高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全程復(fù)習(xí)構(gòu)想·數(shù)學(xué)（文）第三節(jié)　圓的方程練習(xí)

第三節(jié)圓的方程·最新考綱·1．掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．·考向預(yù)測·考情分析：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程，圓心到直線的距離，與圓有關(guān)的軌跡、最值問題仍是高考考查的熱點，題型將以選擇與填空題為主，也可能出現(xiàn)在解答題中．學(xué)科素養(yǎng)：通過求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及利用圓的方程求最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端一、必記2個知識點1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與________的距離等于________的點的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程________(r＞0)圓心：________，半徑：________一般方程________________(D2＋E2－4F＞0)圓心：________，半徑：________2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則________________．(2)若M(x0，y0)在圓上，則________________．(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則________________．二、必明2個常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程表示圓的條件對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時易忽視D2＋E2－4F＞0這一條件．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()(二)教材改編2．[必修2·P124A組T1改編]圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．(2，3)，3B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，133．[必修2·P124A組T4改編]圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1，1)和B(1，3)，則圓C的方程為________．(三)易錯易混4．(錯用點與圓的位置關(guān)系)若點(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a(chǎn)＞1或a＜－1D．a(chǎn)＝±45．(忽略方程中變量的取值范圍)已知點P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動點，則x2＋4y的最大值為________．(四)走進(jìn)高考6．[2022·全國甲卷]設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點（3，0）和（0，1）均在⊙M上，則⊙M的方程為Ｗ．提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法考點一求圓的方程[基礎(chǔ)性]1．[2023·赤峰二中檢測]已知圓心在x軸上，半徑為5的⊙C位于y軸左側(cè)，且與直線x＋y＝0相切，則⊙C的方程是()A．(x－10)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x＋10)2＋y2＝5D．x2＋(y＋10)2＝52．以點(1，－1)為圓心，且與直線x－y＋2＝0相切的圓的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝8D．(x－1)2＋(y＋1)2＝83．若直線l：mx＋ny＋3＝0始終平分圓C：x2－2x＋y2＋3y－1＝0，則2m－3n＝()A．－6B．－3C．3D．64．已知圓x2＋y2－2mx－(4m＋2)y＋4m2＋4m＋1＝0(m≠0)的圓心在直線x＋y－7＝0上，則該圓的面積為()A．4πB．2πC．πD．π反思感悟求圓的方程的兩種方法(1)直接法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．[提醒]解答圓的有關(guān)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)．考點二與圓有關(guān)的最值問題[綜合性]角度1借助幾何性質(zhì)求最值[例1]已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．聽課筆記：一題多變(變問題)若例1中條件不變，求P(x，y)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值．反思感悟與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如μ＝y(tǒng)?bx?a(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.角度2建立函數(shù)關(guān)系求最值[例2](1)若點P為圓x2＋y2＝1上的一個動點，點A(－1，0)，B(1，0)為兩個定點，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．2B．22C．4D．42(2)[2023·山東濰坊模擬]設(shè)點P(x，y)是圓x2+y?32＝1上的動點，定點A(2，0)，B(－2，0)，則聽課筆記：反思感悟建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法求最值．【對點訓(xùn)練】1．已知兩點A(0，－3)，B(4，0)，若點P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動點，則△ABP的面積的最小值為()A．6B．11C．8D．212．設(shè)點P(x，y)是圓：(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0，2)，B(0，－2)，則|PA+考點三與圓有關(guān)的軌跡方程[綜合性][例3]已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．聽課筆記：反思感悟求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法【對點訓(xùn)練】1．