人教版九年級數(shù)學下冊舉一反三26.2反比例函數(shù)的圖象與性質(二)【十大題型】(學生版+解析)

專題26.2反比例函數(shù)的圖形與性質（二）【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)圖象的對稱性】 1【題型2反比例函數(shù)概念、性質的綜合應用】 6【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問題】 8【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點解方程或不等式】 11【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用】 18【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】 24【題型7反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】 32【題型8與反比例函數(shù)的圖象、性質有關的閱讀理解題】 42【題型9反比例函數(shù)中的存在性問題】 50【題型10反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】 62【知識點反比例函數(shù)圖象的對稱性】（1）中心對稱，對稱中心是坐標原點（2）軸對稱：對稱軸為直線和直線【題型1反比例函數(shù)圖象的對稱性】【例1】（2023春·杭州九年級期末測試）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，若正方形的邊長是2，則圖中陰影部分的面積等于．

【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，點A3a,?a是反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為【變式1-2】（2023春·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經過點A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點C，D，順次連接AB，BC，CD【變式1-3】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，過原點的直線交反比例函數(shù)y=ax圖象于P、Q點，過點Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=bxx>0的圖象于A、B點，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為；且當S【題型2反比例函數(shù)概念、性質的綜合應用】【例2】（2023春·湖南張家界·九年級統(tǒng)考期中）已知反比例函數(shù)y＝（2m+1）xm2?5【變式2-1】（2023春·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）已知y是x的反比例函數(shù)，且函數(shù)圖象過點A?3,8(1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)當x取何值時，y=2【變式2-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）若反比例函數(shù)y=(2m?1)xm2?2的圖象在第二、四象限，則【變式2-3】（2023春·江蘇南通·九年級南通田家炳中學?？计谥校┓幢群瘮?shù)y1（1）求m的值；（2）當x＞﹣1時，y的取值范圍是；（3）當直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3?m2交于A、B兩點（A在B的左邊）時，結合圖象，求出在什么范圍時【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問題】【例3】（2023春·四川成都·九年級成都外國語學校?？计谥校┤鬭b＜0，則正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=bA． B．C． D．【變式3-1】（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）反比例函數(shù)y=4x與一次函數(shù)y=x+1在同一坐標系中的大致圖象可能是（A． B．C． D．【變式3-2】（2023春·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，關于x的函數(shù)y=?kx(k≠0)和y＝kx－k，它們在同一坐標系內的圖象大致是（A．B．C．D．【變式3-3】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，反比例函數(shù)y=kbx（kb≠0），下列能同時正確描述這兩種函數(shù)大致圖像的是（A．B．C． D．【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點解方程或不等式】【例4】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=?x+5與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為1，該反比例函數(shù)的圖象關于直線y=x?1對稱后的圖象經過直線y=?x+5上的點C，則線段AC

【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）正比例函數(shù)y1=2x的圖象與反比例函數(shù)y2(1)求k的值和兩個函數(shù)圖象的另一個交點坐標；(2)直接寫出y1(3)根據(jù)圖象，直接寫出當?4<x<?1時，y2【變式4-2】（2023春·江蘇·九年級期末）如圖，反比例函數(shù)圖象l1的表達式為y=k1x(x>0)，圖象l2與圖象l1關于直線x=1對稱，直線y=k2x與l2交于A，B兩點，當A為OB中點時，則【變式4-3】（2023春·江蘇·九年級期末）如圖，已知線段AB，A2,1，B4,3.5，現(xiàn)將線段AB沿y軸方向向下平移得到線段MN．直線y=mx+b過M、N兩點，且M、N兩點恰好也落在雙曲線(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．(2)①直接寫出不等式mx+b?k②若點P是y軸上一點，且△PMN的面積為8.5，請直接寫出點P的坐標．(3)若點Cx1,a，Dx2,a?2在雙曲線【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用】【例5】（2023春·江西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，直線y=?x+k與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像交于A，BA．OA=OB B．當A，B兩點重合時，k=4C．當k=6時，OA=26 D．不存在這樣的k使得△AOB【變式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函數(shù)y=2x圖象上的兩點，動點P(x,0)在【變式5-2】（2023春·江西上饒·九年級校聯(lián)考期末）如圖，直線y=?x＋3與坐標軸分別相交于A，B兩點，過A，B兩點作矩形ABCD，AB=2AD，雙曲線y=kx在第一象限經過C，D兩點，則A．6 B．274 C．272【變式5-3】（2023春·全國·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸和y軸上，OBOA=2，∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點C，與AB交于點D，反比例函數(shù)y=kx的圖象過點C，當△ACD面積為1時，A．1 B．2 C．3 D．4【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】【例6】（2023春·浙江舟山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，其中∠OAB=90°，AO=AB，點C為斜邊OB的中點，反比例函數(shù)y=kxk>0,?x>0的圖象過點C且交線段AB于點D，連接CD，OD，若S

A．53 B．32 C．5【變式6-1】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形OABC的邊OA在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經過菱形對角線OB的中點D和頂點C，若菱形OABC的面積為62，則點

【變式6-2】（2023春·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點A的坐標為1，0，點D4，4在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，直線y=2

(1)求k、b的值．(2)求△ACE的面積．(3)已知點M在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，點M的橫坐標為m．若S【變式6-3】（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于Aa,?2

(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，求點C的橫坐標；(3)將△AOB在平面內沿某個方向平移得到△DEF(其中點A、O、B的對應點分別是D、E、F)，若D、F同時在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，求點【題型7反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】【例7】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點P是平面內任意一點（坐標軸上的點除外），過點P分別作x軸、y軸的垂線，若由點P、原點O、兩個垂足A、B為頂點的矩形OAPB的周長與面積的數(shù)值相等時，則稱點P是平面直角坐標系中的“美好點”．

