蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊專題2.7切線長定理、三角形的內(nèi)切圓【十大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題2.7切線長定理、三角形的內(nèi)切圓【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用切線長定理求解】 1【題型2利用切線長定理證明】 2【題型3由三角形的內(nèi)切圓求長度】 4【題型4由三角形的內(nèi)切圓求角度】 5【題型5由三角形的內(nèi)切圓求面積】 6【題型6由三角形的內(nèi)切圓求最值】 7【題型7直角三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】 8【題型8圓外切四邊形的計算】 9【題型9一般三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】 11【題型10三角形內(nèi)切圓與外接圓的綜合運用】 12【知識點1切線長定理】過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．【題型1利用切線長定理求解】【例1】（2023春·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點P是半徑為r的⊙O外一點，PA，PB分別切⊙O于A，B點，若△PAB是邊長為a的等邊三角形，則（

）

A．a(chǎn)=2r B．a(chǎn)=3r C．a(chǎn)=2【變式1-1】（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點B，C，過點C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點D．若CD=PB=23，則BE長為（

A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2023春·天津河西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑．(1)若∠BAC=25°，求∠P的度數(shù)；(2)若∠P=60°，PA=2，求⊙O的半徑．【變式1-3】（2023春·浙江·九年級期中）小明準備以“青山看日出”為元素為永嘉縣某名宿設(shè)計標志示意圖，如圖所示，他利用兩個等邊三角形和一個圓分別表示青山和日出，已知點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，且BE=EC=2CF，四邊形ABEG和四邊形GCFD的面積之差為73，則CF的長是；連結(jié)AD，若⊙O是△ADG的內(nèi)切圓，則圓心O到BF的距離是【題型2利用切線長定理證明】【例2】（2023春·天津河?xùn)|·九年級天津市第四十五中學(xué)?？计谀┤鐖D，RtΔABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，點P為CB延長線上的一點，PE延長交AC于G，PE=PF，下列4個結(jié)論：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正確的結(jié)論是【變式2-1】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O是梯形ABCD的內(nèi)切圓，AB∥DC，E、M、F、N分別是邊AB、BC、CD、DA上的切點．（1）求證：AB+CD=AD+BC（2）求∠AOD的度數(shù)．【變式2-2】（2023春·江蘇南通·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB、CB、CD分別與⊙O切于E，F(xiàn)，G，且AB∥CD．連接OB、OC，延長CO交⊙O于點M，過點M作MN∥OB交CD于N．（1）當OB＝6cm，OC＝8cm時，求⊙O的半徑；（2）求證：MN＝NG．【變式2-3】（2023春·廣東云浮·九年級統(tǒng)考期末）如圖1所示，⊙O為△CDE的外接圓，CD為直徑，AD、BC分別與⊙O相切于點D、C（BC>AD）.E在線段AB上，連接DE并延長與直線BC相交于點P，B為PC中點.(1)證明：AB是⊙O的切線.(2)如圖2，連接OA，OB，求證：OA⊥OB.【知識點2三角形的內(nèi)切圓】三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓的圓心是三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等【題型3由三角形的內(nèi)切圓求解】【例3】（2023春·天津西青·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°，BC=12，若⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，且△ABC的周長為32，則DF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【變式3-1】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠C=90°，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點．若AB=5，AC=3，則OD=【變式3-2】（2023春·天津河西·九年級?？计谀┤鐖D，⊙I是直角△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，若AF=10，BE=3，則△ABC的面積為．【變式3-3】（2023春·甘肅金昌·九年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，⊙O是的內(nèi)切圓，它與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F．求⊙O【題型4由三角形的內(nèi)心的有關(guān)應(yīng)用】【例4】（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心．若∠A=84°，則∠D的度數(shù)（

）A．42° B．66° C．76° D．82°【變式4-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，點I為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點D，連接BD．已知AD=5，BD=3，則AI的長為（

）A．1 B．32 C．2 D．【變式4-2】（2023春·河北衡水·九年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=50°，點I是△ABC的內(nèi)心，

（1）∠BIC=°；（2）若BI的延長線與△ABC的外角∠ACD的平分線交于點E，當∠ACB=°時，CE∥【變式4-3】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點A0,6，點B8,0，I是（1）AB=；（2）點I關(guān)于x軸對稱的點的坐標是．【題型5坐標系中的三角形內(nèi)切圓】【例5】（2023·山東日照·日照市田家炳實驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，把Rt△OAB置于平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（3，0），點P是Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心．將Rt△OAB沿y軸的正方向作無滑動滾動．使它的三邊依次與x軸重合．第一次滾動后，圓心為P1，第二次滾動后圓心為P2…依次規(guī)律，第2019次滾動后，Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心P2019的坐標是（）A．（673，1） B．（674，1） C．（8076，1） D．（8077，1）【變式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角邊BC在x軸上，其內(nèi)切圓的圓心坐標為I0,1，拋物線y=ax2+2ax+1的頂點為A【變式5-2】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，A、B，C三點的坐標分別為A（0，8），B（–6，0），C（15，0）．若△ABC內(nèi)心為D，求點D的坐標．【變式5-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形OABC，B（-4，3），點M為△ABC的內(nèi)心，將矩形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，則點M的對應(yīng)點坐標為（

）A．（-2，6） B．（-6，1） C．（-1，1） D．（-1，6）【題型6由三角形的內(nèi)切圓求最值】【例6】（2023春?揚州月考）如圖是一塊△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，現(xiàn)將余料裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是4πcm2．．【變式6-1】（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點E、F分別是AD、BC的中點，點P在線段EF上，△PAB內(nèi)切圓半徑的最大值是（

）A．1 B．65 C．54 【變式6-2】（2023春·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內(nèi)切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最大值是【變式6-3】（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCO的頂點A，C分別在x軸、y軸上，點B的坐標為?8,6，⊙M是△AOC的內(nèi)切圓，點N，點P分別是⊙M，x軸上的動點，則BP+PN的最小值是．

【題型7直角三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】【例7】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）Rt△ABC兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則其內(nèi)心與外心的距離為（

