan∠EPO＝EOPE＝3∴∠EPO＝30°．∴∠EPF＝60°．（2）∵點P是AD的中點，∴AP＝DP．又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）．∴∠OAD＝∠ODA．∴OA＝OD．∴AC＝2OA＝2OD＝BD．∴?ABCD是矩形．∵點P是AD的中點，點F是DO的中點，∴AO∥PF．∵PF⊥BD，∴AC⊥BD．∴?ABCD是菱形．∴?ABCD是正方形．∴BD＝2BC．∵BF＝34∴BC＋32－4＝32解得，BC＝4．43．（2022·山東濱州·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為10，∠ABC=60°，對角線AC,BD相交于點O，點E在對角線BD上，連接AE，作∠AEF=120°且邊EF與直線DC相交于點F．(1)求菱形ABCD的面積；(2)求證AE=EF．【答案】(1)50(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根據(jù)題意及特殊角的三角函數(shù)值求出AC和BD的長度，根據(jù)菱形的面積＝對角線乘積的一半即可求解．（2）連接EC，設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，易得EC=AE，利用三角形的內(nèi)角和定理分別表示出∠EFC和∠ECF的度數(shù)，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因為EC=AE，即可得到AE=EF．(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°∴∠ABO=30°,∠AOB=90°∵AB=10，∴AO=ABsin30∴AC=2AO=10，BD=2BO=10∴菱形ABCD的面積=1(2)證明：如圖，連接EC，設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，∵四邊形ABCD為菱形，∴BD是AC的垂直平分線，∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x，∵∠ABD=30°，∴∠AED=∠CED=30°+x，∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x∵∠BDC=12∠ADC∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）=x+60°，∵∠CED=30°+x，∴∠ECD=180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°-x，∴∠ECF=180°-∠ECD=180°-（120°-x）=x+60°，∴∠EFC=∠ECF，∴EF=EC，∵AE=CE，∴AE=EF．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形面積的求解、特殊角的三角函數(shù)值以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．44．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=3DF，①當CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+3CF的值是否也最??？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)BD=63(2)①四邊形ABEF的面積為73【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=33（2）過點E作AD的垂線，分別交AD和BC于點M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=33，設(shè)BE=x，則EN=12x，從而得到EM=MN-EN=33?12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF=312x?332+2734，①當CE⊥AB時，可得點E是△ABC重心，從而得到BE=CE=23BO=23×33=23，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當點E和F分別到達點O(1)解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°=6×32=∴BD=2BO=63(2)解：如圖，過點E作AD的垂線，分別交AD和BC于點M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=63菱形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=12∵S菱形∴MN=33設(shè)BE=x，則EN=12∴EM=MN-EN=33∵S菱形ABCD=AD?MN=6×33∴S△ABD=12S菱形ABCD=9∵BE=3DF，∴DF=BE3∴S△DEF=12DF?EM=12?記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=93-（?312∵點E在BD上，且不在端點，∴0<BE<BD，即0<x<63①當CE⊥AB時，∵OB⊥AC，∴點E是△ABC重心，∴BE=CE=23BO=2此時s=3122∴當CE⊥AB時，四邊形ABEF的面積為73②作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點E和F分別在BD和AD上，∴當點E和F分別到達點O和點H位置時，CF和CE分別達到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=33∵s=3∴當x=33，即BE=33時，∵BE=3DF，∴DF=3，此時點E恰好在點O的位置，而點F也恰好在點H位置，∴當四邊形ABEF面積取得最小值時，CE和CF也恰好同時達到最小值，∴CE+3CF的值達到最小，其最小值為CO+3CH=3+3【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識是解題的關(guān)鍵．45．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，點P為斜邊BC上一動點，將△ABP沿直線AP折疊，使得點B的對應(yīng)點為B'，連接AB'，CB（1）如圖①，若PB'⊥AC（2）如圖②，若AB=AC，BP=3PC，求cos∠（3）如圖③，若∠ACB=30°，是否存在點P，使得AB=CB'．若存在，求此時【答案】（1）證明見解析；（2）35；（3）存在，PCBC的值為12【分析】（1）先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得∠CPB'=∠ABP，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠AB'（2）設(shè)AC與PB'的交點為點O，過點O作OD⊥AB'于點D，設(shè)AB=AC=4a(a>0)，從而可得BC=42a，先證出△COP～△B'OA，從而可得OCOB'=OPOA=PC（3）如圖（見解析），設(shè)AB=CB'=2m(m>0)，從而可得BC=4m,AC=23m,AB'=2m，分①點【詳解】（1）證明：∵PB'⊥AC∴PB∴∠CPB由折疊的性質(zhì)得：∠AB∴∠CPB∴AB∴四邊形ABPB又∵PB∴平行四邊形ABPB∴PB（2）如圖，設(shè)AC與PB'的交點為點O，過點O作OD⊥AB∵AB=AC，∴Rt△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=45°，設(shè)AB=AC=4a(a>0)，則BC=42∵BP=3PC，∴BP=32由折疊的性質(zhì)得：∠AB在△COP和△B'OA∴△COP～△B∴OC設(shè)OC=2b(b>0)，則∴OP解得b=4∴OA=4a?2在Rt△B'OD∴AD=AB則cos∠（3）∵∠ACB=30°,∠BAC=90°，∴∠ABC=60°，設(shè)AB=CB'=2m(m>0)由折疊的性質(zhì)得：∠AB∴AB由題意，分以下兩種