北師大版九年級數學下冊2.7二次函數中的新定義問題專項訓練(30道)同步練習(學生版+解析)

專題2.7二次函數中的新定義問題專項訓練（30道）【北師大版】考卷信息：本套訓練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對新定義函數的理解！一．選擇題（共10小題）1．（2022?市中區(qū)校級模擬）定義：在平面直角坐標系中，點P（x，y）的橫、縱坐標的絕對值之和叫做點P（x，y）的勾股值，記[P]＝|x|+|y|．若拋物線y＝ax2+bx+1與直線y＝x只有一個交點C，已知點C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，則t的取值范圍為（）A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019 C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤20212．（2022?市中區(qū)二模）定義：對于已知的兩個函數，任取自變量x的一個值，當x≥0時，它們對應的函數值相等；當x＜0時，它們對應的函數值互為相反數，我們稱這樣的兩個函數互為相關函數．例如：正比例函數y＝x，它的相關函數為y=x(x≥0)?x(x＜0)．已知點M，N的坐標分別為(?12，1)，(92，1)，連結MN，若線段MN與二次函數y＝﹣xA．﹣3≤n≤﹣1或1＜n≤54 B．﹣3＜n＜﹣1或C．﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤54 D．﹣3≤n3．（2022?青秀區(qū)校級一模）新定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數y＝x2﹣x+c（c為常數）在﹣2＜x＜4的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（）A．﹣2＜c＜14 B．﹣4＜c＜94 C．﹣4＜c＜4．（2022秋?漢陽區(qū)期中）我們定義：若點A在某一個函數的圖象上，且點A的橫縱坐標相等，我們稱點A為這個函數的“好點”．若關于x的二次函數y＝ax2+tx﹣2t對于任意的常數t恒有兩個“好點”，則a的取值范圍為（）A．0＜a＜1 B．0＜a＜12 C．135．（2022秋?和平區(qū)校級月考）對于實數a，b，定義運算“*”：a*b=a2?ab(a≥b)b2?ab(a＜b)，例如：4*2，因為4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若函數①方程（2x）*（x+1）＝0的解為﹣1和1；②關于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三個解，則0＜m≤1；③當x＞1時，y隨x的增大而增大；④直線y＝kx﹣k與函數y＝（2x）*（x+1）圖象只有一個交點，則k＝﹣2；⑤當x＜1時，函數y＝（2x）*（x+1）的最大值為1．其中正確結論的序號有（）A．②④⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．①③⑤6．（2022?萊蕪區(qū)二模）定義：平面直角坐標系中，點P（x，y）的橫坐標x的絕對值表示為|x|，縱坐標y的絕對值表示為|y|，我們把點P（x，y）的橫坐標與縱坐標的絕對值之和叫做點P（x，y）的折線距離，記為|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四則運算中的加法），若拋物線y＝ax2+bx+1與直線y＝x只有一個交點M，已知點M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，則t的取值范圍為（）A．2018≤t≤2019 B．2019≤t≤2020 C．2020≤t≤2021 D．2021≤t≤20227．（2022?岳陽模擬）在平面直角坐標系中，對于點P（m，n）和點P′（m，n′），給出如下新定義，若n'=|n|(當m＜0時)n?2(當m≥0時)，則稱點P′（m，n′）是點P（m，n）的限變點，例如：點P1（1，4）的限變點是P′1（1，2），點P2（﹣2，﹣1）的限變點是P′2（﹣2，1），若點P（m，n）在二次函數y＝﹣x2+4x+1的圖象上，則當﹣1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標A．﹣1≤n'＜3 B．1≤n'＜4 C．1≤n'≤3 D．﹣1≤n'≤48．（2022?自貢模擬）定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖，直線l：y=13x+b經過點M（0，14），一組拋物線的頂點B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n為正整數），依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n為正整數）．若x1＝d（0＜dA．512或712 B．512或1112 C．7129．（2022秋?諸暨市期中）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數的二次函數稱為“互異二次函數”．如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值之差為（）A．5 B．7+172 C．4 10．（2022秋?亳州月考）定義：在平面直角坐標系中，過一點P分別作坐標軸的垂線，這兩條垂線與坐標軸圍成一個矩形，若矩形的周長值與面積值相等，則點P叫做和諧點，所圍成的矩形叫做和諧矩形．已知點P是拋物線y＝x2+k上的和諧點，所圍成的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（）A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18二．填空題（共10小題）11．（2022?蘆淞區(qū)模擬）定義[a，b，c]為函數y＝ax2+bx+c的特征數，下面給出特征數位[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數的一些結論：①當m＝﹣3時，函數圖象的頂點坐標是（13，8②當m＝1時，函數圖象截x軸所得的線段長度等于2；③當m＝﹣1時，函數在x＞14時，y隨④當m≠0時，函數圖象經過同一個點．上述結論中所有正確的結論有．（填寫所有正確答案的序號）（2022秋?浦東新區(qū)期末）定義：直線與拋物線兩個交點之間的距離稱作拋物線關于直線的“割距”，如圖，線段MN長就是拋物線關于直線的“割距”．已知直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，點B恰好是拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n的頂點，則此時拋物線關于直線y的割距是．13．（2022?宣州區(qū)校級自主招生）對某一個函數給出如下定義：若存在實數m＞0，對于任意的函數值y，都滿足﹣m≤y≤m，則稱這個函數是有界函數，在所有滿足條件的m中，其最小值稱為這個函數的邊界值．例如，如圖中的函數是有界函數，其邊界值是1．將函數y＝﹣x2+1（﹣2≤x≤t，t≥0）的圖象向上平移t個單位，得到的函數的邊界值n滿足94≤n≤52時，則14．（2022秋?德清縣期末）定義：在平面直角坐標系中，我們將橫、縱坐標都是整數的點稱為“整點”．若拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3與x軸圍成的區(qū)域內（不包括拋物線和x軸上的點）恰好有8個“整點”，則a的取值范圍是．15．（2022秋?鄞州區(qū)校級期末）定義：在平面直角坐標系中，若點A滿足橫、縱坐標都為整數，則把點A叫做“整點”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整點”．當拋物線y＝ax2﹣4ax+1與其關于x軸對稱的拋物線圍成的封閉區(qū)域內（包括邊界）共有9個整點時，a的取值范圍．16．（2022秋?思明區(qū)校級期中）在直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=y(x≥0)?y(x＜0)，則稱點Q為點請問：若點P在函數y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16＜y′≤16，則實數a的取值范圍是．17．（2022?徐匯區(qū)模擬）定義：將兩個不相交的函數圖象在豎直方向上的最短距離稱為這兩個函數的“和諧值”．