【嘗試初探】（1）點C2，3______“美好點”（填“是”或“不是”）；若點D【深入探究】（2）①若“美好點”Em，6m>0在雙曲線y=kx（②在①的條件下，F(xiàn)2，n在雙曲線y=【拓展延伸】（3）我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點”，已知點Px①求y關于x的函數(shù)表達式；②在圖2的平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖像的草圖，觀察圖像可知該圖像可由函數(shù)______（x>0）的圖像平移得到；③結合圖像研究性質，下列結論正確的選項是______；（多項選擇）A．圖象與經過點2，B．y隨著x的增大而減??；C．y隨著x的增大而增大；D．圖像經過點10，④對于圖像上任意一點x，y，代數(shù)式【變式7-1】（2023春·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期末）九年級某數(shù)學興趣小組在學習了反比例函數(shù)的圖象與性質后，進一步研究了函數(shù)y=(1)繪制函數(shù)圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝________；x…-4-3-2-1-11234…y…2-3-531m--…描點：根據(jù)表中各組對應值（x，y），在平面直角坐標系中描出了各點；連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象．請你把圖象補充完整；(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題；①當x＜0時，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”）②函數(shù)y=2-x③函數(shù)y=(3)設A(x1,y1)、B【變式7-2】（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，將函數(shù)y=kxx>0的圖像T1向左平移4個單位得到函數(shù)y=kx+4x>?4的圖像T2，T(1)若a=3，求k的值(2)如圖2，B為x軸正半軸上一點，以AB為邊，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，線段BC與T2相交于點E①求正方形ABCD的面積；②直接寫出點E的坐標．【變式7-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學校考期末）在初中階段的函數(shù)學習中，我們經歷了“確定函數(shù)的表達式——利用函數(shù)圖象研究其性質——運用函數(shù)解決問題”的學習過程，在畫函數(shù)圖象時，我們可以通過列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，也可以利用平移、對稱、旋轉等圖形變換的方法畫出函數(shù)圖象，同時，我們也學習了絕對值的意義：a=aa≥0（1）當x=2時，y的值為___________；當y=0時，x的值為___________；函數(shù)y=3+6x?1（2）在平面直角坐標系中，結合已有學習經驗，用你喜歡的方法補全函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象，并請寫出該函數(shù)的一條性質：____________；（3）已知函數(shù)y=x+3的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式3+6【題型8與反比例函數(shù)的圖象、性質有關的閱讀理解題】【例8】（2023春·江蘇蘇州·九年級?？计谀┪覀兌x：如果一個矩形A周長和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形B的完全N倍體．(1)若矩形A為正方形，是否存在一個正方形B是正方形A的完全2倍體？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】長為3，寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？小鳴和小棋分別有以下思路：【小鳴方程流】設新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12得x【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：(2)那么長為3．寬為2的矩形C是否存在完全12(3)如果長為3，寬為2的矩形C存在完全k倍體，請直接寫出k的取值范圍：______．【變式8-1】（2023春·江蘇·九年級期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：12+18_________212×1（2）由（1）中各式猜想：對于任意正實數(shù)a、b，a＋b_________2ab（3）結論應用：若a＞0，則當a＝_________時，a+4a有最小值；若b＞0，（4）問題解決：如圖，已知點A在反比例函數(shù)y=9x（x＞0）的圖像上，點B在反比例函數(shù)y=?7x（x＜0）的圖像上，且AB∥x軸，過點A作AD⊥x軸于點【變式8-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學?？计谥校鹃喿x理解】把一個函數(shù)圖象上每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼牡箶?shù)（原函數(shù)圖象上縱坐標為0的點除外）、橫坐標不變，可以得到另一個函數(shù)的圖象，我們稱這個過程為倒數(shù)變換．

【知識運用】如圖1，將y=x的圖象經過倒數(shù)變換后可得到y(tǒng)=1x的圖象（部分）．特別地，因為y=x圖象上縱坐標為0的點是原點，所以該點不作變換，因此y=1x的圖象上也沒有縱坐標為0的點．小明在求y=x的圖象與y=1x的交點時速用了開平方的定義：y=1xy=x【拓展延伸】請根據(jù)上述閱讀材料完成：(1)請在圖2的平面直角坐標系中畫出y=x+1的圖象和它經過倒數(shù)變換后的圖象．(2)設函數(shù)y=x+1的圖象和它經過倒數(shù)變換后的圖象的交點為A，B（點A在左邊），直接寫出其坐標．A______，B______；(3)設C?1,m，且S△ABC=4【變式8-3】（2023春·湖南懷化·九年級溆浦縣第一中學?？计谥校╅喿x：若w為正實數(shù)，對于某一函數(shù)圖象上任意兩點P1(x1,y1(1)分別判斷y=3x?2和y=1x(2)若y=1x(1(3)若y=x3(a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函數(shù)，且【題型9反比例函數(shù)中的存在性問題】【例9】（2023春·福建泉州·九年級?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系中，點A?2,0，點B0,2，直線AB與反比例函數(shù)y=k

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖2，點E4,m是反比例函數(shù)y=kxx>0圖象上一點，連接CE，AE，試問在x軸上是否存在一點D，使△ACD的面積與(3)在（2）的條件下，坐標原點O關于點D的對稱點為G，且點G在x軸的正半軸上，若點M是反比例函數(shù)的第一象限圖象上一個動點，連接MG，以MG為邊作正方形MGNF，當頂點F恰好落在直線AB上時，求點M的坐標．【變式9-1】（2023春·四川成都·九年級成都實外?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x與雙曲線y=kx與相交于A，B兩點（點A在點(1)當AB=25時，求k(2)點B關于y軸的對稱點為C，連接AC，①判斷△ABC的形狀，并說明理由；②當△ABC的面積等于16時，雙曲線上是否存在一點P，連接AP，BP，使△PAB的面積等于△ABC面積？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【變式9-2】（2023春·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知反比例函數(shù)y=k1x(x>0)的圖象與直線y=k2x+b將于交于A?1,6、B?6,m兩點，直線AB

(1)求反比例函數(shù)及直線AB的解析式；(2)若S△ABC=25，求點(3)若點C的坐標為1,0，點D為x軸上的一點，點E為直線AC上的一點，是否存在點D和點E，使得以點D?E?【變式9-3】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，一次函數(shù)y=kx?52k≠0的圖像與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y=mxx>0的圖像交于點A8,32，點C是線段AB上一點，點C的橫坐標為3，過點C作y軸的平行線與該反比例函數(shù)的圖像交于點D(1)一次函數(shù)表達式為_________；反比例函數(shù)表達式為_______；(2)在線段CD上是否存在點E，使點E到OD的距離等于它到x軸的距離？若存在，求點E的坐標，若不存在，請說明理由；(3)將△OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O'C'D'．①若點O的對應點O'恰好落在該反比例函數(shù)圖像上（如圖2），求出點O'、D'的坐標；②如圖3，在平移過程中，射線O'C'與x軸交于點F，點Q是平面內任意一點，若以O'、D'、F﹑Q為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點O'的坐標．【題型10反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】【例10】（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖1～4所示，每個圖中的“7”字形是由若干個邊長相等的正方形拼接而成，“7”字形的一個頂點P落在反比例函數(shù)y=1（1）圖1中的每一個小正方形的面積是；（2）按照圖1→圖2→圖3→圖4→…這樣的規(guī)律拼接下去，第n個圖形中每一個小正方形的面積是．（用含n的代數(shù)式表示）【變式10-1】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，點B1在反比例函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象上，過點B1分別作x軸和y軸的垂線，垂足為C1和A，點C1的坐標為（1，0）取x軸上一點C2（32，0），過點C2分別作x軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點B2，過B2作線段B1C1的垂線交B1C1于點A1，依次在x軸上取點C3（2，0），C4（52，0）…按此規(guī)律作矩形，則第n（n≥2，n為整數(shù)）個矩形）An-1Cn-1CnBn【變式10-2】（2023·山東日照·二模）如圖，已知點A是雙曲線y＝5x在第一象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限內，且隨著點A的運動，點C的橫、縱坐標之間存在一規(guī)律，這個規(guī)律是【變式10-3】（2023春·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，點B11,33在直線l2:y=33x上，過點B1作A1B1⊥l1交直線l:y=3x于點A1，以A1B1為邊在△OA1B1外側作等邊三角形A1B1C1，過

專題26.2反比例函數(shù)的圖形與性質（二）【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)圖象的對稱性】 1【題型2反比例函數(shù)概念、性質的綜合應用】 6【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問題】 8【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點解方程或不等式】 11【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用】 18【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】 24【題型7反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】 32【題型8與反比例函數(shù)的圖象、性質有關的閱讀理解題】 42【題型9反比例函數(shù)中的存在性問題】 50【題型10反比例函數(shù)中的規(guī)律問題】 62【知識點反比例函數(shù)圖象的對稱性】（1）中心對稱，對稱中心是坐標原點（2）軸對稱：對稱軸為直線和直線【題型1反比例函數(shù)圖象的對稱性】【例1】（2023春·杭州九年級期末測試）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，若正方形的邊長是2，則圖中陰影部分的面積等于．

