人教版八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三11.1三角形的三邊關(guān)系和穩(wěn)定性【八大題型】(學(xué)生版+解析)

專題11.1三角形的三邊關(guān)系和穩(wěn)定性【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形的識別與有關(guān)概念】 1【題型2三角形的分類】 2【題型3三角形個數(shù)的規(guī)律探究題】 3【題型4應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長或取值范圍】 4【題型5應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求等腰三角形的邊長問題】 5【題型6應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡含有絕對值的式子】 5【題型7應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題】 5【題型8三角形的穩(wěn)定性】 6【知識點1三角形的概念】由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.【題型1三角形的識別與有關(guān)概念】【例1】（2023春·山西·八年級校聯(lián)考期末）一位同學(xué)用三根木棒拼成如下圖形，其中符合三角形概念的是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）下列說法正確的是()A．所有的等腰三角形都是銳角三角形B．等邊三角形屬于等腰三角形C．不存在既是鈍角三角形又是等腰三角形的三角形D．一個三角形里有兩個銳角，則一定是銳角三角形【變式1-2】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，D，E分別是BC邊上的點，連接BE，AD，相交于點F．(1)△BDF的三個頂點是什么?三條邊是什么?(2)AB是哪些三角形的邊?【變式1-3】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△BCE中，邊BE所對的角是________，∠CBE所對的邊是________；在△AEC中，邊AE所對的角是________，∠A為內(nèi)角的三角形是________．【知識點2三角形的分類】按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形按角分類：三角形直角三角形【題型2三角形的分類】【例2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（

）A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形【變式2-1】（2023春·八年級單元測試）現(xiàn)有以下說法：①等邊三角形是等腰三角形；②三角形的兩邊之差大于第三邊；③三角形按邊分類可分為不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形；④三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式2-2】（2023春·八年級課時練習）如圖，∠ACD＝90°，則圖中的銳角三角形是_________，鈍角三角形有______個．【變式2-3】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）下面給出的四個三角形都有一部分被遮擋，如果按角的大小來進行分類，其中不能判斷三角形類型的是（

）A． B． C． D．【題型3三角形個數(shù)的規(guī)律探究題】【例3】（2023春·全國·八年級專題練習）根據(jù)下圖所示的形⑴、⑵、⑶三個圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個圖中的三角形的個數(shù)是(

)A．6(n-1) B．6n C．6(n+1) D．12n【變式3-1】（2023春·八年級單元測試）若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有___________對．【變式3-2】（2023春·八年級課時練習）如圖，平面內(nèi)有五個點，以其中任意三個點為頂點畫三角形，最多可以畫_____個三角形．【變式3-3】（2023春·全國·八年級專題練習）（1）如圖1，D1是△ABC的邊AB上的一點，則圖中有哪幾個三角形？（2）如圖2，D1，D2是△ABC的邊AB上的兩點，則圖中有哪幾個三角形？（3）如圖3，D1，D2，…，D10是△ABC的邊AB上的10個點，則圖中共有多少個三角形？【知識點3三角形的三邊關(guān)系】三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．【題型4應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長或取值范圍】【例4】（2023·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）已知三角形三邊長分別為m，n，k，且m、n滿足|n?9|+(m?5)2=0【變式4-1】（2023春·八年級課時練習）下列長度的三條線段能組成三角形嗎？請說明理由．(1)20cm，15cm，8cm．(2)7cm，15cm，8cm．(3)5cm，15cm，8cm．【變式4-2】（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知三角形三邊分別為a、b、c，其中a、b滿足a?b+b?3=0【變式4-3】（2023春·黑龍江綏化·八年級校聯(lián)考期中）若一個三角形的兩邊長是4和9，且周長是偶數(shù)，則第三邊長為_______．【題型5應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求等腰三角形的邊長問題】【例5】（2023春·山東威?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期中）等腰三角形的周長為20，一邊長為8，則它的腰長為（

）A．6 B．4 C．8或6 D．8或4【變式5-1】（2023春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考階段練習）一個等腰三角形的兩邊長分別是a和2a＋1（a＞0），則它的周長為（

）A．3a＋1 B．4a＋1 C．5a＋2 D．4a＋1或5a＋2【變式5-2】（2023春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）(多選題)已知等腰三角形的周長是12，且各邊長都為整數(shù)，則各邊的長可能是（

