平面向量中的綜合問題-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第六章平面向量、復(fù)數(shù)

突破1平面向量中的綜合問題

6學(xué)生用書P121

命題點(diǎn)1平面向量與其他知識的綜合

角度1平面向量與平面幾何

例1在△N8C中，〃是邊3c的中點(diǎn)，N是線段即/的中點(diǎn).若4△48C的面積為

V3,則前?麗取最小值時(shí)，BC=(A)

A.2B.4C.2V3D.4V3

解析設(shè)的內(nèi)角NB/C,/B,/C的對邊分別為a,b,c,由題意知，SAABC=

i/)c-sin^=V3,：.be=4y/3,荏次=bc-cosF=6W為3c的中點(diǎn)，N為BM的中點(diǎn)、,故

AM=-AB+-AC,AN=-AB+-AC,福?麗=(-AB+-AC')■(-AB+-AC)^-b2+-c2+

2244224488

3>2-x--bc+3^6,當(dāng)且僅當(dāng)6=^c,即b=2百，c=2時(shí)等號成立，前?前取到最小

788

值，此時(shí)a=Jb2+c2—2bc-cos^—2,即3c=2.故選A.

角度2平面向量與三角函數(shù)

例2［多選/2021新高考卷I］已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),P2(cos-,

—sin/?),尸3(cos(a+6)，sin(a+￡)),/(1,0),貝U(AC)

A.I西I=I西IBJ河I=I褥I

c.^1?西=西?西DUA0Pl=0P^0Pl

2222

解析由題可知，|OP1|=Jcosa+sina—l,I0P2I=Jcos/?+(—sin^)=1,所

以I西I=I西I,故A正確；

取a=￡,則Pi除用，取片?，則尸2(一￡用，則I祈I*而,故B錯(cuò)

4ZL4LZ

、口

沃；

因?yàn)橥撸?。尸；=cos(a+/),。尸1?。尸；=cosacos￡—sinasin￡=cos(a+￡),所以

萬??西，故C正確；

=COScos

因?yàn)橥?？OP；=cosa,OP2O^3^(a+位—sinQsin(a+￡)=cos(a+2￡),取

a=7，4=；,(用取特殊值法進(jìn)行排除)

44

>>、/2>>Q-TT、/2>>>>,

貝4。4。。1=￥，OP-OP=cos^=~^,所以。AOP#OP2-OP3，故D錯(cuò)誤.故選AC.

24232

角度3平面向量與解析幾何

例3［2023遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)第五次模擬］已知向量6,c和單位向量。滿足I。一61=

2\b\,Ic-aI+Ic+aI=4,則加c的最大值為(C)

A.—B.V2C.2D.—

32

解析設(shè)〃=(1,0),b—(x,>),由|a-bI=2IbI可得(%—1)2+j/2=4(x2+

y2),化簡可得3/+3歹2+2%—1=0,即(x+-|)2+產(chǎn)=2.設(shè)。=(祀，次)，則由Ic-aI

+Ic+aI=4,可得J(&-1)2+%+](&+1)2+%=4,故點(diǎn)Go,次)的軌跡是

以(一1,0),(1,0)為焦點(diǎn)，長軸2〃=4的橢圓，其方程為[+[=1.

設(shè)〃，c夾角為仇則bc=IbIIcIcos9,

如圖，由圓與橢圓的性質(zhì)可得，Mlw|+［=1,IcI<2,cos比1,三

者可同時(shí)取等號，故當(dāng)dC同向且方向與X軸正方向相反時(shí)，取得

最大值2.

故選C.

方法技巧

1.解平面向量與平面幾何綜合問題的步驟

(1)設(shè)出向量或?qū)⒛承┫蛄坑闷渌蛄窟M(jìn)行表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)利用向量之間的計(jì)算解決幾何圖形上的長度、夾角等問題.

2.平面向量與三角函數(shù)綜合問題的解題思路

運(yùn)用向量共線或垂直的坐標(biāo)表示，向量的有關(guān)運(yùn)算等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.

3.平面向量與解析幾何綜合問題的解題思路

利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，將條件轉(zhuǎn)化求解.

訓(xùn)練1(1)［全國卷I］設(shè)拋物線C：產(chǎn)=4x的焦點(diǎn)為R過點(diǎn)(一2,0)且斜率為|的直線

與C交于M,N兩點(diǎn)，則前?前=(D)

A.5B.6C.7D.8

22(V=-(%+2),

解析過點(diǎn)(一2,0)且斜率為，勺直線方程為〉三(x+2),由3消元整理

33vy7=4Ax,

得x2—5x+4=0,解得x=l或x=4,所以卜=L或卜=4’不妨設(shè)河(1,2),

(y=2(y=4.