A．2 B．32 C．32 【變式7-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑r是（

A．2 B．3 C．4 D．無法判斷【變式7-2】（2023春·山東濟寧·九年級?？计谀┤鐖D，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=8，BC=17，CA=15，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【變式7-3】（2023春·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內(nèi)切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最大值是【題型8圓外切四邊形的計算】【例8】（2011·浙江溫州·中考真題）如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，⊙O與邊AB，BC都相切，點E，F(xiàn)分別在AD，DC上，現(xiàn)將△DEF沿著EF對折，折痕EF與⊙O相切，此時點D恰好落在圓心O處．若DE=2，則正方形ABCD的邊長是（）A．3 B．4C．2+2 D．【變式8-1】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若∠BOC＝118°，則∠AOD＝．【變式8-2】（2023春·浙江溫州·九年級?？计谀┤鐖D，正方形EBFI，正方形MFCG和正方形HLGD都在正方形ABCD內(nèi)，且BF=HD．⊙O分別與AE，EI，HL，AH相切，點M恰好落在⊙O上，若BF=4，則⊙O的直徑為．【變式8-3】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，甲，乙都是高為6米的長方體容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如圖②，已知正方形ABCD與矩形EFGH滿足如下條件：正方形ABCD外切于一個半徑為5米的圓O，矩形EFGH內(nèi)接于這個圓O，EF=2EH．（1）求容器甲，乙的容積分別為多少立方米？（2）現(xiàn)在我們分別向容器甲，乙同時持續(xù)注水（注水前兩個容器是空的），一開始注水流量均為25立方米/小時，4小時后．把容器甲的注水流量增加a立方米/小時，同時保持容器乙的注水流量不變，繼續(xù)注水2小時后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小時，同時容器乙的注水流量仍舊保持不變．直到兩個容器的水位高度相同，停止注水．在整個注水過程中，當注水時間為t時，我們把容器甲的水位高度記為?甲，容器乙的水位高度記為?乙，設(shè)?乙??甲=?①求a的值；②求圖③中線段PN所在直線的解析式．【題型9一般三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】【例9】（2023春·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試）若四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長相等，且△AOB，△BOC，△COD的內(nèi)切圓半徑分別為3，4，6，則△DOA的內(nèi)切圓半徑是（）A．92 B．32 C．7【變式9-1】（2023·湖南長沙·長沙市湘郡培粹實驗中學(xué)?？既＃┤鐖D，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若△ABC的周長為18，面積為9，則⊙O的半徑是（）

A．1 B．2 C．1.5 D．2【變式9-2】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB+AC=53BC，AD⊥BC于D，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為R，AD的長為?，則RA．38 B．27 C．13【變式9-3】（2023春·九年級課時練習(xí)）已知△ABC的周長為20，其內(nèi)切圓半徑R=5，則△ABC的面積為．【題型10三角形內(nèi)切圓與外接圓的綜合運用】【例10】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點I為的△ABC內(nèi)心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點D，若AI=2CD，點E為弦AC的中點，連接EI，IC，若IC=6，A．5 B．4.5 C．4 D．3.5【變式10-1】（2023?游仙區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為3，則△BIC的外接圓直徑為1433【變式10-2】（2023春·山東聊城·九年級山東省聊城第三中學(xué)校考期中）如圖所示，點I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點D，交BC邊于點E，求證：（1）ID=BD（2）BD2=DA·ED【變式10-3】（2023·浙江金華·九年級期末）已知一塊等腰三角形鋼板的底邊長為60cm，腰長為50（1）求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑．（2）用一個圓完全覆蓋這塊鋼板，這個圓的最小半徑是多少？（3）求這個等腰三角形的內(nèi)心與外心的距離．

專題2.7切線長定理、三角形的內(nèi)切圓【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用切線長定理求解】 1【題型2利用切線長定理證明】 7【題型3由三角形的內(nèi)切圓求長度】 13【題型4由三角形的內(nèi)切圓求角度】 17【題型5由三角形的內(nèi)切圓求面積】 22【題型6由三角形的內(nèi)切圓求最值】 25【題型7直角三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】 32【題型8圓外切四邊形的計算】 36【題型9一般三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】 42【題型10三角形內(nèi)切圓與外接圓的綜合運用】 45【知識點1切線長定理】過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．【題型1利用切線長定理求解】【例1】（2023春·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點P是半徑為r的⊙O外一點，PA，PB分別切⊙O于A，B點，若△PAB是邊長為a的等邊三角形，則（

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A．a(chǎn)=2r B．a(chǎn)=3r C．a(chǎn)=2【答案】B【分析】連結(jié)OP、OA，OB，根據(jù)切線的定理得PA⊥OA，PB⊥OB，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知OP=2OA，最后利用勾股定理即可解答．【詳解】解：連結(jié)OP、OA、OB，則OA=r，∵△PAB是邊長為a的等邊三角形，∴PA=a，∠APB=60°，∵PA，PB分別切⊙O于A，B點，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠OAP=90°，OP平分∠APB，∴∠OPA=∠OPB=1∴∠OAP=90°，∴OP=2OA，∴在Rt△OAP中，PA=∴a=3故選：B．