如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與拋物線y＝（x﹣1）2+1的“和諧值”為2，試寫出一個符合條件的函數解析式：．18．（2022?二道區(qū)校級模擬）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數的二次函數稱為“互異二次函數”．如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有公共點時m的最大值是．19．（2022?郫都區(qū)模擬）定義：由a，b構造的二次函數y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函數y＝ax+b的“滋生函數”，一次函數y＝ax+b叫做二次函數y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函數”（a，b為常數，且a≠0）．若一次函數y＝ax+b的“滋生函數”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函數y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函數”是．20．（2022?亭湖區(qū)校級開學）定義{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值為a，b，c的中位數，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函數y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}與直線y=13x+b有3個交點時，則b的值為三．解答題（共10小題）21．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）定義：若一個函數的圖象上存在橫、縱坐標之和為零的點，則稱該點為這個函數圖象的“好點”．例如，點（﹣1，1）是函數y＝x+2的圖象的“好點”．（1）在函數①y＝﹣x+3，②y=3x③y＝x2+2x+1的圖象上，存在“好點”的函數是（2）設函數y=?4x（x＜0）與y＝kx+3的圖象的“好點”分別為點A、B，過點A作AC⊥y軸，垂足為C．當△ABC為等腰三角形時，求（3）若將函數y＝x2+2x的圖象在直線y＝m下方的部分沿直線y＝m翻折，翻折后的部分與圖象的其余部分組成了一個新的圖象．當該圖象上恰有3個“好點”時，求m的值．22．（2022春?荷塘區(qū)校級期中）如圖1，若關于x的二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數且a＜0）與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），與y軸交于點C，拋物線的頂點為M，O是坐標原點．（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．①求此二次函數圖象的頂點M的坐標；②定義：若點G在某一個函數的圖象上，且點G的橫縱坐標相等，則稱點G為這個函數的“好點”．求證：二次函數y＝ax2+bx+c有兩個不同的“好點”．（2）如圖2，連接MC，直線MC與x軸交于點P，滿足∠PCA＝∠PBC，且tan∠PBC=12，△PBC23．（2022春?海門市期中）定義：在平面直角坐標系xOy中，若某函數的圖象上存在點P（x，y），滿足y＝mx+m，m為正整數，則稱點P為該函數的“m倍點”．例如：當m＝2時，點（﹣2，﹣2）即為函數y＝3x+4的“2倍點”．（1）在點A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中，是函數y=6（2）若函數y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍點”，求b的值；（3）若函數y＝﹣x+2m+1的“m倍點”在以點（0，10）為圓心，半徑長為2m的圓外，求m的所有值．24．（2022?費縣一模）定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”，例如，點（2，2）是函數y＝2x﹣2的圖象的“等值點”．（1）分別判斷函數y=5（2）寫出函數y＝﹣x2+2的等值點坐標；（3）若函數y＝﹣x2+2（x≤m）的圖象記為W1，將其沿直線x＝m翻折后的圖象記為W2．當W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，請寫出m的取值范圍．25．（2022春?武侯區(qū)校級月考）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣5）．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，作出如下定義：對于矩形DEFG，其邊長EF＝1，DE＝2k（k為常數，且k＞0），其矩形長和寬所在直線平行于坐標軸，矩形可以在平面內自由的平移，且EG所在直線與拋物線無交點，則稱該矩形在“游走”，每一個位置對應的矩形稱為“懸浮矩形”；對與每一個“懸浮矩形”，若拋物線上有一點P，使得△PEG的面積最小，則稱點P是該“懸浮矩形”的核心點．①請說明“核心點”P不隨“懸浮矩形”的“游走”而變化，并求出“核心點”P的坐標（用k表示）；②若k＝1，DF所在直線與拋物線交于點M和N（M在N的右側），是否存在這樣的“懸浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“懸浮矩形”中對角線DF所在直線的表達式；若不存在，說明理由．v26．（2022?武侯區(qū)模擬）【閱讀理解】定義：在平面直角坐標系xOy中，點P為拋物線C的頂點，直線l與拋物線C分別相交于M，N兩點（其中點M在點N的右側），與拋物線C的對稱軸相交于點Q，若記S（l，C）＝PQ?MN，則稱S（l，C）是直線l與拋物線C的“截積”．【遷移應用】根據以上定義，解答下列問題：如圖，若直線l的函數表達式為y＝x+2．（1）若拋物線C的函數表達式為y＝2x2﹣1，分別求出點M，N的坐標及S（l，C）的值；（2）在（1）的基礎上，過點P作直線l的平行線l'，現(xiàn)將拋物線C進行平移，使得平移后的拋物線C'的頂點P′落在直線l'上，試探究S（l，C'）是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）設拋物線C的函數表達式為y＝a（x﹣h）2+k，若S（l，C）＝62，MN＝42，且點P在點Q的下方，求a的值．27．（2022?南關區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，對于點P給出如下定義：若點P到兩坐標軸的距離之和等于3，則稱點P為三好點．（1）在點R（0，﹣3），S（1，2），T（6，﹣3）中，屬于三好點的是（填寫字母即可）；（2）若點A在x軸正半軸上，且點A為三好點，直線y＝2x+b經過點A，求該直線與坐標軸圍成的三角形的面積；（3）若直線y＝a（a＞0）與拋物線y＝x2﹣x﹣2的交點為點M，N，其中點M為三好點，求點M的坐標；（4）若在拋物線y＝﹣x2﹣nx+2n上有且僅有兩個點為三好點，直接寫出n的取值范圍．28．（2022秋?長沙期中）定義：在平面直角坐標系中，圖形G上的點P（x，y）的橫坐標x和縱坐標y的和x+y稱為點P的“橫縱和”，而圖形G上所有點的“橫縱和”中最小的值稱為圖形的“極小和”．（1）拋物線y＝x2﹣2x﹣2的圖象上點P（1，﹣3）的“橫縱和”是；該拋物線的“極小和”是．（2）記拋物線y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“極小和”為s，若﹣2021≤s≤﹣2020，求m的取值范圍．（3）已知二次函數y＝x2+bx+c（c≠0）的圖象上的點A（m2，2c）和點C（0，c29．（2022?泰興市二模）定義：在平面直角坐標系xOy中，若P、Q的坐標分別為（x1，y1）、Q（x2，y2），則稱|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為若P、Q的“絕對距離”，表示為dPQ．【概念理解】（1）一次函數y＝﹣2x+6圖象與x軸、y軸分別交于A、B點．①dAB為；②點N為一次函數y＝﹣2x+6圖象在第一象限內的一點，dAN＝5，求N的坐標；③一次函數y=x+32的圖象與y軸、AB分別交于C、D點，P為線段CD上的任意一點，試說明：dAP＝d【問題解決】（2）點P（1，2）、Q（a，b）為二次函數y＝x2﹣mx+n圖象上的點，且Q在P的右邊，當b＝2時，dPQ＝4．若b＜2，求dPQ的最大值；（3）已知P的坐標為（1，1），點Q為反比例函數y=3x（x＞0）圖象上一點，且Q在P的右邊，dPQ＝2，試說明滿足條件的點30．（2022?開福區(qū)校級一模）定義：當x取任意實數，函數值始終不小于一個常數時，稱這個函數為“恒心函數”，這個常數稱為“恒心值”．