北師大版九年級數(shù)學下冊舉一反三系列3.5點和圓、直線和圓的位置關系【九大題型】同步練習(學生版+解析)

專題3.5點和圓、直線和圓的位置關系【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷點和圓的位置關系】 1【題型2根據(jù)點和圓的位置關系求半徑】 2【題型3判斷直線和圓的位置關系】 3【題型4根據(jù)直線和圓的位置關系求半徑的取值范圍】 3【題型5根據(jù)直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離】 4【題型6根據(jù)直線與圓的位置關系確定交點個數(shù)】 5【題型7求圓平移到與直線相切時圓心經過的距離】 6【題型8求直線平移到與圓相切時運動的距離】 7【題型9利用直線與圓的位置關系求最值】 9【知識點1點和圓的位置關系】點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。用數(shù)量關系表示：若設⊙O的半徑就是r，點P到圓的距離OP=d，則有：點P在圓外,則d＞r；點p在圓上則d=r；點p在圓內則d＜r,反之也成立?！绢}型1判斷點和圓的位置關系】【例1】（2023春·四川自貢·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標xOy中，⊙O的半徑為5，以下各點在⊙O內的是（）A．(?2,3) B．(3,?4) C．(?4,?5) D．(5,6)【變式1-1】（2023春·吉林通化·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，A0，4、B（1）經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為；（2）這個圓的半徑為；（3）點D3，?1與⊙M的位置關系為點D在【變式1-2】（2023春·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）已知⊙O的半徑是8，點P到圓心O的距離d為方程x2?4x?5=0的一個根，則點P在（A．⊙O的內部 B．⊙O的外部C．⊙O上或⊙O的內部 D．⊙O上或⊙O的外部【變式1-3】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC于點D，點P為AD上的點，DP=2，以點P為圓心A．點A在⊙P外 B．點B在⊙P外C．點C在⊙P外 D．點D在⊙P內【題型2根據(jù)點和圓的位置關系求半徑】【例2】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）在同一平面上，⊙O外有一點P到圓上的最大距離是8cm，最小距離為2cm，則⊙O的半徑為cm．【變式2-1】（2023春·浙江寧波·九年級?？计谥校┮阎袿的半徑為4cm，點P在⊙O上，則OP的長為（

）A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm【變式2-2】（2023春·浙江嘉興·九年級校考開學考試）已知⊙O的圓心與坐標原點重合，半徑為r，若點A(2,0)在⊙O內，點P(2,2)在⊙O外，則r的取值范圍是．【變式2-3】（2023春·九年級單元測試）如圖，矩形ABCD中AB=3，AD=4.作DE⊥AC于點E，作AF⊥BD于點F．(1)求AF、AE的長；(2)若以點A為圓心作圓，B、C、D、E、F五點中至少有1個點在圓內，且至少有2個點在圓外，求⊙A的半徑r的取值范圍．【知識點2直線和圓的位置關系】直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。2.直線與圓的位置關系可以用數(shù)量關系表示:若設⊙O的半徑就是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l與⊙O相交則d＜r；直線l與⊙O相切則d=r；直線l與⊙O相離則d＞r,反之也成立?！绢}型3判斷直線和圓的位置關系】【例3】（2023春·九年級課時練習）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以點A為圓心，r為半徑作⊙A，(1)當半徑r為何值時，⊙A與直線BC相切；(2)當半徑r為何值時，⊙A與直線BD相切；(3)當半徑r的取值范圍為何值時，⊙A與直線BC相交且與直線CD相離．【變式3-1】（2023春·九年級課時練習）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2?7x+12=0的一個根，圓心O到直線l的距離d=3，則直線l與⊙O的位置關系是【變式3-2】（2023春·全國·九年級專題練習）已知⊙O的直徑為12，點O到直線l上一點的距離為210，則直線l與⊙O的位置關系（

A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式3-3】（2023春·九年級課時練習）如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，AC和BD相交于點O，過O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，則以點B為圓心，2為半徑的圓與直線AC，EF的位置關系分別是什么？

【題型4根據(jù)直線和圓的位置關系求半徑的取值范圍】【例4】（2023春·九年級課前預習）在平面直角坐標系中，以點A4,3為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（

A．0<R<5 B．3<R<4 C．3<R<5 D．4<R<5【變式4-1】（2023春·全國·九年級專題練習）對于⊙P及一個矩形給出如下定義：如果⊙P上存在到此矩形四個頂點距離都相等的點，那么稱⊙P是該矩形的“等距圓”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A的坐標為(4,6)，頂點C、D在x軸上，且OC=OD．若矩形ABCD的“等距圓”⊙P始終在矩形內部（含邊界），則⊙P的半徑r的取值范圍是．【變式4-2】（2023春·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，點O是邊BC上一點，以O為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是（）A．4＜OC≤133 B．4≤OC≤133 C．4＜OC≤143 【變式4-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，BC=12．分別以點O、D為圓心畫圓，如果⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內切，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是（

