北師大版2019選擇性必修第一冊(cè)專題2.3拋物線(4類必考點(diǎn))(原卷版+解析)

專題2.3拋物線TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點(diǎn)1：拋物線的定義】 1【考點(diǎn)2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)】 1【考點(diǎn)3：拋物線的焦點(diǎn)弦】 2【考點(diǎn)4：拋物線的實(shí)際應(yīng)用】 2【考點(diǎn)1：拋物線的定義】【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義】平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．[方法技巧]利用拋物線的定義解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．“看到準(zhǔn)線應(yīng)該想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)應(yīng)該想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線距離有關(guān)問(wèn)題的有效途徑．1．（2022·山東·汶上縣第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F.若直線x=4與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB=8，則A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·河南安陽(yáng)·高二階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P1,y0在C上，過(guò)P作l的垂線，垂足為Q，若∠FPQ=120°A．2 B．4 C．6 D．83．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））若拋物線y=x28上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)P4．（2022·全國(guó)·成都七中高三開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè)F?是拋物線C：y2=4x?的焦點(diǎn)，點(diǎn)A?在拋物線C?上，B35．（2022·安徽省皖西中學(xué)高二期末）已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M（位于第一象限）到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）P是拋物線y2=8x上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C:(x+3)2+(y?3)【考點(diǎn)2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)】【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)】圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)離心率e＝1焦半徑|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)[方法技巧]求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇．(2)待定系數(shù)法①根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．②當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法解決：法一分情況討論，注意要對(duì)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，為避免開(kāi)口方向不確定可分為y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)兩種情況求解法二設(shè)成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開(kāi)口向右；若m<0，開(kāi)口向左；若m有兩個(gè)解，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)．同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2＝my(m≠0)．如果不確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，應(yīng)考慮上述兩種情況設(shè)方程1．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）拋物線y=8x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（A．132 B．116 C．22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)M(5,3)到拋物線y=ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（A．x2=112yC．x2=?136y3．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)Am,2為拋物線C:y2=2pxp>0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作C準(zhǔn)線的垂線，垂足為B．若△AOB（OA．12 B．1 C．2 4．（2022·上海市向明中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，Px0,yA．當(dāng)x0=4時(shí)，B．當(dāng)x0=2時(shí)，拋物線C在點(diǎn)PC．|PA|+|PF|的最小值為3D．|PA|?|PF|的最大值為55．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）對(duì)于拋物線上18x2A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為0,2 B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為0,C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為y=?46．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）平面內(nèi)到定點(diǎn)F(0,1)和到定直線l:y=?1的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線C．則（

）A．曲線C的方程為xB．曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱C．當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線C上時(shí)，y≥2D．當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離d≥27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M?1,28．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F到直線l:2x?y?3=0的距離為59．