）．A．2，2，8 B．5，5，2 C．4，4，4 D．3，3，5【變式5-3】（2023春·八年級課時練習）若二元一次方程組x+2y=m+3x+y=2m的解x、y的值恰好是一個等腰三角形兩邊的長，且這個等腰三角形的周長為7，則m【題型6應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡含有絕對值的式子】【例6】（2023春·全國·八年級專題練習）已知△ABC的三邊長分別為3、5、a，化簡a?2?【變式6-1】（2023春·廣東茂名·八年級校考階段練習）若a，b，c是△ABC的三邊，則化簡a?b?c?A．2b?2a B．2c?2a C．2b D．0【變式6-2】（2023春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校?？计谀┮阎切稳龡l邊的長度為3，x，9，化簡：|x﹣2|＋|x﹣13|＝____【變式6-3】（2023春·八年級單元測試）已知a，b，（1）若a，b，c滿足，（2）化簡：|b?c?a|+|a?b+c|?|a?b?c|【題型7應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題】【例7】（2023春·八年級課時練習）如圖，已知點O為△ABC內(nèi)任意一點，證明：AB+AC+BC>OA+OB+OC．【變式7-1】（2023春·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，D為△ABC的邊BC上一點，試判斷2AD與△ABC的周長之間的大小關(guān)系，并加以證明．【變式7-2】（2023春·八年級統(tǒng)考課時練習）已知點O在△ABC內(nèi)部，連接OA，OB，OC，說明：12【變式7-3】（2023春·全國·八年級專題練習）觀察并探求下列各問題：(1)如圖①，在△ABC中，P為邊BC上一點，則BP＋PC____AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)將(1)中的點P移到△ABC內(nèi)，得圖②，試觀察比較△BPC的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．(3)將(2)中的點P變?yōu)閮蓚€點P1，P2，得圖③，試觀察比較四邊形BP1P2C的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．【知識點4三角形的穩(wěn)定性】當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應(yīng)用在實際生活中.【題型8三角形的穩(wěn)定性】【例8】（2023春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）在實際生活中，我們經(jīng)常利用一些幾何圖形的穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性，下列實物圖中利用了穩(wěn)定性的是（）A．電動伸縮門 B．升降臺C．柵欄

D．窗戶【變式8-1】（2023春·廣東梅州·八年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，自行車的三角形支架，這是利用三角形具有_______性．【變式8-2】（2023春·八年級單元測試）為使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，哥哥準備如圖①那樣再釘上兩根木條，弟弟準備如圖②那樣再釘上兩根木條，哪種方法能使木架不變形？為什么？

【變式8-3】（2023春·貴州黔西·八年級?？茧A段練習）如圖，六根木條釘成一個六邊形框架ABCDEF，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性要使框架穩(wěn)固且不活動，至少還需要添_______根木條．

專題11.1三角形的三邊關(guān)系和穩(wěn)定性【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形的識別與有關(guān)概念】 1【題型2三角形的分類】 3【題型3三角形個數(shù)的規(guī)律探究題】 5【題型4應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長或取值范圍】 8【題型5應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求等腰三角形的邊長問題】 10【題型6應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡含有絕對值的式子】 12【題型7應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題】 14【題型8三角形的穩(wěn)定性】 18【知識點1三角形的概念】由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.【題型1三角形的識別與有關(guān)概念】【例1】（2023春·山西·八年級校聯(lián)考期末）一位同學(xué)用三根木棒拼成如下圖形，其中符合三角形概念的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】三角形是由三條線段首位順次連接而成的圖形.【詳解】解：根據(jù)三角形的定義，A選項不符合三角形的定義；B選項符合三角形的定義；C選項不符合三角形的定義；D選項不符合三角形的定義；故選B.【點睛】本題主要考查三角形的定義，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形的定義.【變式1-1】（2023春·山東德州·八年級校考階段練習）下列說法正確的是()A．所有的等腰三角形都是銳角三角形B．等邊三角形屬于等腰三角形C．不存在既是鈍角三角形又是等腰三角形的三角形D．一個三角形里有兩個銳角，則一定是銳角三角形【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形的定義一一判斷即可．【詳解】A選項：內(nèi)角為30°，30°，120°的等腰三角形是鈍角三角形，故是錯誤的．B選項：等邊三角形屬于等腰三角形，故正確．C選項：內(nèi)角為30°，30°，120°的三角形既是鈍角三角形又是等腰三角形的三角形，故錯誤．D選項：內(nèi)角為30°，30°，120°的三角形有兩個銳角，是鈍角三角形，故錯誤．故選B．【點睛】考查三角形的一個概念，解題的關(guān)鍵是搞清楚銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形的定義．【變式1-2】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，D，E分別是BC邊上的點，連接BE，AD，相交于點F．(1)△BDF的三個頂點是什么?三條邊是什么?(2)AB是哪些三角形的邊?【答案】(1)△BDF的三個頂點是點B，D，F(xiàn)，三條邊是BF，BD，DF(2)AB是△ABE，△ABF，△ABD，△ABC的邊【分析】（1）根據(jù)三角形的邊和頂點解答即可；（2）根據(jù)三角形的邊解答即可．【詳解】（1）解：△BDF的三個頂點是點B，D，F(xiàn)，三條邊是BF，BD，DF；（2）解：AB是△ABE，△ABF，△ABD，△ABC的邊．【點睛】本題考查三角形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的角和邊的概念．【變式1-3】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△BCE中，邊BE所對的角是________，∠CBE所對的邊是________；在△AEC中，邊AE所對的角是________，∠A為內(nèi)角的三角形是________．【答案】∠BCECE/EC∠ACE△ABD，△ABC，△ACE【分析】根據(jù)的邊、角的定義，即可求解．【詳解】解：在△BCE中，邊BE所對的角是∠BCE，∠CBE所對的邊是CE；在△AEC中，邊AE所對的角是∠ACE，∠AEC所對的邊是AC；∠A為內(nèi)角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE．故答案為：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE【點睛】本題考查了三角形的知識，掌握由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角是解題的關(guān)鍵．【知識點2三角形的分類】按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形按角分類：三角形直角三角形【題型2三角形的分類】【例2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（

