江蘇省南京市棲霞區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)模試卷（含解析）

江蘇省南京市棲霞區(qū)重點名校2024年中考數(shù)學(xué)模試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.若等式（-5）口5―1成立，貝后內(nèi)的運算符號為（）

A.+B.—C.xD.4-

2.若關(guān)于x、y的方程組xIy=.k尸4有實數(shù)解'則實數(shù)k的取值范圍是（）

A.k>4B.k<4C.k<4D.k>4

3.下列方程有實數(shù)根的是（）

A.X4+2=0VX2-2=-1

C.x+2x—1=0

x—1x—1

使CE=gcD,過點B作BF〃DE,與AE的延長線

4.如圖，ZACB=90°,D為AB的中點,連接DC并延長到E,

交于點F,若AB=6,則BF的長為（）

5.如圖，在AABC中，邊上的高是（）

B.BHC.CDD.AF

6.如圖，一個斜邊長為10cm的紅色三角形紙片，一個斜邊長為6cm的藍色三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，拼

成一個直角三角形，則紅、藍兩張紙片的面積之和是（）

黃

*-------lOrm--------]

A.60cm2B.50cm2C.40cm2D.30cm2

7.已知x2+mx+25是完全平方式，則m的值為（）

A.10B.±10C.20D.±20

8.圓錐的底面直徑是80cm,母線長90c帆，則它的側(cè)面積是

A.36071cm2B.12071cm2C.ISOO^cm2D.3600^cm2

9.已知圓內(nèi)接正三角形的面積為3B，則邊心距是（）

A.2B.1C.73D.

~T

10.如圖，圓O是等邊三角形內(nèi)切圓，則/BOC的度數(shù)是（）

A

BC

A.60°B.100°C.110°D.120°

11.一元二次方程3x2-6x+4=0根的情況是

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

12.如圖是由5個大小相同的正方體搭成的幾何體，這個幾何體的俯視圖是（）

/

從正面看

B.^‘JT

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.關(guān)于工的一元二次方程4/+4依+a+l=O有兩個相等的實數(shù)根，則且出

的值等于

a—1

1

14.若式子仁―彳有意義,則x的取值范圍是____.

j2x+3

15.若一組數(shù)據(jù)1,2,3,x的平均數(shù)是2,則x的值為.

16.如圖，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60。、45°,如果無人機距地面高度CD為10。6米，

點A、D、B在同一水平直線上，則A、B兩點間的距離是米.（結(jié)果保留根號）

17.若式子七日有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

x

18.設(shè)西、々是一元二次方程V—5x—1=0的兩實數(shù)根，則再2+%2的值為.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60。角，在離電線桿6米的B處

安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30。，已知測角儀高AB為1.5米，求拉線CE的長（結(jié)果保留根號）.

4x-3y=11,①

20.（6分）解方程組

2x+y=13.②

21.（6分）某海域有A、B兩個港口，B港口在A港口北偏西30。方向上，距A港口60海里，有一艘船從A港口出

發(fā),沿東北方向行駛一段距離后，到達位于B港口南偏東75。方向的C處，求：

（1）ZC=°；

（2）此時刻船與B港口之間的距離CB的長（結(jié)果保留根號）.

22.(8分)深圳某書店為了迎接“讀書節(jié)”制定了活動計劃，以下是活動計劃書的部分信息:

“讀書節(jié)“活動計劃書

書本類別科普類文學(xué)類

進價」(單位：元)1812

(1)用不超過16800元購進兩類圖書共1000本；科普類圖書不少于600

備注本；

(1)已知科普類圖書的標(biāo)價是文學(xué)類圖書標(biāo)價的L5倍，若顧客用540元購買的圖書，能單獨購買科普類圖書的數(shù)量

恰好比單獨購買文學(xué)類圖書的數(shù)量少10本，請求出兩類圖書的標(biāo)價；經(jīng)市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：他們高估了“讀書節(jié)”對圖書

銷售的影響，便調(diào)整了銷售方案，科普類圖書每本標(biāo)價降低。(0<a<5)元銷售，文學(xué)類圖書價格不變，那么書店應(yīng)

如何進貨才能獲得最大利潤？

23.(8分)程大位是珠算發(fā)明家，他的名著《直指算法統(tǒng)宗》詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用書中有如下問題：

一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁.意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果

大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，大、小和尚各有多少人？

24.(10分)如圖1,在菱形A3C。中，AB=6后,tan/A8C=2,點E從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿

著射線"4的方向勻速運動，設(shè)運動時間為秒)，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角a(a=N5CD),得到對應(yīng)

線段C尸.

