高二數(shù)學(xué)同步備課(人教A版2019選修第一冊)1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示(分層作業(yè))(原卷版+解析)

1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·黑龍江黑河·高二階段練習(xí)）已知，且，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2021·吉林油田高級中學(xué)高二開學(xué)考試）已知向量，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高二）已知直線的方向向量分別為，若，則等于（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，則m的值為（

）A．－2 B．2 C． D．5．（2022·福建龍巖·高二期中）已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高二）設(shè)，向量，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·廣東·江門市第二中學(xué)高二期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量，則下列向量中與成夾角的是（

）A． B．C． D．9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在正三棱柱中，，為棱的中點，為線段上的一點，且，則（

）A．10 B．12 C．15 D．2010．（2022·全國·高二專題練習(xí)）給出下列命題：①若空間向量滿足則②空間任意兩個單位向量必相等③若空間向量滿足則④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有⑤向量（1，1，0）的模為；其中假命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）已知向量，則下列向量中與的夾角為60°的是（

）A． B．C． D．12．（2022·全國·高二）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．與夾角的余弦值為13．（2022·全國·高二）已知空間中三點，，，則正確的有（

）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是14．（2022·全國·高二單元測試）已知空間三點，，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題15．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），點P的坐標(biāo)是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，則點P的坐標(biāo)是_______．16．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖三棱柱中，側(cè)面是邊長為菱形，∠，交于點，側(cè)面，且為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則點的坐標(biāo)為______．17．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知點在正方體的對角線上，．設(shè)則的值為_________．18．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為_____。19．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的方向向量為，點在上，則點到的距離為_______.四、解答題20．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)有三點A（1，2，-1）、B（0，3，1）、C（4，-1，2），求：(1)△ABC的面積S；(2)與向量、同時垂直的單位向量．21．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知空間三點，，(1)求向量與的夾角的余弦值，(2)若向量與向量垂直，求實數(shù)k的值．22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量，，計算：(1)，，；(2)．23．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知點，，點P在直線AB上．(1)若，寫出點P的坐標(biāo)；(2)若點O是坐標(biāo)原點，且，寫出點P的坐標(biāo)．24．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，，且與平行，求實數(shù)m的值.25．（2022·全國·高二課時練習(xí)）判斷下列各對向量是否平行或垂直：(1)，；(2)，；(3)，．26．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，是的中點，是的中點.(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并確定、、三點的坐標(biāo)；(2)求證：.【能力提升】一、單選題1．（2022·江蘇淮安·高二期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動點，，若∠BMD為鈍角，則實數(shù)t可能為（

）A． B． C． D．2．（2022·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體的棱長為6，點為的中點，點為底面上的動點，滿足的點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若平面?的法向量分別為，，且，則等于（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2022·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（

）A．當(dāng)在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．當(dāng)直線與平面所成的角為45°時，點的軌跡長度為D．若是的中點，當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是6．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高二期中）若l1，l2，l3是三條互相平行的直線，l1與l2之間距離為1，l1與l3之間距離為1，l2與l3之間距離為，A，B是直線l1上的點，且，C，D分別是直線l2，l3上的點，則（

）A．的面積是定值 B．面積的最小值是C．三棱錐的體積是 D．7．（2022·廣東廣州·高二期末）已知正方體ABCD－EFGH棱長為2，M為棱CG的中點，P為底面EFGH上的動點，則（

