第2章+有理數(shù)的運(yùn)算（單元測試·培優(yōu)卷）-2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（人教版）

第2章有理數(shù)的運(yùn)算（單元測試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．在下列各數(shù)中，比小的數(shù)是（

）A．2 B．0 C． D．2．2024年4月25日，神舟十八號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，在發(fā)射過程中，神舟十八號的飛行速度約為米/分，把“”用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是（

）A． B． C． D．3．我國古代《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù)．如果向北走5步記作步，那么向南走7步記作（

）A．步 B．步 C．步 D．步4．的絕對值的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．5．A為數(shù)軸上表示的點(diǎn)，將點(diǎn)A在數(shù)軸上平移3個單位長度到點(diǎn)B，則點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．2或3 D．2或6．如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù)．例如：6的真因數(shù)是1、2、3，且，則稱6為完美數(shù)．下列數(shù)中為完美數(shù)的是（

）A．8 B．18 C．28 D．327．?dāng)?shù)軸上，若，表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)，在的左邊，并且這兩點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)所表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．8．將，，，0，1，2，3，4，5，6這10個數(shù)填到圖中的10個格子里，每個格子中只填一個數(shù)，使得所有田字形的4個格子中所填數(shù)字之和都等于，則的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．119．取一個自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1，若它是偶數(shù)，則除以2，按此規(guī)則經(jīng)過若干步的計算最終可得到1．這個結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得到證明，但舉例驗(yàn)證都是正確的．例如：取自然數(shù)5，經(jīng)過下面5步運(yùn)算可得1，即如圖所示．如果自然數(shù)m恰好經(jīng)過7步運(yùn)算可得到1，則所有符合條件的數(shù)的和是（

）A． B． C． D．10．從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．已知“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，且，，若公式為正整數(shù)），則為（

