高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)題型和提分秘籍 專題15 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值及在實(shí)際生活中的應(yīng)用 理（含解析）

專題十五導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值及在實(shí)際生活中的應(yīng)用【高頻考點(diǎn)解讀】1.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)．2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題．【熱點(diǎn)題型】題型一函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)例1、已知a∈R，函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx－1.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值．【提分秘籍】1.極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點(diǎn)取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值．2.求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值關(guān)鍵是判斷函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，但要注意極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，還要與端點(diǎn)值比較，對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)最值，要注意分類討論．【舉一反三】已知函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(2,x)－3lnx，其中a為常數(shù)．(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))))處的切線的斜率為1時(shí)，求函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍；【熱點(diǎn)題型】題型二生活中的優(yōu)化問題例2、某商場根據(jù)調(diào)查，估計(jì)家電商品從年初(1月)開始的x個(gè)月內(nèi)累計(jì)的需求量p(x)(單位：百件)滿足p(x)＝eq\f(x,2)(39x－2x2＋41)(1≤x≤12且x∈N*)．(1)求第x個(gè)月的需求量f(x)的表達(dá)式；(2)若第x個(gè)月的銷售量滿足g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－21x1≤x<7，x∈N*,\f(x2,ex)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－10x＋96))7≤x≤12，x∈N*))(單位：百件)，每件利潤q(x)＝100ex－6元，求該商場銷售該商品，第幾個(gè)月的月利潤達(dá)到最大值，最大是多少？(e6取值為403)【提分秘籍】利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，根據(jù)實(shí)際意義確定定義域；(2)求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定義域內(nèi)的實(shí)根，確定極值點(diǎn)；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值大小，獲得所求的最大(小)值；(4)還原到原實(shí)際問題中作答．【舉一反三】某玩具廠生產(chǎn)一種兒童智力玩具，每個(gè)玩具的材料成本為20元，加工費(fèi)為t元(t為常數(shù)，且2≤t≤5)，出廠價(jià)為x元(25≤x≤40)．根據(jù)市場調(diào)查知，日銷售量q(單位：個(gè))與ex成反比，且當(dāng)每個(gè)玩具的出廠價(jià)為30元時(shí)，日銷售量為100個(gè)．(1)求該玩具廠的日利潤y元與每個(gè)玩具的出廠價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若t＝5，則每個(gè)玩具的出廠價(jià)x為多少元時(shí)，該工廠的日利潤y最大？并求最大值．解析：(1)設(shè)日銷量q＝eq\f(k,ex)(k≠0)，則eq\f(k,e30)＝100，∴k＝100e30，∴日銷量q＝eq\f(100e30,ex)，∴y＝eq\f(100e30x－20－t,ex)(25≤x≤40)．【熱點(diǎn)題型】題型三不等式的證明問題例3、已知函數(shù)f(x)＝lnx＋mx2(m∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若m＝0，A(a，f(a))、B(b，f(b))是函數(shù)f(x)圖象上不同的兩點(diǎn)，且a>b>0，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求證：f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))<eq\f(fa－fb,a－b)<f′(b)；(2)易知原不等式等價(jià)于eq\f(2,a＋b)<eq\f(fa－fb,a－b)<eq\f(1,b)，要證eq\f(fa－fb,a－b)<eq\f(1,b)，只需證lneq\f(a,b)<eq\f(a,b)－1，令eq\f(a,b)＝t>1，即證lnt－t＋1<0，令g(t)＝lnt－t＋1，則g′(t)＝eq\f(1,t)－1<0，因此g(t)<g(1)＝0，eq\f(fa－fb,a－b)<eq\f(1,b)得證．【提分秘籍】1．要證明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，則F(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)≤0，由減函數(shù)的定義，可知對(duì)任意的x∈(a，b)，有F(x)<0，即證明了f(x)<g(x)．2．對(duì)于和形式的不等式的證明，一般地根據(jù)條件先構(gòu)造一恒成立的不等式，將和式拆解，再利用同向不等式的可加性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化放縮以證明結(jié)論．【舉一反三】已知函數(shù)f(x)＝alnx＋1(a>0)．(1)當(dāng)x>0時(shí)，求證：f(x)－1≥aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))；(2)在區(qū)間(1，e)上f(x)>x恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；(3)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求證：f(2)＋f(3)＋…＋f(n＋1)>2(n＋1－eq\r(n＋1))(n∈N*)．