（1）判斷：函數y＝x2+2x+2是否為“恒心函數”，如果是，求出此時的“恒心值”，如果不是，請說明理由；（2）已知“恒心函數”y＝3|ax2+bx+c|+2．①當a＞0，c＜0時，此時的恒心值為；②若三個整數a、b、c的和為12，且ba=cb，求a的最大值與最小值，并求出此時相應的專題2.7二次函數中的新定義問題專項訓練（30道）【北師大版】考卷信息：本套訓練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對新定義函數的理解！一．選擇題（共10小題）1．（2022?市中區(qū)校級模擬）定義：在平面直角坐標系中，點P（x，y）的橫、縱坐標的絕對值之和叫做點P（x，y）的勾股值，記[P]＝|x|+|y|．若拋物線y＝ax2+bx+1與直線y＝x只有一個交點C，已知點C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，則t的取值范圍為（）A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019 C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021【分析】聯(lián)立方程組求得C點坐標，并由只有一個交點條件求得a、b的關系式，再由新定義和2≤[C]≤4列出b的不等式，求得b的取值范圍，由t＝2b2﹣4a+2020，得出t關于b的函數解析式，再根據函數的性質求得t的取值范圍．【解答】解：由題意方程組y=xy=a消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0，由題意得Δ＝0，∴（b﹣1）2﹣4a＝0，∴4a＝（b﹣1）2，即a=1∴方程ax2+（b﹣1）x+1＝0可以化為14即（b﹣1）2x2+4（b﹣1）x+4＝0，∴x1＝x2=2∴C（21?b，2∵點C在第一象限，∴1﹣b＞0，∵2≤[C]≤4，∴2≤|2∴1≤2解得：﹣1≤b≤0，∵t＝2b2﹣4a+2020，∴t＝2b2﹣（b﹣1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，∵﹣1≤b≤0，∴t隨b的增大而增大，∵b＝﹣1時，t＝2018，t＝0時，t＝2019，∴2018≤t≤2019．2．（2022?市中區(qū)二模）定義：對于已知的兩個函數，任取自變量x的一個值，當x≥0時，它們對應的函數值相等；當x＜0時，它們對應的函數值互為相反數，我們稱這樣的兩個函數互為相關函數．例如：正比例函數y＝x，它的相關函數為y=x(x≥0)?x(x＜0)．已知點M，N的坐標分別為(?12，1)，(92，1)，連結MN，若線段MN與二次函數y＝﹣xA．﹣3≤n≤﹣1或1＜n≤54 B．﹣3＜n＜﹣1或C．﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤54 D．﹣3≤n【分析】首先確定出二次函數y＝﹣x2+4x+n的相關函數與線段MN恰好有1個交點、2個交點、3個交點時n的值，然后結合函數圖象可確定出n的取值范圍．【解答】解：如圖1所示：線段MN與二次函數y＝﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有1個公共點，∵二次函數y＝﹣x2+4x+n的對稱軸為x=?4∴當x＝2時，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，如圖2所示：線段MN與二次函數y＝﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰好3個公共點．∵拋物線y＝x2﹣4x﹣n與y軸交點縱坐標為1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1；∴當﹣3＜n≤﹣1時，線段MN與二次函數y＝﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有2個公共點，如圖3所示：線段MN與二次函數y＝﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有3個公共點．∵拋物線y＝﹣x2+4x+n經過點（0，1），∴n＝1，如圖4所示：線段MN與二次函數y＝﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有2個公共點．∵拋物線y＝x2﹣4x﹣n經過點M（?1∴14+2﹣n＝1，解得：n∴1≤n≤54時，線段MN與二次函數y＝﹣x2+4x+綜上所述，n的取值范圍是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤53．（2022?青秀區(qū)校級一模）新定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數y＝x2﹣x+c（c為常數）在﹣2＜x＜4的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（）A．﹣2＜c＜14 B．﹣4＜c＜94 C．﹣4＜c＜【分析】由點的縱坐標是橫坐標的2倍可得二倍點在直線y＝2x上，由﹣2＜x＜4可得二倍點所在線段AB的端點坐標，結合圖象，通過求拋物線與線段交點求解．【解答】解：由題意可得二倍點所在直線為y＝2x，將x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4，將x＝4代入y＝2x得y＝8，設A（﹣2，﹣4），B（4，8），如圖，聯(lián)立方程x2﹣x+c＝2x，當Δ＞0時，拋物線與直線y＝2x有兩個交點，即9﹣4c＞0，解得c＜9此時，直線x＝﹣2和直線x＝4與拋物線交點在點A，B上方時，拋物線與線段AB有兩個交點，把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c，把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c，∴6+c＞?412+c＞8解得c＞﹣4，∴﹣4＜c＜94．（2022秋?漢陽區(qū)期中）我們定義：若點A在某一個函數的圖象上，且點A的橫縱坐標相等，我們稱點A為這個函數的“好點”．若關于x的二次函數y＝ax2+tx﹣2t對于任意的常數t恒有兩個“好點”，則a的取值范圍為（）A．0＜a＜1 B．0＜a＜12 C．13【分析】“好點”A的橫縱坐標相等，即：x＝y(tǒng)＝ax2+tx﹣2t（a≠0），△＝（t﹣1）2+8at＞0，整理得：t2﹣（2﹣8a）t+1＝0，△′＝（2﹣8a）2﹣4＜0，即可求解．【解答】解：“好點”A的橫縱坐標相等，即：x＝y(tǒng)＝ax2+tx﹣2t（a≠0），Δ＝b2﹣4ac＝（t﹣1）2+8at＞0，整理得：t2﹣（2﹣8a）t+1＞0，∵1＞0，故當△′＜0時，拋物線開口向上，且與x軸沒有交點，故上式成立，△′＝（2﹣8a）2﹣4＜0，解得：0＜a＜15．（2022秋?和平區(qū)校級月考）對于實數a，b，定義運算“*”：a*b=a2?ab(a≥b)b2?ab(a＜b)，例如：4*2，因為4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若函數①方程（2x）*（x+1）＝0的解為﹣1和1；②關于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三個解，則0＜m≤1；③當x＞1時，y隨x的增大而增大；④直線y＝kx﹣k與函數y＝（2x）*（x+1）圖象只有一個交點，則k＝﹣2；⑤當x＜1時，函數y＝（2x）*（x+1）的最大值為1．其中正確結論的序號有（）A．②④⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．①③⑤【分析】①根據題意，2x≥x+1時，（2x）*（x+1）＝2x2﹣2x，2x＜x+1時，（2x）*（x+1）＝﹣x2+1，分別求解即可；②由①可知，畫出函數圖象，數形結合即可求解；③x＝1時，y＝0，結合圖象可知，當x＞1時，y隨x的增大而增大；④先求出函數與y＝kx﹣k有一個交點時k的取值，再結合函數圖象可知，當k≤﹣2時，直線y＝kx﹣k與函數y＝（2x）*（x+1）圖象只有一個交點；⑤當x＝0時，函數有最大值1，由此可得⑤正確．【解答】解：①由題意得：當2x≥x+1，即x≥1，（2x）*（x+1）＝（2x）2﹣2x（x+1）＝4x2﹣2x2﹣2x＝2x2﹣2x，∴2x2﹣2x＝0的解為x＝0或x＝1，∴x＝1；當2x＜x+1，即x＜1，（2x）*（x+1）＝（x+1）2﹣2x（x+1）＝x2+1+2x﹣2x2﹣2x＝﹣x2+1．