【答案】1【分析】設反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx，由題意可得：P點坐標為：【詳解】解：設反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=k由題意可得：P點坐標為：(1,1)，故圖中陰影部分的面積為：1×1=1．故答案為：1．

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質，k的幾何意義，中心對稱的性質，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，點A3a,?a是反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為【答案】y=?【分析】首先根據(jù)圓的對稱性以及反比例函數(shù)的對稱性可得：14πr【詳解】解：設圓的半徑是r，根據(jù)圓的對稱性以及反比例函數(shù)的對稱性可得：14解得：r=4．∵點A3a,?a是反比例函y=k∴?3a2∴a∴k=?3則反比例函數(shù)的解析式是：y=?4故答案為：y=?4【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質，勾股定理，求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握和運用反比例函數(shù)圖象的性質是解決本題的關鍵．【變式1-2】（2023春·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經過點A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點C，D，順次連接AB，BC，CD【答案】見解析【分析】將點A代入y=kxk≠0中求出k，再將點B代入y=2x中，求出點B坐標，求出OA【詳解】解：將A1,2代入y=k=2，∴y=2x，將B2,m∴m=22=1∴OA=12+∴OA=OB，由反比例函數(shù)對稱性可得：OA=OC，OB=OD，即OA=OB=OC=OD，∴四邊形ABCD是矩形．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上的點，對稱性，矩形的判定，勾股定理，解題的關鍵是求出OA和OB的長，熟練運用矩形的判定定理．【變式1-3】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，過原點的直線交反比例函數(shù)y=ax圖象于P、Q點，過點Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=bxx>0的圖象于A、B點，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為；且當S【答案】69【分析】連接OA，OB，延長BP交x軸于點C，易求S△BOP由P，Q關于與原點成中心對稱，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面積相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S【詳解】連接PQ，OA，OB，延長BP交x軸于點C，設點C對應的數(shù)為m，m＞0.則P（m，am），B（m，b∴OC=m，PC=am，BC=∴S△POC=∴S∵P、Q關于原點成中心對稱，∴OP=OQ∴S∴S同理可得：S所以S設點C（m，0）m＞0．則P（m，am），A（m，bm），B（bma∴AP＝bm∵S△APB＝3，∴1∴a＝32∵b?a＝3，∴b＝92故答案為：6，92【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，關于原點對稱的點的坐標的性質，三角形的面積．利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．【題型2反比例函數(shù)概念、性質的綜合應用】【例2】（2023春·湖南張家界·九年級統(tǒng)考期中）已知反比例函數(shù)y＝（2m+1）xm2?5【答案】2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知m2﹣5＝﹣1，又根據(jù)圖象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范圍．【詳解】解：∵y=2m∴m2﹣5＝﹣1，解得：m＝2或m＝﹣2，∵反比例函數(shù)y=2m又2m+1＞0，解得：m＞?1∴m＝2．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的定義與圖象性質，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函數(shù)的定義以及圖象的性質，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解題的關鍵．【變式2-1】（2023春·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）已知y是x的反比例函數(shù)，且函數(shù)圖象過點A?3,8(1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)當x取何值時，y=2【答案】(1)y=(2)x=?36【分析】（1）設該反比例函數(shù)的表達式為：y=kxk≠0（2）將y=2【詳解】（1）解：設該反比例函數(shù)的表達式為：y=k將A?3,8代入y=8=k?3，解得∴y=?24（2）將y=23代入23=?24【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)，掌握反比例函數(shù)相關知識并正確計算是解題的關鍵．【變式2-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）若反比例函數(shù)y=(2m?1)xm2?2的圖象在第二、四象限，則【答案】?1【分析】讓未知數(shù)的指數(shù)為-1，系數(shù)小于0列式求值即可．【詳解】∵是反比例函數(shù)，∴m2-2=-1，解得m=1或-1，∵圖象在第二、四象限，∴2m-1＜0，解得m＜0.5，∴m=-1，故答案為-1．【點睛】考查反比例函數(shù)的定義及性質：一般形式為y＝kx（k≠0）或y=kx-1【變式2-3】（2023春·江蘇南通·九年級南通田家炳中學?？计谥校┓幢群瘮?shù)y1（1）求m的值；（2）當x＞﹣1時，y的取值范圍是；（3）當直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3?m2交于A、B兩點（A在B的左邊）時，結合圖象，求出在什么范圍時【答案】（1）-2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義以及性質，即可得到m的值；（2）直接根據(jù)反比例函數(shù)的圖象進行解答即可．（3）解析式聯(lián)立求得A、B的坐標，然后根據(jù)A、B的坐標，然后觀察函數(shù)圖象求解．【詳解】解：（1）反比函數(shù)y1∴m+1<0且3?m解得m=?2；（2）由（1）可知反比例函數(shù)為y=?1∵由反比例函數(shù)的圖象可知，當?1<x<0時，函數(shù)圖象在直線y=1的上方，∴當?1<x<0時，y>1，∵當x>0時，函數(shù)圖象在第四象限，∴y<0，∴當x>?1時，y的取值范圍是y>1或y<0．故答案為y>1或y<0；（3）聯(lián)立解析式得方程組y=?xy=?1x解得x=1∴A(?1,1)，由圖象可知：當x<?1或0<x<1時y2【點睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：反比例函數(shù)的圖象與性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，數(shù)形結合思想解本題的關鍵．【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問題】【例3】（2023春·四川成都·九年級成都外國語學校校考期中）若ab＜0，則正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=bA． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象逐項分析，判斷出a、b的符號，與ab<0進行對比，問題得解．【詳解】解：A.由圖象可知：a>0,b>0，所以ab>0，與ab<0不一致，故A選項錯誤，不合題意；B.由圖象可知：a<0,b>0，所以ab<0，與ab<0一致，故B選項正確，符合題意；C.由圖象可知：直線不經過原點，與已知正比例函數(shù)y=ax不一致，故C選項錯誤，不合題意；D.由圖象可知：a<0,b<0，所以ab>0，與ab<0不一致，故D選項錯誤，不合題意．故選：B【點睛】本題考查了根據(jù)已知參數(shù)的取值范圍確定函數(shù)的大致圖象的問題，正確根據(jù)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)圖象確定比例系數(shù)的取值范圍是解題關鍵．【變式3-1】（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）反比例函數(shù)y=4x與一次函數(shù)y=x+1在同一坐標系中的大致圖象可能是（A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質、一次函數(shù)的性質即可判斷反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象所處的象限．【詳解】解：由反比例函數(shù)y=4x與一次函數(shù)y=故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的性質和反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．【變式3-2】（2023春·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，關于x的函數(shù)y=?kx(k≠0)和y＝kx－k，它們在同一坐標系內的圖象大致是（A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象的特點，利用分類討論的數(shù)學思想可以解答本題．【詳解】解：當k＞0時，函數(shù)y=kx-k的圖象在第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=?kx的圖象在第二、四象限，故選項B正確，選項C錯誤，選項當k＜0時，函數(shù)y=kx-k的圖象在第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=?kx的圖象在第二、四象限，故選項故選B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學思想和數(shù)形結合的思想解答．【變式3-3】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，反比例函數(shù)y=kbx（kb≠0），下列能同時正確描述這兩種函數(shù)大致圖像的是（A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象確定k和b的符號，進一步確定反比例函數(shù)的圖象即可．【詳解】解：A選項中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函數(shù)經過二、四象限，故A選項不符合題意；B選項中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＞0，b＞0，∴kb＞0，∴反比例函數(shù)經過一、三象限，故B選項不符合題意；C選項中，一次函數(shù)b=0，∵kb≠0，故C選項不符合題意；D選項中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函數(shù)經過二、四象限，故D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與參數(shù)的關系是解題的關鍵．【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點解方程或不等式】【例4】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=?x+5與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為1，該反比例函數(shù)的圖象關于直線y=x?1對稱后的圖象經過直線y=?x+5上的點C，則線段AC