）A．存在點P，使得B．存在唯一點P，使得C．當(dāng)，此時點P的軌跡長度為D．當(dāng)P為底面EFGH的中心時，三棱錐P－ABM的外接球體積為三、填空題8．（2021·吉林油田高級中學(xué)高二開學(xué)考試）若向量，，則______．9．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，則實數(shù)的值為____．10．（2022·福建·漳州市第一外國語學(xué)校高二期末）如圖所示，長方體的底面是邊長為1的正方形，長方體的高為2，E?F分別在?AC上，且，則直線EF與直線的距離為___________.11．（2021·安徽·高二期中）如圖，正三棱柱的各棱長均為1，點和點分別為棱和棱的中點，先將底面置于平面內(nèi)，再將三棱柱繞旋轉(zhuǎn)一周，則以下結(jié)論正確的是___________（填入正確結(jié)論對應(yīng)的序號）.①設(shè)向量旋轉(zhuǎn)后的向量為，則②點的軌跡是以為半徑的圓③設(shè)①中的在平面上的投影向量為，則的取值范圍是④直線在平面內(nèi)的投影與直線所成角的余弦值的取值范圍是12．（2022·浙江·安吉縣上墅私立高級中學(xué)高二期末）已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.13．（2021·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，過點A的平面分別與棱，，交于點E，F(xiàn)，G，記四邊形AEFG在平面上的正投影的面積為，四邊形AEFG在平面上的正投影的面積為.給出下面四個結(jié)論：①四邊形AEFG是平行四邊形；②的最大值為2；③的最大值為；④四邊形AEFG可以是菱形，且菱形面積的最大值為.則其中所有正確結(jié)論的序號是___________.四、解答題14．（2021·吉林油田高級中學(xué)高二開學(xué)考試）已知空間中三點的坐標(biāo)分別為，，，且，．(1)求向量與夾角的余弦值；(2)若與互相垂直，求實數(shù)的值．15．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．問題：如圖，在正方體，中，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系．已知點的坐標(biāo)為，為棱上的動點，為棱上的動點，______，則是否存在點，，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．16．（2022·全國·高二專題練習(xí)）四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，，.建系求點的坐標(biāo).17．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知：，，，求：(1)；(2)與所成角的余弦值．1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·黑龍江黑河·高二階段練習(xí)）已知，且，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，，可得.故選：B2．（2021·吉林油田高級中學(xué)高二開學(xué)考試）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘以及減法運算，即可求得答案.【詳解】,故選:D．3．（2022·全國·高二）已知直線的方向向量分別為，若，則等于（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故選：B4．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，則m的值為（

）A．－2 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，解得，故選：C.5．（2022·福建龍巖·高二期中）已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若，則，從而即可求解【詳解】若，則，從而即,解之得：故選：D6．（2022·全國·高二）設(shè)，向量，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示求出y和x即可．【詳解】，∥，∴.故選：A.7．（2021·廣東·江門市第二中學(xué)高二期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算，即可求解.【詳解】,,故選：D8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量，則下列向量中與成夾角的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間向量夾角公式進行逐一判斷即可.【詳解】A：因為向量與向量夾角的余弦值為，所以向量與向量夾角為，故不符合題意；B：因為向量與向量夾角的余弦值為，所以向量與向量夾角為，故符合題意；C：因為向量與向量夾角的余弦值為，所以向量與向量夾角為，故不符合題意；D：因為向量與向量夾角的余弦值為，所以向量與向量夾角為，故不符合題意，故選：B9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在正三棱柱中，，為棱的中點，為線段上的一點，且，則（

）A．10 B．12 C．15 D．20【答案】C【分析】以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)垂直的坐標(biāo)表示求解得，進而求得即可.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，以及與過且與同向的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)，由，知，解得，故.故選：C10．（2022·全國·高二專題練習(xí)）給出下列命題：①若空間向量滿足則②空間任意兩個單位向量必相等③若空間向量滿足則④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有⑤向量（1，1，0）的模為；其中假命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)知識逐一判斷即可.【詳解】在①中，若空間向量滿足，向量與方向不一定相同，故①是假命題；在②中，空間任意兩個單位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命題；在③中，若空間向量滿足，則向量與不一定相等，故③是假命題；在④中，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定義得必有，故④是真命題；在⑤中，由模的定義得向量（1，1，0）的模為，故⑤是真命題．故選：C．二、多選題11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）已知向量，則下列向量中與的夾角為60°的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設(shè)向量，則，再結(jié)合選項逐一判斷即可.【詳解】解：不妨設(shè)向量，若，則，不滿足條件，A錯誤；若，則，滿足條件，B正確；若，則，滿足條件，C正確；若，則，不滿足條件，D錯誤．故選：BC.12．（2022·全國·高二）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．與夾角的余弦值為【答案】BCD【分析】由空間向量平行的性質(zhì)及空間向量模長，數(shù)量積，夾角的坐標(biāo)運算進行判斷即可.【詳解】對于A選項：，不存在，使得，故A錯誤；對于B選項：，，故B正確；對于C選項：，，則，故C正確；對于D選項：，，所以，故D正確；故選：BCD.13．（2022·全國·高二）已知空間中三點，，，則正確的有（