(1)求證：BE=DF;

(2)當(dāng)/=秒時，O歹的長度有最小值，最小值等于;

(3)如圖2,連接8。、EF.BD交EC、E歹于點尸、Q,當(dāng)f為何值時，△EP0是直角三角形?

25.(10分)如圖，拋物線y=ax?-2ax+c(a/0)交x軸于A、B兩點，A點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,

4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G.

PM的長；在（2）的條件下，連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的

三角形和AAEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由.

1k

26.（12分）如圖，直線y=-x+2與雙曲線丫=—相交于點A（m,3）,與x軸交于點C.求雙曲線的解析式；點P在

2x

x軸上，如果AACP的面積為3,求點P的坐標(biāo).

27.（12分）如圖，為了測量建筑物AB的高度」，在D處樹立標(biāo)桿CD,標(biāo)桿的高是2m,在DB上選取觀測點E、F,

從E測得標(biāo)桿和建筑物的頂部C、A的仰角分別為58。、45°.從F測得C、A的仰角分別為22。、70°.求建筑物AB

的高度（精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：tan22°?0.40,tan58°~1.60,tan70°~2.1.）

DEB

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、D

【解析】

根據(jù)有理數(shù)的除法可以解答本題.

【詳解】

解：（-5）4-5=-1,

...等式（-5）口5=-1成立，貝！I口內(nèi)的運算符號為+,

故選D.

【點睛】

考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)的混合運算的計算方法.

2、C

【解析】

利用根與系數(shù)的關(guān)系可以構(gòu)造一個兩根分別是x,y的一元二次方程，方程有實數(shù)根，用根的判別式K）來確定左的取

值范圍.

【詳解】

解：""xy—k,x+y—4,

,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以構(gòu)造一個關(guān)于機的新方程，設(shè)x,y為方程近2一4〃?+左=0的實數(shù)根.

-4?C=16-4左>0,

解不等式16-4左20得

k<4.

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用和根與系數(shù)的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是了解方程組有實數(shù)根的意義.

3、C

【解析】

分析：根據(jù)方程解的定義，一一判斷即可解決問題；

詳解：A.,.,工4>0,...工4+2=0無解；故本選項不符合題意；

B.?；正一2*，：?&_2=T無解，故本選項不符合題意;

C.Vx2+2x-1=0,A=8=4=12>0,方程有實數(shù)根，故本選項符合題意；

Y1

D.解分式方程一匚=——，可得x=l,經(jīng)檢驗x=l是分式方程的增根，故本選項不符合題意.

x-1x-1

故選C.

點睛：本題考查了無理方程、根的判別式、高次方程、分式方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考

?？碱}型.

4、C

【解析】

VZACB=90°,D為AB的中點，AB=6,

1

?\CD=-AB=1.

2

r1

又CE=—CD,

3

/.CE=1,

/.ED=CE+CD=2.

又,；BF〃DE,點D是AB的中點，

?,.ED是4AFB的中位線，

/.BF=2ED=3.

故選C.

5、D

【解析】

根據(jù)三角形的高線的定義解答.

【詳解】

根據(jù)高的定義，A歹為AABC中邊上的高.

故選D.

【點睛】

本題考查了三角形的高的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

6、D

【解析】

標(biāo)注字母，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得NB=NAED,然后求出△ADE和△EFB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊

DE5EF5

成比例求出一=—，即一=一，設(shè)BF=3a,表示出EF=5a,再表示出BC、AC,利用勾股定理列出方程求出a的

BF3BF3

值，再根據(jù)紅、藍兩張紙片的面積之和等于大三角形的面積減去正方形的面積計算即可得解.