【答案】2或4【分析】根據(jù)題意求得反比例函數(shù)解析式為y=4x，得到A1,4【詳解】解：∵一次函數(shù)y=?x+5與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于A，B故將x=1代入一次函數(shù)y=?x+5得y=4，故點A1,4將A1,4代入反比例函數(shù)y=kx，得k=4令?x+5=4x，整理得x2?5x+4=0，解得將x=4代入一次函數(shù)y=?x+5得y=1，故點B4,1故點A與點B關于直線y=x對稱，∵反比例函數(shù)y=4x關于直線則直線y=x關于直線y=x?1對稱后的圖像為直線y=x?2；令反比例函數(shù)y=4x的圖像關于直線y=x?1對稱后的圖象為y'，y故y'的圖象可以看做是由反比例函數(shù)y=原點O關于直線y=x?2的對稱點O'

故直線y=x?2可以看做直線y=x每一個點先向右平移1個單位，向下平移1個單位得到（或向右下45度防線平移2個單位），則y'的圖象可以看做是由反比例函數(shù)y=4x則點A1,4平移之后的坐標為A點B4,1平移之后的坐標為B即反比例函數(shù)y=4x的圖像關于直線y=x?1對稱后的圖象經過直線y=?x+5上的點C的坐標為2,3或線段AC的長度為1?22+4?3故答案為：2或42【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，一次函數(shù)的平移，反比例函數(shù)的性質等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）正比例函數(shù)y1=2x的圖象與反比例函數(shù)y2(1)求k的值和兩個函數(shù)圖象的另一個交點坐標；(2)直接寫出y1(3)根據(jù)圖象，直接寫出當?4<x<?1時，y2【答案】(1)k=8，另一個交點坐標為(?2,?4)；(2)x>2；(3)?8<【分析】（1）求出橫坐標為2的交點的縱坐標，再代入反比例函數(shù)yy2=k（2）畫出圖象觀察即可得到答案．（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，在每一象限內，y2隨x的增大而減小，分別求出x=?4和x=?1時y【詳解】（1）在y1=2x中令x=2得y=4，∴正比例函數(shù)y1=2x的圖象與反比例函數(shù)y2∴4=k2，解得∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都關于原點對稱，∴它們的交點也關于原點對稱，∴另一個交點為(?2,?4)；（2）由函數(shù)圖象可知，y1>y故答案為：x>2．（3）∵y2=8∴在每一象限內，y2隨x當x=?4時，y=?2；當x∴當?4<x<?1時，y2的取值范圍為?8<故答案為：?8<y【點睛】本題考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交點及大小比較，解題的關鍵是要掌握二者的對稱性和數(shù)形結合比較大小的方法．【變式4-2】（2023春·江蘇·九年級期末）如圖，反比例函數(shù)圖象l1的表達式為y=k1x(x>0)，圖象l2與圖象l1關于直線x=1對稱，直線y=k2x與l2交于A，B兩點，當A為OB中點時，則【答案】8【詳解】利用函數(shù)的對稱性質確定l2的解析式，再聯(lián)立方程，通過方程跟與系數(shù)的關系求出k1解：∵圖象l2與圖象l1關于直線x=1對稱，即f（x）與f（2﹣x）關于直線x=1對稱，∴反比例函數(shù)l2為：y=k∵直線y=k2x與l2交于A，B兩點，∴y=k整理得：x2∴xA+x∵A為OB中點，∴2x∴xA∴xA=2∴k1k2故答案為：89【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，函數(shù)的對稱性，一元二次方程根與系數(shù)的關系，求出函數(shù)l2的解析式是解題關鍵．【變式4-3】（2023春·江蘇·九年級期末）如圖，已知線段AB，A2,1，B4,3.5，現(xiàn)將線段AB沿y軸方向向下平移得到線段MN．直線y=mx+b過M、N兩點，且M、N兩點恰好也落在雙曲線(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．(2)①直接寫出不等式mx+b?k②若點P是y軸上一點，且△PMN的面積為8.5，請直接寫出點P的坐標．(3)若點Cx1,a，Dx2,a?2在雙曲線【答案】(1)y=?10x，y(2)①x≥4或0<x≤2；②P0,1或0,?16(3)當a>2或a<0時，x1>x2；當【分析】（1）設線段AB沿y軸方向向下平移t個單位得到線段MN，則點M、N的坐標分別為2,1?t、4,3.5?t，將點M、N的坐標代入y=kx，得：k=21?t=43.5?t，解得t=6（2）①觀察函數(shù)圖象，結合點M、N的坐標，即可求解；②設直線MN與y軸的交點為C，先求出C0,?152，再根據(jù)S△PMN=（3）將點C、D的坐標分別代入反比例函數(shù)表達式得：ax1=?10，a?2x2【詳解】（1）解：設線段AB沿y軸方向向下平移t個單位得到線段MN，∴點M、N的坐標分別為2,1?t、4,3.5?t，將點M、N的坐標代入y=kx得：解得：t=6，∴點M、N的坐標分別為2,?5、4,?2,5，∴k=2×?5∴反比例函數(shù)表達式為：y=?10將點M、N的坐標代入一次函數(shù)表達式，得?5=2m+b?2.5=4m+b解得：m=5∴一次函數(shù)表達式為：y=5（2）解：①觀察函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方或相交的部分即為不等式解集，∴不等式m+b?kx≥0的解集為x≥4②設直線MN與y軸的交點為C，令x=0，則y=?15∴C如圖，當點P在點C上方時，S△PMN∵△PMN的面積為8.5，∴解得PC=17∴P0,1如圖，當點P'在點C下方時，同理可得，P∴P0,?16綜上可知，點P的坐標為0,1或0,?16；