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是F，A是C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，線段AF與C交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，且|AB|=5|BF|，S10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)準(zhǔn)線方程是4y+1=0；(2)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x(3)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，AF=5【考點(diǎn)3：拋物線的焦點(diǎn)弦】【知識(shí)點(diǎn)：焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論】以拋物線y2＝2px(p>0)為例，設(shè)AB是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1，則有以下結(jié)論：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長(zhǎng)為2p，通徑是最短的焦點(diǎn)弦；(4)S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)(其中θ為直線AB的傾斜角)；(5)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值；(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；(7)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；(8)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點(diǎn)為F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三點(diǎn)共線，B，O，A1三點(diǎn)也共線．1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)拋物線y2=4xp>0的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB、CD，則1A．2 B．4 C．12 D．2．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)拋物線x2=6y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，則（A．以線段AB為直徑的圓與直線y=?3B．以線段BM為直徑的圓與y軸相切C．當(dāng)AF=2FBD．AB的最小值為63．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y2，點(diǎn)A．若x1+x2=6，則PQ=8C．若M0,1，則PM+P4．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線與E交于A,B兩點(diǎn)，C,D分別為A,B在lA．若直線AB的傾斜角為45°，則B．若AF=2FB，則直線ABC．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則B,O,C三點(diǎn)共線D．CF⊥DF5．（2022·四川·德陽(yáng)五中高二階段練習(xí)（理））已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為α的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A①以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切；②1AF③S△AOB=p④若點(diǎn)Mp,0，且AF=AM，則直線AB⑤若已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x0，且已知點(diǎn)T?x6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若拋物線y2=3x，過(guò)焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線與拋物線交于A7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若拋物線y2=4x，過(guò)焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B，若8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)直線l過(guò)焦點(diǎn)F且與拋物線y2=2pxp>0交于A?,?B9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，拋物線y2=2pxp>0與過(guò)焦點(diǎn)Fp2,0的直線l相交于A,B兩點(diǎn)，若【考點(diǎn)4：拋物線的實(shí)際應(yīng)用】【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的實(shí)際應(yīng)用】拋物線的幾何特性在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意(一般是根據(jù)題中所給圖形)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)題意得到拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出拋物線方程，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題．1．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黃浦江上的盧浦大橋（圖1）整體呈優(yōu)美的弧形對(duì)稱結(jié)構(gòu)，如圖2所示，將盧浦大橋的主拱看作拋物線，江面和橋面看作水平的直線，若主拱的頂端P點(diǎn)到橋面的距離等于橋面與江面之間的距離，且AB=550米，則CD約為（精確到10米）（

）A．410米 B．390米 C．370米 D．350米2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線有如下的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)（1，－2）射入，經(jīng)拋物線上的點(diǎn)P反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)Q反射后射出，則|PQ|=（A．252 B．13 C．2723．（2022·北京市第五中學(xué)高二期中）如圖所示，汽車(chē)前燈反光鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反光鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處．已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反光鏡的頂點(diǎn)（即截得拋物線的頂點(diǎn)）距離為（

）A．10cm B．7.2cmC．3.6cm D．2.4cm4．（2021·江蘇·高三階段練習(xí)）如圖1，某家用電暖氣是由反射面、熱饋源、防護(hù)罩及支架組成，為了更好利用熱效能，反射面設(shè)計(jì)成拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面），熱饋源安裝在拋物線的焦點(diǎn)處，圓柱形防護(hù)罩的底面直徑等于拋物面口徑.圖2是該電暖氣的軸截面，防護(hù)罩的寬度AD等于熱饋源F到口徑AB的距離，已知口徑長(zhǎng)為40cm，防護(hù)罩寬為15cm，則頂點(diǎn)O到防護(hù)罩外端CD的距離為（

）A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_____m．6．（2022·江蘇·高二）一輛卡車(chē)要通過(guò)跨度為8米、拱高為4米的拋物線形隧道，為了保證安全，車(chē)頂上方與拋物線的鉛垂距離至少0.5米．隧道有兩條車(chē)道，車(chē)輛在其中一條車(chē)道行駛，卡車(chē)寬為2.2米，車(chē)廂視為長(zhǎng)方體，則卡車(chē)的限高為_(kāi)____米（精確到0.01米）.7．（2023·安徽省宣城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對(duì)稱軸平行，一條平行于對(duì)稱軸的光線經(jīng)該拋物線反射后會(huì)經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).如圖所示，從A5,m1沿直線y=m18．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)高二期末）如圖是一拋物線型機(jī)械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對(duì)稱軸，已知頂點(diǎn)深度4cm，口徑長(zhǎng)為12cm．