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理，切線長定理，直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點B，C，過點C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點D．若CD=PB=23，則BE長為（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】作CH⊥PB于H，由垂徑定理得到CE的長，從而求出PH的長，由勾股定理求出CH的長，即可求出BE的長．【詳解】解：作CH⊥PB于H，∵直徑AB⊥CD于H，∴CE=∵PC，PB分別切⊙O于C，∴PB=PC=CD=23，直徑∴四邊形ECHB是矩形，∴BH=CE=3∴PH=PB?BH=23∴CH=P∴BE=CH=3．故選：C．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出CH的長．【變式1-2】（2023春·天津河西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑．(1)若∠BAC=25°，求∠P的度數(shù)；(2)若∠P=60°，PA=2，求⊙O的半徑．【答案】(1)50°(2)2【分析】（1）先利用切線的性質(zhì)得到∠CAP=90°，則利用互余計算出∠PAB的度數(shù)，再根據(jù)切線長定理得到PA=PB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算∠P的度數(shù)；(2)連接BC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA=PB，∠CAP=90°，推出△PAB是等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥PA，即∠CAP=90°．∴∠PAB=90°?∠BAC=90°?25°=65°．∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA=PB，∴∠PBA=∠PAB=65°，∴∠P=50°．（2）連接CB，∵PA=PB，且∠P=60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB=PA=2，∠CAB=30°．∵AC為直徑，∴∠CBA=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理：AC2=B∴⊙O的半徑為23【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·浙江·九年級期中）小明準備以“青山看日出”為元素為永嘉縣某名宿設(shè)計標志示意圖，如圖所示，他利用兩個等邊三角形和一個圓分別表示青山和日出，已知點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，且BE=EC=2CF，四邊形ABEG和四邊形GCFD的面積之差為73，則CF的長是；連結(jié)AD，若⊙O是△ADG的內(nèi)切圓，則圓心O到BF的距離是【答案】24【分析】設(shè)CF=x，表示出相關(guān)線段的長，根據(jù)四邊形ABEG和四邊形GCFD的面積之差，得到S△ABC?S△DEF=73，求出x值即可；連結(jié)AD，連接OG并延長交BF于點M，設(shè)圓O與AC的切點為H，連接OH，連接AE，作DN⊥AE，垂足為N，證明△ADG為直角三角形，求出內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)切線長定理得到∠HGO，從而證明OM⊥【詳解】解：∵BE=EC=2CF，∴設(shè)CF=x，則BE=EC=2x，∴BC=2x+2x=4x，EF=2x+x=3x，∵△ABC與△DEF為等邊三角形，∴S△ABC=3∵S△ABC∴43∴x2∴x=2，∴CF=2．連結(jié)AD，連接OG并延長交BF于點M，設(shè)圓O與AC的切點為H，連接OH，連接AE，作DN⊥AE，垂足為N，∵等邊△ABC的邊長為4×2=8，E為BC中點，∴AE=3CE=43∵∠DEC=60°，∴∠DEN=30°，∵DE=3×2=6，∴DN=12DE=3∴AN=43∴AD=A∵AG=AC?GC=8?4=4，DG=DE?EG=6?4=2，∴AG∴∠ADG=90°，△ADG為直角三角形，∴內(nèi)切圓半徑DH=AD+DG?AG∵∠HGD=60°，∴∠HGO=1∴OG=2OH=23∵∠HGO=30°，∠AGE=180°?60°=120°，∴∠EGM=180°?30°?120°=30°，∴∠GME=180°?60°?30°=90°，∴OM⊥BF，∵GM=3∴OM=OG+GM=23∴圓心O到BF的距離為43故答案為：2，43【點睛】本題是圓的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線長定理，切線的性質(zhì)，【題型2利用切線長定理證明】【例2】（2023春·天津河?xùn)|·九年級天津市第四十五中學(xué)?？计谀┤鐖D，RtΔABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，點P為CB延長線上的一點，PE延長交AC于G，PE=PF，下列4個結(jié)論：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正確的結(jié)論是【答案】①②③【分析】①首先連接OE，CE，由OE=OD，PE=PF，易得∠OED+∠PEF=∠ODE+∠PFE，又由OD⊥BC，可得OE⊥PE，繼而證得PE為⊙O的切線；②又由BC是直徑，可得CE⊥AB，由切線長定理可得GC=GE，根據(jù)等角的余角相等，可得∠A=∠AEG，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；③易證得OG是ΔABC的中位線，則可得OG∥BE④由于在RtΔABC中，∠A+∠ABC=90°，在RtΔPOE中，∠P+∠POE=90°，而∠POE不一定等于∠ABC，則可得∠A不一定等于【詳解】解：如圖，連接OE，CE，∵OE=OD，PE=PF，∴∠OED=∠ODE，∠PEF=∠PFE，∵OD⊥BC，∴∠ODE+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠PFE，∴∠OED+∠PEF=90°，即OE⊥PE，

∵點E⊙O上，∴GE為⊙O的切線；∵點C在⊙O上，OC⊥GC，∴GC為⊙O的切線，∴GC=GE故①正確；∵BC是直徑，∴∠BEC=90°，∴∠AEC=90°，∵∠ACB=90°，∴AC是⊙O的切線，∴EG=CG，∴∠GCE=∠GEC，∵∠GCE+∠A=90°，∠GEC+∠AEG=90°，∴∠A=∠AEG，∴AG=EG；故②正確；∵OC=OB，AG=CG∴OG是ΔABC∴OG∥AB；故③正確；在RtΔABC中，∠A+∠ABC=90°在RtΔPOE中，∠P+∠POE=90°∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，但∠POE不一定等于∠ABC，∴∠A不一定等于∠P．故④錯誤．故答案為：①②③．【點睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、圓周角定理、三角形中位線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式2-1】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O是梯形ABCD的內(nèi)切圓，AB∥DC，E、M、F、N分別是邊AB、BC、CD、DA上的切點．（1）求證：AB+CD=AD+BC（2）求∠AOD的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）90°.【分析】（1）根據(jù)切線長定理可證得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，進而證明AB+DC=AD+BC；（2）連OE、ON、OM、OF，通過證明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行線的性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補即可求出∠AOD的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切線長定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，∴AB+DC=AD+BC（2）連OE、ON、OM、OF，∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE=∠OAN．同理，∠ODN=∠ODF．∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，∴∠OAN+∠ODN=12∴∠AOD=180°﹣90°=90°．【點睛】本題考查了切線長定理和全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．【變式2-2】（2023春·江蘇南通·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB、CB、CD分別與⊙O切于E，F(xiàn)，G，且AB∥CD．連接OB、OC，延長CO交⊙O于點M，過點M作MN∥OB交CD于N．（1）當OB＝6cm，OC＝8cm時，求⊙O的半徑；（2）求證：MN＝NG．【答案】（1）⊙O的半徑為4.8；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠GCF+∠EBF=180°，則有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；連接OF，則OF⊥BC，根據(jù)勾股定理就可以求出BC的長，然后根據(jù)△BOC的面積就可以求出⊙O的半徑；（2）根據(jù)切線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1又∵AB∥CD，∴∠GCF+∠EBF=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°；，連接OF，則OF⊥BC，由（1）知，△BOC是直角三角形，∴BC=OB∵S△BOC=12?OB?OC=1∴6×8=10×OF，∴OF=4.8，∴⊙O的半徑為4.8；（2）證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O切于點E、F、G，∴∠OBC=12∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠DCB）=1∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°，∵MN∥OB，∴∠NMC=∠BOC=90°，即MN⊥MC且MO是⊙O的半徑，∴MN是⊙O的切線，∴MN=NG．【點睛】此題考查切線的判定與性質(zhì)定理，勾股定理，解題關(guān)鍵在于掌握過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心與這點的連線平分兩切線的夾角．【變式2-3】（2023春·廣東云浮·九年級統(tǒng)考期末）如圖1所示，⊙O為△CDE的外接圓，CD為直徑，AD、BC分別與⊙O相切于點D、C（BC>AD）.E在線段AB上，連接DE并延長與直線BC相交于點P，B為PC中點.(1)證明：AB是⊙O的切線.(2)如圖2，連接OA，OB，求證：OA⊥OB.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接OE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及等邊對等角得出∠OEC=∠OCE，進而根據(jù)BC為切線，∠OCB=90°，∠OEC+∠BEC=∠OCE+∠BCE=90°，得出∠OEB=90°，即可得證；（2）根據(jù)AD、AB、BC分別與⊙O相切于點D、E、C，根據(jù)切線長定理得出AD⊥CD，BC⊥CD，則AD∥BC，∠OAE=12∠DAE，∠OBE=【詳解】（1）證明：連接OE，∵CD為⊙O直徑，∴∠CEP=90°.