【詳解】

解:如圖，?.?正方形的邊DE〃CF,

/.ZB=ZAED,

,-,ZADE=ZEFB=90°,

/.△ADE-^AEFB,

.DE_AE_5

??而一而一%一3'

?EF_5

??——9

BF3

設(shè)BF=3a,貝!|EF=5a,

/.BC=3a+5a=8a,

540

AC=8ax—=a,

33

在RtAABC中，AC】+BCi=ABi,

40

即(一a)U(8a)i=(10+6)b

3

1Q

解得/=3，

140

紅、藍兩張紙片的面積之和=一x—ax8a-(5a)\

23

160,,

=-----a1-lSa1,

3

85,

=—a',

3

8518

——X--f

317

=30cm1.

故選D.

【點睛】

本題考查根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直角三角形的兩直角邊，利用紅、藍兩張紙片的面積之和等于大三角形的面積減

去正方形的面積求解是關(guān)鍵.

7、B

【解析】

根據(jù)完全平方式的特點求解：a2±2ab+b2.

【詳解】

*.,X2+?IX+25是完全平方式，

,'.m=±10,

故選B.

【點睛】

本題考查了完全平方公式:層±2而+眄其特點是首平方，尾平方，首尾積的兩倍在中央，這里首末兩項是x和1的平方,

那么中間項為加上或減去x和1的乘積的2倍.

8、D

【解析】

圓錐的側(cè)面積=；x807rx90=360(hr(cm2).

故選D.

9、B

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，連接4。并延長交5c于點。，則設(shè)。。=x,由三角形重心的性質(zhì)得AZ>=3x,利用銳

角三角函數(shù)表示出50的長，由垂徑定理表示出5c的長，然后根據(jù)面積法解答即可.

【詳解】

如圖，

A

連接4。并延長交3C于點。，則

設(shè)OD=x,貝!|AD=3x,

BD

?:tanZBAZ)=-----,

AD

/.BD-tan30°*AD=Mx,

：.BC=2BD=2y/3x9

?:LBCAD=36,

2

1「「

:.—x2>/3xx3x=3，3，

/.x=l

所以該圓的內(nèi)接正三邊形的邊心距為1,

故選B.

【點睛】

本題考查正多邊形和圓，三角形重心的性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，面積法求線段的長，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，求出相應(yīng)的圖形的邊心距.

10、D

【解析】

由三角形內(nèi)切定義可知OB、OC是NABC、NACB的角平分線，所以可得到關(guān)系式NOBC+NOCB=，

2

(ZABC+ZACB),把對應(yīng)數(shù)值代入即可求得NBOC的值.

【詳解】

解：???△ABC是等邊三角形，

.*ZA=ZABC=ZACB=60°,

?.?圓O是等邊三角形內(nèi)切圓，

，OB、OC是NABC、NACB的角平分線，

.,.ZOBC+ZOCB=-(ZABC+ZACB)=-(180°-60°)=60°,

22

:.ZBOC=180°-60=120°,

故選D.

【點睛】

此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心以及切線的性質(zhì).關(guān)鍵是要知道關(guān)系式NOBC+NOCB=，(ZABC+ZACB).

2

11、D

【解析】

根據(jù)A=Z?2-4ac,求出△的值，然后根據(jù)△的值與一元二次方程根的關(guān)系判斷即可.

【詳解】

■:。=3乃=-6,c=4,

:.A=ft2-4ac=(-6)2-4x3x4=-12<0,

???方程3x2-6x+4=0沒有實數(shù)根.

故選D.

【點睛】

本題考查了一元二次方程依2+取+,=0(〃加)的根的判別式A="-4ac：當(dāng)△>()時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)

根；當(dāng)△=()時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<()時，一元二次方程沒有實數(shù)根.

12、A

【解析】

分析：根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

詳解：從上面看第一列是兩個小正方形，第二列是一個小正方形，第三列是一個小正方形,

故選：A.

