新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類能力拓展07不等式恒成立問題(10種考向)(原卷版+解析)

能力拓展07不等式恒成立問題【命題方向目錄】命題方向一：直接法命題方向二：端點恒成立命題方向三：端點不成立命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離命題方向五：洛必達法則命題方向六：同構(gòu)法命題方向七：必要性探路命題方向八：max，min函數(shù)問題命題方向九：構(gòu)造函數(shù)技巧命題方向十：雙變量最值問題【方法技巧與總結(jié)】1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．【典例例題】命題方向一：直接法例1．（2023·遼寧·高三本溪高中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，．(1)證明：恒成立；(2)若對，恒成立，求a的取值范圍．例2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)若不等式對一切恒成立，則正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．命題方向二：端點恒成立例3．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：在上恒成立；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．是的導(dǎo)數(shù)．（1）試討論的極值點；（2）①若，證明：當(dāng)時，恒成立；②當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．命題方向三：端點不成立例6．（2023·浙江舟山·舟山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若恒成立，求的最小值；(2)求證：；(3)已知恒成立，求的取值范圍．例7．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例8．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．變式1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；(2)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離例9．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)，．(1)討論的極值的個數(shù)；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍．例10．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當(dāng)時，，求k的取值范圍．命題方向五：洛必達法則例11．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.(1)求實數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例12．設(shè)函數(shù).當(dāng)時，，求的取值范圍.命題方向六：同構(gòu)法例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，函數(shù)，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例14．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例15．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，判斷的零點個數(shù)；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.命題方向七：必要性探路例16．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)當(dāng)時，若，，求實數(shù)m的取值范圍．例17．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)求證：；(2)若，試比較與的大?。?3)若，問是否恒成立？若恒成立，求的取值范圍；若不恒成立，請說明理由.例18．（2023·福建福州·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若恒成立，直接寫出a的值，并證明該不等式；(2)證明：當(dāng)時，；(3)當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值集合．命題方向八：max，min函數(shù)問題例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.(1)證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.命題方向九：構(gòu)造函數(shù)技巧例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．例22．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.命題方向十：雙變量最值問題例23．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中．（1）當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）當(dāng)時，若對任意，都有恒成立，求的最小值．【過關(guān)測試】1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，給出以下三個結(jié)論：①如果有兩個不同的根，則；②當(dāng)時，恒成立；③如果有兩個根，，則.其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）對，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┰O(shè)實數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┤舨坏仁皆谏虾愠闪?，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2023·全國·模擬預(yù)測）若不等式對恒成立，那么的最大整數(shù)值為（

）A． B．1 C．2 D．39．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，恒成立，則a的最小值為（

）A． B． C． D．10．（多選題）（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？既＃┤?，若恒成立，則的值不可以是（

）A． B．1 C． D．11．（多選題）（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的可能取值有（

）A． B． C． D．12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值可能為（

）A． B． C． D．13．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知時，，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，14．（多選題）（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）已知，，則（

）A． B．C． D．15．（多選題）（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若實數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．16．（2023·廣東佛山·高三佛山市第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，對任意的正實數(shù)x都有恒成立，則a的取值范圍是__________．17．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，，且時，恒成立，則的取值范圍是_________.18．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為______．19．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；20．利用分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．21．根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與有解問題的區(qū)別．22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為______．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則參數(shù)k的取值范圍為______．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對于，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為______．25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)實數(shù)，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為________．26．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知實數(shù)，函數(shù)，．(1)若不等式恒成立，求a的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求a的取值范圍．27．（2023·浙江寧波·高三期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若對恒成立，求k的取值范圍；(3)求證：對，不等式恒成立.28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，.(1)若恒成立，求m的取值范圍；(2)若不等式在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍．29．（2023·江蘇泰州·高三江蘇省泰興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)若對一切，恒成立，求的值；(2)在函數(shù)的圖像上取定點，記直線的斜率為，證明：存在，使恒成立．30．（2023·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍；(2)若曲線的一條切線為，證明：當(dāng)時，恒成立.31．（2023·山西晉中·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在常數(shù)，，使得，對恒成立，且，對恒成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”，試問：與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．32．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求的值；(3)當(dāng)，時，恒成立，直接寫出的取值范圍．33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.34．（2023·黑龍江大慶·高三鐵人中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知．(1)求證：對于，恒成立；(2)若對于，有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．35．（2023·浙江舟山·高三舟山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若在恒成立，求正實數(shù)的取值范圍．