）

A．12<r<4 B．52<r<6 C．【題型5根據(jù)直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離】【例5】（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的半徑是5，點A在⊙O上．P是⊙O所在平面內一點，且AP＝2，過點P作直線l，使l⊥PA．（1）點O到直線l距離的最大值為；（2）若M，N是直線l與⊙O的公共點，則當線段MN的長度最大時，OP的長為．【變式5-1】（2023春·全國·九年級專題練習）已知⊙O的半徑為5，直線l與⊙O有2個公共點，則點O到直線l的距離可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【變式5-2】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸原點O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點P在數(shù)軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設OP=x，則x的取值范圍是（

）A．?2≤x≤2 B．0≤x≤C．?1≤x≤1 D．x>2【變式5-3】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，⊙O的半徑是3，點A在⊙O上，點P是⊙O所在平面內一點，且AP=2，過點P作直線l，使l⊥PA．（1）點O到直線l距離的最大值為；（2）若點M，N是直線l與⊙O的公共點，則當線段MN的長度最大時，OP的長為．【題型6根據(jù)直線與圓的位置關系確定交點個數(shù)】【例6】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期末）已知，Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB上的高為5cm，以點C為圓心，4.8為半徑的圓與該直線A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式6-1】（2023春·九年級課時練習）在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點的個數(shù)為【變式6-2】（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，∠ACB＝30°，點O是CB上的一點，且OC＝6，則以4為半徑的⊙O與直線CA的公共點的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．無法確定【變式6-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=8，∠ABC=60°．點P是射線BC上一動點，作△PAB的外接圓⊙O．(1)當DC與△PAB的外接圓⊙O相切時，求⊙O的半徑；(2)直接寫出⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)及對應的BP長的取值范圍．【題型7求圓平移到與直線相切時圓心經過的距離】【例7】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC＝30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在直線AB上，開始時，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么當⊙P的運動時間t（s）為時，⊙P與直線CD相切．【變式7-1】（2023春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點，AB=8cm，則l沿OC所在直線平移后與⊙O相切，則平移的距離是（

）A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm【變式7-2】（2023春·天津寶坻·九年級校聯(lián)考期末）如圖，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半徑為1cm，若圓心O沿著BP的方向在直線BP上移動．（Ⅰ）當圓心O移動的距離為1cm時，說明⊙O與直線PA的位置關系．（Ⅱ）若圓心O的移動距離是d，當⊙O與直線PA相交時，求d的取值范圍【變式7-3】（2023·天津·九年級統(tǒng)考期中）如圖，∠APB=30°，圓心在PB上的⊙O的半徑為1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，當⊙O與PA相切時，圓心O平移的距離為cm．【題型8求直線平移到與圓相切時運動的距離】【例8】（2010·四川南充·中考真題）如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B．點M和點N分別是l1和l2上的動點，MN沿l1和lA．MN=433 B．若MN與C．若∠MON=90°，則MN與⊙O相切 D．l1和l【變式8-1】（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期中）如圖，直線y=34x+b（b>0）與x軸、y軸交于點A、B，在直線AB上取一點C，過點C作x軸的垂線，垂足為E，若點E（1）若EC=BC，求b的值；（2）在（1）的條件下，有一動點P從點B出發(fā)，延著射線BC方向以每秒1個單位的速度運動，以點P為圓心，作半徑為12的圓，動點Q從點O出發(fā)，在線段OE上以每秒1個單位的速度作來回運動，過點Q作直線l垂直x軸，點P與點Q同時從點B、點O開始運動，問經過多少秒后，直線l和⊙P【變式8-2】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑是1，直線AB與x軸交于點P(x，0)，且與x軸的正半軸夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點，則x值的范圍是()A．-1≤x≤1 B．-2≤x≤【變式8-3】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．（1）若△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，⊙O不動，則經過多少時間△ABC的邊與圓第一次相切？（2）若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，⊙O的速度為每秒1個單位，則經過多少時間△ABC的邊與圓第一次相切？（3）若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，⊙O的速度為每秒1個單位，同時△ABC的邊長AB、BC都以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．△ABC的邊與圓第一次相切時，點B運動了多少距離？【題型9利用直線與圓的位置關系求最值】【例9】（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是邊AB上一動點（不含端點），將△ADM沿直線DM對折，得到△NDM．當射線CN交線段AB于點P時，連接DP，則△CDP的面積為；DP的最大值為