）A．28 B．64 C．70 D．84二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．若，那么．12．已知，是最大的負(fù)整數(shù)，則的值為．13．點(diǎn)A為數(shù)軸上一點(diǎn)，把點(diǎn)A先向左移3個單位，再向右移5個單位后對應(yīng)的數(shù)是．則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是．14．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是10，點(diǎn)B表示的數(shù)為50，點(diǎn)P是數(shù)軸上的動點(diǎn)．點(diǎn)P沿數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，當(dāng)線段和的大小關(guān)系滿足時，點(diǎn)P表示的數(shù)是．15．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是個單位長度，若一個點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿數(shù)軸向右移動個單位長度，再向左移動個單位長度，此時終點(diǎn)表示的數(shù)是．16．若，，且，則．17．?dāng)?shù)乘，積是一個完全平方數(shù)，則的最小值為．18．《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．若按此方式截一根長為1的木棍，第6天截取后木棍剩余的長度是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）計算：(1)．(2)20．（8分）計算(1)；(2)．21．（10分）如圖，在數(shù)軸上有A、B、C這三個點(diǎn)．回答：(1)A、B、C這三個點(diǎn)表示的數(shù)各是多少？A：；B：；C：．(2)A、B兩點(diǎn)間的距離是，A、C兩點(diǎn)間的距離是．(3)應(yīng)怎樣移動點(diǎn)B的位置，使點(diǎn)B到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離相等？22．（10分）閱讀材料，回答問題：因?yàn)橐粋€非負(fù)數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，所以，當(dāng)時，如，；當(dāng)時，，如，．根據(jù)以上信息完成下列問題：(1)__________；__________；(2)計算：．23．（10分）閱讀材料：求的值．解：設(shè)，將等式兩邊同時乘2得：將下式減去上式得即即請你仿照此法計算：(1)(2)（其中為正整數(shù)）．24．（12分）【教材呈現(xiàn)】華師版七年級上冊數(shù)學(xué)教材38頁的一道題目：求出下列每對數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)之間的距離：（1）；（2）4.75與2.25；（3）與；（4）與．你能發(fā)現(xiàn)所得的距離與這兩數(shù)的差有什么關(guān)系嗎？【歸納概括】(1)用文字語言敘述你的發(fā)現(xiàn)；(2)的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x與數(shù)_____的兩點(diǎn)之間的距離；【解決問題】(3)請你畫出數(shù)軸探究：當(dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在整條數(shù)軸上移動時，直接寫出能使成立的x的值；【拓展延伸】(4)如圖所示，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A，B，C，其中，，且點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為28，設(shè)點(diǎn)A，B，C所對應(yīng)數(shù)a，b，c的和是p，求p的值．參考答案：1．D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的比較大小，熟練掌握有理數(shù)比較大小的法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)0比所有的負(fù)數(shù)大，比所有的正數(shù)小以及負(fù)數(shù)絕對值大的反而小即可解答．【詳解】解：∵負(fù)數(shù)正數(shù)，∴，∴比小的數(shù)是．故選D．2．A【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為的形式，其中，n為整數(shù)，正確確定a、n的值是解題的關(guān)鍵．將寫成其中，n為整數(shù)的形式即可．【詳解】解：．故選A．3．A【分析】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示．首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．【詳解】解：向北走5步記作步，向南走7步記作步．故選：A．4．C【分析】本題考查了相反數(shù)的定義和絕對值的意義，根據(jù)意義即可求解，解題的關(guān)鍵是正確理解表示一個數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個數(shù)的絕對值，一個正數(shù)的絕對值等于它的本身，零的絕對值還是零，一個負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)，正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，的相反數(shù)是，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)．【詳解】根據(jù)絕對值的定義可得：的絕對值是，根據(jù)相反數(shù)的定義可得：的相反數(shù)是，故選：．5．D【分析】分點(diǎn)A在數(shù)軸上向左移動和向右移動兩種情況，分別分解平移規(guī)律即可解答．【詳解】解：點(diǎn)A為數(shù)軸上表示的點(diǎn)，當(dāng)將點(diǎn)A在數(shù)軸上向右平移3個單位長度到點(diǎn)B，則點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為2；當(dāng)將點(diǎn)A在數(shù)軸上向左平移3個單位長度到點(diǎn)B，則點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握利用點(diǎn)的坐標(biāo)左移減右移加的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．6．C【分析】本題考查新定義，解題的關(guān)鍵是正確讀懂新定義．根據(jù)新定義逐個判斷即可得到答案．【詳解】解∶∵，，∴8不是完美數(shù)，故選項(xiàng)A不符合題意；∵，，∴18不是完美數(shù)，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，，∴28是完美數(shù)，故選項(xiàng)C符合題意；∵，，∴32不是完美數(shù)，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C7．A【分析】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)及互為相反數(shù)、兩點(diǎn)之間的距離的概念，由相反數(shù)的含義及兩點(diǎn)之間距離的表示方法，點(diǎn)與點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等即可，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離為，∴點(diǎn)和點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，∵在的左邊，∴點(diǎn)表示的數(shù)為，故選：．8．A【分析】本題考查了整數(shù)運(yùn)算的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是明確三個田字格的所有數(shù)字之和中，有兩個數(shù)被重復(fù)計算了．先求出所有數(shù)字之和，得出，且n為整數(shù)，則，進(jìn)而推出當(dāng)時，n有最大值，即可解答．【詳解】解：，∵所有田字形的4個格子中所填數(shù)字之和都等于，∴，且n為整數(shù)，整理得：，∴當(dāng)最大時，n有最大值，∵n為整數(shù)，∴當(dāng)時，n有最大值，此時，故選：A．9．D【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．根據(jù)題意分類討論是解題的關(guān)鍵．由題意知，第3步的運(yùn)算結(jié)果為，當(dāng)為偶數(shù)，且第1步到第3步運(yùn)算結(jié)果均為偶數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)，第2步的運(yùn)算結(jié)果為奇數(shù)5時，；當(dāng)為奇數(shù)，且第1步到第3步運(yùn)算結(jié)果均為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)，且第2步的運(yùn)算結(jié)果為奇數(shù)5時，，然后求和即可．