能力拓展07不等式恒成立問題【命題方向目錄】命題方向一：直接法命題方向二：端點恒成立命題方向三：端點不成立命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離命題方向五：洛必達法則命題方向六：同構(gòu)法命題方向七：必要性探路命題方向八：max，min函數(shù)問題命題方向九：構(gòu)造函數(shù)技巧命題方向十：雙變量最值問題【方法技巧與總結(jié)】1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．【典例例題】命題方向一：直接法例1．（2023·遼寧·高三本溪高中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，．(1)證明：恒成立；(2)若對，恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）證明：的定義域為，且，當(dāng)時，，時，，所以在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．故的最小值為，因此恒成立．（2）①當(dāng)時，取，則，即不符合題意；②當(dāng)時，取，則，即不符合題意；③當(dāng)時，由，所以，即對恒成立．令，，且，所以對恒成立．設(shè)，，則，設(shè)，則，由（1）知，所以，同理，由可推出，所以，即在上單調(diào)遞增，又，所以在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故成立．綜上a的取值范圍為．例2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)若不等式對一切恒成立，則正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意不等式對一切恒成立，即對一切恒成立，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則需恒成立；令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，取，（），取，即在存在唯一的零點，且，故時，，時，，故正整數(shù)的最大值為7，故選：C命題方向二：端點恒成立例3．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）時，；又，則，切線方程為：，即（2），則，又令，①當(dāng)，即時，恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴（不合題意）；②當(dāng)即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴（符合題意）；③當(dāng)，即時，由，∴，使，且時，，∴在上單調(diào)遞增，∴（不符合題意）；綜上，的取值范圍是；例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：在上恒成立；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)證明：因為，設(shè)，則，令，則所以在上單調(diào)遞增，，即所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以(2)當(dāng)時，，設(shè)，即，由（1）可得所以，從而在上單調(diào)遞增，，于是當(dāng)任意的實數(shù)，在上恒成立；當(dāng)時，在上恒成立，因為，于是，故不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．是的導(dǎo)數(shù)．（1）試討論的極值點；（2）①若，證明：當(dāng)時，恒成立；②當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，無極值點，當(dāng)時，令，則，令，則，單調(diào)遞增，令，則，單調(diào)遞減，的極小值點為，無極大值點，綜上：當(dāng)時，無極值點，當(dāng)時，的極小值點為，無極大值點．（2）①證明：當(dāng)時，設(shè)，，則，故在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，故在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，故當(dāng)時，恒成立．②設(shè)，則，且，則，且，，，，則在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，由于在，上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，則在，上單調(diào)遞增，故，則在，上單調(diào)遞增，故，符合題意，當(dāng)時，，利用（1）中已證結(jié)論可得由于在，上單調(diào)遞增，，故必然存在，使得時，，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，綜上，的取值范圍為，．命題方向三：端點不成立例6．（2023·浙江舟山·舟山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若恒成立，求的最小值；(2)求證：；(3)已知恒成立，求的取值范圍．【解析】(1)等價于，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，的最小值為.(2)證明：當(dāng)時，由（1）得，即.令，則，即.(3)恒成立，即恒成立,，由（2）知恒成立，，故的取值范圍為.例7．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）的定義域為，，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上所述：當(dāng)時，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2），設(shè)，則原不等式恒成立等價于在上恒成立，，在上為增函數(shù)，則在上恒成立，等價于在上恒成立，等價于在上恒成立令，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，故.例8．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．【解析】（1）由定義域為又令，顯然在單調(diào)遞減，且；∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）法一：∵任意的，恒成立，∴恒成立，即恒成立令，則．令，則在上單調(diào)遞增，∵，．∴存在，使得當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，由，可得，∴，又∴，故的最小值是1．法二：∴恒成立，即恒成立令不妨令，顯然在單調(diào)遞增．∴在恒成立．令∴當(dāng)時，；當(dāng)時，即在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減∴∴，故的最小值是1．變式1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；(2)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，定義域為，所以，令得，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得最小值，.（2）因為函數(shù)對恒成立所以對恒成立，令，則，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，由可得，即滿足對恒成立；②當(dāng)時，則，，在上單調(diào)遞增，因為當(dāng)趨近于時，趨近于負(fù)無窮，不成立，故不滿足題意；③當(dāng)時，令得令，恒成立，故在上單調(diào)遞增，因為當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮，當(dāng)趨近于時，趨近于負(fù)無窮，所以，使得，，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，只需即可；所以，，，因為，所以，所以，解得，所以，，