點睛：本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、-3

【解析】

分析：先根據(jù)根的判別式得到a-l=L,把原式變形為/+a+3a+3—5a—7,然后代入即可得出結(jié)果.

a

詳解：由題意得：△=(4^)2-4x4(^+1)=0，**?6z2-6/-1=0，I./=〃+,gpa(a-l)=l,.\a-l=-,

a，—8〃a，—8〃

=〃6_8〃2=(昌3_8〃2

a-11

a

—(a+1)，—8(〃+1)—濟+3a2+3a+1—8〃—8—/+3。？—5a—7

=a(a+1)+3(a+1)—5a—7

=cT—a—4

=1-4=-3

故答案為-3.

點睛:本題考查了一元二次方程axZ+bx+c=O(a/))的根的判別式△=bMac：當(dāng)A>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)A<0,

方程沒有實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個，相等的實數(shù)根，也考查了一元二次方程的定義.

,3

14、x>---.

2

【解析】

......…_33

解：依題意得：2x+3>l.解得上>-7.故答案為%>-不.

22

15、1

【解析】

根據(jù)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1和平均數(shù)的計算公式列式計算即可.

【詳解】

???數(shù)據(jù)1,L3,%的平均數(shù)是1,

.l+2+3+x

..-----------=2,

4

解得：x=2.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了平均數(shù)的定義，根據(jù)平均數(shù)的定義建立方程求解是解題的關(guān)鍵.

16、100(1+73)

【解析】

分析：如圖，利用平行線的性質(zhì)得NA=60。，ZB=45°,在R3ACD中利用正切定義可計算出AD=100,在R3BCD

中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=CD=100#,然后計算AD+BD即可.

詳解：如圖，

???無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60。、45°,

/.ZA=60o,ZB=45°,

*48

在RtAACD中，■:tanA=-----，

AD

…IOOA/3

??AD=----------=100,

tan60°

在RtABCD中，BD=CD=100V3,

/.AB=AD+BD=100+10073=100(1+73).

答：A、B兩點間的距離為100(1+73)米.

故答案為100(1+逝).

點睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題：解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)

聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形.

17、xW2且"1

【解析】

根據(jù)被開方數(shù)大于等于1,分母不等于1列式計算即可得解.

【詳解】

解：由題意得，2-且x#L,

解得尤＜2且x/1.

故答案為尤＜2且中1.

【點睛】

本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為1；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

18、27

【解析】

試題分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知X]+0=5,X「％2=-1，因此可知

x；+X；=（否+%2）2-2玉巧=25+2=27.

故答案為27.

hr

點睛：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題時靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系：石+%=—-,，

aa

確定系數(shù)a,b,c的值代入求解，然后再通過完全平方式變形解答即可.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、CE的長為（4+.「）米

【解析】

由題意可先過點A作AH_LCD于H.在R3ACH中，可求出CH,進而CD=CH+HD=CH+AB,再在RtACED中,

求出CE的長.

【詳解】

過點A作AHLCD,垂足為H,

由題意可知四邊形ABDH為矩形，ZCAH=30°,

；.AB=DH=1.5,BD=AH=6,

*?CH

在RtZkACH中，tan/CAH=——，

AH

.,.CH=AH?tanZCAH,

:.CH=AH?tanZCAH=6tan30°=6x6=2百（米）,

3

?/DH=1.5,

,\CD=273+1.5,

在RtACDE中，

CD

；NCED=60°,sinZCED=——，

CE

2用1.5

，CE=-忑~=(4+^/3)(米)，

~2

答：拉線CE的長為(4+遂)米.

考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

x—5

20、[\y=3

【解析】

將②x3,再聯(lián)立①②消未知數(shù)即可計算.

【詳解】

解：

②x3得：6x+3y=39(3)

①+③得：10%=50

%=5

把x=5代入③得10+3y=39

>=3

x=5

???方程組的解為.

U=3

【點睛】

本題考查二元一次方程組解法，關(guān)鍵是掌握消元法.

21、(1)60；(2)30A/2+10V6

【解析】

(1)由平行線的性質(zhì)以及方向角的定義得出/尸R4=NEAB=30。，ZFBC=15°,那么NA3C=45。，又根據(jù)方向角的定

義得出ZBAC=ZBAE+ZCAE=75°,利用三角形內(nèi)角和定理求出ZC=60。；

(2)作AD1BC交BC于點D,解RtAABD,得出80=40=30&,解ACD,得出0)=10&,根據(jù)BC=BD+CD

即可求解.