（3）解：將點Cx1,a，D得：ax1=?10則x1當20aa?2>0時，即a>2或a<0當20aa?2<0時，即0<a<2【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質等知識點，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強，利用數(shù)形結合思想解決問題是解題關鍵．【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用】【例5】（2023春·江西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，直線y=?x+k與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像交于A，BA．OA=OB B．當A，B兩點重合時，k=4C．當k=6時，OA=26 D．不存在這樣的k使得△AOB【答案】D【分析】先聯(lián)立聯(lián)立y=?x+ky=kx得到x2?kx+k=0，設A點坐標為（x1，?x1+k），B點坐標為（x2，?x2+k），然后分別求出OA，OB，即可判斷A；根據(jù)A、B重合，則方程x2?kx+k=0只有一個實數(shù)根，即Δ=?k2?4k=0【詳解】解：聯(lián)立y=?x+ky=kx設A點坐標為（x1，?x1+k），B點坐標為（∴OA2=∵A、B是直線與反比例函數(shù)的兩個交點，∴x12?k∴x12?k∴OA∴OA=OB，故A選項不符合題意；∵A、B重合，則方程x2∴Δ=解得k=4或k=0（舍去），故B選項不符合題意；當k=6時，OA∴OA=26若△AOB是等邊三角形，則OA=AB，∵x1+∴AB=2=2=2k∴2k解得k=6或k=0（舍去），∴存在k=6，使得△AOB是等邊三角形，故D選項符合題意；故選D【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，兩點距離公式，等邊三角形的性質，一元二次方程根于系數(shù)的關系，一元二次方程根的判別式等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．【變式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函數(shù)y=2x圖象上的兩點，動點P(x,0)在【答案】(3,0)【分析】求出A、B的坐標，設直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長AB交x軸于P′，當P在P′點時，PA﹣PB＝AB，此時線段AP與線段BP之差達到最大，求出直線AB于x軸的交點坐標即可．【詳解】解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y=2x得：y1＝2，y∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三邊關系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延長AB交x軸于P′，當P在P′點時，PA﹣PB＝AB，即此時線段AP與線段BP之差達到最大，設直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標代入得：{2=k+b解得：k＝﹣1，b＝3，∴直線AB的解析式是y＝﹣x+3，當y＝0時，x＝3，即P（3，0）．故答案為（3，0）．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題的知識，熟練掌握三角形的三邊關系定理和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解此題的關鍵是確定P點的位置．【變式5-2】（2023春·江西上饒·九年級校聯(lián)考期末）如圖，直線y=?x＋3與坐標軸分別相交于A，B兩點，過A，B兩點作矩形ABCD，AB=2AD，雙曲線y=kx在第一象限經過C，D兩點，則A．6 B．274 C．272【答案】B【分析】過點D作x軸的垂線，垂足為E，由條件易得△ADE是等腰直角三角形，由AB=2AD進而可求得點D的坐標，則可求得k的值．【詳解】解：過點D作x軸的垂線，垂足為E，如圖，對于y=?x＋3，令x=0，則y=3；令y=0，則∴OA=OB=3，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴∠DAE=180°?∠OAB?∠BAD=45°，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴EA=ED，∵AB=OA2∴AD=1由勾股定理得：EA=ED=2∴OE=OA+EA=9∴D9∵D點在雙曲線y=k∴k=xy=9故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，勾股定理，求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，直線與坐標軸的交點，矩形的性質等知識，其中求出點D的坐標是關鍵．【變式5-3】（2023春·全國·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸和y軸上，OBOA=2，∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點C，與AB交于點D，反比例函數(shù)y=kx的圖象過點C，當△ACD面積為1時，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)OBOA=2，得到OB=2OA，設OA=a，則OB=2a，設直線AB的解析式是y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式是y=﹣2x+2a，根據(jù)題意可得OD的解析式是y=x，由此求出D的坐標，再根據(jù)【詳解】解：∵OBOA∴OB=2OA，設OA=a，則OB=2a，設直線AB的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：ak+b=0b=2a解得：k=?2b=2a則直線AB的解析式是y=﹣2x+2a，∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=45°，CE=OE=12∴OD的解析式是y=x，根據(jù)題意得：y=xy=?2x+2a解得：x=2則D的坐標是（23a，∴CE=OE=12∴C的坐標是（12a，∴S△AOC=∴S△ACD∴a2∴k=1故選C．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求兩直線的交點，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，三角形面積公式等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】【例6】（2023春·浙江舟山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，其中∠OAB=90°，AO=AB，點C為斜邊OB的中點，反比例函數(shù)y=kxk>0,?x>0的圖象過點C且交線段AB于點D，連接CD，OD，若S

A．53 B．32 C．5【答案】B【分析】過點C作CE⊥x軸于E，設Am,0，Bm,m，且m>0，得到Cm2,m2，推出k=【詳解】解：過點C作CE⊥x軸于E，

∵∠OAB=90°，AO=AB，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，∴設Am,0，Bm,m，且∴AO=AB=m，∵點C為斜邊OB的中點，∴Cm∴OC=CE=m∵反比例函數(shù)y=kx的圖象過點∴m2∴k=m∴y=m∵∠OAB=90°，點D在線段AB上，∴點D的橫坐標為m，∵反比例函數(shù)y=m24x∴當x=m時，y=m∴Dm,∴AD=m4，AE=m?m∴S△OAD=∴S△BCD故選B．【點睛】此題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，各圖形面積的計算公式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，等腰直角三角形的性質，正確設出各點的坐標是解題的關鍵．【變式6-1】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形OABC的邊OA在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經過菱形對角線OB的中點D和頂點C，若菱形OABC的面積為62，則點

【答案】2【分析】設Dt,kt，利用線段中點坐標公式得到B2t,2kt，再利用BC∥OA得到C點的縱坐標為2kt【詳解】解：設Dt,∵D為OB的中點，∴B2t,∵四邊形ABCO為菱形，∴BC∥OA，∴C1∴BC=2t?1∵菱形OABC的面積為62∴32t?2k由兩點距離公式可得：12解得：t=2∴C故答案為22【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．也考查了菱形的性質．【變式6-2】（2023春·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點A的坐標為1，0，點D4，4在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，直線y=2

(1)求k、b的值．(2)求△ACE的面積．(3)已知點M在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像上，點M的橫坐標為m．若S【答案】(1)k=16，b=?2(2)6(3)0<m<?52【分析】（1）過點D作DF⊥x軸，垂足為F，如圖所示，由菱形的性質及勾股定理可知B(6,0)，C(9,4)；將點D(4,4)代入反比例函數(shù)y=kx，求出k；將點C(9,4)代入y=2（2）求出直線y=23x?2與x軸和y（3）求出直線ME的表達式，并得到直線ME與x軸和y軸的交點，即可求出△MAE的面積，利用面積相等列方程求解，在由點M的變化，根據(jù)S△MAE>【詳解】（1）解：過點D作DF⊥x軸，垂足為F，如圖所示：

∵點A的坐標為(1,0)，點D(4,4)，∴OA=1，OF=4，DF=4，∴AF=3，由勾股定理可得AD=3∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OA+AB=1+5=6，∴B(6,0)，C(9,4)，∵點D(4,4)在反比例函數(shù)y=k∴k=4×4=16，將點C(9,4)代入y=2∴b=?2；（2）解：由（2）得y=2對于y=23x?2，令x=0∴E(0,?2)，令y=0，則x=3，∴直線y=23x?2與x∴S△AEC（3）解：點M在反比例函數(shù)y=16x(x>0)的圖像上，點M

∴Mm,∵E(0,?2)，設直線ME的表達式為y=k'x+b'∴直線ME的表達式為y=16∴直線y=16m2+2由圖可知，S△MAE=12AE??（?①若點M在直線DE右側，?隨著點M沿著y=16x(x>0)圖像向上運動而減?。浑S著點M當S△MAE=S△ACE時，12m2∵m>0，1>0∴m+1>0，∴根據(jù)兩個數(shù)（式）相乘結果為0，若其中一個不等于0，則另一個數(shù)（式）必定為0，則m?8=0，解得m=8；∴M8,2∴若S△MAE>S△ACE，則②若點M在直線DE左側，?隨著點M沿著y=16當S△MAE=S△ACE時，121?m2m+816m∵m>0，∴m=?52∴若S△MAE>S△ACE，則綜上所述，若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為故答案為：0<m<?52+【點睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖像及性質，菱形的性質，平面直角坐標系中三角形面積求法，因式分解，配方及開平方運算等知識，能夠將借助菱形的邊長和菱形邊的平行求點的坐標是解題的關鍵．【變式6-3】（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于Aa,?2