綜上所解，實數(shù)a的取值范圍為．命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離例9．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)，．(1)討論的極值的個數(shù)；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）定義域為，，令，當(dāng)a＝0時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有一個極大值；當(dāng)時，①，為圖象開口朝下的二次函數(shù)，，∴的兩根為，顯然，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有一個極大值；②，可知，∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以有2個極值，一個極大值，一個極小值；③時，可得，∴在上單調(diào)遞增，所以無極值．綜上所述，當(dāng)時，有一個極大值；當(dāng)時，有一個極大值，一個極小值；當(dāng)時，無極值．（2）設(shè)，，，∴，∴，兩邊同時取倒數(shù)，∴，∴，又∵，∴即可，由，可得，設(shè)，，∴設(shè)，，∴，∴，∴單調(diào)遞減，∴，∴，∴a的取值范圍為．例10．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當(dāng)時，，求k的取值范圍．【解析】（1），記，則．①當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞減，故無極值．②當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以在處取得極大值，且極大值為．綜上所述，當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，的極大值為，無極小值．（2）可化為，當(dāng)時，，此時可得；當(dāng)時，不等式可化為，設(shè)，則，

設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以函數(shù)在和上都為增函數(shù)，取，則，設(shè)，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以的最小值為，即，所以當(dāng)和時，沒有最小值，但當(dāng)x趨近－1時，無限趨近，且，又恒成立，所以，所以．綜上，k的取值范圍為．命題方向五：洛必達法則例11．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.(1)求實數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，；函數(shù)在處取得極值，；又曲線在點處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進而（或，，得在是減函數(shù)，進而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時，沒有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達法得到答案，，故答案為．例12．設(shè)函數(shù).當(dāng)時，，求的取值范圍.【解析】由題設(shè)，此時.①當(dāng)時，若，則，不成立；②當(dāng)時，當(dāng)時，，即；若，則；若，則等價于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達法則有，即當(dāng)時，，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.命題方向六：同構(gòu)法例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，函數(shù)，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，對恒成立，又，所以，即，即，令，，∴，設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得時，函數(shù)取得極小值即最小值，，∴恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，又原不等式等價于，所以，即，即恒成立，令，，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得時，函數(shù)取得極大值即最大值.，所以.故選：A.例14．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，即對恒成立．設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．①在上，若恒成立，即，；②在上，若，則恒成立，即恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．故選：B．例15．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，判斷的零點個數(shù)；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，定義域為，令，可得，設(shè)，則，令，得在上單調(diào)遞增；令，得，在上單調(diào)遞減，.當(dāng)時，；當(dāng)時，，從而可畫出的大致圖象，