）A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形【答案】B【分析】根據(jù)三角形按照邊的分類方法解答．【詳解】解：根據(jù)三角形的分類，三角形可以分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分為底邊和腰不相等的三角形和底邊三角形，故選擇B．【點睛】本題考查三角形的分類，牢記三角形按照邊的分類方法是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·八年級單元測試）現(xiàn)有以下說法：①等邊三角形是等腰三角形；②三角形的兩邊之差大于第三邊；③三角形按邊分類可分為不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形；④三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據(jù)三角形的分類，三角形的三邊關(guān)系，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：①等邊三角形是等腰三角形，故①正確；②三角形的兩邊之差小于第三邊，故②錯誤；③三角形按邊分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形，的說法是錯誤的（因為等邊三角形屬于等腰三角形），故③錯誤④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，故④正確∴上述說法中正確的有2個.故選：C．【點睛】本題考查了三角形的分類，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的分類是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·八年級課時練習）如圖，∠ACD＝90°，則圖中的銳角三角形是_________，鈍角三角形有______個．【答案】△ACE；4.【分析】三個角都是銳角的三角形是銳角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形；有一個角是鈍角的三角是鈍角三角形；有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，三條邊相等的三角形是等邊三角形（是特殊的等腰三角形），根據(jù)三角形按角分類的方法進行逐項分類即可．【詳解】觀察圖形可知，△ACE是銳角三角形，；△CED、△CDB、△CEB、△ACB是鈍角三角形，共4個.故答案為△ACE，4．【點睛】本題是考查三角形的分類．【變式2-3】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）下面給出的四個三角形都有一部分被遮擋，如果按角的大小來進行分類，其中不能判斷三角形類型的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形按角分類的方法一一判斷即可．【詳解】解：觀察圖形可知：A、露出的角是直角，因此是直角三角形；B、知道兩個角，可以計算出第三個角的度數(shù)，因此可以判斷出三角形類型；C、露出的角是銳角，其他兩角都不知道，因此不能判斷出三角形類型；D、露出的角是鈍角，因此是鈍角三角形．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的分類，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，熟練掌握基本知識．【題型3三角形個數(shù)的規(guī)律探究題】【例3】（2023春·全國·八年級專題練習）根據(jù)下圖所示的形⑴、⑵、⑶三個圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個圖中的三角形的個數(shù)是(