）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是【答案】CD【分析】A選項直接寫出與，按照共線向量即可判斷；B選項由單位向量的求法進行判斷；C選項通過夾角公式計算即可；D選項直接計算法向量即可.【詳解】，，，顯然與不共線，A錯誤；的單位向量，即，B錯誤；，，C正確；設(shè)平面的法向量，則，令，得，D正確.故選：CD.14．（2022·全國·高二單元測試）已知空間三點，，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由條件可得的坐標(biāo)，然后逐一判斷即可.【詳解】因為，，，所以所以，，所以不共線.故選：AC三、填空題15．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），點P的坐標(biāo)是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，則點P的坐標(biāo)是_______．【答案】（﹣1，0，2）【分析】根據(jù)題意算出、、的坐標(biāo)，由PA⊥平面ABC得⊥且⊥，建立關(guān)于x、y的方程組，解之即可得出點P的坐標(biāo)．【詳解】根據(jù)題意，可得（﹣1，﹣1，﹣1），（2，0，1），（x，﹣1，y）∵PA⊥平面ABC，∴⊥且⊥，可得，解之得x＝﹣1，y＝2，可得P的坐標(biāo)是（﹣1，0，2）．故答案為：（﹣1，0，2）．16．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖三棱柱中，側(cè)面是邊長為菱形，∠，交于點，側(cè)面，且為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則點的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】過點作平面，連接，則，由此可求得點的坐標(biāo).【詳解】三棱柱中，側(cè)面是邊長為菱形，∠，交于點，側(cè)面，且為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，過作平面，垂足是，連接，，則，點的坐標(biāo)為．故答案為:.17．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知點在正方體的對角線上，．設(shè)則的值為_________．【答案】【分析】以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量關(guān)系即可求出.【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，點在正方體的對角線上，且，，則，，，，，，，，由，解得．故答案為．18．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為_____?！敬鸢浮俊痉治觥坑梢阎D(zhuǎn)化為，去除與夾角為時的值，用數(shù)量積公式求解即可.【詳解】向量的夾角為鈍角，，解得，且，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：.19．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的方向向量為，點在上，則點到的距離為_______.【答案】【分析】根據(jù)點到直線的空間向量坐標(biāo)公式求解即可【詳解】根據(jù)題意，得，，，；又點到直線l的距離為．故答案為：四、解答題20．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)有三點A（1，2，-1）、B（0，3，1）、C（4，-1，2），求：(1)△ABC的面積S；(2)與向量、同時垂直的單位向量．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知求得，，可得AB⊥AC，再求出AB、AC的長度，再由三角形面積公式求解；（2）利用向量數(shù)量積為0列式求解向量、同時垂直的單位向量．(1)∵A（1，2，-1）、B（0，3，1）、C（4，-1，2），∴，，，，，則AB⊥AC，可得△ABC的面積S；(2)設(shè)與向量、同時垂直的向量為，由，取y＝1，可得，∴與向量、同時垂直的單位向量為．21．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知空間三點，，(1)求向量與的夾角的余弦值，(2)若向量與向量垂直，求實數(shù)k的值．【答案】(1)﹣(2)k＝2【分析】（1）求出與及模長，利用空間向量夾角公式進行求解；（2）根據(jù)空間向量垂直得到方程，結(jié)合第一問求出實數(shù)k的值.(1)，，，，故，所以.(2)∵向量與向量垂直，∴，即，解得：k＝2．22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量，，計算：(1)，，；(2)．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）直接根據(jù)空間向量模的公式計算；（2）直接根據(jù)空間向量的夾角公式計算.(1)由已知，，，則(2)23．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知點，，點P在直線AB上．(1)若，寫出點P的坐標(biāo)；(2)若點O是坐標(biāo)原點，且，寫出點P的坐標(biāo)．【答案】(1)或；(2).【分析】(1)由點在直線上得，表示出P的坐標(biāo)，根據(jù)求出即可.(2)根據(jù)求出即可.(1)，∵點在直線上，∴，，.由得，，或.(2)，，，，.24．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，，且與平行，求實數(shù)m的值.【答案】【分析】根據(jù)向量平行的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以，所以，因為與不平行，所以，所以.25．（2022·全國·高二課時練習(xí)）判斷下列各對向量是否平行或垂直：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)垂直，不平行(2)平行，不垂直(3)既不平行，又不垂直【分析】（1）根據(jù)來判斷；（2）根據(jù)存在實數(shù)使來判斷；（3）根據(jù)，且不存在實數(shù)使來判斷.(1),故與垂直，不平行；(2)存在實數(shù)使，故與平行，不垂直；(3)，又不存在實數(shù)使，故故與既不平行，又不垂直.26．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，是的中點，是的中點.(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并確定、、三點的坐標(biāo)；(2)求證：.【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得出、、三點的坐標(biāo)；（2）利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可證得結(jié)論成立.(1)解：以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、.(2)證明：依題意可得、，則，，所以，，所以.【能力提升】一、單選題1．（2022·江蘇淮安·高二期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動點，，若∠BMD為鈍角，則實數(shù)t可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用即可求解.【詳解】分別以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，，故，,，,由可知，，即，又因為為鈍角，所以，由,,可知，，，整理得，解得，故選：D.2．（2022·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.【詳解】，，則，由，可得，解之得故選：B3．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體的棱長為6，點為的中點，點為底面上的動點，滿足的點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得動點的軌跡為線段即可得結(jié)果.【詳解】分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，由得，即，由于，所以，，所以點的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，由圖知：，故選：B.4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若平面?的法向量分別為，，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面垂直可知法向量垂直，利用數(shù)量積為0求解即可.【詳解】,平面?的法向量分別為，，，,解得，故選：D二、多選題5．（2022·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（