【變式9-1】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A（－1，0），點B（1，0），點M（3，4），以M為圓心，2為半徑作⊙M．若點P是⊙M上一個動點，則PA2＋PB2的最大值為【變式9-2】（2023·陜西·交大附中分校校考模擬預測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8，⊙O的半徑為3．⊙O在△ABC內平移（⊙O可以沿邊界移動），則點A到⊙O上的點的距離最大值．【變式9-3】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，以邊AB的中點專題3.5點和圓、直線和圓的位置關系【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷點和圓的位置關系】 1【題型2根據(jù)點和圓的位置關系求半徑】 5【題型3判斷直線和圓的位置關系】 7【題型4根據(jù)直線和圓的位置關系求半徑的取值范圍】 10【題型5根據(jù)直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離】 14【題型6根據(jù)直線與圓的位置關系確定交點個數(shù)】 17【題型7求圓平移到與直線相切時圓心經過的距離】 22【題型8求直線平移到與圓相切時運動的距離】 27【題型9利用直線與圓的位置關系求最值】 32【知識點1點和圓的位置關系】點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。用數(shù)量關系表示：若設⊙O的半徑就是r，點P到圓的距離OP=d，則有：點P在圓外,則d＞r；點p在圓上則d=r；點p在圓內則d＜r,反之也成立。【題型1判斷點和圓的位置關系】【例1】（2023春·四川自貢·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標xOy中，⊙O的半徑為5，以下各點在⊙O內的是（）A．(?2,3) B．(3,?4) C．(?4,?5) D．(5,6)【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出各點到O的距離，再與⊙O的半徑5相比較即可．【詳解】解：A、點(?2,3)到O的距離為22+32=B、點(3,?4)到O的距離為42+32=5C、點(?4,?5)到O的距離為42+52=D、點(5,6)到O的距離為62+52=【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵．【變式1-1】（2023春·吉林通化·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，A0，4、B（1）經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為；（2）這個圓的半徑為；（3）點D3，?1與⊙M的位置關系為點D在【答案】1，1【分析】（1）作線段AB，BC的垂直平分線交于點M，點M即為所求；（2）根據(jù)點M的位置寫出坐標即可，利用勾股定理求出半徑；（3）根據(jù)點與圓的位置關系判斷即可．【詳解】解：（1）如圖，∵點M是線段AB，BC的垂直平分線的交點，∴MA=MB=MC，∴點M是經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心，∴點M1故答案為：1，（2）∵M1，1，點A∴MA=1故答案為：10．（3）∵D3，?1∴MD=3?1∵22∴MD<MA，∴點D3，?1故答案為：內．【點睛】本題考查作圖—復雜作圖，坐標與圖形的性質，垂徑定理，點與圓的位置關系，勾股定理，三角形的外接圓與外心等知識，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線的性質．【變式1-2】（2023春·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）已知⊙O的半徑是8，點P到圓心O的距離d為方程x2?4x?5=0的一個根，則點P在（A．⊙O的內部 B．⊙O的外部C．⊙O上或⊙O的內部 D．⊙O上或⊙O的外部【答案】D【分析】解一元二次方程根據(jù)點與圓的關系直接判定即可得到答案．【詳解】解：解方程可得，x1=5，∵點P到圓心O的距離d為方程x2∴d=5<8，∴點P在⊙O的內部，故選A．【點睛】本題考查解一元二次方程及點與圓的關系，解題的關鍵是正確解方程及掌握點到圓心距離與圓半徑關系判斷點與圓的關系．【變式1-3】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC于點D，點P為AD上的點，DP=2，以點P為圓心A．點A在⊙P外 B．點B在⊙P外C．點C在⊙P外 D．點D在⊙P內【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質求出BD=CD=6cm，利用勾股定理求出AD，得到AP的長，即可判斷點A與⊙P的位置關系；利用勾股定理求出BP、CP，即可判斷點B、C與⊙P的位置關系，由DP即可判斷點D與⊙P位置關系．【詳解】解：∵AB=AC=10cm∴BD=CD=6cm，∠ADC=90°，∴AD=A∵DP=2cm，∴AP=6cm，∴點A在⊙P上；故A選項符合題意；連接BP、CP，∵AB=AC,AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴BP=CP=CD∴點B、C都在⊙P外；故B、C選項都不符合題意；∵DP=2<6，∴點D在⊙P內，故D選項不符合題意，【點睛】此題考查了點與圓的位置關系，勾股定理，線段垂直平分線的判定及性質，等腰三角形三線合一的性質，熟記點與圓的位置關系是解題的關鍵．【題型2根據(jù)點和圓的位置關系求半徑】【例2】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）在同一平面上，⊙O外有一點P到圓上的最大距離是8cm，最小距離為2cm，則⊙O的半徑為cm．【答案】5或3【分析】分點P在圓內或圓外進行討論．【詳解】解：①當點P在圓內時，⊙O的直徑長為8+2=10（cm），半徑為5cm；②當點P在圓外時，⊙O的直徑長為8-2=6（cm），半徑為3cm；綜上所述：⊙O的半徑長為5cm或3cm．故答案為：5或3．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．【變式2-1】（2023春·浙江寧波·九年級?？计谥校┮阎袿的半徑為4cm，點P在⊙O上，則OP的長為（