)A．6(n-1) B．6n C．6(n+1) D．12n【答案】C【分析】從這三個圖中找規(guī)律，可以先分別找出每個圖形中三角形的個數(shù)，再分析三個數(shù)字之間的關(guān)系，從而得出第n個圖形中三角形的個數(shù)．【詳解】圖（1）中，三角形的個數(shù)是6+6=6×2,圖（2）中，三角形的個數(shù)是6+6+6=6×3,圖（3）中，三角形的個數(shù)是6+6+6+6=6×4,第n個圖形中三角形的個數(shù)是6·(n+1)，故選：C．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，利用圖形之間的練習，得出數(shù)字間的運算規(guī)律，從而解決問題，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．【變式3-1】（2023春·八年級單元測試）若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有___________對．【答案】3【分析】找到以BC為邊的三角形，即可得解．【詳解】解：以BC為公共邊的“共邊三角形”有△BDC與△BEC、△BDC與△BAC、△BEC與△BAC共3對．故答案為：3．【點睛】本題考查三角形的定義．理解并掌握“共邊三角形”的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·八年級課時練習）如圖，平面內(nèi)有五個點，以其中任意三個點為頂點畫三角形，最多可以畫_____個三角形．【答案】10【分析】以平面內(nèi)的五個點為頂點畫三角形，根據(jù)三角形的定義，我們在平面中依次選取三個點畫出圖形即可解答.【詳解】解：如圖所示，以其中任意三個點為頂點畫三角形，最多可以畫10個三角形，故答案為：10．【點睛】本題考查的是幾何圖形的個數(shù)，我們根據(jù)三角形的定義，在畫圖的時候要注意按照一定的順序，保證不重復(fù)不遺漏.【變式3-3】（2023春·全國·八年級專題練習）（1）如圖1，D1是△ABC的邊AB上的一點，則圖中有哪幾個三角形？（2）如圖2，D1，D2是△ABC的邊AB上的兩點，則圖中有哪幾個三角形？（3）如圖3，D1，D2，…，D10是△ABC的邊AB上的10個點，則圖中共有多少個三角形？【答案】（1）3；（2）6；（3）66．【分析】（1）根據(jù)三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形進行分析即可；（2）根據(jù)三角形的定義結(jié)合圖形進行分析即可得；（3）根據(jù)直線AB上有幾條線段就有幾個三角形，由線段的計數(shù)方法進行計算即可得答案.【詳解】（1）圖中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3個；（2）圖中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6個；（3）∵直線AB上有12個點，∴直線AB上的線段共有：12×12?1【點睛】本題考查了三角形，規(guī)律題，關(guān)鍵在數(shù)三角形個數(shù)時要做到不重不漏.【知識點3三角形的三邊關(guān)系】三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．【題型4應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長或取值范圍】【例4】（2023·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）已知三角形三邊長分別為m，n，k，且m、n滿足|n?9|+(m?5)2=0【答案】9≤k<14【分析】根據(jù)|n?9|+(m?5)【詳解】解：由題意得n-9=0，m-5=0，解得m=5，n=9，∵m，n，k，為三角形的三邊長，∴4≤k<14，∵k為三角形的最長邊，∴9≤k<14．故答案為：9≤k<14【點睛】本題考查了絕對值、偶次方的非負性，三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意求出m、n的長是解題關(guān)鍵，確定k的取值范圍時要注意k為最長邊這一條件．【變式4-1】（2023春·八年級課時練習）下列長度的三條線段能組成三角形嗎？請說明理由．(1)20cm，15cm，8cm．(2)7cm，15cm，8cm．(3)5cm，15cm，8cm．【答案】(1)20cm，15cm，8cm這三條線段能組成三角形，理由見解析(2)7cm，15cm，8cm這三條線段不能組成三角形，理由見解析(3)5cm，15cm，8cm這三條線段不能組成三角形，理由見解析【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的條件進行逐一判斷即可．【詳解】（1）解；20cm，15cm，8cm這三條線段能組成三角形，理由如下：∵20?8<15<20+8，∴20cm，15cm，8cm這三條線段能組成三角形；（2）解；7cm，15cm，8cm這三條線段不能組成三角形，理由如下：∵7+8=15，∴7cm，15cm，8cm這三條線段不能組成三角形；（3）解；5cm，15cm，8cm這三條線段不能組成三角形，理由如下：∵5+8<15，∴5cm，15cm，8cm這三條線段不能組成三角形．【點睛】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知三角形三邊分別為a、b、c，其中a、b滿足a?b+b?3=0【答案】0<c<6【分析】首先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)計算a、b的值，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得c的取值范圍．【詳解】解：∵a?b+∴a?b=0，b?3=0，∴a=3，b=3，∴3?3<c<3+3，∴0<c<6．故答案為：0<c<6．【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)確定a、b的值是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·黑龍江綏化·八年級校聯(lián)考期中）若一個三角形的兩邊長是4和9，且周長是偶數(shù)，則第三邊長為_______．【答案】7或9或11【分析】設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：9?4<a<9+4，然后再根據(jù)第三邊是偶數(shù)，確定a的值即可．【詳解】解：設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：9?4<a<9+4．即：5<a<13，∵周長是偶數(shù)，∴第三邊的長為奇數(shù)，即：a=7或a=9或a=11．∴第三邊長為7或9或11．故答案為：7或9或11．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【題型5應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求等腰三角形的邊長問題】【例5】（2023春·山東威?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期中）等腰三角形的周長為20，一邊長為8，則它的腰長為（