∴﹣x2+1＝0，∴x＝1或x＝﹣1，∴x＝﹣1，故①正確；②由①可知，x≥1，（2x）*（x+1）＝2x2﹣2x，x＜1，（2x）*（x+1）＝﹣x2+1，如圖，0＜m＜1時，關于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三個解，故②不正確；③由②函數圖象可知，x＝1時，y＝0，結合圖象可知，當x＞1時，y隨x的增大而增大，故③正確；④當y＝kx﹣k經過定點（1，0），kx﹣k＝﹣x2+1時，Δ＝（k+2）2＝0，∴k＝﹣2，當k≤﹣2時，直線y＝kx﹣k與函數y＝（2x）*（x+1）圖象只有一個交點，故④不正確；⑤當x＜1時，函數（2x）*（x+1）＝﹣x2+1，當x＝0時，函數有最大值1，∴當x＜1時，函數y＝（2x）*（x+1）的最大值為1．故⑤正確；故選：D．6．（2022?萊蕪區(qū)二模）定義：平面直角坐標系中，點P（x，y）的橫坐標x的絕對值表示為|x|，縱坐標y的絕對值表示為|y|，我們把點P（x，y）的橫坐標與縱坐標的絕對值之和叫做點P（x，y）的折線距離，記為|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四則運算中的加法），若拋物線y＝ax2+bx+1與直線y＝x只有一個交點M，已知點M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，則t的取值范圍為（）A．2018≤t≤2019 B．2019≤t≤2020 C．2020≤t≤2021 D．2021≤t≤2022【分析】根據二次函數圖象性質直接判斷．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+1與直線y＝x只有一個交點M，∴方程組y=xy=a消去y得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，∴Δ＝（b﹣1）2﹣4a＝0，∴a=14（b﹣1）∴ax2+（b﹣1）x+1＝0可化為：14（b﹣1）2x2+（b﹣1）x∴[（b﹣1）x+2]2＝0，∴x1＝x2=2∴M（21?b，2∵M在第一象限，∴1﹣b＞0，∴b＜1．∵2≤|M|≤4，∴1≤|21?b∴1≤2∴﹣1≤b≤0，|∴t＝2b2﹣4a+2022＝2b2﹣（b﹣1）2+2022＝（b+1）2+2020，∵﹣1≤b＜0，拋物線開口向下，對稱軸是b＝﹣1，∴t隨b的增大而增大，∴2020≤t≤2021．7．（2022?岳陽模擬）在平面直角坐標系中，對于點P（m，n）和點P′（m，n′），給出如下新定義，若n'=|n|(當m＜0時)n?2(當m≥0時)，則稱點P′（m，n′）是點P（m，n）的限變點，例如：點P1（1，4）的限變點是P′1（1，2），點P2（﹣2，﹣1）的限變點是P′2（﹣2，1），若點P（m，n）在二次函數y＝﹣x2+4x+1的圖象上，則當﹣1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標A．﹣1≤n'＜3 B．1≤n'＜4 C．1≤n'≤3 D．﹣1≤n'≤4【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據函數新定義分類討論m＜0和m≥0時n′的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+4x+1，∴拋物線對稱軸為直線x＝2，開口向下，∴x＜2時，y隨x增大而增大，x＞2時，y隨x增大而減小，∵點P（m，n）在二次函數y＝﹣x2+4x+1的圖象上，∴n＝﹣m2+4m+1，∴﹣1≤m＜0時，n′＝|﹣m2+4m+1|，將m＝﹣1代入n＝﹣m2+4m+1得n＝﹣4，∴m＝﹣1時，n′＝4，將m＝0代入n＝﹣m2+4m+1得n＝1，∵﹣4＜0＜1，∴﹣1≤m＜0時，0≤n′≤4，當m≥0時，n′＝n﹣2＝﹣m2+4m﹣1，將m＝0代入n′＝﹣m2+4m﹣1得n′＝﹣1，將m＝2代入n′＝﹣m2+4m﹣1得n′＝3，∴當m≥0時，﹣1≤n′≤3，綜上所述，﹣1≤≤n′≤4，故選：D．8．（2022?自貢模擬）定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖，直線l：y=13x+b經過點M（0，14），一組拋物線的頂點B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n為正整數），依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n為正整數）．若x1＝d（0＜dA．512或712 B．512或1112 C．712【分析】由拋物線的對稱性可知，所構成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的定點縱坐標必定小于1．【解答】解：直線l：y=13x+b經過點M（0，14），則∴直線l：y=13x由拋物線的對稱性知：拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的直角三角形必為等腰直角三角形；∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半．∵0＜d＜1，∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點縱坐標小于1）；∵當x＝1時，y1=13×當x＝2時，y2=13×當x＝3時，y3=13×∴美麗拋物線的頂點只有B1、B2．①若B1為頂點，由B1（1，712），則d＝1?②若B2為頂點，由B2（2，1112），則d＝1﹣[（2?1112綜上所述，d的值為512或119．（2022秋?諸暨市期中）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數的二次函數稱為“互異二次函數”．如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值之差為（）A．5 B．7+172 C．4 【分析】畫出圖象，從圖象可以看出，當函數圖象從左上向右下運動時，當跟正方形有交點時，先經過點A，再逐漸經過點O，點B，點C，最后再經過點B，且在運動的過程中，兩次經過點A，兩次經過點O，點B和點C，只需算出當函數經過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．【解答】解：如圖，由題意可得，互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m的頂點（m，﹣m）在直線y＝﹣x上運動，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），∴B（2，2），從圖象可以看出，當函數圖象從左上向右下運動時，若拋物線與正方形有交點，先經過點A，再逐漸經過點O，點B，點C，最后再經過點B，且在運動的過程中，兩次經過點A，兩次經過點O，點B和點C，∴只需算出當函數經過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．當互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m經過點A（0，2）時，m＝2或m＝﹣1；當互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m經過點B（2，2）時，m=5?172或∴互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是5+17∴最大值和最小值之差為5+172?10．（2022秋?亳州月考）定義：在平面直角坐標系中，過一點P分別作坐標軸的垂線，這兩條垂線與坐標軸圍成一個矩形，若矩形的周長值與面積值相等，則點P叫做和諧點，所圍成的矩形叫做和諧矩形．已知點P是拋物線y＝x2+k上的和諧點，所圍成的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（）A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18【分析】根據和諧點的定義與二次函數的性質列出m，n的方程，求解m，n即可．【解答】解：∵點P（m，n）是拋物線y＝x2+k上的點，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，∴點P（m，n）是和諧點，對應的和諧矩形的面積為16，∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，當n≥0時，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；當n＜0時，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20；二．填空題（共10小題）11．（2022?