解：(1)如圖所示，

VZEAB=30°,AE//BF,

：.ZFBA=30°,

又NFBC=75°,

:.ZABC=45°,

VZBAC=ZBAE+ZCAE=75°,

.*.NC=60°.

故答案為60；

VZABD=45°,A5=60,

.?.40=30=300.

在RtAACD中,

VZC=60°,4Z>=300,

...0）=22^1=10幾，

：.BC=BD+CD=30y/2+1076.

答：該船與5港口之間的距離CB的長為（30后+10#）海里.

22、（1）A類圖書的標(biāo)價為27元，B類圖書的標(biāo)價為18元；（2）當(dāng)A類圖書每本降價少于3元時，A類圖書購進800

本，B類圖書購進200本，利潤最大；當(dāng)A類圖書每本降價大于等于3元，小于5元時，A類圖書購進600本，B類

圖書購進400本，利潤最大.

【解析】

（1）先設(shè)B類圖書的標(biāo)價為x元，則由題意可知A類圖書的標(biāo)價為1.5x元，然后根據(jù)題意列出方程，求解即可.

（2）先設(shè)購進A類圖書f本，總利潤為w元，則購進B類圖書為（1000-f）本，根據(jù)題目中所給的信息列出不等式組,

求出，的取值范圍，然后根據(jù)總利潤w=總售價-總成本，求出最佳的進貨方案.

【詳解】

解：(1)設(shè)5類圖書的標(biāo)價為x元，則A類圖書的標(biāo)價為1.5x元,

根據(jù)題意可得754-010540

x1.5%

化簡得：540-10x=360,

解得：x=18,

經(jīng)檢驗：x=18是原分式方程的解，且符合題意，

則A類圖書的標(biāo)價為：1.5x=1.5xl8=27(元)，

答：A類圖書的標(biāo)價為27元，5類圖書的標(biāo)價為18元；

(2)設(shè)購進A類圖書f本，總利潤為w元，A類圖書的標(biāo)價為(27口)元(0<a<5),

’18計12(1000-。勺6800

由題意得，\t>600,

解得：6003s800,

則總利潤"=(27-a-18)t+(18-12)(1000-/)

=(9-a)t+6(1000-/)

=6000+(3-a)t,

故當(dāng)0VaV3時，3-a>0,f=800時，總利潤最大，且大于6000元；

當(dāng)a=3時，3-a=0,無論f值如何變化，總利潤均為6000元；

當(dāng)3<a<5時，3-a<0,f=600時，總利潤最大，且小于6000元；

答：當(dāng)A類圖書每本降價少于3元時，A類圖書購進800本，B類圖書購進200本時，利潤最大；當(dāng)A類圖書每本降

價大于等于3元，小于5元時，A類圖書購進600本，5類圖書購進400本時，利潤最大.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的最值問題，解答本題的關(guān)鍵在

于讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程和不等式組求解.

23、大和尚有25人，小和尚有75人.

【解析】

設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)100個和尚吃100個饅頭且1個大和尚分3個、3個小和尚分1個，即可得出

關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，

x+y=100

依題意，得：<1,

3x+-y=100

(x=25

解得：(y=75.

答：大和尚有25人，小和尚有75人.

【點睛】

考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

24、(1)見解析；(2)t=(675+6),最小值等于12；(3)，=6秒或6逐秒時，AEP。是直角三角形

【解析】

(1)由/EC尸得結(jié)合。C=3C、CE=CF證AOCF絲△5CE即可得；

(2)作交ZM的延長線于當(dāng)點E運動至點時，由。F=8秒知此時。尸最小，求得3H、即可得

答案；

(3)①NEQP=90°時，由NECF=NBCD、BC=DC、EC=JFC得N5C尸=NE。尸=90°,根據(jù)AB=C￡)=66,

tanZABC=tanZADC=2即可求得Z)E；

②NEPQ=90。時，由菱形ABC。的對角線AC,30知EC與AC重合，可得。岳=6逐.

