2024年江西省九江市永修二中中考數(shù)學沖刺試卷

第1頁（共1頁）2024年江西省九江市永修二中中考數(shù)學沖刺試卷一、單選題1．（3分）5的相反數(shù)是（）A．﹣5 B．﹣ C．5 D．2．（3分）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列運算錯誤的是（）A．（m2）3＝m6 B．a(chǎn)10÷a9＝a C．x3?x5＝x8 D．a(chǎn)4+a3＝a74．（3分）《九章算術》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢．如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50，那么乙也共有錢50．問：甲、乙兩人各帶了多少錢？設甲、乙兩人持錢的數(shù)量分別為x，y，則可列方程組為（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，點P從A點出發(fā)，速度為每秒3個單位；點Q同時從A點出發(fā)，速度為每秒1個單位，則△APQ的面積S關于時間t的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），頂點坐標為（1，n），與y軸的交點在（0，2），（0，3）（包含端點），下列結論正確的是（）①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③3a+b＞02+bm．A．①②⑤ B．②③④ C．②④ D．②④⑤二、填空題7．（3分）分解因式：m2﹣4＝．8．（3分）我國海洋經(jīng)濟復蘇態(tài)勢強勁．在建和新開工海上風電項目建設規(guī)模約3600萬千瓦，比上一年同期翻一番，將36000000用科學記數(shù)法表示應為．9．（3分）已知，則（其中3x﹣2y+z≠0）的值是．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉30°后得到△AB'C'．11．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AC的中點，CE⊥BD于E．若F是邊AB上的點，則AF的長為．12．（3分）已知在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（3，4），M是拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）對稱軸上的一個動點．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當?shù)闹荡_定時，若拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上存在3個不同的點M，使△AOM為直角三角形，則．三、解答題13．（1）計算：；（2）解不等式組：．14．在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點，點F為AE的中點，交CB的延長線于點G，求證：BG＝CE．15．某醫(yī)院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，其中甲是共青團員（1）“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；A．不可能B．必然C．隨機（2）若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護士都是共產(chǎn)黨員的概率．16．如圖，點C是以AB為直徑的半圓O內任意一點，連接AC，點D在AC上，且AD＝CD（保留畫圖痕跡）．（1）在圖（1）中，畫出△ABC的中線AE；（2）在圖（2）中，畫出△ABC的角平分線AF．17．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝k1x+b（k1≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k2≠0）的圖象相交于A（3，4），B（﹣4，m）兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）若點D在x軸上，位于原點右側，且OA＝OD18．某學校為了解全校學生對電視節(jié)目（新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲）的喜愛情況，從全校學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查請根據(jù)以上信息，解答下列問題（1）這次被調查的學生共有多少名？（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若該校有3000名學生，估計全校學生中喜歡體育節(jié)目的約有多少名？（4）該校宣傳部需要宣傳干事，現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學中選取2名，用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學的概率．19．某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．（1）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；（2）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，那么銷售單價應控制在什么范圍內？20．我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角∠BAC，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動．如圖2是傘完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈D已滑動到點D'的位置，B，D′三點共線，AD′＝40cm，傘完全張開．（1）求AB的長．（2）當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）21．