1.2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性2

2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第一章直線與圓北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征.2.能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系并能解決相關(guān)問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

定長(zhǎng)

圓心半徑圓心半徑(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)名師點(diǎn)睛1.當(dāng)圓心在原點(diǎn)即A(0,0),半徑長(zhǎng)為r(r>0)時(shí),方程為x2+y2=r2.2.當(dāng)圓心在原點(diǎn)即A(0,0),半徑長(zhǎng)r=1時(shí),方程為x2+y2=1,稱為單位圓.3.相同的圓,建立的坐標(biāo)系不同時(shí),圓心坐標(biāo)不同,導(dǎo)致圓的方程不同,但是半徑是不變的.思考辨析在初中平面幾何中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的定義,那么確定圓的要素是什么?各要素對(duì)圓有什么影響?提示

確定圓的要素:圓心和半徑.圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圓.(

)(2)若要確定一個(gè)圓,只要給出半徑即可.(

)(3)圓(x+1)2+(y+2)2=10的圓心坐標(biāo)是(1,2),半徑是10.(

)×××2.[人教B版教材習(xí)題]分別寫出滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為2;(2)圓心為點(diǎn)(0,1),半徑為2;(3)圓心為點(diǎn)(-2,1),半徑為

.解

(1)x2+y2=4.(2)x2+(y-1)2=4.(3)(x+2)2+(y-1)2=3.3.[人教B版教材習(xí)題]求出下列方程表示的圓的圓心坐標(biāo)和半徑:(1)x2+y2=5;(2)(x-3)2+y2=4;(3)x2+(y+1)2=2;(4)(x+2)2+(y-1)2=3.解

(1)圓心C(0,0),半徑r=.(2)圓心C(3,0),半徑r=2.(3)圓心C(0,-1),半徑r=.(4)圓心C(-2,1),半徑r=.知識(shí)點(diǎn)2

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)位置關(guān)系d與r的大小圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d>r

(x0-a)2+(y0-b)2

r2

點(diǎn)在圓上d=r

(x0-a)2+(y0-b)2

r2

點(diǎn)在圓內(nèi)d<r

(x0-a)2+(y0-b)2

r2

>=<思考辨析已知點(diǎn)P(x0,y0)和圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),試寫出點(diǎn)P在圓C上,在圓C內(nèi),在圓C外的充要條件.提示

點(diǎn)P在圓C上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2(r>0);點(diǎn)P在圓C內(nèi)?(x0-a)2+(y0-b)2<r2(r>0);點(diǎn)P在圓C外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2(r>0).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)點(diǎn)(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1上.(

)(2)點(diǎn)(a,b)一定在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)內(nèi)部.(

)(3)點(diǎn)P(1,3)在以A(2,-1)為圓心,半徑為5的圓外.(

)×√×2.若點(diǎn)P(-1,)在圓x2+y2=m2上,則實(shí)數(shù)m=

.

±2知識(shí)點(diǎn)3

圓x2+y2=r2(r>0)的幾何性質(zhì)1.范圍圓上任意一點(diǎn)P(x,y)都滿足不等式

,|y|≤r.

2.對(duì)稱性

圓x2+y2=r2是關(guān)于

和

的軸對(duì)稱圖形,也是關(guān)于

的中心對(duì)稱圖形.

對(duì)稱軸并非只有這兩條

|x|≤rx軸

y軸

原點(diǎn)

思考辨析1.對(duì)于圓x2+y2=1,該圓上任意一點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x與y應(yīng)滿足的條件是什么?

2.對(duì)于圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)P(x,y),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(-x,-y),關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(x,-y),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-x,y)是否在該圓上?提示

|x|≤1,|y|≤1.提示

在該圓上.自主診斷1.若直線x+y-3=0始終平分圓(x-a)2+(y-b)2=2的周長(zhǎng),則a+b等于(

)

A.3 B.2 C.5 D.1A解析

由題意可知,圓心(a,b)在直線x+y-3=0上,∴a+b-3=0,即a+b=3.2.[人教B版教材習(xí)題]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn),證明圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.解

設(shè)P(x,y)為圓上一動(dòng)點(diǎn),則|PA|2=(x-x1)2+(y-y1)2,|PB|2=(x-x2)2+(y-y2)2,|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.因?yàn)閨PA|2+|PB|2=|AB|2,所以代入,化簡(jiǎn)得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

(1)求圓心是(4,0),且過(guò)點(diǎn)(2,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;解

r2=(2-4)2+(2-0)2=8,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=8.(2)求圓心在直線x-2y-3=0上,且過(guò)點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解