(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，求點C的橫坐標；(3)將△AOB在平面內沿某個方向平移得到△DEF(其中點A、O、B的對應點分別是D、E、F)，若D、F同時在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，求點【答案】(1)y=(2)C點的橫坐標為?1+132(3)點E的坐標為2,?4【分析】1將點Aa,?2代入y=2x+4，可得點A的坐標，再將點A2首先求出點B的坐標，分情況討論：在點M下方的y軸上取OM的中點D，過點D作CD∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點C，或在點M上方的y軸上取ME=2，過點E作CE∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點3由平行四邊形和反比例函數(shù)的對稱性可知B與D，A與F關于原點對稱，即可求得D3,2，根據(jù)B、F的坐標得到平移的距離，從而求得點E【詳解】（1）解：將點Aa,?2代入y=2x+4得，?2=2a+4解得a=?3，∴A?3,?2∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經過點∴k=?3×?2∴反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=6（2）解：列方程組y=2x+4y=解得x=?3y=?2或x=1∴B1,6如圖，設直線y=2x+4與y軸交于M，

∴M0,4∵點C是反比例函數(shù)第一象限圖象上一點，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，∴點C到直線AB的距離是點O到直線AB距離的一半，如圖，在點M下方的y軸上取OM的中點D，過點D作CD∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點C，此時點C到直線AB的距離是點O到直線∴直線CD的解析式為y=2x+2，∴2x+2=6解得x1=?1+132，x∴C點的橫坐標為?1+13在點M上方的y軸上取ME=2，過點E作CE∥AB，交反比例函數(shù)第一象限圖象上一點同理可得C點的橫坐標為?3+21綜上：C點的橫坐標為?1+132或（3）解：由題意可知AB=DF，AB∥∴四邊形ABFD是平行四邊形，由反比例函數(shù)與平行四邊形是中心對稱圖形可知，B與D，A與F關于原點對稱，∴F3,2∵B1,6∴點B向右平移2個單位，向下平移4個單位得到點F，∴點E的坐標為2,?4．

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形面積，平移的性質，數(shù)形結合是解題的關鍵．【題型7反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問題】【例7】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點P是平面內任意一點（坐標軸上的點除外），過點P分別作x軸、y軸的垂線，若由點P、原點O、兩個垂足A、B為頂點的矩形OAPB的周長與面積的數(shù)值相等時，則稱點P是平面直角坐標系中的“美好點”．

【嘗試初探】（1）點C2，3______“美好點”（填“是”或“不是”）；若點D【深入探究】（2）①若“美好點”Em，6m>0在雙曲線y=kx（②在①的條件下，F(xiàn)2，n在雙曲線y=【拓展延伸】（3）我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點”，已知點Px①求y關于x的函數(shù)表達式；②在圖2的平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖像的草圖，觀察圖像可知該圖像可由函數(shù)______（x>0）的圖像平移得到；③結合圖像研究性質，下列結論正確的選項是______；（多項選擇）A．圖象與經過點2，B．y隨著x的增大而減??；C．y隨著x的增大而增大；D．圖像經過點10，④對于圖像上任意一點x，y，代數(shù)式【答案】（1）不是，4；（2）①18；②152；（3）①y=4x?2+2（x>2【分析】（1）直接根據(jù)“美好點”的定義可以判斷點C是不是“美好點”，根據(jù)“美好點”的定義得到2×4+b=4b，進行計算即可得到（2）①根據(jù)“美好點”的定義求出m的值，得到E的坐標，將點E代入反比例函數(shù)解析式，進行計算即可得到答案；②先由①得出點F的坐標，再用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，令直線EF與x軸交于點G，當y=0時，求出點G的坐標，最后根據(jù)S△EOF（3）①根據(jù)“美好點”的定義可得2x+y=xy，化簡整理即可得到答案；②描點連線即可得到圖象，由圖象觀察可知，該圖像可由y=4x平移得到；③先畫出草圖，再根據(jù)圖象逐一判斷即可得到答案；④將【詳解】解：（1）∵2+3∴點C2∵點D4∴2×4+b解得：b=4，故答案為：不是，4；（2）①∵Em∴2×m+6解得：m=3，∴E3將E3，6得k=18，故答案為：18；②∵F2，n∴n=18∴F2設直線EF的解析式為：y=ax+b，∴2a+b=9解得a=?3b=15∴直線EF的解析式為：y=?3x+15，令直線EF與x軸交于點G，當y=0時，?3x+15=0，解得：x=5，∴G5畫出圖如圖所示：

∴S（3）①∵點Px∴2x+y化簡得：y=2x∵第一象限內的點的橫坐標為正，∴x>0解得：x>2，∴y關于x的函數(shù)表達式為：y=4x?2+2②畫出草圖如圖所示：