）A．當(dāng)在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．當(dāng)直線與平面所成的角為45°時，點的軌跡長度為D．若是的中點，當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是【答案】AC【分析】A.由四棱錐的高和底面積判斷；B.根據(jù)是等邊三角形判斷；C.根據(jù)直線與平面所成的角為，結(jié)合正方體的特征判斷；D.建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)進行判斷.【詳解】A.當(dāng)在平面上運動時，點到面的距離不變，不變，故四棱錐的體積不變，故A正確；B.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，則，設(shè)與所成的角為，則，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，綜上：，所以與所成角的取值范圍是，故B錯誤；C.因為直線與平面所成的角為，若點在平面和平面內(nèi)，因為最大，不成立；在平面內(nèi)，點的軌跡是，在平面內(nèi)，點的軌跡是，在平面時，如圖所示：，作平面，因為，所以，又，所以，則，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的四分之一圓，所以點的軌跡長度為，所以點的軌跡總長度為長度為，故C正確；D.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，因為平面，所以，即，所以，當(dāng)時，等號成立，故D錯誤；故選：AC.6．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高二期中）若l1，l2，l3是三條互相平行的直線，l1與l2之間距離為1，l1與l3之間距離為1，l2與l3之間距離為，A，B是直線l1上的點，且，C，D分別是直線l2，l3上的點，則（

）A．的面積是定值 B．面積的最小值是C．三棱錐的體積是 D．【答案】ABD【分析】構(gòu)造直三棱柱中，使得且，則可以看做所在直線，可以看做所在直線，可以看做所在直線，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面積公式及錐體的體積公式判斷A、B、C，再根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算判斷D；【詳解】解：如圖所示直三棱柱中，且，則可以看做所在直線，可以看做所在直線，可以看做所在直線，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，則，，對于A：因為，且，即到的距離均為，所以為定值，故A正確；依題意即為在底面的投影，所以，即面積的最小值是，故B正確；因為點到平面的距離，所以，故C錯誤；所以，，所以，故D正確；故選：ABD7．（2022·廣東廣州·高二期末）已知正方體ABCD－EFGH棱長為2，M為棱CG的中點，P為底面EFGH上的動點，則（