①當(dāng)或時，沒有零點；②當(dāng)或時，有一個零點；③當(dāng)時，有兩個零點.（2）當(dāng)時，不等式恒成立，可化為在上恒成立，該問題等價于在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，，即，即①當(dāng)時，，不等式恒成立；②當(dāng)時，令，顯然單調(diào)遞增，且，故存在，使得，所以，即，而，此時不滿足，所以實數(shù)不存在.綜上可知，使得恒成立的實數(shù)的取值范圍為.命題方向七：必要性探路例16．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)當(dāng)時，若，，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）．當(dāng)時，，易知f(x)在R上單調(diào)遞減．當(dāng)時，令，可得；令，可得且，∴f(x)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，令，可得且；令，可得，∴在和上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時，由，得即，令，則∵，且，∴存在，使得當(dāng)時，，∴，即．下面證明當(dāng)時，對恒成立．∵，且，∴設(shè)，∴，可知F(x)在上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴綜上，實數(shù)m的取值范圍為．例17．（2023·上海普陀·曹楊二中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求證：；(2)若，試比較與的大??；(3)若，問是否恒成立？若恒成立，求的取值范圍；若不恒成立，請說明理由.【解析】（1）即證，令，，當(dāng)所以此時單調(diào)遞減；當(dāng)所以此時單調(diào)遞增；即當(dāng)時，取得極小值也是最小值，所以，得證；（2）設(shè)，則，①當(dāng)時，，所以，而此時，故，在減函數(shù)，，即；②當(dāng)時，由（1）知，令，即在單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，又恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以，即，即綜上，若，.（3）恒成立，設(shè)，即證在上恒成立，易得，當(dāng)時，若，下面證明：當(dāng)時，，在上恒成立，因為，設(shè)，則，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以在上是嚴(yán)格增函數(shù)，若時，，即在右側(cè)附近單調(diào)遞減，此時必存在，不滿足恒成立，故當(dāng)時，不等式恒成立.例18．（2023·福建福州·高三校考期中）已知函數(shù)．(1)若恒成立，直接寫出a的值，并證明該不等式；(2)證明：當(dāng)時，；(3)當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值集合．【解析】（1）的值為，即不等式，證明如下：構(gòu)造函數(shù)，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，故，即不等式恒成立.（2），構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時，，，，所以，所以在區(qū)間上遞減.當(dāng)時，，，，所以，所以在區(qū)間上遞增.當(dāng)時，，，所以，所以在區(qū)間上遞增.所以，即.（3）當(dāng)時，不等式恒成立，即時，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，即,由于且，所以當(dāng)時，取得最小值，由于是可導(dǎo)函數(shù)，且，則是函數(shù)的極小值點，所以，解得.下面證明當(dāng)時，為的極小值點：此時，，令，，由（2）可知，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上遞增，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以是的極小值點，符合題意.所以的取值集合是.命題方向八：max，min函數(shù)問題例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.(1)證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.【解析】（1），.當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）函數(shù)的定義域為，由（1）知，當(dāng)時，，又，所以當(dāng)時，恒成立，由于當(dāng)時，恒成立，所以等價于：當(dāng)時，..①若，當(dāng)時，，故，遞增，此時，不合題意；②若，當(dāng)時，由知，存在，使得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在上遞增，故當(dāng)，，遞增，此時，不合題意；③若，當(dāng)時，由知，對任意，，遞減，此時，符合題意.綜上可知：存在實數(shù)滿足題意，的取值范圍是.例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：，.當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）函數(shù)的定義域為，由（1）知，當(dāng)時，，又，所以當(dāng)時，恒成立，由于當(dāng)時，恒成立，所以等價于：當(dāng)時，..①若，當(dāng)時，，故，遞增，此時，不合題意；②若，當(dāng)時，由知，存在，當(dāng)，，遞增，此時，不合題意；③若，當(dāng)時，由知，對任意，，遞減，此時，符合題意.綜上可知：存在實數(shù)滿足題意，的取值范圍是.命題方向九：構(gòu)造函數(shù)技巧例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)題意可知的定義域為，，令，得．當(dāng)時，時，，時；當(dāng)時，時，，時．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意，，即在上恒成立，令，則．對于，，故其必有兩個零點，且兩個零點的積為，則兩個零點一正一負(fù)，設(shè)其正零點為，則，即，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即．令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以實數(shù)的取值范圍為．例22．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，，的圖像在處的切線方程為，即.（2）解法一：由題意得，因為函數(shù)，故有，等價轉(zhuǎn)化為，即在時恒成立，所以，令，則，令，則，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，，，，使得，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，故，由，得在中，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即與，，，即實數(shù)的取值范圍為.