）A．6 B．4 C．8或6 D．8或4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分為兩種情況解答：當腰長為8或者底邊為8時．【詳解】解：分兩種情況考慮：（1）當8是腰長時，則底邊長是20-8-8=4，此時8，8，4能組成三角形；（2）當8是底邊長時，腰長是（20-8）×12綜上，腰長是8或6．故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考階段練習）一個等腰三角形的兩邊長分別是a和2a＋1（a＞0），則它的周長為（

）A．3a＋1 B．4a＋1 C．5a＋2 D．4a＋1或5a＋2【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系即可求解.【詳解】∵一個等腰三角形的兩邊長分別是a和2a＋1∴另一邊可能是a，或2a+1，∵a+a=2a＜2a+1故第三邊為2a+1，故周長為a+2a+1+2a+1=5a＋2故選C.【點睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的三邊關(guān)系.【變式5-2】（2023春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）(多選題)已知等腰三角形的周長是12，且各邊長都為整數(shù)，則各邊的長可能是（

）．A．2，2，8 B．5，5，2 C．4，4，4 D．3，3，5【答案】BC【分析】根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．結(jié)合題目條件“周長為12”，可得出正確答案．【詳解】A.2+2<8，不能組成三角形，排除．B.5+5>2，5-5<2；且5+5+2=12；滿足題意．C.4+4>4，4-4<4；且4+4+4=12；滿足題意．D.3+3>5，3-3<5；但3+3+5≠12；排除．故選：BC．【點睛】本題主要考查了能夠組成三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于大三邊，兩邊之差小于第三邊；注意結(jié)合題目條件“周長為12”．【變式5-3】（2023春·八年級課時練習）若二元一次方程組x+2y=m+3x+y=2m的解x、y的值恰好是一個等腰三角形兩邊的長，且這個等腰三角形的周長為7，則m【答案】2【分析】解二元一次方程組，分三種情況考慮，根據(jù)周長為7得關(guān)于m的方程，求得m，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件判斷即可．【詳解】x+2y=m+3①①-②得：y=3-m把y=3-m代入②，得x=3m-3故方程組的解為x=3m?3y=3?m若x為腰，y為底，則2x+y=7即2(3m-3)+3-m=7解得：m=2此時x=3，y=1，滿足構(gòu)成三角形的條件若y為腰，x為底，則2y+x=7即2(3-m)+3m-3=7解得：m=4此時x=9，y=-1，不合題意若x=y，即3m-3=3-m解得：m=3此時腰為32，底為但32+3故不合題意所以滿足條件的m為2故答案為：2【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，一元一次方程的解法，三條線段構(gòu)成三角形的條件，涉及分類討論思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要驗證是否符合構(gòu)成三角形的條件．【題型6應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡含有絕對值的式子】【例6】（2023春·全國·八年級專題練習）已知△ABC的三邊長分別為3、5、a，化簡a?2?【答案】7?a【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系進而得出a的取值范圍，進而利用絕對值的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：∵△ABC的三邊長分別為3、5、a，∴5?3<a<5+3，解得：2<a<8，故a?2?=a?2?=a?2?a+1?a+8=7?a．故答案為：7?a．【點睛】本題考查的是絕對值的化簡，整式的加減運算的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，熟練的化簡絕對值是解本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·廣東茂名·八年級?？茧A段練習）若a，b，c是△ABC的三邊，則化簡a?b?c?A．2b?2a B．2c?2a C．2b D．0【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，得到a?b?c<0，a+b?c>0，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行化簡計算．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得a?b?c<0，a+b?c>0，∴原式=c+b?a?=c+b?a?b?a+c=2c?2a故選：B．【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系和絕對值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形三邊關(guān)系．