(1)以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點(diǎn)深度減少1cm，求此時(shí)該磨具的口徑長(zhǎng)．9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某城市在主干道統(tǒng)一安裝了一種新型節(jié)能路燈，該路燈由燈柱和支架組成．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，支架ACB是拋物線y2=2x的一部分，燈柱CD經(jīng)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)F且與路面垂直，其中B為拋物線的頂點(diǎn)，DH表示道路路面，BF∥DH，A為錐形燈罩的頂，燈罩軸線與拋物線在(1)求燈罩軸線所在的直線方程；(2)若路寬為10m，求燈柱的高．專題2.3拋物線TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點(diǎn)1：拋物線的定義】 1【考點(diǎn)2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)】 4【考點(diǎn)3：拋物線的焦點(diǎn)弦】 10【考點(diǎn)4：拋物線的實(shí)際應(yīng)用】 18【考點(diǎn)1：拋物線的定義】【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義】平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．[方法技巧]利用拋物線的定義解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．“看到準(zhǔn)線應(yīng)該想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)應(yīng)該想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線距離有關(guān)問(wèn)題的有效途徑．1．（2022·山東·汶上縣第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F.若直線x=4與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB=8，則A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】將x=4代入y2=2px，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)求出【詳解】將x=4代入y2=2px，解得則A(4,22p)、所以|AB|=42p=8，解得則AF=故選：C.2．（2022·河南安陽(yáng)·高二階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P1,y0在C上，過(guò)P作l的垂線，垂足為Q，若∠FPQ=120°A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合條件表示出MF,QF的長(zhǎng)度，然后列出方程即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，不妨令P在x軸上方，準(zhǔn)線l與x軸交點(diǎn)為M，因?yàn)辄c(diǎn)P1,y0在C上，根據(jù)拋物線定義可得且∠FPQ=120°，則∠PQF=∠PFQ=30°，所以△PFQ為等腰三角形，且PQQF在Rt△QMF中，∠MQF=60°，即解得p=6，即F到l的距離為6.故選:C.3．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））若拋物線y=x28上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)P【答案】4【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線，再由拋物線定義求解即可.【詳解】拋物線方程y=x28由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線y=?2的距離為6，所以點(diǎn)P到x軸的距離為4．故答案為：44．（2022·全國(guó)·成都七中高三開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè)F?是拋物線C：y2=4x?的焦點(diǎn)，點(diǎn)A?在拋物線C?上，B3【答案】2【分析】根據(jù)題意可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而可得BF，由AF=2BF，可得AF=4【詳解】由可知焦點(diǎn)F(1,0)，B3，0∵AF=2BF∴?點(diǎn)A?到拋物線準(zhǔn)線的距離為4?.∵?拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1?，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x=3,∴A3，2∴AB=2故答案為：235．（2022·安徽省皖西中學(xué)高二期末）已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M（位于第一象限）到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線【答案】3【分析】利用拋物線的定義可M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求出M的坐標(biāo)，再利用斜率公式求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離所以xM所以xM=3p2，進(jìn)而有所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3所以直線MF的斜率為3p?0故答案為：3.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）P是拋物線y2=8x上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C:(x+3)2+(y?3)【答案】34【分析】求出圓心坐標(biāo)和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，把d1+d【詳解】圓C:(x+3)2+(y?3)2拋物線y2=8x的焦點(diǎn)因?yàn)镻是拋物線y2=8x上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C:(x+3)2所以要使d1+d2最小，即連接FC，則d1+d即(?3?2)2所以d1+d故答案為：34【考點(diǎn)2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)】【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)】圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)離心率e＝1焦半徑|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)[方法技巧]求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇．(2)待定系數(shù)法①根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．②當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法解決：法一分情況討論，注意要對(duì)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，為避免開(kāi)口方向不確定可分為y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)兩種情況求解法二設(shè)成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開(kāi)口向右；若m<0，開(kāi)口向左；若m有兩個(gè)解，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)．同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2＝my(m≠0)．如果不確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，應(yīng)考慮上述兩種情況設(shè)方程1．