蘆淞區(qū)模擬）定義[a，b，c]為函數y＝ax2+bx+c的特征數，下面給出特征數位[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數的一些結論：①當m＝﹣3時，函數圖象的頂點坐標是（13，8②當m＝1時，函數圖象截x軸所得的線段長度等于2；③當m＝﹣1時，函數在x＞14時，y隨④當m≠0時，函數圖象經過同一個點．上述結論中所有正確的結論有①②④．（填寫所有正確答案的序號）【分析】①把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；②令函數值為0，求得與x軸交點坐標，利用兩點間距離公式解決問題；③首先求得對稱軸，利用二次函數的性質解答即可；④根據特征數的特點，直接得出x的值，進一步驗證即可解答．【解答】解：因為函數y＝ax2+bx+c的特征數為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；①當m＝﹣3時，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x?13）2+83，頂點坐標是（②當m＝1時，y＝2x2﹣2，令y＝0，則有2x2﹣2＝0，解得，x1＝1，x2＝﹣1，|x2﹣x1|＝2，所以當m＝1時，函數圖象截x軸所得的線段長度等于2，此結論正確；③當m＝﹣1時，y＝﹣2x2+2x，是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是直線x=?b2a=?22×(?2)=12，在對稱軸的右邊y④當x＝1時，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0即對任意m，函數圖象都經過點（1，0）那么同樣的：當m＝0時，函數圖象都經過同一個點（1，0），當m≠0時，函數圖象經過同一個點（1，0），故當m≠0時，函數圖象經過x軸上一個定點此結論正確．根據上面的分析，①②④都是正確的，③是錯誤的．故答案為：①②④．12．（2022秋?浦東新區(qū)期末）定義：直線與拋物線兩個交點之間的距離稱作拋物線關于直線的“割距”，如圖，線段MN長就是拋物線關于直線的“割距”．已知直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，點B恰好是拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n的頂點，則此時拋物線關于直線y的割距是2．【分析】根據直線y＝﹣x+3，可以求出該直線與y軸的交點，從而可以得到點B的坐標，再根據點B恰好是拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n的頂點，即可得到m、n的值，然后將拋物線與直線建立平面直角坐標系，求出它們的交點，即可求得拋物線關于直線y的割距．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，∴當x＝0時，y＝3，∴點B的坐標為（0，3），∵點B恰好是拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n的頂點，∴m＝0，n＝3，∴拋物線y＝﹣x2+3，y=?x+3y=?解得x=0y=3或x=1∴拋物線與直線y的交點為（0，3），（1，2），∴此時拋物線關于直線y的割距是：(1?0)故答案為：2．13．（2022?宣州區(qū)校級自主招生）對某一個函數給出如下定義：若存在實數m＞0，對于任意的函數值y，都滿足﹣m≤y≤m，則稱這個函數是有界函數，在所有滿足條件的m中，其最小值稱為這個函數的邊界值．例如，如圖中的函數是有界函數，其邊界值是1．將函數y＝﹣x2+1（﹣2≤x≤t，t≥0）的圖象向上平移t個單位，得到的函數的邊界值n滿足94≤n≤52時，則t的取值范圍是12≤t≤【分析】根據題干定義可得函數最大值94≤y≤52或函數最小值?52≤y≤?94，由t＞0可得函數最大值為【解答】解：由題干可得函數y＝﹣x2+1+t在﹣2≤x≤t時，函數最大值或最小值為n，94≤n∵t＞0，拋物線y＝﹣x2+1+t開口向下，頂點坐標為（0，1+t），∴1+t為函數最大值，當1+t=52時，t∴0＜t≤3當t＝2時，直線x＝﹣2與直線x＝t與拋物線交點關于對稱軸對稱，∴0＜t≤32時，直線把x＝﹣2代入y＝﹣x2+1+t得y＝﹣3+t，當﹣3+t=?52時，t∴t≥1當94≤1+t≤52時，當?52≤?3+t≤?94∴12≤t≤34或故答案為：12≤t≤34或14．（2022秋?德清縣期末）定義：在平面直角坐標系中，我們將橫、縱坐標都是整數的點稱為“整點”．若拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3與x軸圍成的區(qū)域內（不包括拋物線和x軸上的點）恰好有8個“整點”，則a的取值范圍是?12＜a【分析】如圖所示，a＜0，圖象實心點為8個“整點”，則符合條件的拋物線過點A、B之間（含點B），即可求解．【解答】解：y＝ax2﹣2ax+a+3＝a（x﹣1）2+3，故拋物線的頂點為：（1，3）；如圖所示，a＜0，圖象實心點為8個“整點”，則符合條件的拋物線過點A、B之間（含點B），當拋物線過點A（3，1）時，將點A的坐標代入拋物線表達式并解得：a=?1當拋物線過點（2，2）時，則2＝a（2﹣1）2+3，解得：a＝﹣1；當拋物線過點（3，2）時，同理可得：a=?同理當拋物線過點B（4，1）時，a=?2故答案為：?12＜15．（2022秋?鄞州區(qū)校級期末）定義：在平面直角坐標系中，若點A滿足橫、縱坐標都為整數，則把點A叫做“整點”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整點”．當拋物線y＝ax2﹣4ax+1與其關于x軸對稱的拋物線圍成的封閉區(qū)域內（包括邊界）共有9個整點時，a的取值范圍23≤a＜【分析】通過拋物線的解析式可得對稱軸為x＝2，過點（0，1），對a分情況討論，分別求解即可．【解答】解：由y＝ax2﹣4ax+1可得，其圖象對稱軸為直線x＝2，且其圖象必過點（0，1），當a＜0時，此時整點有（0，0）（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），...，等等，顯然超過9個，∴a＜0不符合題意，舍去；當a＞0時，若過點（1，﹣1）時，則﹣1＝a﹣4a+1，解得a=2若過點（2，﹣2）時，則﹣2＝4a﹣8a+1，解得a=3∴23≤a故答案為：23≤a16．（2022秋?思明區(qū)校級期中）在直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=y(x≥0)?y(x＜0)，則稱點Q為點請問：若點P在函數y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16＜y′≤16，則實數a的取值范圍是7≤a＜42【分析】本題先理解定義，依據題意畫出函數圖象即可求解．【解答】解：依題意，y＝﹣x2+16圖象上的點P的“可控變點”必在函數y′=?當x＝﹣5時，y＝25﹣16＝9，當y＝9時，x2＝7，∵x＞0，∴x=∵﹣16≤y′≤16，當y′＝16，代入y′=?x2+16(x≥0)x當y＝﹣16，代入上式得：x＝42，若a＜42，則y取不到﹣16；當a＞42，則y取值超過范圍；故7≤a＜4217．（2022?徐匯區(qū)模擬）定義：將兩個不相交的函數圖象在豎直方向上的最短距離稱為這兩個函數的“和諧值”．如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與拋物線y＝（x﹣1）2+1的“和諧值”為2，試寫出一個符合條件的函數解析式：y＝x2﹣2x+4．【分析】拋物線y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2個單位求解．【解答】解：將拋物線y＝（x﹣1）2+1向上平移2個單位可得拋物線y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，故答案為：y＝x2﹣2x+4．18．（2022?二道區(qū)校級模擬）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數的二次函數稱為“互異二次函數”．如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有公共點時m的最大值是5+172【分析】根據拋物線頂點坐標可得拋物線頂點的運動軌跡，從而可得當拋物線經過點B時m取最大值，進而求解．【解答】解：∵y＝（x﹣m）2﹣m，∴拋物線頂點坐標為（m，﹣m），∴拋物線頂點在直線y＝﹣x上，∵四邊形AOBC為正方形，∴點B坐標為（2，2），點A（0，2），點C（2，0），如圖，當拋物線經過點B時，m取最大值，將（2，2）代入y＝（x﹣m）2﹣m得2＝（2﹣m）2﹣m，解得m=5+172或故答案為：5+1719．