）A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm【答案】B【分析】根據(jù)點在圓上，點到圓心的距離等于圓的半徑求解即可．【詳解】解：∵⊙O的半徑為4cm，點P在⊙O上，∴OP=4cm【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外時，d>r；點P在圓上時，d=r；點P在圓內時，d<r．【變式2-2】（2023春·浙江嘉興·九年級?？奸_學考試）已知⊙O的圓心與坐標原點重合，半徑為r，若點A(2,0)在⊙O內，點P(2,2)在⊙O外，則r的取值范圍是．【答案】2<r<2【分析】由題意知，OA=2，OP=2?02+2?02=22，由點A(2,0)在⊙O【詳解】解：由題意知，OA=2，OP=2?0∵點A(2,0)在⊙O內，點P(2,2)在⊙O外，∴2<r<22故答案為：2<r<22【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，勾股定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式2-3】（2023春·九年級單元測試）如圖，矩形ABCD中AB=3，AD=4.作DE⊥AC于點E，作AF⊥BD于點F．(1)求AF、AE的長；(2)若以點A為圓心作圓，B、C、D、E、F五點中至少有1個點在圓內，且至少有2個點在圓外，求⊙A的半徑r的取值范圍．【答案】(1)AF=125(2)2.4<r<4【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC=BD=32+42（2）根據(jù)AF<AB<AE<AD<AC，結合點與圓的位置關系進行判斷即可．【詳解】（1）解：∵矩形ABCD中AB=3，AD=4，∴AC=BD=3∵12∴AF=3×4同理可得：DE=12在Rt△ADE中，AE=（2）解：∵AF<AB<AE<AD<AC，∴若以點A為圓心作圓，B、C、D、E、F五點中至少有1個點在圓內，且至少有2個點在圓外，即點F在圓內，點D、C在圓外，∴⊙A的半徑r的取值范圍為2.4<r<4．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，點與圓的位置關系，勾股定理，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握點與圓的位置關系．【知識點2直線和圓的位置關系】直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。2.直線與圓的位置關系可以用數(shù)量關系表示:若設⊙O的半徑就是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l與⊙O相交則d＜r；直線l與⊙O相切則d=r；直線l與⊙O相離則d＞r,反之也成立?！绢}型3判斷直線和圓的位置關系】【例3】（2023春·九年級課時練習）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以點A為圓心，r為半徑作⊙A，(1)當半徑r為何值時，⊙A與直線BC相切；(2)當半徑r為何值時，⊙A與直線BD相切；(3)當半徑r的取值范圍為何值時，⊙A與直線BC相交且與直線CD相離．【答案】(1)當半徑r為3時，⊙A與直線BC相切(2)當半徑r為2.4時，⊙A與直線BD相切(3)當半徑r的取值范圍為3<r<4時，⊙A與直線BC相交且與直線CD相離【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑時，圓與直線相切，結合矩形的性質進行求解即可；（2）連接BD，過點A作AE⊥BD，等積法求出AE的長，即為所求；（3）根據(jù)圓心到直線的距離和圓的半徑之間的關系，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=∠D=90°，∴AB⊥BC，AD⊥DC，∵圓心A到BC邊的距離為AB=3，⊙A與直線BC相切，∴r=AB=3，則當半徑r為3時，⊙A與直線BC相切；（2）連接BD，過A作AE⊥BD，交BD于點E，∵在Rt△ABD中，AB=3，AD=4∴BD=A又∵S△ABD∴圓心A到BD邊的距離AE=12又⊙A與直線BD相切，∴r=AE=2.4，則當半徑r為2.4時，⊙A與直線BD相切；（3）∵⊙A與直線BC相交，圓心A到BC邊的距離為AB=3，∴r>3，又⊙A與直線CD相離，圓心A到CD的距離為AD=4，∴r<4，則當半徑r的取值范圍為3<r<4時，⊙A與直線BC相交且與直線CD相離．【點睛】本題考查直線與圓之間的位置關系．熟練掌握圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切，小于半徑時，直線與圓相交，大于半徑時，直線與圓相離，是解題的關鍵．【變式3-1】（2023春·九年級課時練習）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2?7x+12=0的一個根，圓心O到直線l的距離d=3，則直線l與⊙O的位置關系是【答案】相交或相切【分析】利用因式分解法求得一元二次方程的兩個根，再根據(jù)直線與圓的位置關系求解即可．【詳解】解：由x2?7x+12=0解得x1=3即⊙O的半徑是3或4當⊙O的半徑是3時，3=3，即r=d，直線與圓相切，當⊙O的半徑是4時，4>3，即r>d，直線與圓相交，故答案為：相交或相切【點睛】此題考查了一元二次方程的求解以及直線與圓的位置關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程的求解以及直線與圓的位置關系．【變式3-2】（2023春·全國·九年級專題練習）已知⊙O的直徑為12，點O到直線l上一點的距離為210，則直線l與⊙O的位置關系（

A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與圓半徑之間的大小關系，判斷直線與圓的位置關系即可．【詳解】解：∵⊙O的直徑為12，∴⊙O的半徑為6，∵點O到直線l上一點的距離為210，無法確定點O到直線l∴不能確定直線l與⊙O的位置關系，故選D．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系．熟練掌握圓心到直線的距離與圓半徑之間的大小關系，判斷直線與圓的位置關系，是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·九年級課時練習）如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，AC和BD相交于點O，過O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，則以點B為圓心，2為半徑的圓與直線AC，EF的位置關系分別是什么？