【熱點(diǎn)題型】題型四由不等式恒成立求參數(shù)范圍例4、設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－bx.(1)當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值；(2)令F(x)＝f(x)＋eq\f(1,2)ax2＋bx＋eq\f(a,x)(0<x≤3)，其圖象上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處切線的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；【提分秘籍】利用不等式恒成立求參數(shù)范圍的方法(1)根據(jù)不等式分離參數(shù)．(2)利用分離參數(shù)后的不等式構(gòu)造新函數(shù)F(x)．(3)判斷F(x)的單調(diào)性及求其最值．(4)根據(jù)參數(shù)m≥F(x)max或m≥F(x)min求參數(shù)范圍．【熱點(diǎn)題型】題型五由不等式存在成立求參數(shù)范圍例5、已知函數(shù)f(x)＝axsinx＋cosx，且f(x)在x＝eq\f(π,4)處的切線斜率為eq\f(\r(2)π,8).(1)求a的值，并討論f(x)在[－π，π]上的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝ln(mx＋1)＋eq\f(1－x,1＋x)，x≥0，其中m>0，若對(duì)任意的x1∈[0，＋∞)總存在x2∈[0，eq\f(π,2)]，使得g(x1)≥f(x2)成立，求m的取值范圍．【提分秘籍】1．對(duì)于任意x1∈D1存在x2∈D2使得g(x1)≥f(x2)成立其解決方法是：(1)求出g(x)在D1的最大值．(2)求出f(x)在D2的最小值．(3)轉(zhuǎn)化g(x)大≥f(x)小，求出參數(shù)范圍．2．若存在成立的不等式中參數(shù)可得如M≥F(x)，則只需求出F(x)的最小值可解決問題．【舉一反三】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,2x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－x－1.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M，求滿足該不等式的最大整數(shù)M；(2)如果對(duì)任意的s，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【高考風(fēng)向標(biāo)】1．（·四川卷）已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，則g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，解得e－2<a<1.2．（·安徽卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值．(2)因?yàn)閍>0，所以x1<0，x2>0，①當(dāng)a≥4時(shí)，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值．②當(dāng)0<a<4時(shí)，x2<1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上單調(diào)遞增，在[x2，1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在x＝x2＝eq\f(－1＋\r(4＋3a),3)處取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在x＝1處取得最小值；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在x＝0和x＝1處同時(shí)取得最小值；當(dāng)1<a<4時(shí)，f(x)在x＝0處取得最小值．3．（·北京卷）已知函數(shù)f(x)＝xcosx－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求證：f(x)≤0；(2)若a<eq\f(sinx,x)<b對(duì)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立，求a的最大值與b的最小值．因?yàn)間(x)在區(qū)間(0，x0)上是增函數(shù)，所以g(x0)>g(0)＝0.進(jìn)一步，“g(x)>0對(duì)任意x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1－eq\f(π,2)c≥0，即0<c≤eq\f(2,π).綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)c≤eq\f(2,π)時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c≥1時(shí)，g(x)<0對(duì)任意x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立．所以，若a<eq\f(sinx,x)<b對(duì)任意x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立，則a的最大值為eq\f(2,π)，b的最小值為1.4．（·福建卷）已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a為常數(shù))的圖像與y軸交于點(diǎn)A，曲線y＝f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為－1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，x2<ex；(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，恒有x2<cex.5．（·湖北卷）π為圓周率，e＝2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求e3，3e，eπ，πe，，3π，π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；(3)將e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論．【解析】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．因?yàn)閒(x)＝eq\f(lnx,x)，所以f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).當(dāng)f′(x)>0，即0<x<e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f′(x)<0，即x>e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)．即這6個(gè)數(shù)從小到大的順序?yàn)?e，e3，πe，eπ，π3，3π.6．（·湖南卷）已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f(x)＝ln(1＋ax)－eq\f(2x,x＋2).