第28講正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（思維導(dǎo)圖3知識(shí)點(diǎn)8考點(diǎn)過關(guān)檢測(cè)）

第28講正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．能夠借助單位圓中的正切線畫出函數(shù)y=tanx的圖象；2．掌握正切函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性；3．能利用正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決有關(guān)問題.知識(shí)點(diǎn)1正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、定義域：，2、值域：R3、周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識(shí)點(diǎn)2正切型函數(shù)形如的函數(shù)叫做正切型函數(shù).1、定義域：將“”視為一個(gè)“整體”．令解得．2、值域：3、最小正周期：4、單調(diào)區(qū)間：（1）把“”視為一個(gè)“整體”；（2）時(shí)，函數(shù)單調(diào)性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．知識(shí)點(diǎn)3解題技巧1、求正切型函數(shù)的定義域注意事項(xiàng)求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)有意義，即。而對(duì)于構(gòu)建的三角不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解，解形如的不等式的步驟如下：（1）作圖象：作在上的正切函數(shù)圖象；（2）求界點(diǎn)：求在上使成立的值；（3）求范圍：求上使成立的范圍；（4）定義域：根據(jù)正切函數(shù)的周期性，寫出定義域。2、求函數(shù)（都是常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間的方法（1）若，由于在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令，解得的范圍即可；（2）若，可利用誘導(dǎo)公式先把轉(zhuǎn)化為，即先把的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可。考點(diǎn)一：正切型函數(shù)的定義域例1．（2223高一下·內(nèi)蒙古包頭·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.【變式11】函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．或且【答案】C【解析】由已知可得且，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故選：C.【變式12】（2324高一下·上海黃浦·期末）設(shè)，若函數(shù)的.定義域?yàn)?，則的值為．【答案】/【解析】由題意可知，，，所以.故答案為：【變式13】（2324高三上·河南新鄉(xiāng)·月考）函數(shù)的定義域?yàn)?（用區(qū)間表示結(jié)果）【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，只需，所以，，即，，所以或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.考點(diǎn)二：正切型函數(shù)的最值或值域例2.（2324高一上·寧夏銀川·期末）函數(shù)在上的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，在上為單調(diào)遞增，所以其最小值為.故選：D【變式21】（2324高一下·江西·月考）函數(shù)，的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C.【變式22】（2324高一下·福建莆田·期中）函數(shù)，的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥慨?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，的值域?yàn)?故答案為：.【變式23】（2324高一上·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知為鈍角，則的最大值為．【答案】【解析】為鈍角,,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.考點(diǎn)三：正切型函數(shù)的周期性例3.（2324高一下·山東濟(jì)寧·期中）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】易知，則其最小正周期為.故選：C【變式31】（2324高一上·河南開封·期末）函數(shù)（）的最小正周期為，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】因?yàn)椋ǎ┑淖钚≌芷跒?，所以的最小正周期，解?故選：A.【變式32】（2324高一下·河南駐馬店·月考）函數(shù)的最小正周期是.【答案】/【解析】由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：與的最小周期均為，與的圖象如圖所示，所以函數(shù)與最小正周期也一樣，函數(shù)的最小正周期是，的最小正周期也是．故答案為：.【變式33】（2324高一下·江西贛州·月考）若，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【解析】由題意知的最小正周期為，且，故，故選：C考點(diǎn)四：正切型函數(shù)的奇偶性例4.（2223高一下·四川廣元·月考）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以不是偶函?shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，所以不是偶函?shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以不是偶函?shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B【變式41】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2).【答案】(1)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；(2)奇函數(shù)【解析】（1）由得的定義域?yàn)榍?，由于的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；（2）由題知函數(shù)的定義域?yàn)榍?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù).【變式42】（2324高三下·廣東廣州·三調(diào)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若0在定義域內(nèi)，由時(shí)，得，；若0不在定義域內(nèi)，由時(shí)，無意義，得．綜上，．故選：C．【變式43】（2223高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)，若，則（

