高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)第01講數(shù)列的基本知識(shí)與概念(練習(xí))(原卷版+解析)

第01講數(shù)列的基本知識(shí)與概念（模擬精練+真題演練）1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則k等于（

）A．12 B．13 C．89 D．1442．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）著名的波那契列：，，，，，，，滿足，，那么是斐波那契數(shù)列中的（

）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng) C．第項(xiàng) D．第項(xiàng)4．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C． D．5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列中，，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，則的值為（

）A．1 B． C． D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）黃山市歙縣三陽(yáng)鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項(xiàng)目，至今已有500多年的歷史，表演時(shí)由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列時(shí)，發(fā)現(xiàn)其遞推公式就可以利用“疊羅漢”的思想來(lái)處理，即，如果該數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為，其前項(xiàng)和記為，若，則（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，若，則（

）A．9 B．11 C．13 D．158．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說法中，正確的有（

）A．已知，則數(shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C．已知正項(xiàng)等比數(shù)列，則有D．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則10．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k不能取的值是（

）A． B．0 C．1 D．211．（多選題）（2023·河北滄州·高三滄州市一中?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意的，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則函數(shù)的圖象不可能是（

）A． B．C． D．12．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，則數(shù)列中的項(xiàng)的值可能為（

）A． B．2 C． D．13．（多選題）（2023·廣東佛山·高三佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，且，則___________．15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則______．16．（2023·陜西榆林·高三陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)且，已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則a的取值范圍是__________．17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有，則的最小值為______.18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，為正整數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第______項(xiàng)．20．（2023·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同，公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬(wàn)元，并將剩下的資金全部投入下一年生產(chǎn)，設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后剩余資金為萬(wàn)元.（1）用表示，，并寫出與的關(guān)系式；（2）若公司希望經(jīng)過5年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金的值.（精確到0.01）1．（2015?上海）若無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，的前項(xiàng)和為，則A．單調(diào)遞減 B．單調(diào)遞增 C．有最大值 D．有最小值2．（2022·全國(guó)甲卷·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．5．（2021·全國(guó)甲卷·統(tǒng)考高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件6．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)7．（2004·江蘇·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（對(duì)于所有），且，則的數(shù)值是___________．8．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．9．（2004·浙江·高考真題）如圖，的在個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，設(shè)為線段BC的中點(diǎn)，為線段CO的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，為線段的中點(diǎn)，令的坐標(biāo)為，．(1)求及；(2)證明；(3)若記，證明是等比數(shù)列．

第01講數(shù)列的基本知識(shí)與概念（模擬精練+真題演練）1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則k等于（

）A．12 B．13 C．89 D．144【答案】A【解析】由斐波那契數(shù)列的性質(zhì)可得：所以k等于12.故選:A.2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，所以是周期?的數(shù)列，故.故選：B3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）著名的波那契列：，，，，，，，滿足，，那么是斐波那契數(shù)列中的（

）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng) C．第項(xiàng) D．第項(xiàng)【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C4．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列中，，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由題意，得，，，，，，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，且前6項(xiàng)積為1，則，，所以原式的值為，故選：D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）黃山市歙縣三陽(yáng)鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項(xiàng)目，至今已有500多年的歷史，表演時(shí)由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列時(shí)，發(fā)現(xiàn)其遞推公式就可以利用“疊羅漢”的思想來(lái)處理，即，如果該數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為，其前項(xiàng)和記為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以，.故選：D.7．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，若，則（

）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】B【解析】由，令，則，則，令，則，則.故選：B.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則，解得，故的取值范圍是故選：D9．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說法中，正確的有（

）A．已知，則數(shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C．已知正項(xiàng)等比數(shù)列，則有D．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則【答案】AD【解析】對(duì)于A中，由，可得，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B中，若數(shù)列的通項(xiàng)，則恒成立，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，正項(xiàng)遞增的等比數(shù)列，若，可得，此時(shí)，所以C不正確；對(duì)于D中，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且，根據(jù)構(gòu)成等差數(shù)列，即構(gòu)成等差數(shù)列，可得，解得，所以D正確.故選：AD.10．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k不能取的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【解析】由題意得：數(shù)列是遞減數(shù)列對(duì)于一切的恒成立即對(duì)于一切的恒成立故對(duì)于一切的恒成立，當(dāng)時(shí)，有最大值故，所以故選：AB11．（多選題）（2023·河北滄州·高三滄州市一中?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意的，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則函數(shù)的圖象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由且，即，即函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)都滿足，結(jié)合選項(xiàng)可知函數(shù)的圖象不可能是BCD，故選：BCD.12．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，則數(shù)列中的項(xiàng)的值可能為（

）A． B．2 C． D．【答案】AC【解析】由題意可得，，，所以數(shù)列是周期為2的數(shù)列，所以數(shù)列中的項(xiàng)的值可能為，．故選：AC．13．（多選題）（2023·廣東佛山·高三佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，故C正確；，故D正確；故選：CD14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，且，則___________．【答案】【解析】由，，可得，，，…，所以是以3為周期的周期數(shù)列，因?yàn)椋?，故答案為?．15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則______．【答案】【解析】由數(shù)列滿足，且，可得，，，，，，…，所以是以4為周期的周期數(shù)列，所以．故答案為：.16．（2023·陜西榆林·高三陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)且，已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則a的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以解得，故答案為:.17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有，則的最小值為______.【答案】/4.5【解析】因?yàn)?，由已知，所以，，設(shè)，則，，，所以，，所以，所以，故，所以，，，所以，所以B－A的最小值為，故答案為：.18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，為正整數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，因?yàn)閿?shù)列滿足，若，則是數(shù)列的最小項(xiàng)，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第______項(xiàng)．【答案】4【解析】解法一：∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，故數(shù)列的最大項(xiàng)為第4項(xiàng)．解法二：設(shè)數(shù)列中的最大項(xiàng)為，則即解得．∵，∴．故數(shù)列的最大項(xiàng)為第4項(xiàng)．20．（2023·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考階段練習(xí)）某企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同，公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬(wàn)元，并將剩下的資金全部投入下一年生產(chǎn)，設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后剩余資金為萬(wàn)元.（1）用表示，，并寫出與的關(guān)系式；（2）若公司希望經(jīng)過5年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金的值.（精確到0.01）【解析】（1）由題意得：，，.（2）由（1）得整理得由，即，解得萬(wàn)元.1．（2015?上海）若無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，的前項(xiàng)和為，則A．單調(diào)遞減 B．單調(diào)遞增 C．有最大值 D．有最小值【答案】【解析】無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，是遞減數(shù)列，且先正值，后負(fù)值；的前項(xiàng)和為先增加，后減?。挥凶畲笾?；故選：．2．（2022·全國(guó)甲卷·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)椋?，，得到，同理，可得，又因?yàn)?，故，；以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．4．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．5．（2021·全國(guó)甲卷·統(tǒng)考高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．6．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)