高等數(shù)學第五章

第五章定積分及其應用

5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2微積分基本公式5.3定積分的換元積分法與分部積分法5.4廣義積分5.5定積分在幾何上的應用﹡5.6定積分在物理上的應用湖南教育出版社下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)1．兩個實例2．定積分的定義3．定積分的幾何意義4．定積分的簡單性質(zhì)首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)例1

求曲邊梯形的面積.1．兩個實例5.1定積分的概念與性質(zhì)（1）分割.

用分點

第i小曲邊梯形的面積首頁上頁下頁用以為寬，為高的小矩形的面積近似代替相應的小曲邊梯形的面積，即5.1定積分的概念與性質(zhì)（2）近似代替.（3）求和.（4）取極限.首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)例2

求變速直線運動的路程.

設某物體作直線運動,已知速度v=v(t)是時間區(qū)間[a,b]上的t連續(xù)函數(shù)，且．求物體在這段時間內(nèi)所走的路程．（1）分割.

用分點

（2）近似代替.首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)（3）求和.（4）取極限.首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)2．定積分的定義定義設f(x)是濕疹偏方定義在區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù),用分點把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間第i個小區(qū)間的長度記為積分和式

首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)存在,且此極限值與對區(qū)間[a,b]http://的分法以及對點取法無關(guān),則稱這個極限值為函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分(簡稱積分),

首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)被積函數(shù)被積表達式積分變量

積分下限

積分上限

積分區(qū)間

首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)注意

（1）積分值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),與積分變量用什么字母表示無關(guān).（2）在定積分的定義中,我們假定a<b,即積分下限小于積分上限.如果a>b

,規(guī)定當a=b時,規(guī)定如果f(x)在[a,b]上的定積分存在,稱f(x)在[a,b]上可積.

首頁上頁下頁設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上只有有限個第一類間斷點,則f(x)在[a,b]上可積．定理15.1定積分的概念與性質(zhì)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上可積．定理2例3根據(jù)定積分的定義,證明其中C為常數(shù).

證首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)例4根據(jù)定積分的定義,求解

函數(shù)在區(qū)間[0,1]上連續(xù),把區(qū)間[0,1]n等分分點為小區(qū)間的長度首頁上頁下頁5.1定積分的濕疹偏方概念與性質(zhì)首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)3．定積分的幾何意義首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)幾何意義：曲線y=f(x)與直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形面積的http://代數(shù)和．首頁上頁下頁例5用定積分表示各圖形陰影部分的面積，并根據(jù)定積分的幾何意義求出其值.

5.1定積分的概念與性質(zhì)解

首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)4．定積分的簡單性質(zhì)假定函數(shù)f(x),g(x)在所討論的區(qū)間上都是可積的．性質(zhì)1兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于各個函數(shù)定積分的代數(shù)和，即證

首頁上頁下頁性質(zhì)3(定積分的可加性)對于任意三個數(shù)a,b,c,總有5.1定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)2被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面,即證

首頁上頁下頁5.1定積分的濕疹偏方概念與性質(zhì)首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)例6

已知解

(性質(zhì)3)首頁上頁下頁性質(zhì)4（保號性）如果在區(qū)間上[a,b]上5.1定積分的概念與性質(zhì)證

(極限的保號性)首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)5

如果在區(qū)間[a,b]上性質(zhì)6（估值性質(zhì)）設M和m分別是f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則證(性質(zhì)5)首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)7（積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點，使得證

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，(性質(zhì)6)

首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)f(x)在[a,b]上的平均值首頁上頁下頁5.1定積分的概念與性質(zhì)積分中值定理的幾何解釋：

由曲線y=f(x),直線x=a,x=b,y=0,所圍成的曲邊梯形的面積,等于以區(qū)間[a,b]為底、以該區(qū)間上某一點處的函數(shù)值為高的矩形的面積.首頁上頁下頁5.2微積分基本公式1．積分上限的濕疹偏方函數(shù)及其導數(shù)2．微積分基本公式首頁上頁下頁考察定積分記作積分上限函數(shù)5.2微積分基本公式1．積分上限的函數(shù)及其導數(shù)首頁上頁下頁5.2微積分基本公式表示陰影部分的面積．幾何意義:首頁上頁下頁5.2微積分基本公式若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)定理1在區(qū)間[a,b]上可導，且它的導數(shù)就是f(x)，即證

由積分中值定理，有首頁上頁下頁5.2微積分基本公式首頁上頁下頁

(原函數(shù)存在定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在[a,b]上的原函數(shù)一定存在.

5.2微積分基本公式定理2例1解首頁上頁下頁5.2微積分基本公式例2求下列函數(shù)的導數(shù)：解首頁上頁下頁設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)，則2．微積分基本公式5.2微積分基本公式定理3證

首頁上頁下頁5.2微積分基本公式0牛頓—萊布尼茲公式

(微積分基本公式)

首頁上頁下頁5.2微積分基本公式例3計算解例4計算解首頁上頁下頁例5計算5.2微積分基本公式解首頁上頁下頁5.2微積分基本公式例6計算解首頁上頁下頁5.2微積分基本公式例7已知自由落體的運動速度v(t)=gt

(m/s)，試求物體在運動開始后T(s)內(nèi)下落的距離．解物體下落的距離為首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法1．定積的換元積分法2．定積分的分部積分法首頁上頁下頁設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則5.3定積分的換元積分法與分部積分法1．定積的換元積分法定理1設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，令定積分的換元公式