該圖像可由y=4故答案為：y=4③由圖象可得：A.圖象與經過點2，B.由圖象可知y隨著x的增大而減小，故B正確，符合題意；C.y隨著x的增大而增大，該選項說法錯誤，不符合題意；D.當x=10時，y=52，所以圖像經過點故選：AB；④∵y=4∴2?x∴對于圖像上任意一點x，y，代數(shù)式2?x?【點睛】本題主要考查了矩形的性質、反比例函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握矩形的性質、反比例函數(shù)的圖象與性質，理解“美好點”的定義，是解題的關鍵．【變式7-1】（2023春·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期末）九年級某數(shù)學興趣小組在學習了反比例函數(shù)的圖象與性質后，進一步研究了函數(shù)y=(1)繪制函數(shù)圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝________；x…-4-3-2-1-11234…y…2-3-531m--…描點：根據(jù)表中各組對應值（x，y），在平面直角坐標系中描出了各點；連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象．請你把圖象補充完整；(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題；①當x＜0時，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”）②函數(shù)y=2-x③函數(shù)y=(3)設A(x1,y1)、B【答案】(1)0，圖見解析(2)①減小；②下；1；③0,-1(3)1【分析】（1）將x=2（2）根據(jù)圖象進行解答即可；（3）將點代入解析式，結合x1【詳解】（1）解：當x=2時：y∴m=0如圖：（2）解：如圖①當x＜0時，y隨x增大而減??；②y=∴函數(shù)y=2-x③∵y=∴y=2-x（3）把A（x1y1=∵x1∴y1【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象的平移和性質．根據(jù)列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得到函數(shù)的性質是解題的關鍵．【變式7-2】（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，將函數(shù)y=kxx>0的圖像T1向左平移4個單位得到函數(shù)y=kx+4x>?4的圖像T2，T(1)若a=3，求k的值(2)如圖2，B為x軸正半軸上一點，以AB為邊，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，線段BC與T2相交于點E①求正方形ABCD的面積；②直接寫出點E的坐標．【答案】(1)k＝12(2)①正方形ABCD的面積為8；②E【分析】（1）先計算點A平移前的坐標為（4，3），這點在圖象T1上，代入函數(shù)y＝kx(x＞0)中可得k的值；（2）①先根據(jù)點A（0，a）可得k＝4a，如圖2，過點D作FM⊥y軸于M，過點C作CF⊥FM于F，證明△DMA≌△AOB（AAS），表示點D和C的坐標，可解答；②利用待定系數(shù)法可得BC的解析式，與平移后的函數(shù)關系式聯(lián)立方程，解方程可得點E的坐標．【詳解】（1）解：當a＝3時，A（0，3）∴點A平移前的點的坐標是（4，3）∴k＝4×3＝12．（2）解：①把點A（0，a）代入y＝kx＋4∴k＝4a，過點D作FM⊥y軸于M，過點C作CF⊥FM于F，如圖所示：∴∠DMA＝90°，∴∠DAM＋∠ADM＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAM＋∠BAO＝90°，∴∠MDA＝∠BAO，∴△DMA≌△AOB（AAS），∴DM＝OA＝a，當x＝a時，y=4a∴AM＝4?a，同理得：△AMD≌△DFC（AAS），∴DF＝AM＝4?a，CF＝DM＝a，∴C（4，4?a），∴4（4?a）＝4a，∴a＝2，∴正方形ABCD的面積＝AD2＝a2＋（4?a）2＝4＋4＝8；②由①得：B（2，0），C（4，2），設BC的解析式為：y＝mx＋b，則2m＋b＝∴BC的解析式為：y＝x?2，∴x?2＝解得：x=?1±17∵點E在第一象限，∴x=?1+17∴E?1+【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，平移的性質，三角形全等的性質和判定，正方形的性質等知識，作輔助線，構建全等三角形是解本題的關鍵，還體現(xiàn)了方程思想，難度適中．【變式7-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學?？计谀┰诔踔须A段的函數(shù)學習中，我們經歷了“確定函數(shù)的表達式——利用函數(shù)圖象研究其性質——運用函數(shù)解決問題”的學習過程，在畫函數(shù)圖象時，我們可以通過列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，也可以利用平移、對稱、旋轉等圖形變換的方法畫出函數(shù)圖象，同時，我們也學習了絕對值的意義：a=aa≥0（1）當x=2時，y的值為___________；當y=0時，x的值為___________；函數(shù)y=3+6x?1（2）在平面直角坐標系中，結合已有學習經驗，用你喜歡的方法補全函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象，并請寫出該函數(shù)的一條性質：____________；（3）已知函數(shù)y=x+3的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式3+6【答案】（1）9，-1，x≠1；（2）圖象見解析，當x<?1時，y的值隨x的增大而減小；當?1≤x<1時，y的值隨x的增大而增大；當x>1時，y的值隨x的增大而減?。唬?）x≤?2或0≤x<1或1<x≤3【分析】（1）把x=2和y=0分別代入y=3+6x?1（2）找出幾個特殊點進行計算，將圖象大致描繪出來，注意圖象都在x軸的上方，根據(jù)增減性寫出函數(shù)的性質即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象得出不等式3+6【詳解】解：（1）當x=2時，y=3+當y=0時，0=3+6x?1函數(shù)y=3+6x?1中，自變量x故答案為：9，-1，x≠1；（2）如圖所示，性質：①當x<?1時，y的值隨x的增大而減??；②當?1≤x<1時，y的值隨x的增大而增大；③當x>1時，y的值隨x的增大而減??；故答案為：當x<?1時，y的值隨x的增大而減??；當?1≤x<1時，y的值隨x的增大而增大；當x>1時，y的值隨x的增大而減?。唬?）由圖象可得，3+6x?1∴不等式3+6x?1≥x+3的解集為：x≤?2或0≤x<1故答案為：x≤?2或0≤x<1或1<x≤3．【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象與性質，函數(shù)與一元一次不等式，利用數(shù)形結合思想，正確畫出函數(shù)的圖象是解題的關鍵．【題型8與反比例函數(shù)的圖象、性質有關的閱讀理解題】【例8】（2023春·江蘇蘇州·九年級?？计谀┪覀兌x：如果一個矩形A周長和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形B的完全N倍體．(1)若矩形A為正方形，是否存在一個正方形B是正方形A的完全2倍體？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】長為3，寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？小鳴和小棋分別有以下思路：【小鳴方程流】設新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12得x【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：(2)那么長為3．寬為2的矩形C是否存在完全12(3)如果長為3，寬為2的矩形C存在完全k倍體，請直接寫出k的取值范圍：______．【答案】(1)不存在(2)長為3．寬為2的矩形C不存在完全12(3)k≥【分析】（1）根據(jù)“完全N倍體”的定義及題干示例解答即可；（2）運用新定義“完全N倍體”及【小鳴方程流】和【小棋函數(shù)流】的方法分別解答即可；（3）設所求矩形的長為x,則所求矩形的寬為：k（3+2）-x,即5k-x,根據(jù)新定義“完全N倍體”可得：x2-5kx+6k【詳解】（1）不存在．因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為2時，則面積比必定是4，所以不存在．故答案為：不存在；[深入探究]長為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形，∵矩形ABCD長為3，寬為2，∴矩形ABCD的周長為10，面積為6，[小鳴方程流]設新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=10.xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12整理得x2解得：x1=5+13∴新矩形的長為5+13，寬為5?13時，周長為20，面積為∴長為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形．[小棋函數(shù)流]如圖，設新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=10.xy=12，即y=?x+10，y=12利用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：（2）長為3，寬為2的矩形C的周長為10，面積為6，[小鳴方程流】設新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=52，聯(lián)立得x+y=5整理得：2x∵Δ=(?5)∴此方程沒有實數(shù)根，即長為3.寬為2的矩形C不存在完全12[小棋函數(shù)流]如圖，設新矩形長和寬為x、y，則依題意x+y=5即y=?x+52，利用反比例函數(shù)l2：y=3x與一次函數(shù)l1：（3）設所求矩形的長為x，則所求矩形的寬為：k(3+2)?x，即5k?x，由題意得：x?(5k?x)=6k，整理得：x2Δ=25k∵一定存在另一個矩形的周長和面積分別是已知矩形周長和面積k倍，∴△≥0，即：25k令y=25k則由y=0，可得：25k解得：k1=0，∴當y≥0時，k≤0或k≥24∵k≤0不符合題意，∴k的取值范圍為：k≥24故答案為：k≥24【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根的判別式．需要認真閱讀理解新定義“矩形A是矩形B的完全N倍體”，根據(jù)題干過程模仿解題．第（3）題應用一元二次方程根的判別式求k的范圍．【變式8-1】（2023春·江蘇·九年級期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：12+18_________212×1（2）由（1）中各式猜想：對于任意正實數(shù)a、b，a＋b_________2ab（3）結論應用：若a＞0，則當a＝_________時，a+4a有最小值；若b＞0，（4）問題解決：如圖，已知點A在反比例函數(shù)y=9x（x＞0）的圖像上，點B在反比例函數(shù)y=?7x（x＜0）的圖像上，且AB∥x軸，過點A作AD⊥x軸于點【答案】（1）＞，＝，＞；（2）≥，理由見解析；（3）2，5；（4）存在，最小值16，A(【分析】（1）分別計算出左右兩邊，即可比較大?。唬?）利用完全平方公式可得a+b?2ab（3）直接代入（2）中結論可得答案；（4）設A(m,9m)，B(?7m9，9【詳解】解：（1）∵12+1∴12∵3+3=6，23×3∴3+3=23×3∵6+3=9，26×3∴6+3>26×3故答案為：>，=，>；（2）∵a+b?2ab∴a+b?2ab故答案為：?；（3）當a=4a時，即a=2時，∵b+9∴當b+1=9b+1時，即b=2時，b+9故答案為：2，5；（4）四邊形ABCD的周長存在最小值，理由如下：設A(m,9m)，B(?∵AB∥x軸，AD⊥x∴AB=m+7m9=∴四邊形ABCD的周長為2(AB+AD)=32m∵m>0，∴32m9∴當32m9=18∴四邊形ABCD的周長最小值為16，此時A(94，【點睛】本題考查了學生的閱讀理解能力和分析、解決問題的能力，是近幾年中考的熱點問題，解題的關鍵是利用前面推出的結論解決后面問題．【變式8-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學?？计谥校鹃喿x理解】把一個函數(shù)圖象上每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼牡箶?shù)（原函數(shù)圖象上縱坐標為0的點除外）、橫坐標不變，可以得到另一個函數(shù)的圖象，我們稱這個過程為倒數(shù)變換．