(1)討論f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范圍．令2a－1＝x.由0<a<1且a≠eq\f(1,2)知，當(dāng)0<a<eq\f(1,2)時(shí)，－1<x<0；當(dāng)eq\f(1,2)<a<1時(shí)，0<x＜1.記g(x)＝lnx2＋eq\f(2,x)－2.7．（·江西卷）已知函數(shù)f(x)＝(x2＋bx＋b)eq\r(1－2x)(b∈R)．(1)當(dāng)b＝4時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．8．（·遼寧卷）當(dāng)x∈[－2，1]時(shí)，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－5，－3]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，－\f(9,8)))C．[－6，－2]D．[－4，－3]【答案】C【解析】當(dāng)－2≤x<0時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為a≤eq\f(x2－4x－3,x3)，令f(x)＝eq\f(x2－4x－3,x3)(－2≤x<0)，則f′(x)＝eq\f(－x2＋8x＋9,x4)＝eq\f(－（x－9）（x＋1）,x4)，故f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，在(－1，0)上單調(diào)遞增，此時(shí)有a≤eq\f(1＋4－3,－1)＝－2.當(dāng)x＝0時(shí)，g(x)恒成立．當(dāng)0<x≤1時(shí)，a≥eq\f(x2－4x－3,x3)，令個(gè)g(x)＝eq\f(x2－4x－3,x3)(0<x≤1)，則g′(x)＝eq\f(－x2＋8x＋9,x4)＝eq\f(－（x－9）（x＋1）,x4)，故g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，此時(shí)有a≥eq\f(1－4－3,1)＝－6.綜上，－6≤a≤－2.9．（·全國卷）函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(ax,x＋a)(a>1)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，證明：eq\f(2,n＋2)<an≤eq\f(3,n＋2).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝ln(ak＋1)>lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k＋2)＋1))>eq\f(2×\f(2,k＋2),\f(2,k＋2)＋2)＝eq\f(2,k＋3)，ak＋1＝ln(ak＋1)≤lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k＋2)＋1))<eq\f(3×\f(3,k＋2),\f(3,k＋2)＋3)＝eq\f(3,k＋3)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有eq\f(2,k＋3)<ak＋1≤eq\f(3,k＋3)，結(jié)論成立．根據(jù)(i)(ii)知對(duì)任何n∈結(jié)論都成立．10．（·新課標(biāo)全國卷Ⅰ）已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)11．（·新課標(biāo)全國卷Ⅰ）設(shè)函數(shù)f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)>1.12．（·新課標(biāo)全國卷Ⅱ）已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x－2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)＝f(2x)－4bf(x)，當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞0，求b的最大值；(3)已知1.4142＜eq\r(2)＜1.4143，估計(jì)ln2的近似值(精確到0.001)．13．（·山東卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x2)－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋lnx))(k為常數(shù)，e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（0）>0，,g（lnk）<0，,g（2）>0，,0<lnk<2，))解得e<k<eq\f(e2,2).綜上所述，函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(e2,2))).14．（·陜西卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表達(dá)式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)n∈N＋，比較g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f(n)的大小，并加以證明．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．故有l(wèi)n2－ln1>eq\f(1,2)，ln3－ln2>eq\f(1,3)，……ln(n＋1)－lnn>eq\f(1,n＋1)，上述各式相加可得ln(n＋1)>eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n＋1)，結(jié)論得證．結(jié)論得證．15．（·天津卷）設(shè)f(x)＝x－aex(a∈R)，x∈R.已知函數(shù)y＝f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.(1)求a的取值范圍；(2)證明：eq\f(x2,x1)隨著a的減小而增大；(3)證明：x1＋x2隨著a的減小而增大．這時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－lna)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－lna，＋∞)．于是，“函數(shù)y＝f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于如下條件同時(shí)成立：①f(－lna)>0；②存在s1∈(－∞，－lna)，滿足f(s1)<0；③存在s2∈(－lna，＋∞)，滿足f(s2)<0.由f(－lna)>0，即－lna－1>0，解得0<a<e－1.而此時(shí)，取s1＝0，滿足s1∈(－∞，－lna)，且f(s1)＝－a<0；取s2＝eq\f(2,a)＋lneq\f(2,a)，滿足s2∈(－lna，＋∞)，且f(s2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)－e\f(2,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(2,a)－e\f(2,a)))<0.