（2022?郫都區(qū)模擬）定義：由a，b構造的二次函數y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函數y＝ax+b的“滋生函數”，一次函數y＝ax+b叫做二次函數y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函數”（a，b為常數，且a≠0）．若一次函數y＝ax+b的“滋生函數”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函數y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函數”是y＝﹣2x﹣1．【分析】根據“滋生函數”的定義可得ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，從而可得關于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值，進而求解．【解答】解：∵y＝ax+b的“滋生函數”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即a+b=?3b=a+1解得a=?2b=?1∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函數”是y＝﹣2x﹣1，故答案為：y＝﹣2x﹣1．20．（2022?亭湖區(qū)校級開學）定義{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值為a，b，c的中位數，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函數y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}與直線y=13x+b有3個交點時，則b的值為73或【分析】畫出函數的數y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的圖象，觀察圖象，利用圖象法解決問題即可．【解答】解：由題意：函數y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的圖象如圖所示（圖中實線）．由圖象可得，當直線y=13x+b經過點A和點B時，函數y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}與直線y=13令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），∴A（﹣1，2），令x+3＝﹣x+2，解得x=?1∴B（?12，當直線y=13x+b經過點A時，13×（﹣1）+b當直線y=13x+b經過點B時，13×（?12）+故答案為：73或8聲三．解答題（共10小題）21．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）定義：若一個函數的圖象上存在橫、縱坐標之和為零的點，則稱該點為這個函數圖象的“好點”．例如，點（﹣1，1）是函數y＝x+2的圖象的“好點”．（1）在函數①y＝﹣x+3，②y=3x③y＝x2+2x+1的圖象上，存在“好點”的函數是（2）設函數y=?4x（x＜0）與y＝kx+3的圖象的“好點”分別為點A、B，過點A作AC⊥y軸，垂足為C．當△ABC為等腰三角形時，求（3）若將函數y＝x2+2x的圖象在直線y＝m下方的部分沿直線y＝m翻折，翻折后的部分與圖象的其余部分組成了一個新的圖象．當該圖象上恰有3個“好點”時，求m的值．【分析】（1）判斷y＝﹣x與各個函數圖像是否有公共點即可；（2）先得出y=?4x的“好點”，從而得出AC的長，在y＝﹣x上的點B，使得AB＝AC，從而求得點B坐標，將B點坐標代入y＝kx+3求得（3）折疊前的拋物線上有兩個“好點”，所以折疊后的拋物線上有一個“好點”即可，即y＝﹣x與折疊后拋物線只有一個公共點，從而求得折疊后的拋物線解析式，進一步求得結果．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，∴y+x＝3，∴①不是“好點”的函數，∵y=3x，∴xy＝3＞0∴x+y≠0，∴②不是“好點”的函數，∵y=x∴x2+3x+1＝0，∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，∴方程組有解，∴③是“好點”的函數，故答案為：③；（2）∵y=?4xx+y=0∴x=?2y=2∴A（﹣2，2），由題意得，當△ABC為等腰三角形時，只有AB＝AC＝2，∵y＝﹣x，∴B（x，﹣x），∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，∴x1=2?2，x2當x=2?2時，y∴（2?2）k+3=?∴k=3當x=?2?2時，y∴（?2?2）k+3∴k=?3∴k=±3（3）設翻折后的拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+k，∵y＝x2+2x的圖像上有兩個“好點”：（0，0）和（﹣3，0），當y＝﹣x2﹣2x+k上有一個“好點”時，把y＝﹣x代入得，﹣x＝﹣x2﹣2x+k，化簡整理得，x2+x﹣k＝0，∵Δ＝1+4k＝0，∴k=?1∴y＝﹣x2﹣2x?1由y=x2y=?1∴y=?1∴m=?1當（0，0）在y＝﹣x2﹣2x+k上時，此時﹣x2﹣2x＝﹣x，x＝0或x＝﹣1，這時也有三個“好點”：（﹣3，﹣3），（0，0），（﹣1﹣1），∴m=?122．（2022春?荷塘區(qū)校級期中）如圖1，若關于x的二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數且a＜0）與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），與y軸交于點C，拋物線的頂點為M，O是坐標原點．（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．①求此二次函數圖象的頂點M的坐標；②定義：若點G在某一個函數的圖象上，且點G的橫縱坐標相等，則稱點G為這個函數的“好點”．求證：二次函數y＝ax2+bx+c有兩個不同的“好點”．（2）如圖2，連接MC，直線MC與x軸交于點P，滿足∠PCA＝∠PBC，且tan∠PBC=12，△PBC【分析】（1）①利用配方法可得頂點M的坐標；②根據x＝y(tǒng)列方程，計算Δ＞0可得結論；（2）由tan∠PBC=12，點C的坐標為（0，c），則BO＝2c，點B坐標為（2c，0），利用一元二次方程根與系數的關系：x1?x2=ca，可得x1?2c=ca，求出x1=12a，標表示出點A坐標為（12a，0），由頂點坐標M（?b2a，4ac?b24a），C（0，c），用待定系數法表示出直線MC的解析式為：y=b2x+c，點P坐標為（?2cb，0），再相似得PC2＝PA【解答】解：（1）①∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，∴二次函數的解析式為：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點M的坐標為（1，4）；（2）當x＝y(tǒng)時，﹣x2+2x+3＝x，∴x2﹣x﹣3＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴二次函數y＝﹣x2+2x+3有兩個不同的“好點”；（3）∵tan∠PBC=12，點C的坐標為（0，則BO＝2c，點B坐標為（2c，0），由一元二次方程根與系數的關系：x1?x2=ca可得x1?2c∴x1=1∴點A坐標為（12a∵頂點坐標M（?b2a，4ac?b24a設直線MC的函數關系式為：y＝mx+n，根據題意得：?b解得：m=b∴直線MC的解析式為：y=b2x+∴點P坐標為（?2c由此可得PA=12a+2cb，∵∠PCA＝∠PBC，∠CPA＝∠BPC，∴△PCA∽△PBC，∴PCPA∴PC2＝PA?PB，∵PC2＝OP2+OC2＝（?2cb）2+c2=4∴4c2b2+c2＝（∴c2=c∴c=1把點B（2c，0）代入二次函數解析式，得：4ac2+2bc+c＝0，∴4ac+2b+1＝0，∴4ac+b+1＝﹣b②，將②式代入①式得，c=?b將c=?1a代入4ac+2得，﹣4+2b+1＝0，解得：b=3∴P的坐標為（?4c又∵S△PBC=12PB?CO=12（2c+∴5c解得，c=±55（又∵c=?1a，a∴二次函數的表達式為：y=?5x2+3223．（2022春?海門市期中）定義：在平面直角坐標系xOy中，若某函數的圖象上存在點P（x，y），滿足y＝mx+m，m為正整數，則稱點P為該函數的“m倍點”．例如：當m＝2時，點（﹣2，﹣2）即為函數y＝3x+4的“2倍點”．