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）拋物線y=8x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（A．132 B．116 C．2【答案】B【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)焦準(zhǔn)距的意義，可得答案.【詳解】拋物線y=8x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程為拋物線則其焦準(zhǔn)距為p=116，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選：B2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)M(5,3)到拋物線y=ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（A．x2=112yC．x2=?136y【答案】D【解析】將y=ax2轉(zhuǎn)化為x2=1ay【詳解】將y=ax2轉(zhuǎn)化為當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，準(zhǔn)線方程y=?14a，點(diǎn)M(5,3)到準(zhǔn)線的距離為3+14a=6，解得a=當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，準(zhǔn)線方程y=?14a，點(diǎn)M(5,3)到準(zhǔn)線的距離為3+14a=6，解得a=?136所以拋物線的方程為x2=12y故選：D【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題時(shí)要注意，已知拋物線方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程等，一定要注意所給方程是不是標(biāo)準(zhǔn)形式，若不是，一定要先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形式的類型，確定參數(shù)p的值及拋物線的開(kāi)口方向等，然后給出結(jié)論.3．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)Am,2為拋物線C:y2=2pxp>0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作C準(zhǔn)線的垂線，垂足為B．若△AOB（OA．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)Am,2為拋物線C:y2【詳解】由題意點(diǎn)Am,2為拋物線C:y2即m=2p，則△AOB的面積解得p=2，故選：C4．（2022·上海市向明中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，Px0,yA．當(dāng)x0=4時(shí)，B．當(dāng)x0=2時(shí)，拋物線C在點(diǎn)PC．|PA|+|PF|的最小值為3D．|PA|?|PF|的最大值為5【答案】B【分析】由焦半徑求出|PF|的值判斷A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程判斷B，利用拋物線定義結(jié)合圖象可判斷CD.【詳解】當(dāng)x0=4時(shí)，y0當(dāng)x0=2時(shí)，y0=12，由所以拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為y?12=如圖，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)B，則由拋物線定義可知：PF=則PA+PF=PA+PB，當(dāng)由題意得：F0,2，連接AF并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)P此點(diǎn)即為|PA|?|PF|取最大值的點(diǎn)，此時(shí)PA?其他位置的點(diǎn)P'，由三角形兩邊之差小于第三邊得：P故|PA|?|PF|的最大值為5，故D正確.故選：B.5．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）對(duì)于拋物線上18x2A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為0,2 B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為0,C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為y=?4【答案】AC【分析】寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形式即x2【詳解】由拋物線18x2=y，即x2故選：AC6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）平面內(nèi)到定點(diǎn)F(0,1)和到定直線l:y=?1的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線C．則（

）A．曲線C的方程為xB．曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱C．當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線C上時(shí)，y≥2D．當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離d≥2【答案】AB【分析】由拋物線定義，可知曲線C是以F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x2【詳解】由拋物線定義，知曲線C是以F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x2若點(diǎn)(x,y)在曲線C上，則點(diǎn)(?x,y)也在曲線C上，故曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，故B正確；由x2=4y知點(diǎn)P到直線l的距離d≥1，所以D錯(cuò)誤故選：AB7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M?1,2【答案】y【分析】設(shè)拋物線方程為y2=mx,m≠0，代入點(diǎn)M?1,2【詳解】依題意，設(shè)拋物線方程為y2=mx,m≠0，于是得22所以所求拋物線方程是y2故答案為:y28．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F到直線l:2x?y?3=0的距離為5【答案】2或4【分析】求出Fp2,0【詳解】拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F則點(diǎn)F到直線l:2x?y?3=0的距離為：d=p?3所以p?3=1，因?yàn)閜>0，所以p=2故答案為：2或4.9．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是F，A是C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，線段AF與C交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，且|AB|=5|BF|，S【答案】y【分析】過(guò)點(diǎn)B作拋物線C準(zhǔn)線的垂線，垂足為E，結(jié)合圖形，利用拋物線的定義和性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出p的值，即可寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】過(guò)點(diǎn)B作拋物線C準(zhǔn)線的垂線，垂足為E，由拋物線的定義知，|BF|=|BE|，又|AB|=5|BF|，所以|AE|=2|BE|，所以所以tan∠ODF=12.又|OF|=所以S△DOF=4=12所以拋物線C的方程為y2故答案為：y210．