【答案】見解析【分析】求點B到AC的距離，即BO，可知與⊙B的半徑相等，故圓與直線AC相切；點B到EF的距離BE<2，小于⊙B的半徑，故圓與直線EF【詳解】由題中已知條件，得BO⊥AC，BO=1即點B到AC的距離為2，與⊙B的半徑相等，∴直線AC與⊙B相切．∵EF∥AB，∴BE⊥EF，垂足為E，且BE=1∴直線EF與⊙B相交．【點睛】本題考查正方形的性質，直線與圓的位置關系判定，根據(jù)點到直線的距離與半徑的大小關系判定直線與圓的位置關系是解題的關鍵．【題型4根據(jù)直線和圓的位置關系求半徑的取值范圍】【例4】（2023春·九年級課前預習）在平面直角坐標系中，以點A4,3為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（

A．0<R<5 B．3<R<4 C．3<R<5 D．4<R<5【答案】A【分析】分別根據(jù)原點O在圓A的外部，圓A與x軸相交，可得半徑R的取值范圍．【詳解】解：∵A4,3∴OA=3∵原點O在圓A的外部，∴R<OA，即R<5，∵圓A與x軸相交，∴R>3，∴3<R<5，故選C．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質，勾股定理，直線、點與圓的位置關系等知識點，能熟記直線、點與圓的位置關系是解此題的關鍵．【變式4-1】（2023春·全國·九年級專題練習）對于⊙P及一個矩形給出如下定義：如果⊙P上存在到此矩形四個頂點距離都相等的點，那么稱⊙P是該矩形的“等距圓”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A的坐標為(4,6)，頂點C、D在x軸上，且OC=OD．若矩形ABCD的“等距圓”⊙P始終在矩形內部（含邊界），則⊙P的半徑r的取值范圍是．【答案】0<r≤7?2【分析】先確定最大圓的位置，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的頂點A的坐標為(4,6)，頂點C、D在x軸上，且OC=OD．∴它的中心E點坐標為(0,3)，如圖，∴經過點E且在矩形內部（含邊界）的最大圓為過點E且和AD，CD相切的圓P，設切點分別為G，H，如圖，連接PG，PH，PE，過點P作PF⊥y軸于點F，設⊙P的半徑為r，則PG=PH=PE=r，PF=4?r，EF=3?r，在Rt△PEF∵PE∴r解得r1=7?26由題意，r<3，而7+26∴r故答案為：0<r≤7?26【點睛】本題考查矩形的性質，直線與圓的位置關系，勾股定理，一元二次方程的解法，解題的關鍵是確定出最大圓的位置，利用勾股定理解答．【變式4-2】（2023春·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，點O是邊BC上一點，以O為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是（）A．4＜OC≤133 B．4≤OC≤133 C．4＜OC≤143 【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，當⊙O與邊AD相切時，圓心O與E重合，即OC＝4；當OA＝OC時，⊙O與AD交于點A，設OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝133【詳解】作DE⊥BC于E，如圖所示：則DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，當⊙O與邊AD相切時，切點為D，圓心O與E重合，即OC＝4；當OA＝OC時，⊙O與AD交于點A，設OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝133∴以O為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是4≤x≤133故選B．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系、直角梯形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握直角梯形的性質，分情況討論是解題的關鍵．【變式4-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，BC=12．分別以點O、D為圓心畫圓，如果⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內切，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是（

）

A．12<r<4 B．52<r<6 C．【答案】A【分析】過點O作OE⊥AD，勾股定理求得BD=13，進而根據(jù)平行線分線段成比例得出OE=1【詳解】解：如圖所示，當圓O與AD相切時，過點O作OE⊥AD，∵矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，BC=12．∴AD⊥CD，CD=AB=5，AD=BC=12，BD=A∴OE∴OE=1則r=OD+5

當圓O與CD相切時，過點O作OF⊥CD于點F，如圖所示，

則OF=則r=∴⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內切時，9<r<25【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關鍵．【題型5根據(jù)直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離】【例5】（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的半徑是5，點A在⊙O上．P是⊙O所在平面內一點，且AP＝2，過點P作直線l，使l⊥PA．（1）點O到直線l距離的最大值為；（2）若M，N是直線l與⊙O的公共點，則當線段MN的長度最大時，OP的長為．【答案】721【分析】（1）如圖1，當點P在圓外且O，A，P三點共線時，點O到直線l距離的最大，于是得到結論；（2）如圖2，根據(jù)已知條件得到線段MN是⊙O的直徑，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）如圖1，∵l⊥PA，∴當點P在圓外且O，A，P三點共線時，點O到直線l距離的最大，最大值為AO+AP＝5+2＝7；（2）如圖2，∵M，N是直線l與⊙O的公共點，當線段MN的長度最大時，線段MN是⊙O的直徑，∵l⊥PA，∴∠APO＝90°，∵AP＝2，OA＝5，∴OP＝OA2?P故答案為7,21【點睛】此題主要考查點到直線的距離以及勾股定理的運用，熟練掌握，即可解題.【變式5-1】（2023春·全國·九年級專題練習）已知⊙O的半徑為5，直線l與⊙O有2個公共點，則點O到直線l的距離可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意得點O到直線l的距離小于圓的半徑，即可解答．【詳解】∵⊙O的半徑為5，直線l與⊙O有2個公共點，∴點O到直線l的距離0≤d<5．【點睛】本題考查了點、直線、圓的位置關系．熟練掌握直線與圓相交時，圓心到直線的距離小于半徑，是解題的關鍵．【變式5-2】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸原點O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點P在數(shù)軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設OP=x，則x的取值范圍是（

