3.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用第三章空間向量與立體幾何北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解空間直角坐標(biāo)系,理解空間向量的坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用.4.掌握空間向量的模、夾角以及兩點(diǎn)間距離公式,能運(yùn)用公式解決問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

向量的坐標(biāo)運(yùn)算是形與數(shù)的轉(zhuǎn)化1.標(biāo)準(zhǔn)正交基在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位向量i,j,k,這三個互相垂直的單位向量就構(gòu)成空間向量的一組基{i,j,k},這組基叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基.根據(jù)空間向量基本定理,對于任意一個向量p,都存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.把三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量p在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j,k}下的坐標(biāo),記作p=(x,y,z).

中間的“=”不能省略,即不能寫成p(x,y,z)單位向量i,j,k都叫作坐標(biāo)向量.2.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,y1,z1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,y2,z2),則=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).也就是說:一個向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).3.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則,不難得到:(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);(3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R;(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

兩個空間向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和思考辨析

自主診斷1.[人教A版教材習(xí)題]已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),求:(1)a+b;(2)6a;(3)3a-b;(4)a·b.解

(1)a+b=(-2,7,4).(2)6a=(-18,12,30).(3)3a-b=(-10,1,16).(4)a·b=2.2.已知{e1,e2,e3}是標(biāo)準(zhǔn)正交基,分別寫出下列空間向量的坐標(biāo):(1)p=2e1+3e2+e3;(2)q=-e1+e2-2e3;(3)r=-2e2-e3;(4)0.解

(1)p=(2,3,1).(2)q=(-1,1,-2).(3)r=(0,-2,-1).(4)因?yàn)?=0e1+0e2+0e3,所以0=(0,0,0).3.[人教A版教材習(xí)題]已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2).求:(1)a·(b+c);(2)a+6b-8c.解

(1)∵b=(2,0,3),c=(0,0,2),∴b+c=(2,0,5).又a=(2,-3,1),∴a·(b+c)=2×2+0×(-3)+5×1=4+0+5=9.(2)a+6b-8c=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)=(14,-3,3).知識點(diǎn)2

空間向量平行(共線)和垂直的條件我們知道,當(dāng)b≠0時,a∥b??λ∈R,使得a=λb.共線向量基本定理

使用此式時注意分母不能為0類似地,可得a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.

思考辨析平面向量中的結(jié)論:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.此結(jié)論在空間向量中能推廣嗎?提示

不能推廣.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若a=(2,0,1),b=(-2,3,0),則a⊥b.(

)×××2.(多選題)已知a=(2,-3,1),則下列向量中與a平行的是(

)A.(1,1,1)

B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5) D.(-2,3,-1)BD3.已知向量a=(1,2,1),b=(1,1,0)且b⊥(ka+b),則k=(

)D解析

∵向量a=(1,2,1),b=(1,1,0),∴ka+b=(k+1,2k+1,k).∵b⊥(ka+b),∴b·(ka+b)=k+1+2k+1=0,解得k=-.知識點(diǎn)3

空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,可以得到以下結(jié)論:思考辨析1.你能利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式嗎?提示

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,2.平面向量夾角的坐標(biāo)表示是否可以推廣到空間向量夾角的坐標(biāo)表示?提示

可以.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若a=(1,2,0),b=(-2,0,1),則|a|=|b|.(

)(2)設(shè)a=(1,-1,1),b=(-2,0,1),則cos<a,b>=.(

)√√2.[人教A版教材習(xí)題]求證:以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱A1A和B1B的中點(diǎn),求CM和D1N所成角的余弦值.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)表示【例1】

(1)已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),則(2a+3b)·(a-b)=

.

-4解析

易得2a+3b=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),則(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4.規(guī)律方法

用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:變式訓(xùn)練1(1)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,取點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,O,M分別是AC,DD1的中點(diǎn),寫出下列向量的坐標(biāo).(-2,0,1)(1,1,2)★(2)如圖,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),并且PA=AD=1,建立空間直角坐標(biāo)系,求向量

的坐標(biāo).解

以A為原點(diǎn),AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,探究點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】

已知在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).規(guī)律方法

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算注意以下幾點(diǎn):(1)一個向量的坐標(biāo)等于這個向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.(3)運(yùn)用公式可以簡化運(yùn)算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.探究點(diǎn)三空間向量的平行與垂直所以2a-b=-2c,所以(2a-b)∥c.②由①知ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).又因?yàn)?ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.變式探究1若本例3(2)中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何?變式探究2本例3(2)中若點(diǎn)G是A1D的中點(diǎn),點(diǎn)H在平面xOy上,且GH∥BD1,試判斷點(diǎn)H的位置.規(guī)律方法

1.判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件;已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值,則利用平行、垂直的充要條件,將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系,列方程(組)求解.2.利用向量證明直線、平面平行或垂直,要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)向量的坐標(biāo),利用向量平行、垂直的充要條件證明.變式訓(xùn)練3(1)已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則邊AC上的高BD的長為(

)A★(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段A1D上,點(diǎn)Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.證明

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則探究點(diǎn)四空間向量夾角與模的計算【例4】

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點(diǎn).求:(1)BM,BN的長;(2)△BMN的面積.解

以C為原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),規(guī)律方法

向量夾角與模的計算方法利用坐標(biāo)運(yùn)算解決空間向量夾角與長度的計算問題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)向量的坐標(biāo),然后利用夾角與模的計算公式進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練4已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),則(2a+3b)·(a-b)=(

)A.4 B.2C.-2 D.-4D解析

因?yàn)?a+3b=(-2,4,2)+(6,0,3)=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),所以(2a+3b)·(a-b)=-12+8+0=-4.123452.

已知a=(1,-4,-4),b=(m,2,-2m+1),若a∥b,則m的值為(

)C123453.(多選題)對于任意非零向量a=(x1,y1,z1),