）A．存在點P，使得B．存在唯一點P，使得C．當(dāng)，此時點P的軌跡長度為D．當(dāng)P為底面EFGH的中心時，三棱錐P－ABM的外接球體積為【答案】BCD【分析】以D為原點，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y，2），然后利用向量可判斷ABC的正誤，當(dāng)P為底面EFGH的中心時，外接球球心為棱AM的中點，然后可判斷D.【詳解】以D為原點，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz．A（2，0，0），M（0，2，1），設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y，2）（），，為求的最小值，找出點A關(guān)于平面EFGH的對稱點，設(shè)該點為，則點坐標(biāo)為∴故A選項錯誤．由可得故B選項正確．時，即，此時由點P坐標(biāo)為得到點P軌跡是連接棱EF中點與棱EH中點的線段，其長度為線段HF的一半，即長為．故C選項正確．當(dāng)P為底面EFGH的中心時，由B選項知．易得．∴外接球球心為棱AM的中點，從而求得球半徑為．故D選項正確．故選：BCD．三、填空題8．（2021·吉林油田高級中學(xué)高二開學(xué)考試）若向量，，則______．【答案】19【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算，求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得答案.【詳解】∵，，∴，∴,故答案為：199．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，則實數(shù)的值為____．【答案】或【分析】利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于實數(shù)的方程，解之即可求得實數(shù)的值【詳解】，，，解得或．故答案為：或．10．（2022·福建·漳州市第一外國語學(xué)校高二期末）如圖所示，長方體的底面是邊長為1的正方形，長方體的高為2，E?F分別在?AC上，且，則直線EF與直線的距離為___________.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，由求得，連接并延長交于，在中，作于，由余弦定理求得，再由三角形知識求得即可求解.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，又，則，則，又，則，解得，則，連接并延長交于，由得為中點，同理可得連接并延長也交于點，，畫出的平面圖，作于，由余弦定理得，則，，又，則直線EF與直線的距離為.故答案為：.【點睛】本題關(guān)鍵點在于先建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共線的坐標(biāo)運算求得，進而在中，由余弦定理及平方關(guān)系求得，再由三角形知識求解即可.11．（2021·安徽·高二期中）如圖，正三棱柱的各棱長均為1，點和點分別為棱和棱的中點，先將底面置于平面內(nèi)，再將三棱柱繞旋轉(zhuǎn)一周，則以下結(jié)論正確的是___________（填入正確結(jié)論對應(yīng)的序號）.①設(shè)向量旋轉(zhuǎn)后的向量為，則②點的軌跡是以為半徑的圓③設(shè)①中的在平面上的投影向量為，則的取值范圍是④直線在平面內(nèi)的投影與直線所成角的余弦值的取值范圍是【答案】①②③【分析】利用坐標(biāo)法，由可得，利用模長公式可判斷①②，利用投影向量的概念可得，可判斷③，利用夾角公式可判斷④.【詳解】如圖，取棱的中點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，繞著旋轉(zhuǎn)即繞著軸旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的向量為，則，①正確；設(shè)，則，，點的軌跡是以為半徑的圓，②正確；由題知，在平面上的投影向量即為其在平面上的投影向量，，③正確；設(shè)直線在平面內(nèi)的投影與直線所成的角為，則，④錯誤.故答案為：①②③.12．（2022·浙江·安吉縣上墅私立高級中學(xué)高二期末）已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.【答案】【分析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.【詳解】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當(dāng)，的最小值是2，所以，取，，，當(dāng)時，最小值為.故答案為：.13．（2021·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，過點A的平面分別與棱，，交于點E，F(xiàn)，G，記四邊形AEFG在平面上的正投影的面積為，四邊形AEFG在平面上的正投影的面積為.給出下面四個結(jié)論：①四邊形AEFG是平行四邊形；②的最大值為2；③的最大值為；④四邊形AEFG可以是菱形，且菱形面積的最大值為.則其中所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】①③④【分析】對①，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可判斷答案；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后根據(jù)①得到的關(guān)系，進而判斷②，然后結(jié)合基本不等式判斷③，最后根據(jù)菱形的對角線互相垂直