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，交AC于點E，點D為⊙O上一點（1）求證：DC是⊙O的切線．（2）若AB＝CB＝6，連接BE．①求圖中陰影部分的面積；②求DF的長．22．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的圖象與一次函數(shù)y＝﹣2x的圖象交于點A、B（點B在右側），與y軸交于點C，點A的橫坐標恰好為a．動點P、Q同時從原點O出發(fā)和2個單位長度運動，以PQ為對角線作矩形PMQN，且矩形四邊與坐標軸平行．（1）求a的值及t＝1秒時點P的坐標；（2）當矩形PMQN與拋物線有公共點時，求時間t的取值范圍；（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點R，作關于原點（0，0）的對稱點為R′，求R′M長度的最小值，并求此時點R的坐標．23．我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”、例如圖1，圖2，圖3中，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，AC＝b，AB＝c．【特例探索】：（1）①如圖1，當∠ABE＝45°，c＝4時，b＝；②如圖2，當∠ABE＝30°，c＝2時【歸納證明】：（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想三者之間的關系，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關系式．（3）利用（2）中的結論，解答下列問題：在邊長為3的菱形ABCD中，BD的交點，E，F(xiàn)分別為線段AO，連接BE，CF并延長交于點M，CM分別交AD于點G，H，如圖4所示2+MH2的值．

2024年江西省九江市永修二中中考數(shù)學沖刺試卷參考答案與試題解析一、單選題1．（3分）5的相反數(shù)是（）A．﹣5 B．﹣ C．5 D．【解答】解：5的相反數(shù)是﹣5，故選：A．2．（3分）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心對稱圖形；B、不是中心對稱圖形；C、是中心對稱圖形；D、不是中心對稱圖形．故選：C．3．（3分）下列運算錯誤的是（）A．（m2）3＝m6 B．a(chǎn)10÷a9＝a C．x3?x5＝x8 D．a(chǎn)4+a3＝a7【解答】解：A、（m2）3＝m3，正確；B、a10÷a9＝a，正確；C、x3?x3＝x8，正確；D、a4+a7＝a4+a3，錯誤；故選：D．4．（3分）《九章算術》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢．如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50，那么乙也共有錢50．問：甲、乙兩人各帶了多少錢？設甲、乙兩人持錢的數(shù)量分別為x，y，則可列方程組為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，故選：D．5．（3分）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，點P從A點出發(fā)，速度為每秒3個單位；點Q同時從A點出發(fā)，速度為每秒1個單位，則△APQ的面積S關于時間t的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意可知：AP＝3t，AQ＝t，當0＜t≤2時，S＝t?2t?sinA＝t2?sinA0＜sinA＜1∴此函數(shù)圖象是開口向上的拋物線；當5＜t≤2時，S＝?t?3sinA＝∴此時函數(shù)圖象是過一三象限的一次函數(shù)；當2＜t≤3時，S＝?t?（9﹣4t）sinA＝（﹣t2+t）sinA．∴此時函數(shù)圖象是開口向下的拋物線．所以符合題意的圖象大致為D．故選：D．6．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），頂點坐標為（1，n），與y軸的交點在（0，2），（0，3）（包含端點），下列結論正確的是（）①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③3a+b＞02+bm．A．①②⑤ B．②③④ C．②④ D．②④⑤【解答】解：由函數(shù)圖象可a＜0，b＞0，∴abc＜3，故①錯誤；∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，6），∴該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（3，0），∴當x＝4時，y＝0，即9a+5b+c＝0，故②正確；根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向下．∵對稱軸x＝﹣＝2，∴b＝﹣2a，∴3a+b＝4a﹣2a＝a＜0，即7a+b＜0；∵拋物線與x軸的兩個交點坐標分別是（﹣1，7），0），∴﹣1×8＝﹣3，＝﹣3，則a＝﹣．∵拋物線與y軸的交點在（0，2），8）之間（包含端點），∴2≤c≤3，∴﹣4≤﹣≤﹣，故④正確；∵拋物線的頂點坐標（2，n），∴x＝1時，二次函數(shù)值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c．即a+b≥am2+bm，所以⑤正確．故選：D．二、填空題7．（3分）分解因式：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．【解答】解：m2﹣4＝（m+4）（m﹣2）．故答案為：（m+2）（m﹣2）．8．（3分）我國海洋經(jīng)濟復蘇態(tài)勢強勁．在建和新開工海上風電項目建設規(guī)模約3600萬千瓦，比上一年同期翻一番，將36000000用科學記數(shù)法表示應為3.6×107．【解答】解：36000000＝3.6×103故答案為：3.6×107．9．（3分）已知，則（其中3x﹣2y+z≠0）的值是．【解答】解：∵，∴設，則x＝ak，y＝bk，∴，故答案為：．