【變式6-2】（2023春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校校考期末）已知三角形三條邊的長度為3，x，9，化簡：|x﹣2|＋|x﹣13|＝____【答案】11【分析】首先確定第三邊的取值范圍，從而確定x﹣5和x﹣13的值，然后去絕對值符號求解即可．【詳解】解：∵三角形的三邊長分別是3、x、9，∴6＜x＜12，∴x﹣2＞0，x﹣13＜0，∴x?2+x?13＝x﹣2＋13﹣故答案為：11．【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系和絕對值的化簡．三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．【變式6-3】（2023春·八年級單元測試）已知a，b，（1）若a，b，c滿足，（2）化簡：|b?c?a|+|a?b+c|?|a?b?c|【答案】（1）△ABC是等邊三角形；（2）3a?3b+c【分析】（1）由性質(zhì)可得a=b，b=c，故△ABC為等邊三角形．（2）根據(jù)三角形任意兩邊和大于第三邊，任意兩邊差小于第三邊判定正負，再由絕對值性質(zhì)去絕對值計算即可．【詳解】（1）∵(a?b)∴(a?b)2=0∴a=b=c∴△ABC是等邊三角形．（2）∵a，b，∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0原式=|?(a+c?b)|+(a?b+c)?|?(b+c?a)|=a+c?b+a?b+c?b?c+a=3a?3b+c【點睛】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系以及絕對值化簡，根據(jù)三角形任意兩邊和大于第三邊，任意兩邊差小于第三邊判定絕對值內(nèi)數(shù)值正負是解題的關(guān)鍵．【題型7應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題】【例7】（2023春·八年級課時練習）如圖，已知點O為△ABC內(nèi)任意一點，證明：AB+AC+BC>OA+OB+OC．【答案】見解析【分析】延長BO交AC于點D，根據(jù)三角形三邊關(guān)系進行求解即可；【詳解】如圖，延長BO交AC于點D．在△ABD中，AB+AD>BD，①在△ODC中，OD+CD>OC，②①+②，得AB+AD+OD+CD>BD+OC．∵BD=OB+OD，AD+CD=AC，∴AB+AC+OD>OB+OD+OC，∴AB+AC>OB+OC，③同理可證AB+BC>OA+OC，④AC+BC>OA+OB，⑤③+④+⑤，得2(AB+AC+BC)>2(OA+OB+OC)，即AB+AC+BC>OA+OB+OC．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，準確理解是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，D為△ABC的邊BC上一點，試判斷2AD與△ABC的周長之間的大小關(guān)系，并加以證明．【答案】△ABC的周長>【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，即可得出答案．【詳解】證明：∵在△ABD中，AB+BD>AD，在△ACD中，AC+CD>AD，∴AB+BD+AC+CD>2AD，即AB+BC+AC>2AD，∴△ABC【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟記其三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·八年級統(tǒng)考課時練習）已知點O在△ABC內(nèi)部，連接OA，OB，OC，說明：12【答案】證明見解析【分析】延長BO交AC于D．在△AOB、△BOC、△AOC中，由三角形三邊關(guān)系定理列式，三式相加可得2(OA+OB+OC)＞AB+BC+AC，即可證明不等式左邊部分成立．在△ADO、△BDC中，由三角形三邊關(guān)系定理列式，兩式相加可得OA+BO＜AC+BC，同理可得：OC+OB＜AB+AC，OC+OA＜AB+BC，三式相加即可證明不等式右邊部分成立．【詳解】延長BO交AC于D．在△AOB中，OA+OB>AB，①在△BOC中OC+OB>BC，②在△AOC中，OC+OA>AC，③①＋②＋③得2OA+OB+OC即OA+OB+OC>1在△ADO中，OA＜AD+OD，在△BDC中，BD＜DC+BC，∴OA+BD＜AD+OD+DC+BC，即OA+BO+OD＜AC+OD+BC，∴OA+BO＜AC+BC④同理：OC+OB<AB+AC⑤OC+OA<AB+BC，⑥④＋⑤＋⑥得2(ОA+OB+OC)<2(AB+BC+AC)，即OA+OB+OC<AB+BC+AC．∴12【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【變式7-3】（2023春·全國·八年級專題練習）觀察并探求下列各問題：(1)如圖①，在△ABC中，P為邊BC上一點，則BP＋PC____AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)將(1)中的點P移到△ABC內(nèi)，得圖②，試觀察比較△