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)準(zhǔn)線方程是4y+1=0；(2)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x(3)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，AF=5【答案】(1)x2=y；(2)y2=?12x【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程，確定拋物線的開(kāi)口和p值，直接代入求解；（2）根據(jù)雙曲線的左頂點(diǎn)，即可求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直接求解；（3）首先設(shè)拋物線方程，再根據(jù)焦半徑公式，代入求解.（1）準(zhǔn)線方程為y=?14，所以拋物線方程開(kāi)口向上，且得p=12，所以拋物線方程是（2）雙曲線方程x29?所以拋物線的焦點(diǎn)為?3,0，拋物線的開(kāi)口向左，p2=3，所以拋物線方程是y2（3）設(shè)拋物線方程y2=2px，p>0，當(dāng)y=?3時(shí)，AF=92p+p2=5拋物線方程為y2=2x或設(shè)拋物線方程y2=?2px，p>0，當(dāng)y=?3時(shí)，AF=92p+p拋物線方程為y2=?2x或綜上可知，拋物線方程為y2=±2x或【考點(diǎn)3：拋物線的焦點(diǎn)弦】【知識(shí)點(diǎn)：焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論】以拋物線y2＝2px(p>0)為例，設(shè)AB是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1，則有以下結(jié)論：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長(zhǎng)為2p，通徑是最短的焦點(diǎn)弦；(4)S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)(其中θ為直線AB的傾斜角)；(5)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值；(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；(7)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；(8)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點(diǎn)為F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三點(diǎn)共線，B，O，A1三點(diǎn)也共線．1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)拋物線y2=4xp>0的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB、CD，則1A．2 B．4 C．12 D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式計(jì)算．【詳解】拋物線y2=4x，可知設(shè)直線l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為π2過(guò)焦點(diǎn)的弦，AB=2p∴1AB故選：D．2．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)拋物線x2=6y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，則（A．以線段AB為直徑的圓與直線y=?3B．以線段BM為直徑的圓與y軸相切C．當(dāng)AF=2FBD．AB的最小值為6【答案】ACD【分析】根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可知AB=y1+y2+3，對(duì)比M將直線AB方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得M坐標(biāo)，由此得到xN，與14AB由向量數(shù)乘運(yùn)算可知x1=?2x2，由此可求得將AB表示為關(guān)于k的二次函數(shù)形式，由二次函數(shù)最值可知D正確.【詳解】由拋物線方程知F0,32，準(zhǔn)線方程為y=?可設(shè)AB：y=kx+32，設(shè)Ax對(duì)于選項(xiàng)A，易知AB=y1+y∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線y=?32的距離∴以線段AB為直徑的圓與直線y=?3對(duì)于B，由y=kx+32x∴Δ=36k2+36>0∴y1+y設(shè)BM的中點(diǎn)為N，則xN=3k+∵3k2+32=對(duì)于C，若AF=2FB，則x1=?2x2，不妨設(shè)x1<0，x2>0，∵x1對(duì)于D，∵AB=y1+y故選:ACD．3．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y2，點(diǎn)A．若x1+x2=6，則PQ=8C．若M0,1，則PM+P【答案】ABD【分析】由拋物線的定義可判斷A；由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷B，D；由拋物線的定義，可知PP1=PF，所以PM+【詳解】對(duì)于A，由拋物線的定義，知PQ=對(duì)于B，線段PQ的中點(diǎn)為T(mén)x1+x2點(diǎn)T到直線l的距離為x1所以，以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，B正確；對(duì)于C，由拋物線的定義，可知PP1=PF，所以又F的坐標(biāo)為1,0，所以MF=對(duì)于D，連接P1F,Q得∠PFP1=∠PP1同理∠QFQ所以∠PP1F+∠所以∠P1FO+∠故選：ABD.4．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線與E交于A,B兩點(diǎn)，C,D分別為A,B在lA．若直線AB的傾斜角為45°，則B．若AF=2FB，則直線ABC．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則B,O,C三點(diǎn)共線D．CF⊥DF【答案】ACD【分析】對(duì)于A，求出直線AB的方程，代入拋物線方程中，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后利用弦長(zhǎng)公式可求出AB，對(duì)于B，設(shè)AB:x=my+1，代入拋物線方程，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由AF=2FB，得y1=?2y2，從而可求出A,B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線【詳解】若直線AB的傾斜角為45°，則AB:y=x?1令A(yù)(x1,y1)B(x所以AB=x1設(shè)AB:x=my+1，令A(yù)(x1,消x可得yy1+y2=4m所以y1所以k=?22或y1所以k=22.即k=±22，故設(shè)AB:x=my+1，令A(yù)x1,消x可得y2?4my?4=0,kOB=y所以kOB?kOC=設(shè)AB:x=my+1，令A(yù)(x1消x可得yy1+y所以FC?即CF⊥DF，故D正確.故選：ACD.5．（2022·四川·德陽(yáng)五中高二階段練習(xí)（理））已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為α的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A①以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切；②1AF③S△AOB=p④若點(diǎn)Mp,0，且AF=AM，則直線AB⑤若已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x0，且已知點(diǎn)T?x【答案】①②⑤【分析】對(duì)于①，AF=a，BF=b，根據(jù)拋物線的定義可得線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為a+b2=AB2，從而可判斷；對(duì)于②，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，其中y【詳解】對(duì)于①，設(shè)AF=a，BF=b，則AA所以線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為a+b2所以以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，故①真確；對(duì)于②，設(shè)Ax1,當(dāng)α=π2時(shí)，直線AB的方程為則Ap2,p,Bp當(dāng)α≠π2時(shí)，設(shè)直線AB的方程為由y=kx?p2y2=2px，消去x得，所以x1+x所以1=2p綜上，1AF對(duì)于③，當(dāng)α=π2時(shí)，對(duì)于④，因?yàn)镸p,0，且AF所以點(diǎn)A在線段MF的垂直平分線上，即直線x=3p將x=3p4代入y2=2px，得故A3p4，對(duì)于⑤，易知Ax0,所以直線AT的方程為x=2與拋物線方程y2=2px聯(lián)立可得因?yàn)棣?4p2故答案為:①②⑤.