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉30°后得到△AB'C'π﹣．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4AC＝2，∵將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉30°后得到△AB'C'，∴AC'＝AC＝7，B′C′＝BC＝2，∴∠C'AD＝∠C'AB'﹣∠BAB'＝30°，在Rt△AC'D中，∵∠C'AD＝30°，∴C′D＝AC′＝，∴B′D＝B′C′﹣DC′＝，∴圖中陰影部分的面積＝S扇形BAB′﹣S△ADB′＝﹣××2＝π﹣．故答案為π﹣．11．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AC的中點，CE⊥BD于E．若F是邊AB上的點，則AF的長為或或．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∵∠DCB＝90°，CE⊥BD，∴△CDE∽△BDC，∴CD2＝DE?DB，∵AD＝CD，∴AD2＝DE?DB，∴＝，∵∠ADE∠ADB，△DAE∽△DBA；∴＝＝，∴AE＝，∵DE＝，BD＝，∴BE＝，如圖1中，若AE＝AF時，∴AF＝，如圖2中，若FE＝AE時，∵JE2＝AE7﹣AJ2＝EB2﹣BJ4，∴﹣AJ2＝﹣（22，∴AJ＝，∵AE＝EF，EJ⊥AF，∴AF＝2AJ＝，如圖2中，若EF＝AF時，∵EJ2＝AE2﹣AJ7＝EF2﹣FJ2，∴﹣＝AF6﹣（﹣AF）2，∴AF＝，綜上所述：AF的長為或或．故答案為或或．12．（3分）已知在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（3，4），M是拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）對稱軸上的一個動點．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當?shù)闹荡_定時，若拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上存在3個不同的點M，使△AOM為直角三角形，則2或﹣8．【解答】解：∵△AOM是直角三角形，∴當對稱軸x≠0或x≠3時，一定存在兩個以A，且點M在對稱軸上的直角三角形，當對稱軸x＝3或x＝3時，不存在滿足條件的點M，∴當以OA為直徑的圓與拋物線的對稱軸x＝﹣相切時，此時對稱軸上存在8個不同的點M．觀察圖象可知，﹣＝﹣1或4，∴＝2或﹣8，故答案為：3或﹣8．三、解答題13．（1）計算：；（2）解不等式組：．【解答】解：（1）＝＝．（2），解不等式①可得：，解不等式②可得：x≥8，所以該不等式組的解集為：．14．在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點，點F為AE的中點，交CB的延長線于點G，求證：BG＝CE．【解答】證明：∵點F為AE的中點，∴AF＝FE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠EGF，∵∠AFD＝∠EFG，∴△AFD≌△EFG（AAS），∴AD＝GE，∴GE＝BC，∴BG＝CE．15．某醫(yī)院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，其中甲是共青團員（1）“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是C事件；A．不可能B．必然C．隨機（2）若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護士都是共產(chǎn)黨員的概率．【解答】解：（1）隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是隨機事件；故答案為：C；（2）設甲是共青團員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示，所有可能出現(xiàn)的結果共有12種它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結果中，則P（A）＝＝，16．如圖，點C是以AB為直徑的半圓O內任意一點，連接AC，點D在AC上，且AD＝CD（保留畫圖痕跡）．（1）在圖（1）中，畫出△ABC的中線AE；（2）在圖（2）中，畫出△ABC的角平分線AF．【解答】解：（1）如圖，AE為所作；（2）如圖，AF為所作．17．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝k1x+b（k1≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k2≠0）的圖象相交于A（3，4），B（﹣4，m）兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）若點D在x軸上，位于原點右側，且OA＝OD【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象相交于點A（3，4），m）．∴6＝，解得k4＝12，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，∴m＝，解得m＝﹣3，∴點B的坐標為（﹣3，﹣3），∴，解得，∴一次函數(shù)解析式為y＝x+1；（2）∵A（3，4），∴OA＝＝8，∵OA＝OD，∴OD＝5，∴△AOD的面積＝＝10．18．某學校為了解全校學生對電視節(jié)目（新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲）的喜愛情況，從全校學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查請根據(jù)以上信息，解答下列問題（1）這次被調查的學生共有多少名？（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若該校有3000名學生，估計全校學生中喜歡體育節(jié)目的約有多少名？（4）該校宣傳部需要宣傳干事，現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學中選取2名，用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學的概率．