北師大版2019選擇性必修第一冊專題2.1橢圓(4類必考點(diǎn))(原卷版+解析)

專題2.1橢圓TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點(diǎn)1：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程】 1【考點(diǎn)2：橢圓的焦點(diǎn)三角形問題】 2【考點(diǎn)3：橢圓的幾何性質(zhì)】 4【考點(diǎn)4：與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題】 6【考點(diǎn)1：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程】【知識點(diǎn)：橢圓的定義】平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若a>c，則集合P為橢圓．(2)若a＝c，則集合P為線段．(3)若a<c，則集合P為空集．【知識點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】(1)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦點(diǎn)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2.(2)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦點(diǎn)為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，其中c2＝a2－b2.(3)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種思路方法①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：這種方法是求橢圓方程的常用方法，具體思路是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．1．（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高二開學(xué)考試）橢圓x225+y29=1，△ABC的頂點(diǎn)B、CA．35 B．45 C．12．（河南省南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1A．2 B．3 C．32 D．3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)1,0和?1,0的距離之和等于4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為__．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A3,0(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為3；(3)經(jīng)過點(diǎn)P?23,15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）求兩個(gè)頂點(diǎn)為（3，0），（－3，0），離心率為22（2）過點(diǎn)(3,?56．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓x2100+y236=1【考點(diǎn)2：橢圓的焦點(diǎn)三角形問題】【知識點(diǎn)：橢圓的焦點(diǎn)三角形問題】(1)橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理．(2)以橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則①|(zhì)PF1|＋|PF2|＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.③S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取最大值為bc.④焦點(diǎn)三角形的周長為2(a＋c)．1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：x225+y216=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過左焦點(diǎn)F1，作直線交橢圓C于A、A．10 B．15 C．20 D．252．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x25+y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A．1 B．5 C．155 3．（2022·河南·南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x27+y23=1的左、右兩焦點(diǎn)，PA．4 B．6 C．8 D．104．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P為橢圓C:x2a2+y24=1（a>2)上一點(diǎn)，F(xiàn)A．43 B．23 C．435．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)，PA．9 B．3 C．4 D．86．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x216+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上.若P、FA．95 B．977 C．94 7．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過橢圓x24+y2=1的左焦點(diǎn)F1，作不垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若P是橢圓x24+y23=19．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））如圖，己知F1、F2是橢圓C:x2a2+y2【考點(diǎn)3：橢圓的幾何性質(zhì)】【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2[方法技巧]求橢圓離心率的三種方法(1)直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．[提醒]在解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí)，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根．1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若方程x26?m+y2m?2=1A．2,6 B．4,6 C．2,4 D．2,42．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的中心在原點(diǎn)，對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為3，則這個(gè)橢圓的方程為（