在RT△CEP中，B為PC∴EB=BC=1∴∠BCE=∠BEC，

∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，

又∵BC為切線，∴∠OCB=90°，∴∠OEC+∠BEC=∠OCE+∠BCE=90°

∴∠OEB=90°.

即OE⊥AB，∴AB是⊙O的切線.（2）證明：∵AD、AB、BC分別與⊙O相切于點D、E、C，∴AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAE=12∠DAE∴AD∥∴∠DAE+∠CBE＝∴∠OAE+∠OBE=12∴∠AOB=90°，

∴OA⊥OB；【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與切線長定理，掌握切線的判定方法以及切線長定理是解題的關(guān)鍵．【知識點2三角形的內(nèi)切圓】三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓的圓心是三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等【題型3由三角形的內(nèi)切圓求解】【例3】（2023春·天津西青·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°，BC=12，若⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，且△ABC的周長為32，則DF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)切線長定理可得：AD=AF，BD=BE，CE=CF，再證明△ADF是等邊三角形即可作答，【詳解】∵⊙O內(nèi)切于△ABC，∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，∵∠A=60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD=AF=DF，∵△ABC的周長為32，∴AB+BC+AC=32，∴AD+BD+BE+EC+CF+AF=32，∵BC=12，∴BE+EC=12，∴BE+EC=BD+FC=12，∴AD+AF=32?BD+BE+EC+CF∵AD=AF=DF，∴AD=AF=DF=4，故選：C．【點睛】本題主要考查了切線長定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握切線長定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠C=90°，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點．若AB=5，AC=3，則OD=【答案】1【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)先證明四邊形OECD是矩形，可得OD=CE，再由切線長定理可得AF=AE,BF=BD,CD=CE，設(shè)OD=CD=CE=r，可得AF=AE=3?r，BF=BD=4?r，可得到關(guān)于r的方程，即可求解．【詳解】解：∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OE⊥AC,OD⊥BC，∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°，∴四邊形OECD是矩形，∴OD=CE，∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，∴AF=AE,BF=BD,CD=CE，設(shè)OD=CD=CE=r，∵AB=5，∴BC=AB∴BF=BD=4?r，∵AF+BF=5，∴3?r+4?r=5，解得：r=1，即OD=1．故答案為：1【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理，熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·天津河西·九年級?？计谀┤鐖D，⊙I是直角△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，若AF=10，BE=3，則△ABC的面積為．【答案】30【分析】根據(jù)切線長定理得出BD=BE，AF=AD，CE=CF，設(shè)CE=CF=x，根據(jù)勾股定理得出x的值，再利用三角形的面積公式求得△ABC的面積即可．【詳解】解：∵⊙I是直角△ABC的內(nèi)切圓，且AF=10，BE=3，∴BD=BE=3，AF=AD=10，CE=CF，∴AB=10+3=13，設(shè)CE=CF=x，則BC=3+x，AC=10+x，在Rt△ABC中，AC2解得x=2或x=?15<0（不符題意，舍去），∴CE=2，∴BC=5，AC=12，∴△ABC的面積為12故答案為：30．【點睛】本題考查了切線長定理、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用，熟記切線長定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·甘肅金昌·九年級校考期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，⊙O是的內(nèi)切圓，它與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F．求⊙O【答案】2?【分析】首先連接OD、OF、OE，進而利用切線的性質(zhì)得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°【詳解】解：連接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，∴∠ODA=又∵OD=OF，∴四邊形ODAF是正方形，設(shè)OD=AD=AF=r，則BE=BD=CF=CE=2?r，在△ABC中，∠A=90°∴BC=A又∵BC=BE+CE，∴2?r+得：r=2?2∴⊙O的半徑是2?2【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，切線長定理，正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握“圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑”，“從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等”．【題型4由三角形的內(nèi)心的有關(guān)應(yīng)用】【例4】（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心．若∠A=84°，則∠D的度數(shù)（