(方法一)設(shè)點(diǎn)C為圓心,∵點(diǎn)C在直線x-2y-3=0上,∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a+3,a).又該圓經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),∴|CA|=|CB|.解得a=-2.∴圓心坐標(biāo)為C(-1,-2),半徑r=.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(方法二)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.規(guī)律方法

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)幾何法它是利用圖形的幾何性質(zhì),如圓的性質(zhì)等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程,通過(guò)解方程組來(lái)得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)參數(shù),從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟:變式訓(xùn)練1(1)求圓心在y軸上,半徑為5,且過(guò)點(diǎn)(3,-4)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解

設(shè)圓心為C(0,b),則(3-0)2+(-4-b)2=52,解得b=0或b=-8,∴圓心為(0,0)或(0,-8).又r=5,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.(2)已知圓過(guò)點(diǎn)A(1,-2),B(-1,4),求:①周長(zhǎng)最小的圓的方程;②圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程.(方法二)待定系數(shù)法.設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,∴圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=20.探究點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例2】

點(diǎn)P(m,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是(

)A.點(diǎn)P在圓內(nèi)

B.點(diǎn)P在圓外C.點(diǎn)P在圓上

D.不確定B解析

由m2+52=m2+25>24,得點(diǎn)P在圓外.變式探究1將本例條件改為“點(diǎn)P(m,5)在圓(x-1)2+y2=26上”,則m的值為

.

0或2解析

由題意知(m-1)2+52=26,則(m-1)2=1,即m-1=±1,所以m=0或m=2.變式探究2將本例條件改為“點(diǎn)P(m,5)在圓(x-1)2+y2=26內(nèi)部”,則m的取值范圍是

.

(0,2)解析

由題意知(m-1)2+52<26,即(m-1)2<1,解得0<m<2.規(guī)律方法

1.判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法(1)只需計(jì)算該點(diǎn)與圓心之間的距離,與半徑作比較即可.(2)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程左邊,判斷式子兩邊的大小,并作出判斷.2.靈活運(yùn)用若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,也可利用以上兩種方法列出不等式或方程,求解參數(shù)的取值范圍或值.變式訓(xùn)練2已知a,b是方程x2-x-=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則點(diǎn)P(a,b)與圓C:x2+y2=8的位置關(guān)系是(

)A.點(diǎn)P在圓C內(nèi) B.點(diǎn)P在圓C外C.點(diǎn)P在圓C上 D.無(wú)法確定A學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789101112131415A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]圓心是C(-3,4),半徑長(zhǎng)為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.(x-3)2+(y+4)2=5B.(x-3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y-4)2=5D.(x+3)2+(y-4)2=25D解析

將C(-3,4),r=5代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得.1234567891011121314152.[探究點(diǎn)一·2024四川瀘州期末]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(2,2),則以O(shè)A為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=8D.(x+1)2+(y+1)2=8B1234567891011121314153.[探究點(diǎn)一]已知直線l過(guò)圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則直線l的方程是(

)A.x+y-2=0 B.x-y+2=0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0D解析

圓x2+(y-3)2=4的圓心為點(diǎn)(0,3),又直線l與直線x+y+1=0垂直,所以直線l的斜率k=1.由直線方程的點(diǎn)斜式,得直線l的方程為y-3=x-0,化簡(jiǎn)得

x-y+3=0.1234567891011121314154.[探究點(diǎn)二]點(diǎn)(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)D1234567891011121314155.[探究點(diǎn)一]與圓(x-2)2+(y+3)2=16有公共圓心,且過(guò)點(diǎn)P(-1,1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

.

(x-2)2+(y+3)2=25解析

由題意得所求圓的圓心為(2,-3),設(shè)所求圓的半徑為r,則r2=(-1-2)2+(1+3)2=25,所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+3)2=25.1234567891011121314156.[探究點(diǎn)二]若點(diǎn)P(-1,)在圓x2+y2=m2上,則實(shí)數(shù)m=

.

±21234567891011121314157.[探究點(diǎn)一]已知圓心在第二象限,半徑為2的圓C與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

;與圓C關(guān)于直線x-y+2=0對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

(x+2)2+(y-2)2=4

x2+y2=41234567891011121314158.[探究點(diǎn)一]求圓心在直線l:x-2y-3=0上,且過(guò)點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

1234567891011121314151234567891011121314159.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(a-1)x-y+a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)C,則以C為圓心,為半徑的圓的方程為(

)A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=5B級(jí)關(guān)鍵能力提升練C12345678910111213141510.已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(

)A.4 B.5 C.6 D.7A12345678910111213141511.(多選題)已知圓C:(x-a)2+y2=4(a為常數(shù),a∈R)不經(jīng)過(guò)第二象限,則