故a的取值范圍是(0，e－1)．16．（·浙江卷）已知函數(shù)f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)．(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分別記為M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；(2)設(shè)b∈R，若[f(x)＋b]2≤4對(duì)x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b所以由(1)知，(i)當(dāng)a≤－1時(shí)，h(x)在(－1，1)上是增函數(shù)，h(x)在[－1，1]上的最大值是h(1)＝4－3a＋b，最小值是h(－1)＝－4－3a＋b，則－4－3a＋b≥－2且4－3a＋17．（·重慶卷）已知函數(shù)f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù)，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的斜率為4－c.(1)確定a，b的值；(2)若c＝3，判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(x)有極值，求c的取值范圍．當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>x2時(shí)，f′(x)>0.從而f(x)在x＝x2處取得極小值．綜上，若f(x)有極值，則c的取值范圍為(4，＋∞)．18．（·安徽卷）設(shè)函數(shù)fn(x)＝－1＋x＋eq\f(x2,22)＋eq\f(x3,32)＋…＋eq\f(xn,n2)(x∈R，n∈N*)．證明：(1)對(duì)每個(gè)n∈N*，存在唯一的xn∈eq\f(2,3)，1，滿足fn(xn)＝0；(2)對(duì)任意p∈N*，由(1)中xn構(gòu)成的數(shù)列{xn}滿足0<xn－xn＋p<eq\f(1,n).19．（·安徽卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，區(qū)間I＝{x|f(x)>0}．(1)求I的長度(注：區(qū)間(α，β)的長度定義為β－α)；(2)給定常數(shù)k∈(0，1)，當(dāng)1－k≤a≤1＋k時(shí)，求I長度的最小值．20．（·安徽卷）若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)＝x1，則關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是()A．3B．4C．5D．621．（·福建卷）已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值．22．（·湖北卷）設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值；(2)證明：eq\f(nr＋1－（n－1）r＋1,r＋1)<nr<eq\f(（n＋1）r＋1－nr＋1,r＋1)；(3)設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[2]＝2，[π]＝4，－eq\f(3,2)＝－1.令S＝eq\r(3,81)＋eq\r(3,82)＋eq\r(3,83)＋…＋eq\r(3,125)，求[S]的值．(參數(shù)數(shù)據(jù)：80eq\f(4,3)≈344.7，81eq\f(4,3)≈350.5，124eq\f(4,3)≈618.3，126eq\f(4,3)≈631.7)23．（·湖北卷）已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，則()A．f(x1)>0，f(x2)>－eq\f(1,2)B．f(x1)<0，f(x2)<－eq\f(1,2)C．f(x1)>0，f(x2)<－eq\f(1,2)D．f(x1)<0，f(x2)>－eq\f(1,2)【解析】D【解析】f′(x)＝lnx－(2ax－1)＝0lnx＝2ax－1，函數(shù)y＝lnx與函數(shù)y＝2ax－1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，令y1＝lnx，y2＝2ax－1，在同一坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，顯然a≤0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，故a>0，此時(shí)當(dāng)直線的斜率逐漸變大直到直線y＝2ax－1與曲線y＝lnx相切時(shí)，兩函數(shù)圖像均有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，y′1＝eq\f(1,x)，故曲線y＝lnx上的點(diǎn)(x0，lnx0)處的切線方程是y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，該直線過點(diǎn)(0，－1)，則－1－lnx0＝－1，解得x0＝1，故過點(diǎn)(0，－1)的曲線y＝lnx的切線斜率是1，故2a＝1，即a＝eq\f(1,2)，所以a的取值范圍是0，eq\f(1,2).因?yàn)?<x1<1<x2，當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)遞增，f(1)＝－a，f(x1)<f(1)＝－a<0，f(x2)>f(1)＝－a>－eq\f(1,2)，選D.24．（·江西卷）已知函數(shù)f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))，a為常數(shù)且a>0.(1)證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對(duì)稱；(2)若x0滿足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的二階周期點(diǎn)．如果f(x)有兩個(gè)二階周期點(diǎn)x1，x2，試確定a的取值范圍；(3)對(duì)于(2)中的x1，x2和a，設(shè)x3為函數(shù)f(f(x))的最大值點(diǎn)，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．記△ABC的面積為S(a)，討論S(a)的單調(diào)性．當(dāng)a>eq\f(1,2)時(shí)，有f(f(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a2x，x≤\f(1,4a)，,2a－4a2x，\f(1,4a)<x≤\f(1,2)，,2a（1－2a）＋4a2x，\f(1,2)<x≤\f(4a－1,4a)，,4a2－4a2x，x>\f(4a－1,4a).))所以f(f(x))＝x有四個(gè)解0，eq\f(2a,1＋4a2)，eq\f(2a,1＋2a)，eq\f(4a2,1＋4a2)，又f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,1＋2a)))＝eq\f(2a,1＋2a)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,1＋4a2)))≠eq\f(2a,1＋4a2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a2,1＋4a2)))≠eq\f(4a2,1＋4a2)，故只有eq\f(2a,1＋4a2)，eq\f(4a2,1＋4a2)是f(x)的二階周期點(diǎn)．