）A．5 B．3 C．1 D．0【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，因此，故選：A考點(diǎn)五：正切型函數(shù)的對(duì)稱性例5.（2324高一下·河南駐馬店·月考）下列是函數(shù)的對(duì)稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得，故函數(shù)的對(duì)稱中心為，故AB錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)稱中心為，D正確，經(jīng)檢驗(yàn)，C不滿足要求.故選：D【變式51】（2223高一上·浙江杭州·期中）下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)不是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意在中，令，解得，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是，A正確.當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是，D正確.當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是，C正確.故選：B.【變式52】（2324高一下·遼寧大連·月考）若函數(shù)的最小正周期為1，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，令，解得，故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.故選：B.【變式53】（2324高一上·河北保定·期末）“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故充分性成立，當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱時(shí)，則，不一定成立，則必要性不成立，則“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱”的充分不必要條件，故選：B.考點(diǎn)六：正切型函數(shù)的單調(diào)性例6.（2223高一下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C【變式61】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.【變式62】（2223高一上·福建漳州·期末）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是.故選：A.【變式63】（2324高一下·江西南昌·期末）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得，故且，解得，故選：C考點(diǎn)七：比較正切函數(shù)值的大小例7.下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A中，由，且，由正切函數(shù)性質(zhì)，可得，且，所以，所以，所以A不正確；對(duì)于B中，由，由正切函數(shù)單調(diào)性可得，即，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由正切函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，由正切函數(shù)的單調(diào)性，可得，即，所以D錯(cuò)誤.故選：C.【變式71】（2324高一下·北京門頭溝·期中）比較、、的大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即.故選：D【變式72】（2223高一下·四川成都·月考）已知，不通過求值，判斷下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】又即故選：C【變式73】（2223高一下·遼寧沈陽·月考）（多選）下列不等關(guān)系成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】AD【解析】.AB選項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.綜上，，故A正確，B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.綜上，，故D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD.考點(diǎn)八：利用正切函數(shù)解不等式例8.（2223高一下·安徽阜陽·月考）滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【解析】由，，故選：D【變式81】（2223高一下·四川成都·期中）已知角為斜三角形的內(nèi)角，，則的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】角為斜三角形的內(nèi)角，則，，即，故.故選：D.【變式82】（2223高一下·貴州遵義·期中）不等式的解集為（

）A． B．C．， D．，【答案】C【解析】由題意得，，得.故選：C【變式83】（2223高一下·貴州遵義·期末）不等式的解集為．【答案】【解析】不等式的解集為.由可得，解得，不等式的解集為故答案為：一、單選題1．（2223高一下·廣東佛山·月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，解得，故選：A2．（2324高一上·貴州安順·期末）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的最小正周期為.故選：B3．（2324高一上·山西長(zhǎng)治·期末）函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，令，解得，令，可得，所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心有，其它不是對(duì)稱中心.故選：B．4．（2324高一下·北京·期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是周期為的函數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于AC，函數(shù)，都是奇函數(shù)，A不是，C不是；對(duì)于B，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為，B不是；對(duì)于D，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為，D是.故選：D5．（2324高一上·安徽馬鞍山·期末）下列直線中，與函數(shù)的圖象不相交的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)中，，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然，因此直線與函數(shù)的圖象相交，直線與函數(shù)的圖象不相交，A不是，C是；函數(shù)的值域?yàn)?，因此直線，與函數(shù)的圖象都相交，BD不是.故選：C6．（2324高一下·廣西欽州·期中）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，得，解得，所以不等式的解集為.故選：A二、多選題7．（2223高一下·浙江·期中）下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，即，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于正切函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在為減函數(shù)，且，所以，，即，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由于正弦函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.8．（2324高一下·四川南充·月考）已知函數(shù)，則（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．為的一個(gè)對(duì)稱中心 D．最小正周期為【答案】BC【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，把代入中，得，所以為的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題9．（2324高一下·上海嘉定·期中）若，且滿足，則的最小值為．【答案】【解析】周期為，且在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，，故，.且，故的最小值為.故答案為：10．已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【解析】∵已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù),∴函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.∴的取值范圍是．故答案為：.11．（2223高一下·上海虹口·期中）對(duì)于函數(shù)，其中．若，則．【答案】【分析】代入計(jì)算得到，再計(jì)算，得到答案.【解析】，故，.故答案為：四、解答題12．（2223高一下·安徽阜南·月考）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)試比較與的大小．【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為，；(2)【解