）A．42° B．66° C．76° D．82°【答案】B【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得OB，OC分別是角平分線，進而求出∠BOC的大小，再利用三角形外心的性質(zhì)得出∠BDC等于∠BOC的一半，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，如圖，∵點O是△ABC的內(nèi)心，∠A=84°，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB===1∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=132°，∵點O是△DBC的外心，∴∠D=1故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心和三角形外心的性質(zhì)，牢記以上知識點得出各角之間的關(guān)系是做出本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，點I為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點D，連接BD．已知AD=5，BD=3，則AI的長為（

）A．1 B．32 C．2 D．【答案】D【分析】由三角形內(nèi)切圓的圓心為三條角平分線的交點，可知∠IAB=∠IAC，∠IBA=∠IBC，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠BID=∠IAB+∠IBA，利用同弧所對的圓周角相等可得∠DAC=∠DBC，進而可證∠IBD=∠BID，推出ID=BD=3，則AI=AD?ID=5?3=2．【詳解】解：∵點I為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，∴IA平分∠BAC，IB平分∠ABC，∴∠IAB=∠IAC，∠IBA=∠IBC，∵∠IBD=∠IBC+∠DBC，∠BID=∠IAB+∠IBA，∠DAC=∠DBC，∴∠IBD=∠BID，∴ID=BD=3，∴AI=AD?ID=5?3=2，故選C．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓、三角形外角的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等，難度一般，解題的關(guān)鍵是通過導(dǎo)角證明∠IBD=∠BID．【變式4-2】（2023春·河北衡水·九年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=50°，點I是△ABC的內(nèi)心，

（1）∠BIC=°；（2）若BI的延長線與△ABC的外角∠ACD的平分線交于點E，當∠ACB=°時，CE∥【答案】11580【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ABC+∠ACB=180°?∠A=130°，根據(jù)BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，得出∠CBI=12∠ABC，∠BCI=（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠E=12∠A=25°，根據(jù)當∠ABE=∠E=25°時，CE∥AB【詳解】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=130°，∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBI=12∠ABC∴∠BIC=180°?=180°?=180°?=115°；故答案為：115；（2）∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠ABC+∠A，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE=1∵∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠E+∠CBE=1∵∠CBE=1∴∠E=1∵當∠ABE=∠E=25°時，CE∥∴此時∠ABC=2∠ABE=50°，∴∠ACB=180°?∠ABC?∠A=80°．故答案為：80．【點睛】本題主要考查了內(nèi)心的定義，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)心為三角形三個內(nèi)角平分線的交點．【變式4-3】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點A0,6，點B8,0，I是（1）AB=；（2）點I關(guān)于x軸對稱的點的坐標是．【答案】10（2，-2）【分析】（1）利用勾股定理解答即可；（2）根據(jù)I是△OAB的內(nèi)心，利用OM=ON，BM=BE，AE=AN，得出AE+BE=6-x+8-x=10，求解即可．【詳解】解：（1）∵點A0,6，點B∴OA=6，OB=8，在Rt△OAB中，AB=OA（2）連接OI，BI，AI，過I作IM⊥OB，IN⊥OA，IE⊥AB，∵I是△OAB的內(nèi)心，∴OM=ON，BM=BE，AE=AN，設(shè)OM=ON=x，則BM=BE=8-x，AN=AE=6-x，∴AE+BE=6-x+8-x=10，解得：x=OM=ON=2，∴I的坐標為（2，2），∴點I關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（2，-2）．【點睛】本題考查了勾股定理及三角形的內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是靈活運用性質(zhì)解決實際問題．【題型5坐標系中的三角形內(nèi)切圓】【例5】（2023·山東日照·日照市田家炳實驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，把Rt△OAB置于平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（3，0），點P是Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心．將Rt△OAB沿y軸的正方向作無滑動滾動．使它的三邊依次與x軸重合．第一次滾動后，圓心為P1，第二次滾動后圓心為P2…依次規(guī)律，第2019次滾動后，Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心P2019的坐標是（）A．（673，1） B．（674，1） C．（8076，1） D．（8077，1）【答案】A【分析】由勾股定理得出AB=5，得出Rt△OAB內(nèi)切圓的半徑=1，因此P的坐標為（1，1），由題意得出P3的坐標（3+5+4+1，1），得出規(guī)律為每滾動3次一個循環(huán)，由2019÷3=673，即可得出答案．【詳解】∵點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB=OA∴Rt△OAB內(nèi)切圓的半徑＝12∴P的坐標為（1，1），∵將Rt△OAB沿x軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后圓心為P1，第二次滾動后圓心為P2，…，∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），每滾動3次一個循環(huán)，∵2019÷3＝673，∴第2019次滾動后，Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心P2019的橫坐標是673×（3+5+4）+1，即P2019的橫坐標是8077，∴P2019的坐標是（8077，1）；故選D．【點睛】此題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、坐標與圖形性質(zhì)，根據(jù)題意得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角邊BC在x軸上，其內(nèi)切圓的圓心坐標為I0,1，拋物線y=ax2+2ax+1的頂點為A【答案】?【分析】先求出內(nèi)切圓半徑為1，再設(shè)AE=x，OB=y，則AC=x+1，BC=y+1，由直角三角形性質(zhì)，得AB=2AC，即AB=2x+1，根據(jù)切線長定理得，AB=AD+BD=AE+OB，則2x+1=x+y，化簡得y=x+2①，由勾股定理，得x+12+y+12=2x+12，化簡得3x2+6x?【詳解】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，其內(nèi)切圓的圓心坐標為I0,1∴CE=OC=OI=1，OB=BD，AE=AD，∴AB=AD+BD=AE+OB，設(shè)AE=x，OB=y，∴AC=x+1，BC=y+1，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC，即AB=2x+12x+1=x+y，化簡得由勾股定理，得x+12化簡得3x把①代入②解得：x=3∴AC=x+1=3∴A?1,∵y=ax∴拋物線y=ax2+2ax+1∵拋物線y=ax2+2ax+1∴3+1=1?a∴a=?3故答案為：?3【點睛】本題考查直角三角形內(nèi)切圓，切線長性質(zhì)，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，求出點A坐標是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，A、B，C三點的坐標分別為A（0，8），B（–6，0），C（15，0）．若△ABC內(nèi)心為D，求點D的坐標．【答案】點D的坐標為（1，3.5）．【分析】可作輔助線，運用圓的切線長定理求出CM的長度,進而求出OM的長度,此即點D的橫坐標;運用三角形的面積公式求出DM的長度,此即點D的縱坐標.【詳解】如圖，連接DA、DB、DC、DM、DN、DP；∵⊙D為△ABC的內(nèi)切圓，∴AN=AP（設(shè)為λ），BM=BN（設(shè)為μ），CM=CP（設(shè)為γ）；DM⊥BC，DN⊥AB，DP⊥AC；∵A、B、C三點的坐標分別為A（0，8），B（–6，0），C（15，0），∴由勾股定理得：AB=10，AC=17，BC=21；∴λ+μ=10λ+γ=17∴OM=OC–CM=15–14=1；設(shè)⊙D的半徑為φ，∵△ABC的面積=△ADB、△ADC、△BDC的面積之和，∴由面積公式得：12BC?AO=1解得φ=72，即DM=7綜上所述點D的坐標為（1，72【點睛】該題主要考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題;解題的關(guān)鍵是作輔助線;靈活運用圓的切線長定理、內(nèi)切圓的性質(zhì)等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答.【變式5-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形OABC，B（-4，3），點M為△ABC的內(nèi)心，將矩形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，則點M的對應(yīng)點坐標為（