（1）在點A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中，點A（2，3）和C（﹣3，﹣2）是函數y=6（2）若函數y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍點”，求b的值；（3）若函數y＝﹣x+2m+1的“m倍點”在以點（0，10）為圓心，半徑長為2m的圓外，求m的所有值．【分析】（1）根據函數的“m倍點”的定義可作判斷；（2）先確定函數y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍點”，則m＝4，滿足y＝4x+4，兩函數有唯一一個交點，Δ＝0，可解答；（3）根據定義可知：“m倍點”的橫縱坐標是y＝mx+m與y＝﹣x+2m+1的公共解，計算可得其解為x=1y=2m，根據函數y＝﹣x+2m+1的“m倍點”在以點（0，10）為圓心，半徑長為2m【解答】解：（1）當m＝1時，∵mx+m＝2×1+1＝3，2×3＝6，∴點A（2，3）是函數y=6∵mx+m＝﹣2×1+1＝﹣1≠﹣3，∴點B（﹣2，﹣3）不是函數y=6∵mx+m＝﹣3×1+1＝﹣2，﹣3×（﹣2）＝6，∴點C（﹣3，﹣2）是函數y=6綜上，點A（2，3）和C（﹣3，﹣2）是函數y=6故答案為：點A（2，3）和C（﹣3，﹣2）；（2）當m＝4時，y＝4x+4，∵函數y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍點”，∴4x+4＝﹣x2+bx，∴x2+（4﹣b）x+4＝0，∴Δ＝（4﹣b）2+4×1×4＝0，∴b＝0或8；（3）∵y=?x+2m+1y=mx+m∴x=1y=2m∴函數y＝﹣x+2m+1的“m倍點”為（1，2m），如圖所示，直線x＝1與⊙A交于點B，連接AB，過點B作BC⊥y軸于C，∴AC=(2m∴10?4m2∴m＜23140∵m為正整數，∴m＝1或2．24．（2022?費縣一模）定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”，例如，點（2，2）是函數y＝2x﹣2的圖象的“等值點”．（1）分別判斷函數y=5（2）寫出函數y＝﹣x2+2的等值點坐標；（3）若函數y＝﹣x2+2（x≤m）的圖象記為W1，將其沿直線x＝m翻折后的圖象記為W2．當W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，請寫出m的取值范圍．【分析】（1）根據“等值點”的定義建立方程求解即可得出答案；（2）根據“等值點”的定義建立方程求解即可得出答案；（3）由函數y＝﹣x2+2的等值點坐標為（﹣2，﹣2），（1，1），再利用翻折的性質分類討論即可．【解答】解：（1）在y=5x中，令y＝x得x解得x=5或x=?∴y=5x的圖象上存在兩個“等值點”：（5，5）或（?5在y＝x+2中，令y＝x得x＝x+2，得0＝2不成立，∴函數y＝x+2的圖象上不存在“等值點”；答：函數y=5x的圖象上存在兩個“等值點”：（5，5）或（?5，?5），函數（2）在y＝﹣x2+2中，令y＝x得x＝﹣x2+2，解得x＝﹣2或x＝1，∴函數y＝﹣x2+2的等值點坐標為（﹣2，﹣2），（1，1）；（3）①當m＞1時，由（2）知，W1，W2兩部分組成的圖象上總有有2個“等值點”：（﹣2，﹣2），（1，1）在W1上，若W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”，則W2上無“等值點“，由W1：y＝﹣x2+2（x≤m）沿直線x＝m翻折后的圖象記為W2，可得W2的解析式為y＝﹣（x﹣2m）2+2（x＞m），在y＝﹣（x﹣2m）2+2（x＞m）中，令y＝x得：x＝﹣（x﹣2m）2+2，整理得：x2+（1﹣4m）x+4m2﹣2＝0，∵Δ＜0，∴（1﹣4m）2﹣4（4m2﹣2）＜0，解得m＞9∴此時m＞9②當m＝1時，W1，W2兩部分組成的圖象上有3個等值點：（﹣2，﹣2），（1，1），（2，2）；③當﹣2＜m＜1時，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”；④當m＝﹣2時，W1，W2兩部分組成的圖象上只有1個“等值點”：（﹣2，﹣2）；⑤當m＜﹣2時，W1，W2兩部分組成的圖象上沒有“等值點”，綜上所述，當W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，m＞98或﹣2＜25．（2022春?武侯區(qū)校級月考）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣5）．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，作出如下定義：對于矩形DEFG，其邊長EF＝1，DE＝2k（k為常數，且k＞0），其矩形長和寬所在直線平行于坐標軸，矩形可以在平面內自由的平移，且EG所在直線與拋物線無交點，則稱該矩形在“游走”，每一個位置對應的矩形稱為“懸浮矩形”；對與每一個“懸浮矩形”，若拋物線上有一點P，使得△PEG的面積最小，則稱點P是該“懸浮矩形”的核心點．①請說明“核心點”P不隨“懸浮矩形”的“游走”而變化，并求出“核心點”P的坐標（用k表示）；②若k＝1，DF所在直線與拋物線交于點M和N（M在N的右側），是否存在這樣的“懸浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“懸浮矩形”中對角線DF所在直線的表達式；若不存在，說明理由．【分析】（1）把點坐標代入解析式，用待定系數法即可求得二次函數解析式；（2）①過拋物線上P點作直線EG的平行線，△PEG的面積=12EG乘以點P到直線EG的距離，當點P到直線EG距離最短時，△PEG的面積最小，由圖象可知，當過P點的直線與拋物線只有一個交點時，點P到直線②將直線DF解析式設為y＝﹣2x+m，聯(lián)立一次函數與二次函數，得到點M和點N的坐標，分別求出MN，MP，NP長，分類討論解出m即可．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣5）．∴把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+bx+c得：a?b+c=025a+5b+c=0解得a=1b=?4∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x﹣5．（2）①過拋物線上P點作直線EG的平行線，△PEG的面積=12EG乘以點P到直線EG的距離，當點P到直線EG距離最短時，△PEG的面積最小，由圖象可知，當過P點的直線與拋物線只有一個交點時，點P到直線EG距離最短，這樣的“核心點”P不隨“懸浮矩形”的“游走”而變化；∵EF＝1，DE＝2k，∴EG所在直線的解析式可設為：y＝2kx+m，∴過點P與直線EG平行的直線解析式為：y＝2kx+b，令2kx+b＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣（4+2k）x﹣（5+b）＝0，∵過P點的直線與拋物線只有一個交點，∴Δ＝（4+2k）2+4（5+b）＝0，可得（2+k）2＝﹣（5+b），∴x2﹣（4+2k）x+（2+k）2＝0，解得x＝2+k，∴y＝（k+2）2﹣4（2+k）﹣5＝k2﹣9，∴P（k+2，k2﹣9）；②當k＝1時，P（3，﹣8），∴設直線DF的解析式為：y＝﹣2x+n，令﹣2x+n＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣2x﹣5﹣n＝0，解得x=n+6+1或x∵DF所在的直線與拋物線交于點M，N，∴Δ＝4+4（5+n）＞0，即n＞﹣6，∵點M在點N的右側，∴M（n+6+1，﹣2n+6+n﹣2），N（?n+6+∴MN2＝20（n+6），MP2＝（n+6?2）2+（2n+6?n﹣6）NP2＝（?n+6?2）2+（2n+6+m當∠MPN＝90°時，MP2+NP2＝MN2，解得n＝﹣2或n＝﹣5，∴直線DF的解析式為：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5；當∠PMN＝90°時，MP2+MN2＝NP2，解得n＝﹣2或n=?23∴直線DF的解析式為：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x?23當∠PNM＝90°時，NP2+MN2＝MP2，無解；綜上，直線DF的解析式為：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5或y＝﹣2x?2326．（2022?武侯區(qū)模擬）【閱讀理解】定義：在平面直角坐標系xOy中，點P為拋物線C的頂點，直線l與拋物線C分別相交于M，N兩點（其中點M在點N的右側），與拋物線C的對稱軸相交于點Q，若記S（l，C）＝PQ?MN，則稱S（l，C）是直線l與拋物線C的“截積”．