解法二：因為函數(shù)，故有，等價轉(zhuǎn)化為：，構(gòu)造，，所以可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即成立，令，令，在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即，可知，當(dāng)時，可知恒成立，即此時不等式成立；當(dāng)時，又因為，所以，與不等式矛盾；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.命題方向十：雙變量最值問題例23．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2【答案】C【解析】因為對于，恒成立，所以對于，恒成立，設(shè)，所以.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)沒有最大值，所以這種情況不滿足已知；當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.所以.所以.設(shè)，所以，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以.所以的最小值為.故選：C例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中．（1）當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）當(dāng)時，若對任意，都有恒成立，求的最小值．【解析】（1）當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象相切于，因為，所以，則且，即，解得：.（2）若對任意，都有恒成立，得.假設(shè)，則當(dāng)時，，而當(dāng)時，.取，則當(dāng)時，，而，矛盾；故.當(dāng)時，由，得，即.下證：能取到.當(dāng)時，.記，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，即.所以.即對任意恒成立，故的最小值為.【過關(guān)測試】1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，給出以下三個結(jié)論：①如果有兩個不同的根，則；②當(dāng)時，恒成立；③如果有兩個根，，則.其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解析】①正確，如果有兩個不同的根，即有兩個根.設(shè)，，易知在上是減函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，即，此時為增函數(shù)；當(dāng)時，，即，此時為減函數(shù)，所以由圖象可知，即；②正確，設(shè)，則，所以當(dāng)時，此時為增函數(shù)；當(dāng)時，，此時為減函數(shù)，所以時，取得最大值，最大值為0，即，所以，當(dāng)時，恒成立；③正確，由于有兩個根，，令，即，即，要證明成立，只需證明，即，故只需證明，即證明，設(shè)，則，則上式化為.設(shè)，，即在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，由于，則，即成立，故命題成立.故選：D.2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）對，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由有意義可知，.由，得.令，即有.因為，所以.令，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)，恒成立.因為，令，即；令，即，，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.注意到，，所以當(dāng)時，.因為當(dāng)，恒成立，所以只需且，解得.故選：C.3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┰O(shè)實數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為恒成立即，可得，令，則恒成立.又，故當(dāng)時，，故在區(qū)間上為增函數(shù).又恒成立，則在區(qū)間上恒成立，即，.構(gòu)造，則，令有，故當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù).故，故，即.故選：B4．（2023·江西·江西師大附中校考三模）若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式在上恒成立，兩邊同除得在上恒成立，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，令，，即在上恒成立，所以只需即可，令，則，令，則在上恒成立，單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即，故選：B5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，故，故，令，則，令，故，令，故，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，解得，故實數(shù)的取值范圍為，故選：D6．（2023·全國·模擬預(yù)測）若不等式對恒成立，那么的最大整數(shù)值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因為對恒成立，即在恒成立，構(gòu)建，，則對恒成立，則，即，解得.下面證明當(dāng)時，對恒成立，①因為的定義域為，且，構(gòu)建，則有，且，所以在上單調(diào)遞減，且，可得：當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減；所以.②因為當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以；又因為，所以，所以在恒成立，整理得在恒成立，且，則在上恒成立；綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時，對恒成立，即對恒成立，所以的最大整數(shù)值為2.故選：C.7．根據(jù)恒成立問題，先取特值得到參數(shù)的取值范圍，再證明其充分性；8．證明不等式時，可以利用中間值法說明，即證.9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，恒成立，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，．因為，所以，若，顯然成立，此時滿足；若，令，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，而，∴．綜上，在上恒成立，∴．令，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以，即．所以a的最小值為.故選：B．10．（多選題）（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？既＃┤?，若恒成立，則的值不可以是（