）A．（-2，6） B．（-6，1） C．（-1，1） D．（-1，6）【答案】A【分析】過點M作MD⊥AB，ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為D、E、F，利用內(nèi)心定義得到MD=ME=MF，證明四邊形BDME是正方形，設(shè)BD=x，則BE=BD=x，AD=AF=3-x，CF=CE=4-x，利用切線長定理求出x=1，得到M（-3，2），設(shè)將矩形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點M的對應(yīng)點為點M'，如圖，過點M'作M'N⊥y軸于N，證得△MCE≌△M'CN（AAS），得到CN=CE=3，M'N【詳解】解：如圖，在矩形OABC中，B（-4，3），∴AB=3，BC=4，∠B=90°，∴AC=5，過點M作MD⊥AB，ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為D、E、F，∴∠MDE=∠MEB=∠B=90°，∴四邊形BDME是矩形，∵點M為△ABC的內(nèi)心，∴MD=ME=MF，∴四邊形BDME是正方形，設(shè)BD=x，則BE=BD=x，AD=AF=3-x，CF=CE=4-x，∴3-x+4-x=5，解得x=1，∴M（-3，2），設(shè)將矩形繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點M的對應(yīng)點為點M'過點M'作M'N⊥y軸于∴∠MCE+∠ECM'=∠ECM'+∠M∴∠MCE=∠M'CN又∵∠MEC=∠M'NC=90度，MC=M'∴△MCE≌△M'CN∴CN=CE=3，M'N=ME∴點M'故選：D．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)心定義，切線長定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記三角形內(nèi)心定理及切線長定理從而求出點M的坐標是解題的關(guān)鍵．【題型6由三角形的內(nèi)切圓求最值】【例6】（2023春?揚州月考）如圖是一塊△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，現(xiàn)將余料裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是4πcm2．．【分析】當該圓為三角形內(nèi)切圓時面積最大，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則該三角形面積可表示為：12r（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面積公式可表示為1【解答】解：如圖1所示，S△ABC=12?r?（AB+BC+AC）過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D，如圖2，設(shè)CD＝x，由勾股定理得：在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，解得：x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC=12BC×AD∴21r＝42，∴r＝2，該圓的最大面積為：S＝πr2＝π?22＝4π（cm2），故答案為：4πcm2．【變式6-1】（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點E、F分別是AD、BC的中點，點P在線段EF上，△PAB內(nèi)切圓半徑的最大值是（

）A．1 B．65 C．54 【答案】A【分析】由三角形APB的面積為12，可知AP+BP最小時，r有最大值，連接CA與EF交于點P'，求出AC=10，由三角形面積公式可得出答案．【詳解】解：∵點E、F分別是AD、BC的中點，四邊形ABCD是矩形，∴EF∥AB，∵P在EF上，AB=8，BC=6，∴S△PAB=12設(shè)△PAB內(nèi)切圓半徑是r，∵S△PAB=12（AP+PB+AB）?r∴AP+BP最小時，r有最大值，如圖，F(xiàn)是BC的中點，所以點B關(guān)于EF的對稱點是C點，連接CA與EF交于點P'，∵AP+BP=AP+CP≥CA，∴此時CA即為AP+BP最小值，∵AB=8，AD=6，∴AC=62∴AP+BP最小值為10，∴PA=PB=5，∴12×5×r+12×5×r+12解得r=43故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，軸對稱求最短距離；能夠?qū)P+BP最小值轉(zhuǎn)化為CA的長是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內(nèi)切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最大值是【答案】13【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠D=90°，CD=AB=8，由勾股定理得出AC=AD2+CD2=10，設(shè)△AD的內(nèi)切圓O的半徑為r，則12×10r+12×8r+12×6r=12×8×6，解得r=2，連接【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∴AC設(shè)△AD的內(nèi)切圓O的半徑為r，則12解得：r=2連接BQ，∵P是BC邊上的中點，點M是CQ∴PM是Δ∴PM當BQ經(jīng)過圓心O時，BQ最長，則此時PM最長，作OE⊥AD于E，OF⊥則BF=AB-∴BO∴BQ∴PM故答案為：13+1【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、矩形的性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，矩形ABCO的頂點A，C分別在x軸、y軸上，點B的坐標為?8,6，⊙M是△AOC的內(nèi)切圓，點N，點P分別是⊙M，x軸上的動點，則BP+PN的最小值是．

【答案】8【分析】延長BA至點B'，使BA'=BA，則點B與點B'關(guān)于x軸對稱，則PB=PB'，過點B'作B'D⊥y軸于點D，連接B'M交x軸于點P，交⊙M于點N，則BP+PN=PB'+PN【詳解】解：如圖，延長BA至點B'，使BA'=BA，則點B與點B'關(guān)于x軸對稱，則PB=PB'，過點B'作B'D⊥y軸于點D，連接B'M交x軸于點P，交⊙M于點N，則BP+PN=PB