[2023·六盤山高級中學(xué)測試]已知圓C：x2＋y2＋4x＝0的圓心和圓上兩點A，B構(gòu)成等邊三角形，則AB中點M的軌跡方程是()A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝3C．(x＋1)2＋y2＝2D．(x＋2)2＋y2＝32．[2023·江蘇南通高三測試]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓A：(x－1)2＋y2＝1，點B(3，0)，過動點P引圓A的切線，切點為T.若PT＝2PB，則動點P的軌跡方程為()A．x2＋y2－14x＋18＝0B．x2＋y2＋14x＋18＝0C．x2＋y2－10x＋18＝0D．x2＋y2＋10x＋18＝0第三節(jié)圓的方程積累必備知識一、1．定點定長(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)rx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0?2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：由公式可知圓心坐標(biāo)為(－D2，－E2)，半徑r＝12D2答案：D3．解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，0)，因為點A(－1，1)和B(1，3)在圓C上，所以|CA|＝|CB|，即a+12+1＝a?12+9，解得a＝2，所以圓心為C(2，0)，又|CA|＝2+12+1＝10，所以圓C的半徑為10，所以圓C的方程為(x答案：(x－2)2＋y2＝104．解析：因為點(1，1)在圓內(nèi)，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1.答案：A5．解析：因為點P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動點，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5.因為y∈[－1，1]，所以當(dāng)y＝1時，x2＋4y取得最大值4.答案：46．解析：因為點M在直線2x＋y－1＝0上，所以設(shè)M（a，1－2a）.由點（3，0），（0，1）均在⊙M上，可得點（3，0），（0，1）到圓心M的距離相等且為⊙M的半徑，所以r＝eq\r(（a－3）2＋（1－2a）2)＝eq\r(a2＋（1－2a－1）2)，解得a＝1.所以M（1，－1），r＝eq\r(5)，所以⊙M的方程為（x－1）2＋（y＋1）2＝5.答案：（x－1）2＋（y＋1）2＝5提升關(guān)鍵能力考點一1．解析：設(shè)圓心為C(a，0)(a＜0)，由題意a2＝5，所以a＝－10圓方程為(x＋10)2＋y2＝5.答案：C2．解析：因直線與圓相切，所以圓的半徑等于點(1，－1)到直線x－y＋2＝0的距離，即r＝d＝1??1+212+?12＝22，則所求圓的方程為(x答案：D3．解析：由C：x2－2x＋y2＋3y－1＝0得圓心C1，?32，因為直線平分圓，所以直線必過圓心1，?32，則m－32n答案：A4．解析：圓的方程可化為(x－m)2＋(y－2m－1)2＝m2(m≠0)，其圓心為(m，2m＋1)．依題意得，m＋2m＋1－7＝0，解得m＝2，∴圓的半徑為2，面積為4π.答案：A考點二例1解析：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，3為半徑的圓．(1)yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)yx＝k，即y＝當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時2k?0k2+1＝3.解得k＝±3(如圖1)．所以yx的最大值為解析：(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，在y軸上的截距b取得最大值或最小值，此時2?0+b2＝3，解得b＝－2±6(如圖2)．所以y－x的最大值為－2＋6，最小值為－2－6(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3)．又圓心到原點的距離為2?02+0?02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)一題多變解析：∵圓心(2，0)到直線3x＋4y＋12＝0的距離d＝6+125＝185，∴P(x，y)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值為185例2解析：(1)由已知可得線段AB是圓x2＋y2＝1的直徑，且|AB|＝2，∴∠APB＝90°.∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝4，由基本不等式可得PA+PB22≤PA2+PB22＝2，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB即|PA|＋|PB|的最大值是22.(2)由題意知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4.由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圓的方程x2＋(y－3)2＝1知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時，PA·PB的值最大，最大值為12.答案：(1)B(2)12對點訓(xùn)練1．解析：x2＋y2－2y＝0可化為x2＋(y－1)2＝1，則圓C為以(0，1)為圓心，1為半徑的圓．如圖，過圓心C向直線AB作垂線交圓于點P，連接BP，AP，這時△ABP的面積最小，直線AB的方程為x4+y?3＝1，即3x－4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離d＝165，又|AB|＝32+42＝5，所以△ABP答案：B2．解析：由題意知PA＝(－x，2－y)，PB＝(－x，－2－y)，所以PA+PB＝(－2x，－2y)．由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標(biāo)滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|PA+PB|＝4x2+4y2＝26x?5.由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤答案：10考點三例3解析：(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x－2，2y)．因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|