高中人教A版數(shù)學(xué)選修1-1課件1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系

四種命題四種命題間的相互關(guān)系課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解命題的四種形式,能寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題、否命題和逆否命題;2.理解并掌握四種命題之間的關(guān)系及其真假性之間的關(guān)系;3.能夠利用命題的等價(jià)性解決有關(guān)問(wèn)題.【思考1】初中已學(xué)過(guò)命題與逆命題的知識(shí),什么叫做命題的逆命題?提示:在兩個(gè)命題中,如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論,且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件,那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題.1.四種命題(1)原命題與逆命題(2)原命題與否命題

(3)原命題與逆否命題

名師點(diǎn)撥

1.四種命題中原命題具有相對(duì)性,任何一個(gè)都可以作為原命題,原命題確定后,其逆命題、否命題和逆否命題就確定了,所以“互逆”“互否”“互為逆否”具有對(duì)稱(chēng)性.2.“互為逆否命題”與“逆否命題”是不同的,互為逆否命題指的是兩個(gè)命題之間的關(guān)系,具有雙向性,而逆否命題指的是一個(gè)命題,具有單向性.【思考2】原命題與其逆命題、否命題、逆否命題之間又是什么關(guān)系?提示:原命題與其逆命題是互逆關(guān)系;原命題與其否命題是互否關(guān)系;原命題與其逆否命題是互為逆否關(guān)系.2.四種命題間的關(guān)系名師點(diǎn)撥

四種命題之間共有互逆、互否、互為逆否三種關(guān)系.(1)互逆關(guān)系:原命題與逆命題,否命題與逆否命題;(2)互否關(guān)系:原命題與否命題,逆命題與逆否命題;(3)互為逆否關(guān)系(等價(jià)關(guān)系):原命題與逆否命題,逆命題與否命題.【做一做2】

給出以下命題:①若一個(gè)四邊形的四條邊不相等,則它不是正方形;②若一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ),則它內(nèi)接于圓;③正方形的四條邊相等;④圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ);⑤對(duì)角不互補(bǔ)的四邊形不內(nèi)接于圓;⑥若一個(gè)四邊形的四條邊相等,則它是正方形.其中互為逆命題的有

;互為否命題的有

;互為逆否命題的有

.

答案:③和⑥,②和④

①和⑥,②和⑤

①和③,④和⑤

3.四種命題間的真假關(guān)系(1)四種命題的真假性,有以下四種情況:(2)四種命題的真假性之間的關(guān)系如下:①兩個(gè)命題互為逆否命題,它們的真假性相同;②兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.名師點(diǎn)撥

由于原命題與其逆否命題的真假性相同,所以原命題與其逆否命題是等價(jià)命題,因此當(dāng)直接證明原命題困難時(shí),可以轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題.原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假【做一做3】

(1)命題“若x2≠1,則x≠1”的否命題是

(填“真”或“假”)命題.

(2)若命題p的逆否命題是真命題,則命題p是

命題.(填“真”或“假”)

(3)命題“若a>b,則a2>b2”的逆否命題為

,該逆否命題為

(填“真命題”或“假命題”).

答案:(1)假

(2)真

(3)若a2≤b2,則a≤b

假命題探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)寫(xiě)出原命題的其他三種命題例1寫(xiě)出下列各個(gè)命題的逆命題、否命題和逆否命題.(2)若a+b是偶數(shù),則a,b都是偶數(shù);(3)等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形;(4)當(dāng)1<x<2時(shí),x2-3x+2<0;(5)若ab=0,則a=0或b=0.分析注意分清命題的條件和結(jié)論,然后按照四種命題的定義寫(xiě)出相應(yīng)的命題,其中(2)要注意對(duì)“都是”的否定,(5)要注意對(duì)“或”的否定.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)(2)逆命題:若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù).否命題:若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是偶數(shù).逆否命題:若a,b不都是偶數(shù),則a+b不是偶數(shù).(3)逆命題:若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形等底等高.否命題:若兩個(gè)三角形不等底或不等高,則這兩個(gè)三角形不全等.逆否命題:若兩個(gè)三角形不全等,則這兩個(gè)三角形不等底或不等高.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)(4)逆命題:若x2-3x+2<0,則1<x<2.否命題:若x≤1或x≥2,則x2-3x+2≥0.逆否命題:若x2-3x+2≥0,則x≤1或x≥2.(5)逆命題:若a=0或b=0,則ab=0.否命題:若ab≠0,則a≠0,且b≠0.逆否命題:若a≠0,且b≠0,則ab≠0.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟?qū)懗鲈}的其他三種命題的方法及注意點(diǎn)(1)給出一個(gè)命題,寫(xiě)出該命題的其他三種形式時(shí),首先要弄清楚該命題的條件和結(jié)論,若給出的命題不是“若p,則q”的形式,則應(yīng)先改寫(xiě)為“若p,則q”的形式,找出命題的條件和結(jié)論.(2)寫(xiě)一個(gè)命題的否命題時(shí),要對(duì)命題的條件和結(jié)論都進(jìn)行否定,避免出現(xiàn)不否定條件,只否定結(jié)論的錯(cuò)誤.(3)要特別注意一些常見(jiàn)形式的否定的寫(xiě)法,例如:“都是”的否定為“不都是”,“a,b中至少一個(gè)為零”的否定為“a,b都不為零”.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1(1)若命題r的否命題為“若?p,則q”,那么原命題r為

.