）A．x212+y2C．x29+3．（2022·天津市匯文中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，若∠A．53 B．23 C．234．（2022·河南·南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)，A是C的上頂點(diǎn)，直線l：3x?4y=0與C交于M，N兩點(diǎn)．若MF+A．53,1 B．0,53 C．5．（多選）（2022·浙江·嘉興市第五高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓x2m+y2A．2 B．3 C．5 D．86．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的短半軸長為2，離心率為327．（2022·新疆·烏市八中高二階段練習(xí)）人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是r18．（2021·江蘇省灌南高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使9．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)高三階段練習(xí)）已知F是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P10．（2022·遼寧·沈陽二中高二階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2a211．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)3,?(1)求滿足條件的橢圓方程；(2)求該橢圓的長半軸的長、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．【考點(diǎn)4：與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題】【知識點(diǎn)：與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法】(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍．[提醒]求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系1．（多選）（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1A．橢圓C的離心率的取值范圍是0,B．當(dāng)橢圓C的離心率為32時(shí)，QFC．存在點(diǎn)Q使得QD．1Q2．（2021·四川成都·高三開學(xué)考試（文））已知點(diǎn)M是橢圓x225+y216=1上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為0,?3，點(diǎn)N3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）判斷并說明理由：橢圓x24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓y2a2+x5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x216+3y216=1，M為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，2為半徑作圓M，6．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知橢圓C：x2+3y2=3(1)求橢圓C的短軸長和點(diǎn)F1，F(xiàn)(2)設(shè)Px0,y0為橢圓C上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線F2P與y軸相交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)專題2.1橢圓TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點(diǎn)1：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程】 1【考點(diǎn)2：橢圓的焦點(diǎn)三角形問題】 5【考點(diǎn)3：橢圓的幾何性質(zhì)】 10【考點(diǎn)4：與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題】 17【考點(diǎn)1：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程】【知識點(diǎn)：橢圓的定義】平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若a>c，則集合P為橢圓．(2)若a＝c，則集合P為線段．(3)若a<c，則集合P為空集．【知識點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】(1)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦點(diǎn)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2.(2)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦點(diǎn)為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，其中c2＝a2－b2.(3)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種思路方法①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：這種方法是求橢圓方程的常用方法，具體思路是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．1．（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高二開學(xué)考試）橢圓x225+y29=1，△ABC的頂點(diǎn)B、CA．35 B．45 C．1【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義可得|AB|+|AC|，結(jié)合正弦定理將sinB+【詳解】由題意可知，a=5,b=3，所以c=4，又△ABC的頂點(diǎn)B、C分別是橢圓的焦點(diǎn)，所以|AB|+|AC|=2a=10,|BC|=2c=8，所以由正弦定理可得sinB+故選：D．2．（河南省南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1A．2 B．3 C．32 D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合橢圓的定義求出PF1=52,P【詳解】因?yàn)闄E圓的方程為：x24+F1，F(xiàn)2是橢圓x2因?yàn)辄c(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為1，所以假設(shè)PF1>解得：PF1=在△PF1F所以sin∠所以△PF1F故選：C.3．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)1,0和?1,0的距離之和等于4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為__．【答案】x【分析】利用橢圓的定義求解軌跡方程.【詳解】平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)1,0和?1,0的距離之和等于4，滿足橢圓的定義，可得c=1，a=2，則b=3動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：x2故答案為：x24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A3,0(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為3；(3)經(jīng)過點(diǎn)P?23,1【答案】(1)x29(2)x212(3)x【分析】（1）分焦點(diǎn)在x軸、焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程并代入A點(diǎn)坐標(biāo)可得答案；（2）根據(jù)a=2ca?c=3和（3）設(shè)方程為mx2+n解：（1）若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為x2∵橢圓過點(diǎn)A3,0，∴9a2∵2a=3×2b，∴b=1，∴方程為x2若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為x2∵橢圓過點(diǎn)A3,0，∴9b2又2a=3×2b，∴a=9，∴方程為x2綜上所述，橢圓方程為x29+（2）由已知，有a=2ca?c=3解得a=23若焦點(diǎn)在y軸上，則x2若焦點(diǎn)在x軸上，x2∴所求橢圓方程為x212+（3）設(shè)方程為mx則有12m+n=13m+4n=1，解得m=則所求橢圓方程為