綜上所述，所求a的取值范圍為a>eq\f(1,2).25．（·北京卷）設(shè)L為曲線C：y＝eq\f(lnx,x)在點(diǎn)(1，0)處的切線．(1)求L的方程；(2)證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線C在直線L的下方．【解析】解：(1)設(shè)f(x)＝eq\f(lnx,x)，則f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).所以f′(1)＝1.所以L的方程為y＝x－1.(2)令g(x)＝x－1－f(x)，則除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方等價(jià)于g(x)>0(x>0，x≠1)．g(x)滿足g(1)＝0，且26．（·遼寧卷）已知函數(shù)f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋eq\f(x3,2)＋1＋2xcosx．當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，(1)求證：1－x≤f(x)≤eq\f(1,1＋x)；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．從而當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，G′(x)＜G′(0)＝0，故G(x)在[0，1]上是減函數(shù)．于是G(x)≤G(0)＝2.從而a＋1＋G(x)≤a＋3，所以，當(dāng)a≤－3時(shí)，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面證明，當(dāng)a＞－3時(shí)，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤eq\f(1,1＋x)－1－ax－eq\f(x3,2)－2xcosx＝eq\f(－x,1＋x)－ax－eq\f(x3,2)－2xcosx＝－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋x)＋a＋\f(x2,2)＋2cosx)).記I(x)＝eq\f(1,1＋x)＋a＋eq\f(x2,2)＋2cosx＝eq\f(1,1＋x)＋a＋G(x)，則I′(x)＝eq\f(－1,（1＋x）2)＋G′(x)．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，I′(x)＜0.故I(x)在[0，1]上是減函數(shù)，于是I(x)在[0，1]上的值域?yàn)閇a＋1＋2cos1，a＋3]．因?yàn)楫?dāng)a＞－3時(shí)，a＋3＞0，所以存在x0∈(0，1)，使得I(x0)＞0，此時(shí)f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]．下面證明，當(dāng)a＞－3時(shí)，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因?yàn)?7．（·遼寧卷）設(shè)函數(shù)f(x)滿足x2f′(x)＋2xf(x)＝eq\f(ex,x)，f(2)＝eq\f(e2,8)，則x>0時(shí)，f(x)()A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值28．（·全國卷）已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(x（1＋λx）,1＋x).(1)若x≥0時(shí)f(x)≤0，求λ的最小值；(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，證明：a2n－an＋eq\f(1,4n)＞ln2.29．（·全國卷）若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A．[－1，0]B．[－1，＋∞)C．[0，3]D．[3，＋∞)30．（·山東卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,e2x)＋c(e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，c∈R)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值；(2)討論關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)．綜上所述，當(dāng)c<－e－2時(shí)，關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)c＝－e－2時(shí)，關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)c>－e－2時(shí)，關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)為2.31．（·陜西卷）已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R.(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切，求實(shí)數(shù)k的值；(2)設(shè)x>0，討論曲線y＝f(x)與曲線y＝mx2(m>0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)設(shè)a<b，比較eq\f(f（a）＋f（b）,2)與eq\f(f（b）－f（a）,b－a)的大小，并說明理由．綜上所述，x>0時(shí)，若0<m<eq\f(e2,4)，曲線y＝f(x)與y＝mx2沒有公共點(diǎn)；若m＝eq\f(e2,4)，曲線y＝f(x)與y＝mx2有一個(gè)公共點(diǎn)；若m>eq\f(e2,4)，曲線y＝f(x)與y＝mx2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)x>0時(shí)，u(x)>u(0)＝0.令x＝b－a，則得(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2>0，∴eq\f(eb＋ea,2)－eq\f(eb－ea,b－a)>0，因此，eq\f(f（a）＋f（b）,2)>eq\f(f（b）－f（a）,b－a).32．（·四川卷]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋a，x<0，,lnx，x>0，))其中a是實(shí)數(shù)．設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))為該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，且x1<x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x2<0，求x2－x1的最小值；(3)若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍．33．（·四川卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(ex＋x－a)(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．若曲線y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y(tǒng)0，則a的取值范圍是()A．[1，e]B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]【答案】A【解析】因?yàn)閥0＝sinx0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意義時(shí))是增函數(shù)，對(duì)于y0∈[－1，1]，如果f(y0)＝c＞y0，則f(f(y0))＝f(c)＞f(y0)＝c＞y0，不可能有f(f(y0))＝y(tǒng)0.同理，當(dāng)f(y0)＝d＜y0時(shí)，則f(f(y0))＝f(d)＜f(y0)＝d＜y0，也不可能有f(f(y0))＝y(tǒng)0，因此必有f(y0)＝y(tǒng)0，即方程f(x)＝x在[－1，1]上有解，即eq\r(ex＋x－a)＝x在[－1，1]上有解．顯然，當(dāng)x＜0時(shí)，方程無解，即需要eq\r(ex＋x－a)＝x在[0，1]上有解．當(dāng)x≥0時(shí)，兩邊平方得ex＋x－a＝x2，故a＝ex－x2＋x.記g(x)＝ex－x2＋x，則g′(x)＝ex－2x＋1.當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))時(shí)，ex＞eq\r(e)＞1，0>－2x＋1≥－1，故g′(x)＞0.綜上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上為增函數(shù)，值域?yàn)閇1，e]，從而a的取值范圍是[1，e]．34．（·四川卷）函數(shù)y＝eq\f(x3,3x－1)的圖像大致是()圖1－535．（·天津卷）已知函數(shù)f(x)＝x2lnx.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對(duì)任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；(3)設(shè)(2)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s＝g(t)．證明：當(dāng)t>e2時(shí)，有eq\f(2,5)<eq\f(lng（t）,lnt)<eq\f(1,2).(2)證明：當(dāng)0<x≤1時(shí)，f(x)≤0，設(shè)t>0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．由(1)知，h(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．h(1)＝－t<0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)>0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．36．（·天津卷）已知函數(shù)f(x)＝x(1＋a|x|)，設(shè)關(guān)于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集為A，若－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\f(1－\r(5),2)，0B.eq\f(1－\r(3),2)，0C.eq\f(1－\r(5),2)，0∪0，eq\f(1＋\r(3),2)D．－∞，eq\f(1－\r(5),2)在x<0時(shí)，f(x)＝－ax2＋x，f(x＋a)＝－a(x＋a)2＋x＋a，令f(x)＝f(x＋a)，則x＝eq\f(1－a2,2a)，令eq\f(1－a2,2a)<eq\f(1,2)，可得a2＋a－1<0，故eq\f(1－\r(5),2)<a<0.37．（·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)設(shè)x＝0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)＞0.38．（·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．【答案】－49【解析】由已知，a1＋a10＝0，a1＋a15＝eq\f(10,3)d＝eq\f(2,3)，a1＝－3，∴nSn＝eq\f(n3－10n2,3)，易得n＝6或n＝7時(shí)，nSn出現(xiàn)最小值．當(dāng)n＝6時(shí)，nSn＝－48；n＝7時(shí)，nSn＝－49.故nSn的最小值為－49.39．（·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．x0∈R，f(x0)＝0B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減D．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)＝040．（·浙江卷）已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，則()A．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值B．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值C．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值D．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值41．（·重慶卷）設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0，6)．(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．(2)由(1)知，f(x)＝eq\f(1,2)(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋eq\f(6,x)＝eq\f(（x－2）（x－3）,x)，令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.當(dāng)0＜x＜2或x＞3時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(2，3)上為減函數(shù)．由此可知，f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝eq\f(9,2)＋6ln2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln3.【隨堂鞏固】1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，則a的值為()A.eq\r(2)B．1C．－1D．0【答案】B【解析】因?yàn)閒′(x)＝2ax，