）A． B．1 C． D．【答案】ABD【解析】因為，等價于，等價于，所以原題意即為恒成立，令，則，又易得在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，故恒成立，令，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，所以若恒成立，則.故A、B、D錯誤，C正確.故選：ABD.11．（多選題）（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】已知，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；設(shè)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無最大值.設(shè)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無最大值.當(dāng)時，成立或成立；當(dāng)時，成立或無解；當(dāng)時，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；設(shè)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無最小值.設(shè)單調(diào)遞減；無最小值.當(dāng)時，恒成立或成立；當(dāng)時，成立；或無解；所以.故選：BD.12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因為，所以，則．令，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．故，即，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．又，所以，則，所以．令，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．故，且當(dāng)時，.故選：ABD．13．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知時，，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】BCD【解析】設(shè)，，，由得，所以時，或.A和B選項：當(dāng)時，，設(shè)，則，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時，，故.設(shè)，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減.故，即，所以有，即，.設(shè)，由題意可知，，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以，得，由得，，當(dāng)時，由得，則，故B正確，取，，，則，故A錯誤；C和D選項：當(dāng)時，由題意，恰為，兩交點，所在直線，則則由對數(shù)平均不等式知，.故，故CD正確故選：BCD14．（多選題）（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由已知可得，.設(shè)，則恒成立，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增.又，，根據(jù)零點存在定理可得，，使得，所以，由可得，.對于A項，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.因為，，所以，故A項正確；對于B項，因為，所以.令，，則.因為，所以，，所以，所以，當(dāng)時，恒成立.又，所以，即，即，故B項錯誤；對于C項，因為，所以.設(shè)，，則.因為，所以，所以，所以在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以，所以，故C項正確；對于D項，因為，所以.設(shè)，，則.因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因為，所以，，.因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.因為，所以，所以，，所以在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以，所以，，故D項錯誤.故選：AC.15．（多選題）（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若實數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】依題意可知，不等式可化為，設(shè)，則，即，設(shè)，，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.所以，所以要使成立，則，即，由于，故解得，則，，，，所以AC選項正確.故選：AC16．（2023·廣東佛山·高三佛山市第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，對任意的正實數(shù)x都有恒成立，則a的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為對任意的正實數(shù)x都有恒成立，所以，即對任意的正實數(shù)x恒成立，因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，且，所以對任意的正實數(shù)x恒成立，即，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，解得.故答案為：.17．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，，且時，恒成立，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】由于，因為，，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，此時為增函數(shù)；當(dāng)時，，此時為減函數(shù)；所以，即，故在上是減函數(shù).又由于時，恒成立，所以，設(shè)，易知該函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，故時，，只需，即.又由于化為，，設(shè)，由，得，故等價變形為當(dāng)時，，令，則，故當(dāng)時，為增函數(shù)，所以若使在上恒成立，只需，即.綜上，.故答案為：18．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意可得函數(shù)的定義域為，不等式等價于恒成立，即恒成立，令，則．令，則在上單調(diào)遞增，因為，，所以存在，使得，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；所以，由于，可得，即，所以，又恒成立，即，所以，所以實數(shù)m的取值范圍為．19．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；20．利用分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．21．根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與有解問題的區(qū)別．22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】由于不等式恒成立，于是得到，然后構(gòu)建函數(shù)，，則，再構(gòu)建一個函數(shù)，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，于是當(dāng)時，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，而，于是函數(shù)，因此參數(shù)的取值范圍為．故答案為：．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則參數(shù)k的取值范圍為______．【答案】【解析】設(shè)，則，令，是增函數(shù)，即是增函數(shù)，當(dāng)時，，即是增函數(shù)，，符合題意；當(dāng)時，因為，令，則，所以，因為，則，取，則，所以當(dāng)時，是減函數(shù)，即，不滿足題意；綜上：.故答案為：.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對于，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】令，可得，若時，，單調(diào)遞減，又由，所以當(dāng)時，可得，不符合題意，舍去；若時，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；又由，所以存在，使得，不符合題意，舍去；若時，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，恒成立，符合題意，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)實數(shù)，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為________．【答案】【解析】由，構(gòu)造函數(shù)，在為增函數(shù)，則即對不等式恒成立，則，構(gòu)造函數(shù)令，得；令，得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即.故答案為：.26．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知實數(shù)，函數(shù)，．(1)若不等式恒成立，求a的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)，()在上恒成立，所以在上恒成立，令，只需即可，由，故時，時，所以在上遞減，在上遞增，則，綜上，.（2）由題設(shè)，()在上恒成立，所以在上恒成立，（i）當(dāng)時證恒成立即可，令，則，若且，則，在上，遞減，在上，遞增，所以，即在上恒成立，故恒成立，滿足；（ii）當(dāng)時，，又在上遞增，所以，由（i）知：，所以恒成立，滿足；（iii）當(dāng)時，由上知：成立，僅當(dāng)時等號成立，令，則，令，則，所以使成立，即成立，由，同（ii）分析可得：，故使成立，不合題意；綜上，.27．（2023·浙江寧波·高三期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若對恒成立，求k的取值范圍；(3)求證：對，不等式恒成立.【解析】（1）因，所以，所以所求切線方程為，即；（2）因為在上恒成立，而，令得所以①當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；②當(dāng)，即時，設(shè)，則的對稱軸為，所以在上存在唯一零點，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故，不合題意.綜上，k的取值范圍為；（3）由（2），當(dāng)時，在恒成立，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立.綜上可得，對，不等式恒成立.28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，.(1)若恒成立，求m的取值范圍；(2)若不等式在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1），即，，設(shè)，，，時，，遞增，時，，遞減，所以，恒成立，則；（2）不等式即為設(shè)，顯然此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以在時恒成立，在時恒成立，設(shè)（），則，時，，遞增，時，，遞減，所以，所以．29．（2023·江蘇泰州·高三江蘇省泰興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)若對一切，恒成立，求的值；(2)在函數(shù)的圖像上取定點，記直線的斜率為，證明：存在，使恒成立．【解析