答案:若p,則?q(2)寫(xiě)出命題“若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開(kāi)口向下,則集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0}≠?”的逆命題、否命題和逆否命題.解:逆命題:若集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0}≠?,則拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開(kāi)口向下.否命題:若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開(kāi)口向上,則集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0}=?.逆否命題:若集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0)}=?,則拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開(kāi)口向上.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)四種命題的真假判斷例2判斷下列各個(gè)命題的真假:(1)“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的否命題;(2)“對(duì)頂角相等”的逆命題;(3)“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”的逆否命題;(4)若a≥0或b≥0,則a+b≥0.分析可以直接根據(jù)要求寫(xiě)出每個(gè)命題,然后判斷真假,也可以不寫(xiě)出命題,而利用四種命題之間的等價(jià)性關(guān)系進(jìn)行判斷.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)法一:“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的否命題是“若x+y≠0,則x,y不互為相反數(shù)”,是真命題.法二:“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題是“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”,顯然是真命題,而逆命題和否命題等價(jià),因此“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的否命題是真命題.(2)法一:“對(duì)頂角相等”的逆命題是“若兩個(gè)角相等,則它們是對(duì)頂角”,是假命題.法二:“對(duì)頂角相等”的否命題是“若兩個(gè)角不是對(duì)頂角,則它們不相等”,顯然是假命題,而逆命題和否命題等價(jià),故“對(duì)頂角相等”的逆命題是假命題.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)(3)法一:“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”的逆否命題是“若一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角不互為余角,則這個(gè)三角形不是直角三角形”,是真命題.法二:由于命題“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”是真命題,而原命題與逆否命題等價(jià),所以“直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角”的逆否命題是真命題.(4)法一:取a=4,b=-6,滿(mǎn)足a≥0或b≥0,但這時(shí)a+b≥0不成立,故原命題是假命題.法二:命題“若a≥0或b≥0,則a+b≥0”的逆否命題是“若a+b<0,則a<0,且b<0”,顯然是假命題,而原命題與逆否命題等價(jià),所以原命題是假命題.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟判斷一個(gè)命題的真假的常用方法:(1)分清該命題的條件與結(jié)論,直接對(duì)該命題的真假進(jìn)行判斷;(2)不直接寫(xiě)出命題,而是根據(jù)命題之間的關(guān)系進(jìn)行判斷,即原命題與其逆否命題等價(jià)、逆命題與否命題等價(jià),特別是當(dāng)命題本身不容易判斷真假時(shí),通常都是通過(guò)判斷其逆否命題的真假來(lái)判斷.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2判斷下列命題的真假:(1)“在△ABC中,若AC<AB,則∠B<∠C”的逆命題;(2)“已知a,b∈R,若a≠0且b≠0,則a2+b2>0”的逆否命題.解:(1)“在△ABC中,若AC<AB,則∠B<∠C”的逆命題是“在△ABC中,若∠B<∠C,則AC<AB”,由三角形中“大角對(duì)大邊”可知,是真命題.(2)若a≠0且b≠0,因?yàn)閍,b∈R,所以a2>0,b2>0,則a2+b2>0;因此,命題“已知a,b∈R,若a≠0且b≠0,則a2+b2>0”是真命題,所以其逆否命題也是真命題.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)等價(jià)性命題與“正難則反”思想的應(yīng)用典例若實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足m+n>3,求證:m2+n2≠4.分析將要證明的問(wèn)題看作一個(gè)命題,只需證明這個(gè)命題為真命題即可,而當(dāng)證明這個(gè)命題本身的真假比較困難時(shí),可以利用命題的等價(jià)性證明其逆否命題為真命題.解:構(gòu)造命題:若m+n>3,則m2+n2≠4.該命題的逆否命題是:若m2+n2=4,則m+n≤3,以下證明該逆否命題為真命題.故逆否命題是真命題,從而原命題也是真命題.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛

“正難則反”思想的處理原則在直接證明某一個(gè)命題的真假性有困難時(shí),可以證明它的逆否命題為真(假)命題,來(lái)間接地證明原命題為真(假)命題.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練求證:當(dāng)a2+b2=c2時(shí),a,b,c不可能都是奇數(shù).證明:構(gòu)造命題:若a2+b2=c2,則a,b,c不可能都是奇數(shù).該命題的逆否命題是:若a,b,c都是奇數(shù),則a2+b2≠c2.下面證明該逆否命題是真命題.由于a,b,c都是奇數(shù),則a2,b2,c2都是奇數(shù),于是a2+b2必為偶數(shù),而c2為奇數(shù),所以a2+b2≠c2,故逆否命題為真命題,從而原命題也是真命題.探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)1.命題“若x2≤1,則-1≤x≤1”的逆否命題是(

)A.若x2≥1,則x≤-1或x≥1B.若-1<x<1,則x2<1C.若x≤-1或x≥1,則x2≥1D.若x<-1或x>1,則x2>1解析:命題“若x2≤1,則-1≤x≤1”的逆否命題是“若x<-1或x>1,則x2>1”.答案:D探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)2.已知命題s的逆命題是:“若?p,則q”,則命題s的否命題是(

)A.若q,則p B.若?q,則pC.若?q,則?p D.若p,則?q解析:由已知得原命題s是“若q,則?p”,則s的否命題是“若?q,則p”.答案:B探究一探究二思想方法當(dāng)堂檢測(cè)