）A．?2≤x≤2 B．0≤x≤C．?1≤x≤1 D．x>2【答案】B【分析】根據(jù)題意，知直線和圓有公共點，則相切或相交，相切時，設切點為C，連接OC，根據(jù)等腰直角三角形的直角邊是圓的半徑1，求得斜邊是2，所以x的取值范圍是0≤x≤2【詳解】解：設切點為C，連接OC，則圓的半徑OC=1，OC⊥PC，∵∠AOB=45°，OA∥∴∠OPC=45°，∴PC=OC=1，∴OP=2同理，原點左側的距離也是2，且線段是正數(shù)所以x的取值范圍是0≤x≤【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，以及直徑所對的圓周角是直角等知識，解題關鍵是求出相切的時候的x值，即可分析出x的取值范圍．【變式5-3】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，⊙O的半徑是3，點A在⊙O上，點P是⊙O所在平面內一點，且AP=2，過點P作直線l，使l⊥PA．（1）點O到直線l距離的最大值為；（2）若點M，N是直線l與⊙O的公共點，則當線段MN的長度最大時，OP的長為．【答案】55【分析】（1）如圖1，當點P在圓外且O，A，P三點共線時，點O到直線l距離的最大，于是得到結論；（2）如圖2，根據(jù)已知條件得到線段MN是⊙O的直徑，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】解：（1）如圖1，∵l⊥PA，∴當點P在圓外且O，A，P三點共線時，點O到直線l的距離最大，最大值為AO+AP=3+2=5；（2）如圖2，∵M，N是直線l與⊙O的公共點，當線段MN的長度最大時，線段MN是⊙O的直徑，∵l⊥PA，∴∠APO=90°，∵AP=2，OA=3，∴OP=O故答案為：5，5．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．【題型6根據(jù)直線與圓的位置關系確定交點個數(shù)】【例6】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期末）已知，Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB上的高為5cm，以點C為圓心，4.8為半徑的圓與該直線A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】根據(jù)直線和圓的位置關系與數(shù)量之間的聯(lián)系進行判斷．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【詳解】解：∵5cm＞4.8cm，∴d>r.∴圓與該直線AB的位置關系是相離，交點個數(shù)為0，故選A．【點睛】考查了直線和圓的位置關系與數(shù)量之間的聯(lián)系，關鍵是掌握d與r的大小關系所決定的直線與圓的位置關系．【變式6-1】（2023春·九年級課時練習）在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點的個數(shù)為【答案】1【分析】根據(jù)直線和圓的位置關系與數(shù)量之間的聯(lián)系進行判斷，若d<r，則直線與圓相交，若d=r，則直線于圓相切，若d>r，則直線與圓相離．【詳解】解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=10，∴斜邊上的高為：AB?ACBC∴d=r=4.8，∴圓與該直線BC的位置關系是相切，交點個數(shù)為1．故答案為：1．【點睛】考查了直線和圓的位置關系與數(shù)量之間的聯(lián)系，難度一般，關鍵是掌握d與r的大小關系所決定的直線與圓的位置關系．【變式6-2】（2023春·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，∠ACB＝30°，點O是CB上的一點，且OC＝6，則以4為半徑的⊙O與直線CA的公共點的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．無法確定【答案】A【分析】過O作OD⊥OA于D，求出CD的長，根據(jù)直線和圓的位置關系判斷即可．【詳解】解：過O作OD⊥OA于D，∵∠AOB＝30°，OC＝6，∴OD＝12∴以4為半徑的⊙O與直線CA的公共點的個數(shù)為2個，【點睛】本題主要考查直線與圓的公共點個數(shù)，會判斷直線與圓的位置關系是解題的關鍵.【變式6-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=8，∠ABC=60°．點P是射線BC上一動點，作△PAB的外接圓⊙O．(1)當DC與△PAB的外接圓⊙O相切時，求⊙O的半徑；(2)直接寫出⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)及對應的BP長的取值范圍．