【遷移應用】根據以上定義，解答下列問題：如圖，若直線l的函數表達式為y＝x+2．（1）若拋物線C的函數表達式為y＝2x2﹣1，分別求出點M，N的坐標及S（l，C）的值；（2）在（1）的基礎上，過點P作直線l的平行線l'，現(xiàn)將拋物線C進行平移，使得平移后的拋物線C'的頂點P′落在直線l'上，試探究S（l，C'）是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）設拋物線C的函數表達式為y＝a（x﹣h）2+k，若S（l，C）＝62，MN＝42，且點P在點Q的下方，求a的值．【分析】（1）聯(lián)立直線l與拋物線C的解析式求解，即可求出M，N的坐標，再求出點Q的坐標，利用新定義求出答案；（2）設平移后的拋物線C'的頂點坐標為P'（m，m﹣1），求出P'Q'＝3，聯(lián)立①②整理得，（x﹣m）（2x﹣2m﹣1）＝0，求出N（m?12，m+32），M（m，m（3）由拋物線C的函數表達式為y＝a（x﹣h）2+k①的頂點坐標為（h，k），得出PQ＝h+2﹣k，再求出PQ=32，得出h+2﹣k=32，聯(lián)立①②整理得，ax2﹣（2ah+1）x+ah2+k﹣2＝0，設N（x1，y1），M（x2，y2），得出x1+x2=2a?+1a，x1x2=a?2+k?2a，進而得出MN2＝2[（x1+x【解答】解：（1）∵直線l的函數表達式為y＝x+2①，拋物線C的函數表達式為y＝2x2﹣1②，聯(lián)立①②解得，x=?1y=1或x=∴N（﹣1，1），M（32，7針對于直線l：y＝x+2，令x＝0，則y＝2，∴Q（0，2），∵拋物線C的函數表達式為y＝2x2﹣1，∴頂點P（0，﹣1），∴S（l，C）＝MN?PQ=(32（2）S（l，C'）是定值，其值為152由（1）知，P（0，﹣1），∵l∥l'，∴直線l'的解析式為y＝x﹣1①，∴設平移后的拋物線C'的頂點坐標為P'（m，m﹣1），∵拋物線C的函數表達式為y＝2x2﹣1，∴平移后的拋物線C'的解析式為y＝2（x﹣m）2+（m﹣1）②，∴Q'（m，m+2），∴P'Q'＝3，∵直線l的函數表達式為y＝x+2①，聯(lián)立①②整理得，[x﹣（2m+3）][2x﹣（m﹣1）]＝0，∴x＝m+32或x＝∴N（m﹣1，m+1），M（m+32，m∴MN=(m?1?m?∴S（l，C'）＝P'Q'?MN＝3×5即S（1，C'）是定值，其值為152（3）∵拋物線C的函數表達式為y＝a（x﹣h）2+k①的頂點坐標為（h，k），∴Q（h，h+2），∴PQ＝h+2﹣k，∵S（l，C）＝62，∴PQ=S(l，C)∴32=h+2﹣∵直線l的函數表達式為y＝x+2②，聯(lián)立①②整理得，ax2﹣（2ah+1）x+ah2+k﹣2＝0，設N（x1，y1），M（x2，y2），∴x1+x2=2a?+1a，x1x2∴MN2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝2（x1﹣x2）2＝2[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝2[(2a?+1)=8a(??k+2)+2=12a+2∵MN＝42，∴12a+2a2=（42∴16a2﹣6a﹣1＝0，∴a=12或a27．（2022?南關區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，對于點P給出如下定義：若點P到兩坐標軸的距離之和等于3，則稱點P為三好點．（1）在點R（0，﹣3），S（1，2），T（6，﹣3）中，屬于三好點的是R、S（填寫字母即可）；（2）若點A在x軸正半軸上，且點A為三好點，直線y＝2x+b經過點A，求該直線與坐標軸圍成的三角形的面積；（3）若直線y＝a（a＞0）與拋物線y＝x2﹣x﹣2的交點為點M，N，其中點M為三好點，求點M的坐標；（4）若在拋物線y＝﹣x2﹣nx+2n上有且僅有兩個點為三好點，直接寫出n的取值范圍．【分析】（1）由定義直接判斷即可；（2）由題意先求出A點坐標，在求出直線解析式，即可求解；（3）由題意知，三好點在C（3，0），A（﹣3，0），B（0，3），D（0，﹣3）為頂點的正方形上，求出直線AB的解析式為y＝x+3，當點M為直線AB與拋物線y＝x2﹣x﹣2的公共點時，求出M1（1?6，4?6）；再求出直線BC的解析式為y＝﹣x+3，當點M為直線BC與拋物線y＝x2﹣x﹣2的公共點時，求出M2（5，3（4）由（3）可知，拋物線上有三好點，則三好點必在在C（3，0），A（﹣3，0），B（0，3），D（0，﹣3）為頂點的正方形上，當拋物線與線段AB有一個交點時，求得n＝1，此時拋物線上有三個三好點，當拋物線與直線CD有一個交點時，求得n＝﹣5+23，此時拋物線上有三個三好點，則﹣5+23＜n當拋物線經過點A時，求得n=95，此時拋物線上有三個三好點，所以當n＞95時，拋物線上有兩個三好點；當拋物線經過點C時，求得【解答】解：（1）根據三好點的定義得：0+|﹣3|＝3，1+2＝3，6+|﹣3|＝9≠3，∴R、S是三好點，故答案為：R、S；（2）∵點A在x軸正半軸上，且點A為三好點，∴A（3，0），又∵直線y＝2x+b經過點A，∴0＝2×3+b，∴b＝﹣6，∴直線為y＝2x﹣6，當x＝0時，y＝﹣6，∴S=1∴直線與坐標軸圍成的三角形的面積為9；（3）如圖1，由題意知，三好點在C（3，0），A（﹣3，0），B（0，3），D（0，﹣3）為頂點的正方形上，設直線AB的解析式為y＝kx+b，則?3k+b=0b=3解得：k=1b=3∴直線AB的解析式為y＝x+3，當點M為直線AB與拋物線y＝x2﹣x﹣2的公共點時，由y=x+3y=得M1（1?6，4?直線BC的解析式為y＝﹣x+3，當點M為直線BC與拋物線y＝x2﹣x﹣2的公共點時，由y=?x+3y=得M2（5，3?5∴點M的坐標為（1?6，4?6）或（5，3（4）由（3）可知，拋物線上有三好點，則三好點必在在C（3，0），A（﹣3，0），B（0，3），D（0，﹣3）為頂點的正方形上，如圖2，當拋物線與線段AB有一個交點時，y=x+3y=?∴x2+（n+1）x+3﹣2n＝0，∴Δ＝（n+1）2﹣4（3﹣2n）＝0，∴n＝1或n＝﹣11，∵拋物線的對稱軸在y軸的左側，∴n＞0，∴n＝1，此時拋物線上有三個三好點，∵CD∥AB，設直線CD的解析式為y＝x+h，∴h＝﹣3，∴y＝x﹣3，如圖3，當拋物線與直線CD有一個交點時，y=x?3y=?∴x2+（n+1）x﹣3﹣2n＝0，∴Δ＝（n+1）2﹣4（﹣3﹣2n）＝0，∴n＝﹣5±23，∵此時拋物線的對稱軸在y軸的右側，∴n＜0，∴n＝﹣5+23，∴n＝﹣5+23時，此時拋物線上有三個三好點，∴﹣5+23＜n如圖4，當拋物線經過點A時，0＝﹣9+3n+2n，∴n=9∴當n＞9如圖5，當拋物線經過點C時，0＝﹣9﹣3n+2n，∴n＝﹣9，此時拋物線上有一個三好點，∴當n＜﹣9時，拋物線上有兩個三好點；綜上所述：當n＜﹣9或n＞95或﹣5﹣2328．（2022秋?長沙期中）定義：在平面直角坐標系中，圖形G上的點P（x，y）的橫坐標x和縱坐標y的和x+y稱為點P的“橫縱和”，而圖形G上所有點的“橫縱和”中最小的值稱為圖形的“極小和”．（1）拋物線y＝x2﹣2x﹣2的圖象上點P（1，﹣3）的“橫縱和”是﹣2；該拋物線的“極小和”是?94（2）記拋物線y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“極小和”為s，若﹣2021≤s≤﹣2020，求m的取值范圍．（3）已知二次函數y＝x2+bx+c（c≠0）的圖象上的點A（m2，2c）和點C（0，c【分析】（1）根據題目中的規(guī)定易得點P（1，﹣3）的“橫縱和”；根據定義求出x+y是關于x的二次函數，然后利用二次函數的性質求出結論；（2）根據定義求出x+y＝（x﹣m）2﹣m2﹣2，即可得出﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020，解得2018≤m≤2019或?2019（3）先求出“極小和”，即可根據二次函數的性質求得最大值．【解答】解：（1）∵點P（1，﹣3），∴“橫縱和”是1+（﹣3）＝﹣2，∵x+y＝x2﹣2x﹣2+x＝x2﹣x﹣2＝（x?12）2﹣∴拋物線的“極小和”是?9故答案為：﹣2，?9（2）x+y＝x2﹣（2m+1）x﹣2+x＝x2﹣2mx﹣2＝（x﹣m）2﹣m2﹣2，∵記拋物線y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“極小和”為s，∴s＝﹣m2﹣2，∵﹣2021≤s≤﹣2020，∴﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020，即2018≤m≤2019或?2019（3）依題意有m2+2c＝0+c即：m＝﹣2∴A（﹣c，2c），將A（﹣c，2c）代入y＝x2+bx+c（c≠0）得，2c＝c2﹣bc+c，∵c≠0，化簡可得：b＝c﹣1，即：y＝x2+（c﹣1）x+c，則：y+x＝x2+cx+c＝（x+c2）2