自測(cè)（2）《第10章空間直線與平面》章節(jié)測(cè)試（60分鐘）

【解析版】自測(cè)（2）《第10章空間直線與平面》章節(jié)測(cè)試（60分鐘）一、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1、空間不共線的四點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)是_______________【答案】1或4【解析】若有三點(diǎn)共線，則這四點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；若任意三點(diǎn)均不共線，則空間四點(diǎn)可以確定4個(gè)平面.2、如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過D，E兩點(diǎn)，若直線AB與平面α的交點(diǎn)是P，則點(diǎn)P與直線DE的位置關(guān)系是_________________【答案】P∈直線DE【解析】因?yàn)镻∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直線DE；3、已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是_____________________________【答案】平行【解析】如圖所示，MN∥AC.又因?yàn)锳C∥A′C′，所以MN∥A′C′.4、在空間四邊形P－ABC的邊與對(duì)角線六條邊所在的直線中，異面直線共有(對(duì))【答案】3對(duì)【解析】PA與BC，PB與AC，PC與AB.5、點(diǎn)P在三角形ABC外，點(diǎn)D在PA上，且PD＝eq\f(1,2)DA，過點(diǎn)D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若△ABC的面積為9，則△DEF的面積為【答案】1；【解析】如圖，易知△DEF∽△ABC，由PD＝eq\f(1,2)DA，知PD＝eq\f(1,3)PA.∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(PD,PA)＝eq\f(1,3).∴eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9).又S△ABC＝9，∴S△DEF＝1.6、如圖，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________.【答案】a【解析】作AE⊥BC于E，連接DE.由條件知，E為BC的中點(diǎn)，且AE⊥DE.AE＝DE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2),2)a，∴AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝a.答案：a7、如圖，空間四邊形P－ABC中，PA＝PB＝eq\r(13)，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________.【答案】7【解析】取AB的中點(diǎn)E，連接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.∵平面PAB∩平面ABC＝AB，又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，連接CE，則PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2eq\r(7)，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\r(6)，CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(43)，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝7.答案：78、在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β，BC⊥平面α于C，AB＝6，BC＝3，則二面角α－l－β的平面角的大小為______________________【答案】60°或120°【解析】當(dāng)二面角α－l－β是銳二面角時(shí)，因?yàn)锳B⊥β且lβ，所以AB⊥l.因?yàn)锽C⊥α，lα，所以BC⊥l，所以l⊥平面ABC，所以l⊥AC.設(shè)垂足為H.所以BH平面ABC，所以l⊥BH，所以∠AHB為二面角α－l－β的平面角．Rt△BCA中，AB＝6，BC＝3，所以∠BAC＝30°.Rt△ABH中，因?yàn)椤螧AH＝30°，所以∠AHB＝60°.同理，當(dāng)二面角α－l－β為鈍二面角時(shí)，可得所求二面角的平面角為120°.綜上，所求角大小為60°或120°.答案：60°或120°；9、如圖，在空間四邊形ABCD中，若截面PQMN是正方形，則下列結(jié)論中正確的是________．①AC⊥BD②AC∥平面PQMN③AC＝BD④異面直線PM與BD所成的角為45°【答案】①②④；【解析】由MN∥PQ，得PQ∥平面ACD.又平面ABC∩平面ADC＝AC，得PQ∥AC，從而AC∥平面PQMN，故②正確；同理可得MQ∥BD，又MQ⊥PQ，得AC⊥BD，故①正確；又∠PMQ＝45°，所以異面直線PM與BD所成的角為45°，故④正確；因?yàn)镻，Q，M，N四點(diǎn)在相應(yīng)邊上的位置不知，AC＝BD不一定成立，故③錯(cuò)誤．答案：①②④10、如圖所示，設(shè)平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別為B、D.若增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF；現(xiàn)有：①AC⊥β；②AC與α、β的夾角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF.那么上述幾個(gè)條件中能成為增加條件的是________．(填上你認(rèn)為正確的所有答案序號(hào))【答案】①③；【解析】當(dāng)AC⊥β時(shí)，可推出EF⊥平面ABCD，從而有EF⊥BD，故①正確；由③可知，平面ACD⊥β，易證EF⊥平面ABCD，從而證得EF⊥BD；②④不正確．答案：①③；二、選擇題（共4小題每小題4分，滿分16分）11、如果空間四點(diǎn)A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是()A．A，B，C，D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線B．A，B，C，D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行【答案】B【解析】?jī)蓷l平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點(diǎn)都分別確定一個(gè)平面；12、空間兩個(gè)角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且α＝60°，則β為()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°【答案】D【解析】如圖，∵空間兩個(gè)角α，β的兩邊對(duì)應(yīng)平行，∴這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，∵α＝60°，∴β＝60°或120°.故選D.13、若直線l不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)()A．不存在與l垂直的直線B．只存在一條與l垂直的直線C．存在無數(shù)條直線與l垂直D．以上都不對(duì)【答案】C；【解析】可在正方體中考慮問題．設(shè)平面A1B1C1D1為平面α，直線B1C為直線l，且l與α不垂直．但在底面內(nèi)，所有與A1B1平行的直線都與l垂直．答案：C14、如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線有如下情況：①三角形的兩條邊；②梯形的兩條邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．不能保證直線與平面垂直的是()A．①③ B．②C．②④ D．①②④【答案】C；【解析】①三角形任意兩邊為相交直線．②若與兩底所在直線垂直，則不能判斷線面垂直．③直徑必相交．④若垂直于正六邊形互相平行的邊，則不能保證線面垂直．答案：C；三、解答題（共4小題，滿分44分）15、（本題8分）如圖，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.【證明】因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個(gè)平面β，所以直線a?β，點(diǎn)P∈β.因?yàn)镻∈b，b?α，所以P∈α.又因?yàn)閍?α，P?a，所以α與β重合，所以PQ?α；16、（本題10分）如圖，若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且AB與l不平行，試畫出平面ABC與平面α，β的交線.【解析】∵若α∩β＝l，A，B∈α，∴AB是平面ABC與α的交線.延長(zhǎng)BA交l于D，則D∈平面ABC，∵C∈β，∴CD是平面ABC與β的交線，則對(duì)應(yīng)的圖示如圖.17、（本題滿分12分）如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.（1）求證：AC⊥平面BCE；（2）求證：AD⊥AE.【證明】（1）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC＝BC＝2eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因?yàn)锳F⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.（2）因?yàn)锳F⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABEF.又AE?平面ABEF，所以AD⊥AE.18、（本題滿分14分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，求：（1）AO與A′C′所成角的大?。唬?）AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）平面AOB與平面AOC所成角的大小.【解析】（1）∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO?平面ABO，∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角為30°.（2）如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE?平面BC′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角.在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r