【答案】(1)13(2)當0<BP≤4時，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為3個；當4<BP<8時，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為4個；當BP=8時，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為3個；當BP>8時，點D在⊙O的內部，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為2個．【分析】（1）取BC的中點M，連接AM，證明△ABM是等邊三角形，得出∠BAC=90°，AC=BC2?AB2=43，依題意O點在AB的垂直平分線上，作AB的垂直平分線交DC的延長線于點E，交（2）分特殊點討論，①當⊙O與AD相切時，②②當⊙O經過點D時，分別求得BP的長，結合圖形即可求解．【詳解】（1）解：如圖，取BC的中點M，連接AM，∵AB=4，BC=8，∠ABC=60°．∴BM=1∴AB=BM=4，∴△ABM是等邊三角形，∴∠BAM=∠AMC=60°，又∵AM=MC=4，∴∠MAC=∠MCA=30°，∴∠BAC=90°，∴AC=設⊙O的半徑為r，∵點P是射線BC上一動點，作△PAB的外接圓⊙O．∴O點在AB的垂直平分線上，∴OA=OB=OP=r如圖，作AB的垂直平分線交DC的延長線于點E，交AB于點F，連接OB,OP∴DC⊥EF∴四邊形EFAC是矩形，∴EF=AC=43當⊙O經過點E時，CD是⊙O的切線，在Rt△AOF中，AF=12AB=2∵A∴r解得：r=（2）解：①如圖，當⊙O與AD相切時，⊙O與ABCD有3個交點，此時AO⊥BC，根據(jù)對稱性可知∠APB=∠ABP=60°∴△ABP是等邊三角形，∴BP=AB=4即當0<BP≤4時，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為3個；②當⊙O經過點D時，如圖，連接PD，∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD∴DP=AB=4又∠ABC=60°∴△DCP是等邊三角形∴CP=4∴BP=8+4=12∴當4<BP<8時，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為4個；當BP=8時，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為3個；當BP>8時，點D在⊙O的內部，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為2個；綜上所述，當0<BP≤4時，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為3個；當4<BP<8時，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為4個；當BP=8時，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為3個；當BP>8時，點D在⊙O的內部，⊙O與?ABCD的邊的公共點的個數(shù)為2個．【點睛】本題考查了切線的性質與判定，垂徑定以及垂徑定理的推論，三角形的外心，勾股定理，平行四邊形的性質，直線與圓的位置關系，分類討論是解題的關鍵．【題型7求圓平移到與直線相切時圓心經過的距離】【例7】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC＝30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在直線AB上，開始時，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么當⊙P的運動時間t（s）為時，⊙P與直線CD相切．【答案】4或8【分析】利用⊙P的圓心在直線AB上，分別得出⊙P在O點左邊和右邊兩種情況，并根據(jù)直角三角形的性質即可計算出結果．【詳解】解解：當點P在射線OA上時⊙P與CD相切，如圖過P作PE⊥CD與E，∴PE＝1cm，∵∠AOC＝30°，∴OP＝2PE＝2cm，∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了（6?2）cm后與CD相切，∴⊙P移動所用的時間t＝6?21當點P在射線OB時⊙P與CD相切，如圖，過P作PF⊥CD與F，∴PF＝1cm，∵∠AOC＝∠DOB＝30°，∴OP＝2PF＝2cm，∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了（6＋2）cm后與CD相切，∴⊙P移動所用的時間t＝6+21綜上所述，t＝4秒或8秒．故答案為：4或8．【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關系，利用數(shù)形結合的思想并能利用直角三角形的性質得出結論是解題的關鍵．【變式7-1】（2023春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點，AB=8cm，則l沿OC所在直線平移后與⊙O相切，則平移的距離是（