【詳解】解：由題意知，第3步的運(yùn)算結(jié)果為，當(dāng)為偶數(shù)，且第1步到第3步運(yùn)算結(jié)果均為偶數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)，第2步的運(yùn)算結(jié)果為奇數(shù)5時，，當(dāng)為奇數(shù)，且第1步到第3步運(yùn)算結(jié)果均為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)，且第2步的運(yùn)算結(jié)果為奇數(shù)5時，，∴所有符合條件的數(shù)的和是，故選：D．10．D【分析】本題考查了新定義運(yùn)算及有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解的含義及“”的運(yùn)算方法是解決本題的關(guān)鍵．先表示出，再利用新定義的運(yùn)算符號“”計算得結(jié)論．【詳解】解：．故選：D．11．或【分析】本題考查了解絕對值方程，根據(jù)絕對值的含義即可求解，掌握絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴或，故答案為：或．12．【分析】首先根據(jù)偶次方及絕對值的非負(fù)性，列方程即可求得、的值，又根據(jù)是最大的負(fù)整數(shù)知道的值是，再代入即可求得代數(shù)式的值．【詳解】∵，，，∴，，解得，，∵是最大的負(fù)整數(shù)，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了偶次方及絕對值的非負(fù)性，代數(shù)式求值問題，熟練掌握和運(yùn)用偶次方及絕對值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．13．4【分析】本題考查了數(shù)軸，確定出點(diǎn)A表示的數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)A的移動方向，得出點(diǎn)A表示的數(shù)為，即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)椋c(diǎn)A先向左移3個單位，再向右移5個單位后對應(yīng)的數(shù)是，所以，點(diǎn)A表示的數(shù)為，所以，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是4，故答案為：4．14．26或/或26【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)題意可得該問題可分為兩種情況，即可得到等式，求解即可得到結(jié)果，根據(jù)數(shù)軸得到兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，，即，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A右側(cè)時，，此時點(diǎn)P表示的數(shù)是；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A左側(cè)時，設(shè)，則，∵，∴，則，，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是，綜上所述，點(diǎn)P表示的數(shù)是26或，故答案為：26或．15．或【分析】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)，有理數(shù)的加減運(yùn)算，根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)距離原點(diǎn)個單位長度，可得點(diǎn)表示的數(shù)，再根據(jù)向右移動幾個單位加幾，向左移動幾個單位減幾，據(jù)此可解．明確向右移動用加法，向左移動用減法及距離原點(diǎn)幾個單位如何表示是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是個單位長度，∴點(diǎn)表示的數(shù)為或，當(dāng)點(diǎn)表示的數(shù)為時，由題意得：，當(dāng)點(diǎn)表示的數(shù)為時，由題意得：，∴此時終點(diǎn)所表示的數(shù)是或．故答案為：或．16．或1/1或【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘法，解決此類問題的關(guān)鍵是由，得出；，得出．再利用這一條件確定x和y的具體取值，然后代入，從而得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，；，，∴或，故答案為：或1．17．【分析】本題主要了考查完全平方數(shù)，根據(jù)題意先把分解因數(shù)，結(jié)合最小即可求得的值，解題的關(guān)鍵是正確理解完全平方數(shù)可以分解為兩個相同數(shù)的乘積．【詳解】解：由，∵數(shù)乘，積是一個完全平方數(shù)，∴是一個完全平方數(shù)，∴的最小值為，故答案為：．18．【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解題意，正確找出數(shù)式規(guī)律，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，先分別求出第一、二、三天截取后木棍剩余的長度，從而找出規(guī)律，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：第一天截取后木棍剩余長度為：，第二天截取后木棍剩余長度為：，第三天截取后木棍剩余長度為：，第天截取后木棍剩余長度為：，第6天截取后木棍剩余長度為：．故答案為：．19．(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法法則計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘除法法則計算即可．【詳解】（1）解：原式（2）原式20．(1)(2)【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）先算乘方和括號內(nèi)的數(shù)，再算乘法，最后算加減即可；（2）根據(jù)乘方分配律計算即可．【詳解】（1）解：，原式（2）21．(1)、1、4(2)7；10(3)點(diǎn)B向左移動2個單位【分析】本題考查了是數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)軸上點(diǎn)的移動和數(shù)的大小變化規(guī)律是左減右加是解答此題的關(guān)鍵．（1）本題可直接根據(jù)數(shù)軸觀察出A、B、C三點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)軸的幾何意義，根據(jù)圖示直接回答；（3）由于，則點(diǎn)B到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離都是5，此時將點(diǎn)B向左移動2個單位即可．【詳解】（1）解：根據(jù)圖示可知：A、B、C這三個點(diǎn)表示的數(shù)各是、1、4，故答案為：；1；4．（2）解：根據(jù)圖示知：的距離是；的距離是，故答案為：7；10；（3）解：∵A、C的距離是10，∴點(diǎn)B到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離都是5，∴應(yīng)將點(diǎn)B向左移動2個單位，使點(diǎn)B表示的數(shù)為，．22．(1)2；(2)【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的絕對值，有理數(shù)的加減混合計算：（1）根據(jù)絕對值的意義求解即可；（2）先根據(jù)絕對值的意義去絕對值，然后根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可．【詳解】（1）解：，，故答案為：2；；（2）解：．23．(1)(2)【分析】本題考查的是探索運(yùn)算規(guī)律題，根據(jù)已知材料中的方法，探索出運(yùn)算規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，兩邊乘以2后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值；（2）設(shè)，兩邊乘以3后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值．【詳解】（1）解：設(shè)，將等式兩邊同時乘2得：，將下式減去上式得：，即，則；（2）解：設(shè)①，兩邊同時乘3得：②，②-①得：，即，則則．24．(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于這兩個數(shù)差的絕對值(2)-2(3)圖見解析，x的值是-3或4(4)或83【分析】（1）用文字語言敘述即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的定義即可求解；（3）利用分類討論的方法可以求