x25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）求兩個(gè)頂點(diǎn)為（3，0），（－3，0），離心率為22（2）過點(diǎn)(3,?5【答案】（1）x29＋y2＝1和y281＋x2【分析】（1）分焦點(diǎn)在x軸，y軸兩種情況討論，結(jié)合ca=223，b2＝a（2）寫出橢圓y225+x29=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓定義，求解2a，結(jié)合b2【詳解】（1）如果焦點(diǎn)在x軸上，則a＝3，離心率ca=223，∴c＝22，∴b2＝a∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29＋y如果焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，將ca=223代入b2＝a2－c2中，得a2∴a2＝81，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y281＋故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29＋y2＝1或y2（2）橢圓y225+x2∴c＝4，焦點(diǎn)為（0，－4），（0，4）．由橢圓定義知，2a＝(3?0)2解得a＝25.由c2＝a2－b2得b2＝4.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y220＋6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓x2100+y236=1【答案】25【分析】由橢圓定義求得PF1，PF2，利用P分別在以F1【詳解】解：由已知a=10,b=6，c=100?36=8，F(xiàn)1PF1+所以PF1=15因此點(diǎn)P在分別以F1、F因此(x+8)2+y所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為254【考點(diǎn)2：橢圓的焦點(diǎn)三角形問題】【知識點(diǎn)：橢圓的焦點(diǎn)三角形問題】(1)橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理．(2)以橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則①|(zhì)PF1|＋|PF2|＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.③S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取最大值為bc.④焦點(diǎn)三角形的周長為2(a＋c)．1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：x225+y216=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過左焦點(diǎn)F1，作直線交橢圓C于A、A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可【詳解】由題意橢圓的長軸為2a=225=10∴l(xiāng)故選：C2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x25+y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A．1 B．5 C．155 【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程求出a、b、c的值，即可得到F1F2、PF2【詳解】解：橢圓C:x25+y29=1中，a2∴F1F2=2c=4．∵PF∵S△PF1解得r=15故選：C．3．（2022·河南·南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x27+y23=1的左、右兩焦點(diǎn)，PA．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由題意，分∠F1PF2【詳解】由題意，橢圓C：x27+y2若△PF（1）若∠F由于O為F1故|PO|=設(shè)P(x,y)，則x故點(diǎn)P為圓O與橢圓C的交點(diǎn)，聯(lián)立x27+y共有4個(gè)點(diǎn)（2）若∠PF則xP=?2，則（3）若∠PF則xP=2，則綜上，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為8.故選：C4．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P為橢圓C:x2a2+y24=1（a>2)上一點(diǎn)，F(xiàn)A．43 B．23 C．43【答案】C【分析】結(jié)合余弦定理、橢圓的定義求得PF1?【詳解】設(shè)PF根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理得s+t=2a2c整理得st=163，即所以△PF1F故選：C5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)，PA．9 B．3 C．4 D．8【答案】B【分析】由橢圓定義與余弦定理，三角形面積公式求解【詳解】法一：設(shè)PF1=m，P2c2=m又12mnsin2π法二：由焦點(diǎn)三角形面積公式得S故選：B6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x216+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上.若P、FA．95 B．977 C．94 【答案】C【分析】分析可知∠F1PF2必為銳角，則F【詳解】在橢圓x216+y29=1將x=±7代入橢圓方程可得716+所以，當(dāng)F1或F2是直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離為設(shè)PF1=m，P由余弦定理可得cos=18當(dāng)且僅當(dāng)m=n=4時(shí)，等號成立，故∠F綜上所述，點(diǎn)P到x軸的距離為94故選：C.7．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過橢圓x24+y2=1的左焦點(diǎn)F1，作不垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A【答案】8【分析】利用橢圓的定義，即可求解周長.【詳解】由橢圓x24+由橢圓的定義可得AF所以△ABF2的周長故答案為：88．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若P是橢圓x24+y23=1【答案】π【分析】先根據(jù)橢圓的方程得到a,b,c，進(jìn)而利用橢圓的基本性質(zhì)確定最大角的位置，即可得到答案【詳解】解：根據(jù)橢圓的方程可知：x24+y23=1方法1：由橢圓的對稱性可知，∠F1P此時(shí)F1P=∴∠F1P方法2：在△F1P所以令F1P=x所以4=x2+則cos∠F1PF又因?yàn)?≤∠F1PF故答案為：π9．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））如圖，己知F1、F2是橢圓C:x2a2+y2【答案】1【分析】延長MF1與橢圓交于點(diǎn)L，由橢圓對稱性有F1L=F2N，設(shè)F【詳解】解：延長MF1與橢圓交于點(diǎn)L，又∴根據(jù)對稱性可知，F(xiàn)1L=F2N，設(shè)從而2a=F2M在△LMF2中，注意到∴cos∠LM在△MF1F故答案為：1【考點(diǎn)3：橢圓的幾何性質(zhì)】【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2[方法技巧]求橢圓離心率的三種方法(1)直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．[提醒]在解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí)，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根．1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若方程x26?m+y2m?2=1A．2,6 B．4,6 C．2,4 D．2,4【答案】D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓滿足的條件列式求解即可.【詳解】因?yàn)閤26?m+y2m?2=1故選：D2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的中心在原點(diǎn)，對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為3，則這個(gè)橢圓的方程為（