）A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm【答案】D【詳解】試題分析：連接OA，如圖：∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=12考點：垂徑定理、勾股定理、直線與圓的位置關系．【變式7-2】（2023春·天津寶坻·九年級校聯(lián)考期末）如圖，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半徑為1cm，若圓心O沿著BP的方向在直線BP上移動．（Ⅰ）當圓心O移動的距離為1cm時，說明⊙O與直線PA的位置關系．（Ⅱ）若圓心O的移動距離是d，當⊙O與直線PA相交時，求d的取值范圍【答案】相切;1cm＜d＜5cm【詳解】試題分析：（1）如圖，當點O向左移動1cm時，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，作O′C⊥PA于C，∵∠P=30度，∴O′C=12∵圓的半徑為1cm，∴⊙O與直線PA的位置關系是相切；（2）如圖：當點O由O′向右繼續(xù)移動時，PA與圓相交，當移動到C″時，相切，此時C″P=PO′=2，∴點O移動的距離d的范圍滿足1cm＜d＜5cm時相交考點：直線與圓的位置關系．【變式7-3】（2023·天津·九年級統(tǒng)考期中）如圖，∠APB=30°，圓心在PB上的⊙O的半徑為1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，當⊙O與PA相切時，圓心O平移的距離為cm．【答案】1或5【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由切線的性質，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的長，繼而求得答案．【詳解】解：有兩種情況：（1）如圖1,當O平移到O′位置時，O與PA相切時，且切點為C，連接O′C,則O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，∵∠APB=30°,O′C=1cm，∴O′P=2O′C=2cm，∵OP=3cm，∴OO′=OP?O′P=1(cm).（2）如圖2，同理可得：O′P=2cm，∴O′O=5cm.故答案為1或5.【點睛】本題主考考查圓與直線相切.本題要應用分類討論思想分別畫出⊙O與直線PA相切時的圖形，利用切線性質即可求出答案.【題型8求直線平移到與圓相切時運動的距離】【例8】（2010·四川南充·中考真題）如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B．點M和點N分別是l1和l2上的動點，MN沿l1和lA．MN=433 B．若MN與C．若∠MON=90°，則MN與⊙O相切 D．l1和l【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓的相關知識，逐一判斷．【詳解】解：A、平移MN使點B與N重合，∠1=60°，AB=2，解直角三角形得MN=B、當MN與圓相切時，M，N在AB左側以及M，N在A，B右側時，AM=3或3C、若∠MON=90°，連接NO并延長交MA于點C，則△AOC≌△BON，故CO=NO，△MON≌△MOC，故MN上的高為1，即O到MND、l1∥l2，兩平行線之間的距離為線段【點睛】本題考查了直線與圓相切的判斷方法和性質，全等三角形的判定及性質，平行線間的距離，熟練掌握直線與圓相切的判斷方法和性質是解題的關鍵．【變式8-1】（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期中）如圖，直線y=34x+b（b>0）與x軸、y軸交于點A、B，在直線AB上取一點C，過點C作x軸的垂線，垂足為E，若點E（1）若EC=BC，求b的值；（2）在（1）的條件下，有一動點P從點B出發(fā)，延著射線BC方向以每秒1個單位的速度運動，以點P為圓心，作半徑為12的圓，動點Q從點O出發(fā)，在線段OE上以每秒1個單位的速度作來回運動，過點Q作直線l垂直x軸，點P與點Q同時從點B、點O開始運動，問經過多少秒后，直線l和⊙P【答案】（1）b=2；（2）t=52或256或【分析】（1）作出輔助線,求出點B、C坐標代入解析式即可求解,（2）分類討論,利用圓心到切線的距離等于半徑即可解題.【詳解】作BH⊥CE.∵E（4,0）,∴OE=BH=4,把x=4代入y=34x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C（4,5）代入y=34x+b,得（2）設點P到直線l的距離為d.作PH⊥y軸于點H,則PH=45t①當0<t≤4時,OQ=t,d=t－45t=15t,由15t=12,得②當4<t≤8時,OQ=8－t,d=8－t－45t=12或45t－（8－t）=12,解得t=③當8<t<12時,OQ=t－8,d=45t－（t－8）=12,解得t=752,由于45綜上所述,t=52或256或【點睛】本題考查求解一次函數(shù)參數(shù),直線與圓的位置關系,分類討論是解題關鍵.【變式8-2】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑是1，直線AB與x軸交于點P(x，0)，且與x軸的正半軸夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點，則x值的范圍是()A．-1≤x≤1 B．-2≤x≤【答案】B【分析】設直線AB的解析式為y=x+b，當直線與圓相切時切點為C，連接OC，則OC=1，由于直線AB與x軸正方向夾角為45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根據(jù)勾股定理求出OA的長即可．【詳解】∵直線AB與x軸正方向夾角為45°，∴設直線AB的解析式為y=x+b，切點為C，連接OC，∴OC⊥∵⊙O的半徑為1，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA=12+1∴P（2，0），同理可得，當直線與x軸負半軸相交時，P（?2∴-2【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知直線和圓的三種位置關系是解答此題的關鍵．【變式8-3】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．（1）若△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，⊙O不動，則經過多少時間△ABC的邊與圓第一次相切？（2）若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，⊙O的速度為每秒1個單位，則經過多少時間△ABC的邊與圓第一次相切？（3）若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，⊙O的速度為每秒1個單位，同時△ABC的邊長AB、BC都以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．△ABC的邊與圓第一次相切時，點B運動了多少距離？【答案】（1）5?22；（2）5?【詳解】分析：（1）分析易得，第一次相切時，與斜邊相切，假設此時，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點E，連OE并延長，交B′C′于F．由切線長定理易得CC′的長，進而由三角形運動的速度可得答案；（2）設運動的時間為t秒，根據(jù)題意得：CC′=2t，DD′=t，則C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的結論列式得出結果；（3）求出相切的時間，進而得出B點移動的距離．詳解：（1）假設第一次相切時，△ABC移至△A′B′C′處，如圖1，A′C′與⊙O切于點E，連接OE并延長，交B′C′于F，設⊙O與直線l切于點D，連接OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l，由切線長定理可知C′E=C′D，設C′D=x，則C′E=x，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，∴△EFC′是等腰直角三角形，∴C′F=2x，∠OFD=45°，∴△OFD也是等腰直角三角形，∴OD=DF，∴2x+x=1，則x=2-1，∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2，∴點C運動的時間為5?2則經過5?22秒，（2）如圖2，設經過t秒△ABC的邊與圓第一次相切，△ABC移至△A′B′C′處，⊙O與BC所在直