N(4,4),易知尸(1,0),所以前=(0,2),麗=(3,4),所以兩?前=8.故選

D.

(2)［多選/2023廣東汕頭二模］在△N3C中，已知48=2,AC=5,/BAC=60。,BC,AC

邊上的中線/M,5N相交于點(diǎn)尸，下列結(jié)論正確的是(ABD)

AV39宜DXTV21

A.AM=——B.BN=—

22

C.cosZMPN=^-D.PA+PB+PC=0

21

解析因?yàn)镸是3C的中點(diǎn)，所以詢=g(,AB+AC').

對于A,AM=\AM\=--QAB+AC)2=--AB2+AC2+2AB-AC=—,故A正確.

2\272

對于B,BN=I前I=/C-AC-AB)2=R前2+同2一萬.前=包，故B正確.

\2742

對于C,AM-BN^(,AB+AC)-^AC~AB)IZcI2-^AB-AC~^IABI2=3,

cosZMPN^cos<AM,BN>=,-,=—,故C錯(cuò)誤.

IAM\\BNI91

對于D,由題意知，尸為△/BC的重心，則可+而+麗=一］(屈+就)~^AC+^AB+

-AC--AB=O,故D正確.

33

故選ABD.

命題點(diǎn)2和向量有關(guān)的最值(范圍)問題

角度1與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問題

例4［2023福建省寧德市模擬］在平面直角坐標(biāo)系x0中，點(diǎn)尸為圓O-.x2+y2=l上的任意

一點(diǎn)，點(diǎn)/(2,0),B(-1,1),若赤=/1a+〃礪，則24十〃的最大值為(C)

A.V3B.2C.V5D.V6

解析由已知可設(shè)點(diǎn)尸(cos6,sinO'),則。？=(cos0,sinO'),又而X+〃。至=(22—

八IsinO+cos。

n2An—a=cos6y\nX=-----------,~

即(2所以2/l+〃=2sin0+

(〃=sin。，(〃=sin。，

cos0=V5sin(。+9),其中tanp=T，當(dāng)sin(0+p)=1時(shí)，24+〃取得最大值遙.故選C.

角度2與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題

例5［新高考卷I］已知尸是邊長為2的正六邊形/BCD斯內(nèi)的一點(diǎn)，則而?荏的取值范圍是

(A)

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

解析解法一APAB=IAPIIABIcosZPAB=2IAPI-cosZPAB,\AP\

cos/P4B表示Q在方方向上的投影數(shù)量，所以結(jié)合圖形可知(圖略)，當(dāng)P與C重合時(shí)

投影數(shù)量最大，當(dāng)尸與歹重合時(shí)投影數(shù)量最小.又前?樂=2V^x2xcos3(r=6,AFAB=

2x2xcos120。=一2,故當(dāng)點(diǎn)尸在正六邊形48a)即內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，APABE

(—2,6).故選A.

解法二以4為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點(diǎn)尸(x,>),4,,

則而=(x,y),AB=(2,0),APAB=(x,y)-(2,0)=2x,易

/>c

知xe(-1,3),所以萬?荏e(-2,6).故選A.

角度3與模有關(guān)的最值（范圍）問題

例6[2023山西省模擬]已知平面向量〃，8是單位向量，且I〃一〃I=1,向量。滿足1c—

a-bI貝WcI的最大值為（A）

A當(dāng)B.2V3C.V3+1D.2V3+1

解析:?平面向量〃，〃是單位向量，且Ia—b1=1,a2-^~b2—2ab=2—2ab=1,

<af設(shè)〃=（1,0）,b=（|,亨）,c=（x,>）,貝Ic—5=（x—

I，y-y）,:.Qc-a-b）2=（L|）2+（廠爭2=（爭2,工點(diǎn)（%,y）在以（|,

爭為圓心、弓為半徑的圓上，

IcI^的最大值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)（0,0）距離的最大值，

如圖所示.設(shè)圓心為O',則I00"=l-+-=V3,

\44

IcI的最大值為8+苧=竽故選A.

方法技巧

平面向量中有關(guān)最值（或范圍）問題的兩種求解思路

一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義先將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，

然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；

二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值或值域、不

等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的相關(guān)知識解決.

