山東省濰坊市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試題

高三開學(xué)調(diào)研監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁.滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷?答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號?姓名.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上?寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和虛部的概念即可得到答案.【詳解】，則其虛部為.故選：B.2.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集可得，再解方程可得集合；【詳解】因為，所以，代入，可得，所以方程變?yōu)?，可解得?，所以，故選：C.3.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2，則（）A.0 B.3 C.6 D.12【答案】D【解析】【分析】建立合適的直角坐標系，寫出相關(guān)向量計算向量數(shù)量積即可.【詳解】以兩向量公共點為坐標原點建立如圖所示直角坐標系，則，，，則.故選：D.4.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，還有兩個面是全等的等腰三角形，若，且等腰梯形所在平面?等腰三角形所在平面與平面的夾角均為，則該五面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，結(jié)合二面角的定義分別求出，最后利用五面體的體積為2倍的四棱錐的體積加上三棱柱的體積求出結(jié)果即可；【詳解】如圖，作于，，連接；同理作于，，連接，取中點，連接，再作于，因為等腰梯形所在平面?等腰三角形所在平面與平面的夾角均為，因為，房頂?shù)牡酌鏋榫匦?，，所以，又中點，，且，所以，所以，，所以由二面角的定義可得，因為，所以，因為，，，且底面，所以底面，所以該五面體的體積為2倍的四棱錐的體積加上三棱柱的體積，即，故選：B.5.已知圓，則過點的圓的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先說明點在圓外，再設(shè)點斜式方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出即可.【詳解】將代入圓方程得，則該點在圓外，，即，則其圓心為，半徑為1，當(dāng)切線斜率不存在時，此時直線方程為，顯然不合題意，故舍去，則設(shè)切線方程為：，即，則有，解得，此時切線方程為.故選：C.6.數(shù)列an中，，若，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】先求等差數(shù)列求出通項，再求和得出參數(shù).【詳解】因為，所以,,所以.故選：C.7.設(shè)，隨機變量取值的概率均為，隨機變量取值的概率也均為，若記，分別是的方差，則（）A. B.C. D.與大小不確定【答案】A【解析】【分析】先由期望和方差公式表示出，，再比較公式中不同部分的大小，然后再由基本不等式比較即可；【詳解】，，，，所以只需比較與的大小，因為，所以，①因為，所以，，，，，，所以①，所以，故選：A.8.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】先令，代入已知方程；再求導(dǎo)；再令即可求出結(jié)果；【詳解】因為，令，則，則，再令，代入上式可得，所以，故選：D.【點睛】方法點睛：對于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時，先外層后內(nèi)層.二?多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的最小正周期為C.圖象的一個對稱中心為D.的單調(diào)增區(qū)間為【答案】ABD【解析】【分析】由圖象可得函數(shù)的周期，再由特殊角的三角函數(shù)值可得A，B正確；代入檢驗可得C錯誤；由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可得D正確；【詳解】A：由圖象可得，所以，代入可得，則且，所以，故A正確；B：由選項A的解析可得最小正周期為，故B正確；C：因為，代入，可得，故C錯誤；D：由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，可得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故D正確；故選：ABD.10.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，則（）A. B.為等比數(shù)列C.為遞減數(shù)列 D.中存在小于的項【答案】ACD【解析】【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系可得A正確；假設(shè)an為等比數(shù)列，設(shè)公比為，利用等比中項的性質(zhì)結(jié)合已知可得B錯誤；由遞推關(guān)系通分之后可得C正確；假設(shè)對任意的，，求出，再結(jié)合由已知可得D錯誤；【詳解】A：由題意可得當(dāng)時，，當(dāng)時，由可得，兩式作差可得，所以，整理可得，解得，故A正確；B：假設(shè)an為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，即，整理可得，所以，解得，不符合題意，故B錯誤；C：當(dāng)時，，所以an為遞減數(shù)列，故C正確；D：假設(shè)對任意的，，則，則，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，故D正確；故選：ACD.11.已知正方體棱長為為棱上一動點，平面，則（）A.當(dāng)點與點重合時，平面B.當(dāng)點與點重合時，四面體的外接球的體積為C.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是D.當(dāng)點與點重合時，平面截正方體所得截面可為六邊形，且其周長為定值【答案】ACD【解析】【分析】由線面平行的性質(zhì)可得A正確；由四面體的外接球即為正方體的外接球，再計算體積可得B錯誤；將問題轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角的正弦值等于直線與平面的垂線所成角的余弦值，結(jié)合和三角函數(shù)的定義可得C正確；畫出截面圖形，計算周長即可得D正確；【詳解】A：如圖：因為，且平面，平面，所以平面，故A正確；B：如圖：當(dāng)點與點重合時，四面體的外接球的體積即為正方體外接球的體積，因為正方體的棱長為1，所以外接球半徑為，所以外接球體積為，故B錯誤；C：直線與平面所成角的正弦值等于直線與平面的垂線所成角的余弦值，如圖：連，則，因，所以，即，所以，故C正確；D：如圖當(dāng)點與點重合時，因為平面，由正方體的性質(zhì)可得平面可為平面，當(dāng)取分別為各邊中點，截面為，此時周長為，故D正確；故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）本題C選項關(guān)鍵是能把問題轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角的正弦值等于直線與平面的垂線所成角的余弦值，再結(jié)合三角函數(shù)的定義求解；（2）本題D選項關(guān)鍵是畫出截面圖形，結(jié)合圖形計算即可.三?填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.12.