證

首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例1計算解首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例2計算解首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例3計算解首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法定積分的換元公式也可以反過來用.例4求定積分解

首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法另解

換元必換限

首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例5求定積分解法1

解法2

首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例6設f(x)在[a,b]上連續(xù)，試證明：（1）若f(x)在[a,b]上為偶函數(shù)，則（2）若f(x)在[a,b]上為奇函數(shù)，則證

首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法（1）若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)=f(x)．（2）若f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)=－f(x)．首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法幾何解釋：偶函數(shù)

奇函數(shù)首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例7計算下列定積分：解首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法2．定積分的分部積分法定理2設函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導數(shù),則分部積分公式

證

首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例8計算解

首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例9計算解

首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例10計算解

首頁上頁下頁5.3定積分的換元積分法與分部積分法例11計算解

首頁上頁下頁5.4廣義積分1．無限區(qū)間上的廣義積分*2.無界函數(shù)的廣義積分首頁上頁下頁5.4廣義積分1．無限區(qū)間上的廣義積分引例開口曲邊梯形

在區(qū)間[1,b]上的曲邊梯形的面積為“開口曲邊梯形”的面積

首頁上頁下頁5.4廣義積分定義1上的廣義積分，記作如果上述極限不存在，則稱廣義積分首頁上頁下頁5.4廣義積分注意

首頁上頁下頁5.4廣義積分例1求解

首頁上頁下頁5.4廣義積分如果f(x)的原函數(shù)為F(x)，則首頁上頁下頁5.4廣義積分例2判別廣義積分解

發(fā)散

首頁上頁下頁5.4廣義積分例3討論廣義積分解

首頁上頁下頁5.4廣義積分*2.無界函數(shù)的廣義積分引例:“開口曲邊梯形”的面積

首頁上頁下頁5.4廣義積分定義2在區(qū)間[a,b]上的廣義積分，記作如果上述極限不存在，則稱廣義積分點x=a稱為函數(shù)f(x)的瑕點，廣義積分也稱為瑕積分.

首頁上頁下頁5.4廣義積分注意

首頁上頁下頁例4計算5.4廣義積分解

首頁上頁下頁發(fā)散

5.4廣義積分例5討論廣義積分解

首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用1．平面圖形的面積2．旋轉(zhuǎn)體的體積*3．平面曲線的弧長首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用1．平面圖形的面積（1）由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a,x=b,y=0所圍成的平面圖形的面積．首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用（2）由曲線y=f(x),y=g(x)與直線x=a,x=b所圍成的平面圖形的面積．首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用（3）由曲線與直線y=c,y=d,x=0所圍成的平面圖形的面積.

首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用（4）由曲線與直線y=c,y=d所圍成的平面圖形的面積.

首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用例1求由拋物線yxo解

首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用例2求由拋物線解

xoy兩拋物線的交點為(－1,1)和(1,1).

首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用例3

解

xoy首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用特別，當a=b=r時，得圓的面積公式：首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用例4xoy解

首頁上頁下頁2．旋轉(zhuǎn)體的體積xoy面積微元

xoy微元法

5.5定積分在幾何上的應用首頁上頁下頁用微元法來求旋轉(zhuǎn)體的體積過點作垂直于x軸的平面,其面積為體積微元

xoy5.5定積分在幾何上的應用首頁上頁下頁xoy5.5定積分在幾何上的應用首頁上頁下頁例5證明：底面半徑為r，高為h的圓錐體的體積為xoy證

5.5定積分在幾何上的應用首頁上頁下頁求橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．例6

解

xoy旋轉(zhuǎn)橢球體

球體體積

5.5定積分在幾何上的應用首頁上頁下頁例7

如下圖所示的一個高8cm,上底半徑為5cm,下底半徑為3cm的圓臺形工件,在中央鉆一個半徑為2cm的孔,如果該工件是鐵制的,求它的重量.

5.5定積分在幾何上的應用首頁上頁下頁解

xoy鐵的密度5.5定積分在幾何上的應用首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用*3．平面曲線的弧長xoy設函數(shù)f(x)在[a,b]上具有一階連續(xù)導數(shù)，計算曲線f(x)上從a到b的曲線弧的弧長．首頁上頁下頁5.5定積分在幾何上的應用例8

解

首頁上頁下頁*5.6定積分在物理上的應用1．功

2．液體的壓力3．定積分在經(jīng)濟上的應用首頁上頁下頁o*5.6定積分在物理上的應用1．功功微元

x首頁上頁下頁*5.6定積分在物理上的應用例1已知彈簧每拉長0.01m要用5N的力，求把彈簧拉長0.1m所作的功．解

(平衡點

)當x=0.01m時,F=5N,所以k=500(N/m).

首頁上頁下頁o*5.6定積分在物理上的應用例2把一個帶電量為+q的點電荷放在r軸上坐標原點O處,它產(chǎn)生一個電場．電場中距離原點O為r的地方有一個單位正電荷．當這個單位正電荷在電場中從點a處沿r軸移動到點b(

a<b)處時，計算電場力F對它所作的功．r解

(k為常數(shù))首頁上頁下頁*5.6定積分在物理上的應用例3

修建一座大橋的橋墩時先要下圍囹,并要抽盡其中的水以便施工．已知圍囹(看作圓柱體)的直徑為20m,水深為27m,圍囹高出水面3m,求抽盡圍囹中的水所作的功．解

首頁上頁下頁*5.6定積分在物理上的應用