∵點B的坐標為?8,6，∴點B'的坐標為?8,?6∴AB=AB'=OC=6∴AC=O設(shè)⊙M與△ACO三邊的切點為E，F(xiàn)，G，連接ME，MF，MG，則MG⊥AC，ME⊥OA，MF⊥OC，設(shè)ME=MF=MG=a，∵S△ACO∴12∴8×6=10a+8a+6a，∴a=2，∴MF=OE=2，延長ME交B'D于點∵ME⊥OA，B'∴HD=OE=2，HE=OD=6，∴B'H=B∴B'∴B'∴PB+PN的最小值為8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出使PB+PN取最小值時點P的位置．【題型7直角三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】【例7】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）Rt△ABC兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則其內(nèi)心與外心的距離為（

A．2 B．32 C．32 【答案】A【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，Rt△ABC的內(nèi)心是三角形角平分線的交點O，外心是斜邊的中點M，求出AM=BM=52，根據(jù)面積法求出OE=OF=OD=1，進而得出OB=【詳解】解：如圖所示：Rt△ABC的內(nèi)心是三角形角平分線的交點O，外心是斜邊的中點M設(shè)BC=3，AC=4，∴AB=B∵Rt△ABC的內(nèi)心是三角形角平分線的交點O，外心是斜邊的中點M∴AM=BM=5根據(jù)三角形的面積可得：12∴12AB+AC+BC×OE=∴OE=OF=OD=1，∴BE=BF=3?1=2，∴OB=B∴MF=5?5∴OM=F∴內(nèi)心與外心的距離為52故選：D．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)心與外心，勾股定理，得出三角形的內(nèi)心與外心的位置是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑r是（

A．2 B．3 C．4 D．無法判斷【答案】A【分析】根據(jù)等積法求內(nèi)切圓半徑，進行求解即可．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=6如圖：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與各邊的切點分別為點D,E,F，連接OD,OE,OF，則：OD=OE=OF=r,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB，