【知識運用】如圖1，將y=x的圖象經過倒數(shù)變換后可得到y(tǒng)=1x的圖象（部分）．特別地，因為y=x圖象上縱坐標為0的點是原點，所以該點不作變換，因此y=1x的圖象上也沒有縱坐標為0的點．小明在求y=x的圖象與y=1x的交點時速用了開平方的定義：y=1xy=x【拓展延伸】請根據(jù)上述閱讀材料完成：(1)請在圖2的平面直角坐標系中畫出y=x+1的圖象和它經過倒數(shù)變換后的圖象．(2)設函數(shù)y=x+1的圖象和它經過倒數(shù)變換后的圖象的交點為A，B（點A在左邊），直接寫出其坐標．A______，B______；(3)設C?1,m，且S△ABC=4【答案】(1)見解析(2)(?2,?1)，(0,1)(3)±4【分析】（1）畫出函數(shù)y=x+1和函數(shù)y=1（2）解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求解；（3）利用三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解y=x+1y=1x+1，得x=0∴A(?2,?1)，B(0,1)，故答案為：(?2,?1)，(0,1)；（3）∵S∴12∴m=±4．【點睛】本題考查倒數(shù)變換，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，三角形面積．理解倒數(shù)變換的定義是解題的基礎，能夠熟練用描點法畫圖是正確畫出圖象的關鍵．【變式8-3】（2023春·湖南懷化·九年級溆浦縣第一中學?？计谥校╅喿x：若w為正實數(shù)，對于某一函數(shù)圖象上任意兩點P1(x1,y1(1)分別判斷y=3x?2和y=1x(2)若y=1x(1(3)若y=x3(a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函數(shù)，且【答案】(1)y=3x?2是王氏函數(shù)，y=1(2)0＜w(3)3【分析】（1）利用王氏函數(shù)的定義判斷即可；（2）先利用王氏函數(shù)的定義化簡得到有y1?y2x1?x2≥w（3）先利用李氏函數(shù)的定義得出結論化簡得有y1?y2x1?x2=【詳解】（1）由y1?y①y1=3∴y1?∴y1②y1=∴y1?∴y1?y∴y=3x?2是王氏函數(shù)，y=1（2）若y=1x(13＜x＜∵13設13∴1∴w≤1x∴w≤1故0＜w≤（3）由題y1?y2∴w≤x12+∴w≤x12+即w≤3∴a=3所求a的值是3．【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，解不等式，分類討論的思想；解本題的關鍵是理解新定義．【題型9反比例函數(shù)中的存在性問題】【例9】（2023春·福建泉州·九年級?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系中，點A?2,0，點B0,2，直線AB與反比例函數(shù)y=k

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖2，點E4,m是反比例函數(shù)y=kxx>0圖象上一點，連接CE，AE，試問在x軸上是否存在一點D，使△ACD的面積與(3)在（2）的條件下，坐標原點O關于點D的對稱點為G，且點G在x軸的正半軸上，若點M是反比例函數(shù)的第一象限圖象上一個動點，連接MG，以MG為邊作正方形MGNF，當頂點F恰好落在直線AB上時，求點M的坐標．【答案】(1)y=(2)存在，D2,0或(3)點M1,8或【分析】（1）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再把點C坐標代入求出a，再代入反比例函數(shù)解析式即可求出k；（2）先求出點E坐標，當點D在x軸正半軸上時，由于△ACD的面積與△ACE的面積相等，進而可得DE∥AC，設直線DE的解析式為y=x+c，把點E4,2代入即可求出c，進而可得點D（3）由題意可知：G4,0，再分兩種情況：當點F在M左側時，如圖，作出輔助線構建三垂直全等三角形，證明△QMF≌△HGMAAS，推出QF=MH，GH=QM，設Mt,8t，然后用含t的代數(shù)式表示出點F【詳解】（1）設直線AB的解析式為y=bx+n將點A?2,0，B0,2代入，得?2b+n=0n=2∴y=x+2，將點Ca,4代入y=x+2，得a+2=4，解得a=2∴C2,4將點C2,4代入y=kx∴y=8（2）把點E4,m代入y=8x∴E4,2當點D在x軸正半軸上時，設點E到AC的距離為?1，點D到AC的距離為因為△ACD的面積與△ACE的面積相等，所以?1∴DE∥AC，設直線DE的解析式為y=x+c，把點E4,2代入得，c=?2∴y=x?2，令y=0得x=2，∴D2,0當點D在x軸的負半軸時，根據(jù)對稱性可得DA=4，∴D?6,0∴D2,0或D

（3）由題意可知：G4,0當點F在M左側時，如圖，過點M作QH∥x軸，過點F作FQ⊥QH于點Q，過點G作GH⊥QH于點H，∴∠MQF=∠MHG=90°，在正方形MGNF中，∠GMF=90°，MG=MF，∵∠QMF+∠GMH=90°=∠MGH+∠GMH，∴∠QMF=∠MGH，∴△QMF≌△HGMAAS∴QF=MH，GH=QM，∵M在雙曲線y=8∴設點Mt,8t，則QF=MH=4?t∴點Ft?8t,8解得t=8∴點M8

當點F在M右側時，如圖，過點M作QH∥y軸，交x軸于點Q，過點F作FH⊥QH于點H，同理可證△MFH≌△GMQAAS∴QG=MH，F(xiàn)H=QM，∵M在雙曲線y=8∴設點Mt,8t，則QG=MH=4?t∴點Ft+8t,8解得t=1，∴點M1,8綜上，點M1,8或8

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質、正方形的性質、函數(shù)圖象上點的坐標特點等知識，熟練掌握上述知識、靈活應用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．【變式9-1】（2023春·四川成都·九年級成都實外?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x與雙曲線y=kx與相交于A，B兩點（點A在點(1)當AB=25時，求k(2)點B關于y軸的對稱點為C，連接AC，①判斷△ABC的形狀，并說明理由；②當△ABC的面積等于16時，雙曲線上是否存在一點P，連接AP，BP，使△PAB的面積等于△ABC面積？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)k=2；(2)①△ABC為直角三角形，理由見解析；②點P的坐標為(?2+22，4+42)或(?2?2【分析】（1）設點B的坐標為(m，2m)，則點A(?m，（2）①點A、C的橫坐標相同，AC∥y軸，點B關于y軸的對稱點為C，故BC⊥y軸，即可求解；②過點C作直線m∥AB，交反比例函數(shù)于點P，則點P符合題設要求，同樣在AB下方等間隔作直線n∥AB交反比例函數(shù)于點P，則點P也符合要求，進而求解．【詳解】（1）解∶設點B的坐標為(m，2m)，則點AB解得m=1（負值已舍去），故點