訓(xùn)練2（1）如圖，在平行四邊形48cA中，點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)歹為線段上的一動(dòng)

點(diǎn)，若#反（x>0,y>0）,則巳詈的最大值為（A）：一:

A.iB.-C.lD.2」?

24

解析AF=xAE+yDC^x（AD+DE^+yAB^x（AD+1AB）+yAB^xAD+0+y）AB.

因?yàn)?。，F(xiàn),2三點(diǎn)共線，所以當(dāng)+y=l,即2—3x=2y,所以二聲=烏二=—―因?yàn)閤>

24y"+l4y"+l4y+士

0,y>0,所以4yq=4,當(dāng)且僅當(dāng)4歹=；,即時(shí)等號成立，此時(shí)x=1,所以

Zz2￡=」vJ

4y2+14y+142'

（2）在△45C中，AB=2,AC=3fNA4c=60。，M是線段/C上任意一點(diǎn)，則麗?流的

最小值是（B）

A.—-B.—1C.—2D.-4

2

解析解法一如圖，由M是線段4c上任意一點(diǎn)，設(shè)前=2就，Ae（0,4

+oo),因?yàn)椴?灰=I荏IIACIcos60°=2x3xi=3,所以麗?就=(AB-AM)-MC

=(AB--IC)—AC=—AB-AC--J?就2=_6k3?.當(dāng)力=工時(shí),麗.流=0,當(dāng)

4+1A+lA+l(A+l)(A+1)2

力,時(shí)，令6%—3=f,(-3,0)u(0,+oo),則4=等，MBMC=

6

一'一32=21：6］=瞪，當(dāng)舊(0,+oo)時(shí)，?+-+18>36(當(dāng)且僅當(dāng)f=9時(shí)取等

(2+1)t2+18t+81t+y+18t

號)，此時(shí)麗?流之一1；當(dāng)(-3,0)時(shí)，?+y+18<-12,此時(shí)麗?標(biāo)無最值.所以

當(dāng)且僅當(dāng)f=9,即%=2時(shí)，麗?標(biāo)有最小值，最小值為-1.故選B.

解法二如圖，以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，/C所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)，.

系，因?yàn)?C=3,4B=2,ZBAC=60°,所以2(1,V3),C(3,0),設(shè)A\

M(x,0),0<x<3,則麗=(1—x,V3),MC=(3—x,0),~MB-MC=^己

(l—x,V3)-(3-x,0)=x2-4x+3=(x-2)2-l,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，麗?市有最小

值，最小值為一1.故選B.

(3)［浙江高考］已知a,b,e是平面向量，e是單位向量.若非零向量。與e的夾角為會(huì)向

量方滿足小一4e力+3=0,貝Wa-bI的最小值是(A)

A.V3-1B.V3+IC.2D.2-V3

解析解法一設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，a—OA,b—OB=(.x,y'),e—、

(1,0),由加一4e力+3=0得/+產(chǎn)一人+3=0,即口—2)2+^

=1,所以點(diǎn)3的軌跡是以C(2,0)為圓心，1為半徑的圓.因?yàn)?。與

e的夾角為2，所以不妨令點(diǎn)N在直線^=>/名(x>0)上，如圖所示，

由數(shù)形結(jié)合可知，Ia-bImin=I瓦5Imm=2sin^—1=V3—1.(I瓦？I的最小值，即圓心

C到。4的距離減去圓的半徑)故選A.

解法二由。2—4e力+3=0得。2—4e力+3e2=。一e)-⑦-3e)=0.

設(shè)b=&§,e^OE,3e=OF,所以b-e=彘,b-3e=FB,所以麗?麗

卜點(diǎn)、

=0,取環(huán)的中點(diǎn)為C,則點(diǎn)2在以。為圓心，跖為直徑的圓上運(yùn).二、一

■丁Cj

動(dòng)，如圖.

設(shè)〃=3鼠作射線04,使得N4OE=5，所以Ia-bI=I(〃-2e)+(2e—〃)I>

Ia—2eI-I2e-b\=\CA\-\BC\/一1.故選A.

1.［命題點(diǎn)1角度1/江蘇高考］如圖，在△Z5C中，45=4,AC=3f

僻三-----二

ZBAC=90°,。在邊5C上，延長4D到尸，使得4尸=9,若刀=

<**----------7*

mPB+(|-m)PC(他為常數(shù))，則CD的長度是竽或0.