∵S△ABC∴12AC?BC=1∴r=2；故選A．【點睛】本題考查求三角形內(nèi)切圓的半徑．熟練掌握等積法求內(nèi)切圓的半徑，是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·山東濟寧·九年級校考期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=8，BC=17，CA=15，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用正方形的判定確定四邊形OFAE是正方形，進而利用圓的切線性質(zhì)可知線段的關(guān)系，進而求出陰影部分的面積．【詳解】解：∵AB=8，BC=17，CA=15，∴AB∴△ABC為直角三角形，∠A=90°，∵⊙O與AB，AC分別相切于點F、∴OF⊥AB，OE⊥AC，OF=OE，∴四邊形OFAE是正方形，設(shè)OE=r，則AE=AF=r，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，∴BD=BF=8?r，CD=CE=15?r，∴8?r+15?r=17，∴r=8+15?17∴陰影部分的面積是：32故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，三角形的內(nèi)心到頂點的連線平分這個內(nèi)角；勾股定理的逆定理和切線性質(zhì)等相關(guān)知識點．熟練運用知識點是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內(nèi)切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最大值是【答案】13【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠D=90°，CD=AB=8，由勾股定理得出AC=AD2+CD2=10，設(shè)△AD的內(nèi)切圓O的半徑為r，則12×10r+12×8r+12×6r=12×8×6，解得r=2，連接【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∴AC設(shè)△AD的內(nèi)切圓O的半徑為r，則12解得：r=2連接BQ，∵P是BC邊上的中點，點M是CQ∴PM是Δ∴PM當BQ經(jīng)過圓心O時，BQ最長，則此時PM最長，作OE⊥AD于E，OF⊥則BF=AB-∴BO∴BQ∴PM故答案為：13+1【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、矩形的性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．【題型8圓外切四邊形的計算】【例8】（2011·浙江溫州·中考真題）如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，⊙O與邊AB，BC都相切，點E，F(xiàn)分別在AD，DC上，現(xiàn)將△DEF沿著EF對折，折痕EF與⊙O相切，此時點D恰好落在圓心O處．若DE=2，則正方形ABCD的邊長是（）A．3 B．4C．2+2 D．【答案】D【分析】延長FO交AB于點G，根據(jù)折疊對稱可以知道OF⊥CD，所以O(shè)G⊥AB，即點G是切點，OD交EF于點H，點H是切點．結(jié)合圖形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半徑，先求出半徑，然后求出正方形的邊長．【詳解】解：如圖：延長FO交AB于點G，則點G是切點，OD交EF于點H，則點H是切點，∵ABCD是正方形，點O在對角線BD上，∴DF=DE，OF⊥DC，∴GF⊥DC，∴OG⊥AB，∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圓的半徑．在等腰直角三角形DEH中，DE=2，∴EH=DH=2=AE．∴AD=AE+DE=2+2．故選C．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，利用切線的性質(zhì)，結(jié)合正方形的特點求出正方形的邊長．【變式8-1】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若∠BOC＝118°，則∠AOD＝．【答案】62°【分析】先根據(jù)切線長定理得到∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BCD，∠3＝12∠ADC，∠4＝12∠BAD，再利用三角形內(nèi)角和計算出∠1+∠2＝62°，則∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四邊形內(nèi)角和得出∠【詳解】解：∵圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BCD，∠3＝12∠ADC，∠4＝1∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，∴∠3+∠4＝12（∠BAD+∠ADC）＝1∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．故答案為：62°．【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)切圓．切線的性質(zhì)和切線長定理，三角形內(nèi)角和，掌握四邊形的內(nèi)切圓性質(zhì)．切線的性質(zhì)和切線長定理，三角形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·浙江溫州·九年級?？计谀┤鐖D，正方形EBFI，正方形MFCG和正方形HLGD都在正方形ABCD內(nèi)，且BF=HD．⊙O分別與AE，EI，HL，AH相切，點M恰好落在⊙O上，若BF=4，則⊙O的直徑為．【答案】16-82．【分析】連接AC，由題意可知AC過點O，M，且AC=2AB，列出方程求解即可．【詳解】解：如圖所示,連接AC，過點O作OP⊥AD于P,過點O作OQ⊥AB于Q,則∵四邊形ABCD為正方形，∴AC=2AB，OA=2OP,AD=BC．∵正方形EBFI，正方形MFCG和正方形HLGD都在正方形ABCD內(nèi)，且BF=HD．∴AH=FC．設(shè)⊙O的直徑為x，則FC=AH=x．∵BF=4，∴AB=BC=x+4．MC=2x，AM=2+1∴AC=3∵AC=2AB，∴32+12解得：x=16-82．即⊙O的直徑為16-82．故答案為：16-82．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)及正方形的內(nèi)切圓，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，甲，乙都是高為6米的長方體容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如圖②，已知正方形ABCD與矩形EFGH滿足如下條件：正方形ABCD外切于一個半徑為5米的圓O，矩形EFGH內(nèi)接于這個圓O，EF=2EH．（1）求容器甲，乙的容積分別為多少立方米？（2）現(xiàn)在我們分別向容器甲，乙同時持續(xù)注水（注水前兩個容器是空的），一開始注水流量均為25立方米/小時，4小時后．把容器甲的注水流量增加a立方米/小時，同時保持容器乙的注水流量不變，繼續(xù)注水2小時后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小時，同時容器乙的注水流量仍舊保持不變．直到兩個容器的水位高度相同，停止注水．在整個注水過程中，當注水時間為t時，我們把容器甲的水位高度記為?甲，容器乙的水位高度記為?乙，設(shè)?乙??甲=?①求a的值；②求圖③中線段PN所在直線的解析式．【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①a=37.5；②?=?1【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可直接得出正方形ABCD的邊長AB=10，即可求出容器甲的容積；連接FH，由圓周角定理的推論可知FH為直徑，即FH=10，再在Rt△EFH中，根據(jù)勾股定理即可求出EF和EH的長，即可求出容器乙的容積．（2）根據(jù)題意可求出容器甲的底面積為100平方米，容器乙的底面積為40平方米．①當t=4時，根據(jù)題意即可求出此時?的值，即得出M點坐標．由MN平行于橫軸，即得出N點坐標，即6小時后高度差仍為?米，由此即可列出關(guān)于a的等式，解出a即可．②設(shè)注水b小時后，?乙??甲=0，根據(jù)題意可列出關(guān)于b的等式，解出b即得到P【詳解】（1）由圖知，正方形ABCD的邊長AB=10，∴容器甲的容積為102如圖，連接FH，∵∠FEH=90°，∴FH為直徑．在Rt△EFH中，EF=2EH，F(xiàn)H=10，根據(jù)勾股定理，得EF=45，EH=2∴容器乙的容積為25（2）根據(jù)題意可求出容器甲的底面積為10×10=100平方米，容器乙的底面積為①當t=4時，?=4×25∵MN平行于橫軸，∴M4，1.5，N由上述結(jié)果，知6小時后高度差仍為1.5米，∴25×640解得a=37.5．②設(shè)注水b小時后，?乙??解得b=9，即P9，0設(shè)線段PN所在直線的解析式為?=kt+m，∵N6，1.5、P9，0在直線∴1.5=6k+m0=9k+m解得：k=?1∴線段PN所在直線的解析式為?=?1【點睛】本題考查圓的內(nèi)接和外切四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理以及一次函數(shù)的實際應(yīng)用．根據(jù)題意畫出圖形求出兩個容器的各邊長和理解題意找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【題型9一般三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】【例9】（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）若四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長相等，且△AOB，△BOC，△COD的內(nèi)切圓半徑分別為3，4，6，則△DOA的內(nèi)切圓半徑是（）A．92 B．32 C．7【答案】A【分析】設(shè)△DOA的內(nèi)切圓半徑為r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長為L，分別表示出四個三角形的面積，再根據(jù)由等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比可得S△AOBS△DOA=OB【詳解】解：設(shè)△DOA的內(nèi)切圓半徑為r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周長為L，如圖，⊙I是△AOB的內(nèi)切圓，切點分別為E，F(xiàn)，G，則IE=IF=IG=3，由切線長定理可知：AE=AF，OE=OG，BF=BG，AE+AF+BF+BG+OE+OG=L，S△AIE=12AE?IE，S△AIF=12∴S△AOB同理：S△BOC=12L?4=2L

由等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比可得：S△AOB∴S△AOB∴32∴r=9故選：A．【點睛】本題主要考查了三角的內(nèi)切圓與內(nèi)心性質(zhì)、等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比的應(yīng)用．知道三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半、等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比是解答本題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·湖南長沙·長沙市湘郡培粹實驗中學(xué)?？既＃┤鐖D，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若△ABC的周長為18，面積為9，則⊙O的半徑是（）

A．1 B．2 C．1.5 D．2【答案】A【分析】作輔助線如解析圖，根據(jù)S△ABC【詳解】解：如圖，設(shè)⊙O與△ABC的各邊分別相切于點E、F、G，連接OE,OF,OG,OA,OB,OC，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE⊥AB,OF⊥AC,OG⊥BC，OE=OF=OG=r，∵S==1又△ABC的周長為18，面積為9，∴9=1∴r=1，故選：A.

【點睛】本題考查了利用三角形的面積求三角形的內(nèi)切圓半徑，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵.【變式9-2】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB+AC=53BC，AD⊥BC于D，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為R，AD的長為?，則RA．38 B．27 C．13【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的特點作出圓心和三條半徑，分別表示出△ABC的面積，利用面積相等即可解決問題．【詳解】解：如圖所示：O為△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分線交點，過點O分別作垂線交AB、AC、BC于點E、G、F，S△ABC∵AB+AC=5∴S∵AD的長為?，∴S∴1∴?=8∴R故選：A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)