【詳解】

(1)VZECF=ZBCD,即N5CE+NOCE=NZ>CF+NOCE,

:.NDCF=/BCE,

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.DC=BC,

在4。。廠和45CE中，

CF=CE

<ZDCF=ZBCE,

CD=CB

:ADCF沿/XBCE(SAS),

；.DF=BE；

(2)如圖1,作BE'IDA交DA的延長線于E'.

當(dāng)點E運動至點￡7時，DF=BE',此時OF最小,

在RtAABE，中，AB=6y]5，tanZABC=tanZBAE'=2,

...設(shè)AE，=x,則BE，=2x,

'?AB=-^5x—6y/5>x—6,

則AE'=6

：.DE'=6y/5+6,DF=BE'=12,

時間t=6逐+6,

故答案為：6J?+6,12；

(3),:CE=CF,

：.ZCEQ<90°,

①當(dāng)NE。尸=90。時，如圖2①,

'：ZECF=ZBCD,BC=DC,EC=FC,

:.NCBD=NCEF,

；/BPC=NEPQ,

：.NBCP=NEQP=90°,

":AB=CD=6非,tanNABC=tanNAI>C=2,

：.DE=6,

；.f=6秒；

②當(dāng)NEPQ=90。時，如圖2②，

圖2②

,菱形ABCD的對角線ACLBD,

EC與AC重合，

:.DE=6逐,

-'?t=6y/5秒，

綜上所述，f=6秒或6逐秒時，AEP0是直角三角形.

【點睛】

此題是菱形與動點問題，考查菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，最短路徑問題，注意(3)中

的直角沒有明確時應(yīng)分情況討論解答.

484

25、(1)拋物線的解析式為y=—9+§x+4；(2)PM=—gm'9+4m(0<m<3)；(3)存在這樣的點P使APFC

23

與AAEM相似.此時m的值為一或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形.

16

【解析】

(1)將A(3,0),C(0,4)代入y=ax2—2ax+c,運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

(2)先根據(jù)A、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點

P、點M的坐標(biāo)，即可得到PM的長.

(3)由于NPFC和NAEM都是直角，F(xiàn)和E對應(yīng)，則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時，分兩種情況

進行討論：①△PFCsaAEM,②△CFPs^AEM；可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據(jù)

相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式，求出m的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定判

斷出△PCM的形狀.

【詳解】

解：(1)?拋物線y=ax2-2ax+c(a加)經(jīng)過點A(3,0),點C(0,4),

.4

/產(chǎn)解得「二一7

c=4

48

???拋物線的解析式為y=--x29+jx+4.

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

VA(3,0),點C(0,4),

,解得卜二一j

3k+b=0

b=4

b=4

4

二直線AC的解析式為y=--x+4.

:點M的橫坐標(biāo)為m,點M在AC上,

一4

?，?M點的坐標(biāo)為(m,—m+4).

3

48

:點P的橫坐標(biāo)為m,點P在拋物線y=—§x29+：x+4上，

_4O8

，點P的坐標(biāo)為(m,m~H—m+4).

33

4,844,

,*.PM=PE—ME=(——n:+—m+4)—(——m+4)=——m~+4m.

3333

4,

，PM=——m2+4m(0<m<3).

3

(3)在(2)的條件下，連接PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM

相似.理由如下：

-4428428

由題意，可得AE=3-m,EM=一一m+4,CF=m,PF=一一m2+-m+4-4=——m2+-m,

33333

若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，分兩種情況：

①若APFCsaAEM,貝!|PF：AE=FC：EM,即(--m2+-m)：(3-m)=m：(--m+4),

333

口23

m邦且m彳3,..m=—.

16

VAPFC^AAEM,/.ZPCF=ZAME.

,/ZAME=ZCMF,.*.ZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中，?.?NCMF+NMCF=90°,/.ZPCF+ZMCF=90°,即NPCM=90。.

.,.△PCM為直角三角形.

②若ACFPs/\AEM,貝!|CF：AE=PF：E