解析解法一以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，力B的方向?yàn)閤軸的正方向，力C的方向?yàn)閥軸的正方向

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)歷=北三，/ie［O,1］,則。(4九3-3/1),AD=AC+XCB=AAB

+(1-A)AC,又點(diǎn)P在/￡>的延長線上，貝，］可設(shè)而=〃而，又對=加(.PB-PC)

+-PC^mCB+-PC,則同=加(.AB-AC)+-(前一而)，-AP=mAB+(--

22222

m)AC,則2冽48+(3—2m)AC=AP—(iAD—XfiAB(1—A)AC,所以2加=%〃，

3—2冽=〃一"，所以//=3,又/尸=9,則4。=3,所

以⑷)2+(3-3A)2=9,得力=|1或4=0,貝||而|=|||荏|=|1x@2+42=1或

ICDI=0xICBI=0.

解法二由題意可設(shè)巨<="方=犯/而+(1—〃)玩］="/而+3一入川)PC,其中4>1,

m，

0<?<1,又刀=〃7麗+(|一加PC,所以3得4=：,即鬻=：,又尸/=9,

2口_加.一加2M2

則I而I=6,IADI=3,所以當(dāng)。與C重合時(shí)，CZ)=0;當(dāng)。不與C重合

時(shí)，有/ACD=NCD4,所以/C/D=180°-2/NCD,在△/(?￡(中，由正弦定理可得

CDAD1cnADsin(.1800—2z.ACD)sin2z.ACD.__/.一〃.?「3r18

------=,則mCD=-4Q=2cosN4cz>4Z)=2X-X3=一.綜

sinz.CADsinz.ACD----------------------------sinz.ACD-----------------sinz.ACD-------------------------------------------------55

上，CZ)=9或0.

2.［命題點(diǎn)2角度2/2023天津高考］在三角形45C中，44=泉\BC\=1,。為線段45的

中點(diǎn)，E為線段CQ的中點(diǎn)，若設(shè)刀=〃，AC=b,則荏可用〃，b表示為++殳；若

BF=^BC,則荏?赤的最大值為—募

解析因?yàn)?為CQ的中點(diǎn)，所以版而+；而，因?yàn)?。為的中點(diǎn)，所以前=

；甌所以版W荏+［溫又屈=〃，AC=b,所以荏

因?yàn)榍?［前，所以存一荏=］(前一荏),即而=|荏+1而=|a+?>,所以版?萬

(^?+-|A).(：〃+9)=:一十卷口出+:啟在三角形/^^中，N4=］,|BC|=1,設(shè)三角

形ABC的三個(gè)內(nèi)角4,5,。所對的邊分別為Q,b,c,則Q=1,IaI=c,IbI=b,所

22

以〃力=bccos戶手，由余弦定理得Q2=〃+c2—2bccos^\=b+c~bc>bcf當(dāng)且僅當(dāng)

b=c=l時(shí)等號成立，所以4￡1，24/7=匕2+_5_〃力+與2=工02+_5_加+%2=工（bc+1）-\--bc=

，61266246624

?+工=身.

86-8624

3.［命題點(diǎn)2角度3］已知向量〃，〃滿足Ia+bI=4,Ia-bI=3,貝I」I〃I+IAI的取值

范圍是（B）

A.[3,5]B.[4,5]

C.[3,4]D.[4,7]

解析易知\a\+\b\>max{Ia+bI,Ia-bI}=4,因?yàn)?|〃|+|A|)』

IaI2+I6I2+2IaI\b\<2(IaI2+IAI2)=1a+bI2+Ia-bI2=25,當(dāng)且僅

當(dāng)I〃I=IAI時(shí)等號成立，所以\a\+\b\<5,所以名\a\+\b\<5.

4.［命題點(diǎn)2/浙江高考］已知平面單位向量ei,?2滿足I2ei—改I0魚.設(shè)〃=?+?2,b=3ei+

e2,向量m6的夾角為仇則cos?。的最小值是_j|_.