【點(diǎn)睛】總結(jié)點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式AB=6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若拋物線y2=3x，過(guò)焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線與拋物線交于A【答案】12【分析】由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式l=2psin2【詳解】AB=7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若拋物線y2=4x，過(guò)焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B，若【答案】3x?y?3=0【分析】由焦點(diǎn)弦性質(zhì)求得直線AB的傾斜角的余弦值，從而得直線斜率，得直線方程．【詳解】先設(shè)直線AB傾斜角α為銳角，AFBF由對(duì)稱性直線l方程還可以為y=?3綜上，直線l的方程為3x?y?3=08．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)直線l過(guò)焦點(diǎn)F且與拋物線y2=2pxp>0交于A?,?B【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】由拋物線的性質(zhì)可求出線段AB=2psin2θ?，過(guò)原點(diǎn)O作【詳解】證明：過(guò)A做AN垂直準(zhǔn)線于N點(diǎn)，過(guò)B做BM垂直準(zhǔn)線于M點(diǎn)，則BM=BF，AF=AN，因?yàn)橹本€l傾斜角為θ，所以有BFcosθ+p=BF，所以BF=p1?cos過(guò)原點(diǎn)O作OP⊥AB于P，于是OP=∴S9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，拋物線y2=2pxp>0與過(guò)焦點(diǎn)Fp2,0的直線l相交于A,B兩點(diǎn)，若【答案】AB【分析】設(shè)FA=m，F(xiàn)B=n，可得xA=p2+m【詳解】設(shè)FA=m，F(xiàn)B=n，則xA由拋物線定義知：FA=xA∴m=p1?cos∴AB【考點(diǎn)4：拋物線的實(shí)際應(yīng)用】【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的實(shí)際應(yīng)用】拋物線的幾何特性在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意(一般是根據(jù)題中所給圖形)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)題意得到拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出拋物線方程，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題．1．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黃浦江上的盧浦大橋（圖1）整體呈優(yōu)美的弧形對(duì)稱結(jié)構(gòu)，如圖2所示，將盧浦大橋的主拱看作拋物線，江面和橋面看作水平的直線，若主拱的頂端P點(diǎn)到橋面的距離等于橋面與江面之間的距離，且AB=550米，則CD約為（精確到10米）（

）A．410米 B．390米 C．370米 D．350米【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，求出xD【詳解】以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB的方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)主拱拋物線的方程為x2由題意可知xB=275，則yB=?27522p，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線CD所以xD=?2p故選：B.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線有如下的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)（1，－2）射入，經(jīng)拋物線上的點(diǎn)P反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)Q反射后射出，則|PQ|=（A．252 B．13 C．272【答案】A【分析】求得P點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線PF的方程，從而求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得PQ.【詳解】拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為由?22直線PF的方程為y=0?由y=43x?2y2所以Q8,8，所以PQ故選：A3．（2022·北京市第五中學(xué)高二期中）如圖所示，汽車(chē)前燈反光鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反光鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處．已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反光鏡的頂點(diǎn)（即截得拋物線的頂點(diǎn)）距離為（

）A．10cm B．7.2cmC．3.6cm D．2.4cm【答案】C【分析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)題設(shè)條件得點(diǎn)(10,12)代入拋物線方程求得p，進(jìn)而求得p2【詳解】解：取反射鏡的軸即拋物線的軸為x軸，以反射鏡的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示：因?yàn)闊艨谥睆綖?4cm，燈深10cm，所以點(diǎn)(10,12)在拋物線上.由題意設(shè)拋物線的方程為y2由于點(diǎn)(10,12)在拋物線上，得122∴2p=14.4∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為F∴燈泡與反射鏡頂點(diǎn)的距離為3.6cm故選：C4．（2021·江蘇·高三階段練習(xí)）如圖1，某家用電暖氣是由反射面、熱饋源、防護(hù)罩及支架組成，為了更好利用熱效能，反射面設(shè)計(jì)成拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面），熱饋源安裝在拋物線的焦點(diǎn)處，圓柱形防護(hù)罩的底面直徑等于拋物面口徑.圖2是該電暖氣的軸截面，防護(hù)罩的寬度AD等于熱饋源F到口徑AB的距離，已知口徑長(zhǎng)為40cm，防護(hù)罩寬為15cm，則頂點(diǎn)O到防護(hù)罩外端CD的距離為（

）A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm【答案】C【分析】根據(jù)給定條件建立坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程即可計(jì)算作答.【詳解】以頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OF為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令軸截面邊界曲線所在拋物線方程為：y2則F(p2,0)，A(p2+15,20)，而點(diǎn)A在拋物線上，于是得則O到CD距離d=p所以頂點(diǎn)O到防護(hù)罩外端CD的距離為35cm.故選：C5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形