邊長為2的正三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】畫出圖形，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可；【詳解】如圖，將該三角形繞其邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是兩個以為底面圓半徑，以1為高的兩個圓錐組合體，表面積為，故答案為：.13.已知四個函數(shù)：①，②，③，④，從中任選2個，則事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為__________.【答案】##0.5【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，找出符合題意的交點函數(shù)，再由古典概率結(jié)合組合數(shù)計算即可；【詳解】作出函數(shù)圖象，由圖可得③與①有一個公共點，②和④有一個公共點，②和③有一個公共點，其余不符合題意，所以事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為，故答案為：.14.已知橢圓，過軸正半軸上一定點作直線，交橢圓于兩點，當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)時，有（為常數(shù)），則定點的坐標為__________，__________.【答案】①.②.6【解析】【分析】設(shè)出和直線的方程，直曲聯(lián)立由韋達定理表示出在由弦長公式表示，然后取解出的坐標和即可；【詳解】設(shè)點，，當(dāng)直線的斜率不為時，設(shè)其方程為，代入橢圓方程并整理可得，，所以，因為當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)時，有（為常數(shù)），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，解得，所以，代入，當(dāng)直線的斜率為0時也成立，經(jīng)檢驗，適合題意.故答案為：；6.【點睛】方法點點睛：直線的斜率不為時，可設(shè)其方程為形式；弦長公式為，可結(jié)合韋達定理快速計算.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.（2）由面積公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周長.【小問1詳解】在中，由及正弦定理，得，而，則，即，化簡得，又，所以.【小問2詳解】由（1）及三角形面積公式，得，解得，由余弦定理得，所以的周長為.16.如圖，中，，過點作，垂足為，將沿翻折至，使得.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）先由勾股定理得到，再由線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立如圖所示空間直角坐標系，再求出平面的一個法向量，最后代入空間線面角的公式求出即可；【小問1詳解】由題意可知，在中，，在中，，所以，所以所以，所以，因為，所以，又，且平面，平面，所以平面，【小問2詳解】由（1）知，以為原點，分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量，所以，令，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）若，求單調(diào)區(qū)間；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）代入f1（2）求導(dǎo)后再次構(gòu)造函數(shù)，分與時再求導(dǎo)，利用單調(diào)性和極值分析即可；【小問1詳解】因為，，所以，所以，所以，所以，令，所以當(dāng)時，f′x<0，為減函數(shù)；當(dāng)x∈0,+∞時，f所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞；【小問2詳解】因為，所以，設(shè)，則，x∈0,+∞，①若，則，則f′x在0,+∞單調(diào)遞增，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，則滿足題意；②若，，，令，所以，又，所以，故，，所以f′x在上單調(diào)遞減，則,所以在上單調(diào)遞減，則，不符合題意，舍去；綜上，實數(shù)的取值范圍為.18.已知雙曲線的焦距為4，離心率為分別為的左?右焦點，兩點都在上.（1）求的方程；（2）若，求直線的方程；（3）若且，求四個點所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)結(jié)合題意可得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，直曲聯(lián)立表示出韋達定理，再結(jié)合得到，解出，即可求出直線方程；（3）結(jié)合已知作出圖象，設(shè)出直線和的方程，由弦長公式表示出弦長，再求出直線與間的距離進而求出，最后求導(dǎo)分析其單調(diào)性再求出取值范圍即可；【小問1詳解】由題意可得，解得，故曲線的方程為，【小問2詳解】根據(jù)題意知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，得，都在右支上，由，消去可得，易知，其中恒成立，，代入，消元得，所以，解得，滿足，所以直線的方程為，【小問3詳解】Ax1,y1,Bx2,y2，，則分別在兩支上，且都在的上方或的下方，不妨設(shè)都在的上方，又，則在第二象限，在第一象限，如圖所示，延長交雙曲線與點，延遲交雙曲線于點，由對稱性可知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2被，由題設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由第（2）問易得，因為，所以，兩條直線與間的距離，所以，令，，所以，設(shè)，則，在上恒為減函數(shù)，所以在上恒為增函數(shù)，當(dāng)時即，取得最小值為12，所以當(dāng)且，求四個點所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍為.【點睛】方法點睛：（1）本題第二問給出向量關(guān)系讓求直線方程時，常用直曲聯(lián)立，表示出韋達定理，再根據(jù)向量關(guān)系求出參數(shù)即可；（2）本題第三問再求四邊形面積的取值范圍時，先由弦長公式表示出一條邊，再由兩平行線間距離公式表示出高，最后再求導(dǎo)分析.19.錯位重排是一種數(shù)學(xué)模型.通常表述為：編號為的封信，裝入編號為的個信封，若每封信和所裝入的信封的編號不同，問有多少種裝法？這種問題就是錯位重排問題.上述問題中，設(shè)封信均被裝錯有種裝法，其中.（1）求；（2）推導(dǎo)之間的遞推關(guān)系，并證明：是等比數(shù)列；（3）請問封信均被裝錯的概率是否大于？并說明理由.（參考公式：）【答案】（1）（2）；證明見解析；（3）答案見解析；【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，由分步計數(shù)原理可得；（2）先將封信分為兩步，再將第二步分為兩類，最后由分步乘法和分類加法計數(shù)原理表示出，最后用等比數(shù)列基本量法即可證明；（3）將（2）的結(jié)果同時除以后變形，再結(jié)合所給展開式分為奇數(shù)和偶數(shù)時分別求出概率即可；【小問1詳解】由題意可得，【小問2詳解】若有封信時，其裝法可分為兩個步驟：第一步：編號為的信，有種裝法；第二步：重裝其余的封信，根據(jù)第一步裝法可分為兩類，第一類，若編號為的信，裝入編號為的信封，，但編號為的信裝入編號為的信封，這樣有種裝法；第二類，若編號為信，裝入編號為的信封，，但編號為的信不裝