【解答】解：（1）這次被調查的學生人數(shù)為15÷30%＝50（名）；（2）喜愛“體育”的人數(shù)為50﹣（4+15+18+3）＝10（名），補全圖形如下：（3）估計全校學生中喜歡體育節(jié)目的約有3000×＝600（名）；（4）列表如下：甲乙丙丁甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）?。?，?。ㄒ?，?。ū。┅仼仼佀械瓤赡艿慕Y果為12種，恰好選中甲，所以恰好選中甲、乙兩位同學的概率為＝．19．某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．（1）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；（2）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，那么銷售單價應控制在什么范圍內？【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣4x2+800x﹣27500，∴y＝﹣5x3+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣8（x﹣80）2+4500，∵a＝﹣5＜4，∴拋物線開口向下．∵50≤x≤100，對稱軸是直線x＝80，∴當x＝80時，y最大值＝4500；（3）當y＝4000時，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x2＝70，x2＝90．∴當70≤x≤90時，每天的銷售利潤不低于4000元．20．我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角∠BAC，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動．如圖2是傘完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈D已滑動到點D'的位置，B，D′三點共線，AD′＝40cm，傘完全張開．（1）求AB的長．（2）當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【解答】解：（1）∵B為AD′中點，∴AB＝AD′，∵AD′＝40cm，∴AB＝20cm；（2）如圖，過點B作BE⊥AD于點E，∵AB＝BD，∴AD＝3AE，∵AP平分∠BAC，∠BAC＝140°，∴∠BAE＝BAC＝70°，在Rt△ABE中，AB＝20cm∴AE＝AB?cos70°≈20×6.34＝6.8（cm），∴AD＝8AE＝13.6（cm），∵AD′＝40cm，∴40﹣13.6＝26.6（cm）．∴傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為26.4cm．21．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，交AC于點E，點D為⊙O上一點（1）求證：DC是⊙O的切線．（2）若AB＝CB＝6，連接BE．①求圖中陰影部分的面積；②求DF的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，在△OCB與△OCD中，，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∵OD是⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線；（2）解：①連接OE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵AB＝CB＝6，∴AE＝EC，∵OA＝OB，∴OE＝BC＝3，∴OE＝OB＝3，∠AOE＝∠ABC＝90°，∴陰影部分的面積＝S扇形EOB﹣S△EOB＝﹣×3×3＝﹣；②∵AB＝CB＝6，CD＝CB，∴CD＝6，∵∠FBO＝∠FDC＝90°，∠F＝∠F，∴△FBO∽△FDC，∴＝，∵CD＝6，OB＝3，∴＝＝，設BF＝x，則DF＝3x，∴OF＝2x﹣3，∵OF5＝OB2+BF2，∴（2x﹣3）2＝72+x2，∴x＝5或x＝0（舍去），∴BF＝4，∴DF＝4．22．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的圖象與一次函數(shù)y＝﹣2x的圖象交于點A、B（點B在右側），與y軸交于點C，點A的橫坐標恰好為a．動點P、Q同時從原點O出發(fā)和2個單位長度運動，以PQ為對角線作矩形PMQN，且矩形四邊與坐標軸平行．（1）求a的值及t＝1秒時點P的坐標；（2）當矩形PMQN與拋物線有公共點時，求時間t的取值范圍；（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點R，作關于原點（0，0）的對稱點為R′，求R′M長度的最小值，并求此時點R的坐標．【解答】解：（1）由題意知，交點A坐標為（a，代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解得：a＝﹣，拋物線解析式為：y＝﹣x4﹣2x+2，當t＝6秒時，OP＝，y），則，解得或（舍去），∴P的坐標為（1，﹣3）；（2）經(jīng)過t秒后，OP＝tt，由（1）方法知，P的坐標為（t，Q的坐標為（6t，由矩形PMQN的鄰邊與坐標軸平行可知，M的坐標為（2t，N的坐標為（t，矩形PMQN在沿著射線OB移動的過程中，點M與拋物線最先相交，然后公共點變?yōu)?個，點N與拋物線最后相離，如圖7，將M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得3t2+t﹣1＝6，解得：t＝，或t＝﹣3（舍），將N（t，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣4x+2，得（t﹣1）5＝3，解得：t＝1+或t＝1﹣．所以，當矩形PMQN與拋物線有公共點時，時間t的取值范圍是：≤t≤1+；（3）設R（m，n），﹣n），當點M恰好在拋物線上時，M坐標為（1，過R'和M作坐標軸平行線相交于點S，如圖3，則R'M＝＝，又