）A．x212+y2C．x29+【答案】B【分析】首先根據(jù)已知條件得到a:b:c=2:3:1，a?c=3，即可得到a=23，【詳解】因?yàn)槎梯S的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，所以a:b:c=2:3:1，設(shè)a=2k，b=3k，因?yàn)榻裹c(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為a?c=3所以2k?k=3，即k=3.a=23，b=3當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，橢圓的方程為x2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，橢圓的方程為x2故選：B3．（2022·天津市匯文中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，若∠A．53 B．23 C．23【答案】A【分析】設(shè)PF1=m，根據(jù)題干條件得到PF2=2m，由勾股定理得到PF1=【詳解】設(shè)∠PF1F2=θ所以PF2PF1由勾股定理得：PF22解得：m=255c，所以過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則PM=P由勾股定理得：F1所以O(shè)M=OF所以點(diǎn)P坐標(biāo)為?3將P?35925又b2解得：9c方程兩邊同時(shí)除以a4，得：9解得：e2=5或因?yàn)閑∈0,1所以e=5故選：A4．（2022·河南·南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)，A是C的上頂點(diǎn)，直線l：3x?4y=0與C交于M，N兩點(diǎn)．若MF+A．53,1 B．0,53 C．【答案】B【分析】據(jù)MF+NF=NF1+NF=2a=6，得到a=3，根據(jù)點(diǎn)A【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，A是C的上頂點(diǎn)，連接M由橢圓的對稱性可知，M,N關(guān)于原點(diǎn)對稱，則OM=ON又OF1=OF，∴∴MF=NF又MF+NFA到l的距離為：d=?4b解得：b≥2，即a∴0<c≤5

∴e=故選：B.5．（多選）（2022·浙江·嘉興市第五高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓x2m+y2A．2 B．3 C．5 D．8【答案】BC【分析】就m>4、0<m<4分類討論后可求m的值.【詳解】由橢圓的焦距2c=2，知c=1，又c2故當(dāng)m>4時(shí)，m?4=1,m=5，當(dāng)0<m<4時(shí)，4?m=1,m=3，故選：BC6．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的短半軸長為2，離心率為32【答案】8【分析】由已知可求得b，再根據(jù)離心率和a,b,c的關(guān)系，即可求出a，進(jìn)而求得長軸長.【詳解】因?yàn)闄E圓的短半軸長為2，所以b=2，由離心率為32可得c由b=2ca=故答案為：87．（2022·新疆·烏市八中高二階段練習(xí)）人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是r1【答案】r【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義，求出橢圓的長半軸a和半焦距c，進(jìn)而確定橢圓的離心率，得到答案.【詳解】如圖所示，可得2a=r1+又由c=a?r所以橢圓的離心率為e=c故答案為：r28．（2021·江蘇省灌南高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使【答案】[【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，只需保證P為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)∠F【詳解】由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)P為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)∠F所以橢圓上存在點(diǎn)P使∠F只需∠F1P又橢圓離心率0<e<1，故22故答案為：[9．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)高三階段練習(xí)）已知F是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P【答案】21【分析】取橢圓的右焦點(diǎn)F'，由直線l過原點(diǎn)及橢圓的對稱性可得四邊形PFQF'為平行四邊形，由|PF|=5|QF|及橢圓的性質(zhì)可得PF'【詳解】取橢圓的右焦點(diǎn)F'，連接QF'由橢圓的對稱性，可得四邊形PFQF則PF'=|PF|=5|QF|=5|PF'|，而|PF|+|PF'在△PFF'中，整理，得21a2?36c2=0，即故答案為：21610．（2022·遼寧·沈陽二中高二階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2a2【答案】0,【分析】由已知可得M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半焦距c為半徑的圓.再結(jié)合點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部可列出關(guān)于a,c的不等式進(jìn)而求解.【詳解】由題意知，設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a,b,c,∵M(jìn)∴M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半焦距c為半徑的圓.又M點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，∴該圓內(nèi)含于橢圓，即c<b,c∴e2<故答案為：0,22.11．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)3,?(1)求滿足條件的橢圓方程；(2)求該橢圓的長半軸的長、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．【答案】(1)x(2)長半軸的長為23，頂點(diǎn)坐標(biāo)為23,0、?23,0、0,【分析】（1）利用待定系數(shù)法，列方程組求解橢圓方程；（2）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解.（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2則2c=26所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x（2）由（1）知，橢圓的長半軸長為a=23頂點(diǎn)坐標(biāo)為23,0、?23,0、離心率e=c【考點(diǎn)4：與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題】【知識點(diǎn)：與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法】(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍．[提醒]求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理