2

解析解法一因?yàn)閱挝幌蛄縠i,改滿足I2ei—?2I<V2,所以I2et—e2I=5一

2

4?1，。202,即ei2T1.因?yàn)椤?約+?2,〃=3為+改，*〃的夾角為仇所以cos2e=..------2

4lai\b\

=［(ei+e2)2工人+坳心二——(4+4*)”—=匕竺過,不妨設(shè)片佇，貝I侖二COS20=

Iei+e2I-I3ei+e2I(2+2e1-e2)(104-6ei-e2)5+3ei-e24

又)=??在后，+oo)上單調(diào)遞增，所以COS?更雪=||,所以COS?。的最小值為冬

5+3t5+3t45142929

解法二由題意，不妨設(shè)d=(1,0),?2=(cosx,sinx).因?yàn)镮2為一及I0魚，所以

J(2—cosx)2+sin2x<V2,得5—4cos爛2,即cosi^.易知〃=(1+cosx,sinx),b—

(3+cosx,sinx),所以〃功=(1+cosx),(3+cosx)+sin2x=4+4cosx,IaI2=

(1+cosx)2+sin2x=2+2cosx,II2=(3+cosx)2+sin2x=10+6cosx,所以cos20=

22

(ah)(4+4cosx)4+4cosx/、兒田［、3)八44-4m

----------2----------2=-------------------.不妨段次=COSX,貝機(jī)三，CO鏟夕=Lc,又歹=

?a||jjI(2+2cosx)(10+6cosx)5+3cosx45+3m

黑蔡在［|,+oo)上單調(diào)遞增，所以COS?更亭=||,所以COS?。的最小值為

十41

,---------------------------:練習(xí)幫，練透好題精準(zhǔn)分層-------------------------\

口學(xué)生用書?練習(xí)幫P319

1.[2023湖北部分學(xué)校聯(lián)考]圓的內(nèi)接四邊形45CD中，AD=2,CD=4,8。是圓的直徑,

則照說=(B)

A.12B.-12C.20D.-20

解析由題知/B4D=NBCD=90°,4D=2,CD=4,所以前?麗=(XD+DC)BD=

AD-JD+DCBD=IAD|IBD\cosABDA-IDC\IBDIcosZBDC=\AD\2-

IDCI2=4—16=—12.故選B.

2J2023山東濟(jì)南檢測］己知非零向量同，而滿足普普=昔畀，且段貝！I

I/\DIIr\CIIADII/IC|乙

AABC為(D)

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

?r—ABAC_1._1-7八/?J__TTAB,BC__AC，CB'曰/AB

解析由L；一1=一,得cosZ=一，又OVZV兀，??4=一.由L||,得（^=

\AB\\AC\292''3IAB\\AC\9IAB

4P）?近=0,角/的平分線垂直于3C,J.AB^AC,是等邊三角形.故選D.

3J2024河北石家莊二中月考］已知向量mb,c共面，且均為單位向量，ab=Q,則Ia+b

+cI的取值范圍是（A）

A.[V2-1,V2+1]B.[l,V2]

C.[V2,V3]D.[V2-1,1]

解析設(shè)。=瓦?，b^OB,c=反，由題意可得IOlI=I05I=

IOCI=1,且以。4,OB為鄰邊作正方形0/03,連接b…

OD,如圖所示，則Ia+bI=I00I=V2,Ia+b+cI=I00+*-.

OCI,當(dāng)而與沆方向相同時(shí)，Ia+b+cI最大，為企+1;當(dāng)。方與反方向相反時(shí)，

Ia+b+cI最小，為加一1.故選A.

4J2023豫南名校三模］如圖，這是用來構(gòu)造無理數(shù)近，V3,擊，…的圖形，已知尸是平面

四邊形A8CD內(nèi)（包含邊界）一點(diǎn)，則方?方的取值范圍是（D）

B.[-l,V2]

C.[y，1]

解析如圖，過點(diǎn)。作?！阓L8c交8c的延長線于點(diǎn)￡.（而在荏上的投影向量與荏可能

是同向的，也可能是反向的，所以延長3C以保障情況研究全面）

因?yàn)镈E_L3C,DC=\,ZDCE=45°,所以CE=^.

由圖可知當(dāng)尸在線段4s上時(shí)，I而Icos/PCB有最大值1,當(dāng)尸在點(diǎn)。處時(shí)，I麗I

cos/PCB有最小值一子，（尋找ICPIcos/PC3的最大值和最小值時(shí)，最值往往在圖形

的邊界和頂點(diǎn)處取到）

又I而1=1,所以方?而的取值范圍是［―y,1］.故選D.

5.已知NM,8N分別為圓。1：(x+1)2+/=1與。2：(x-2)2+產(chǎn)=4的直徑，則

樂?標(biāo)的取值范圍為(A)

A.[0,8]B.[0,9]C.[l,8]D.[l,9]

解析如圖，AB-~MN^（麗（+。1。2+辰）?（而石+。1。2'+型）=[。1。2+（西+

辰）〉[。1。2'一（討+辰）]=I。1。2?2-IAOl+O^B|2=9一|AO^+O^BI2,其

中I河+取Ie[2-l,2+1]=[1,3],所以樂?而晝[9-32,9-12]=[0,8].故選A.

6.若點(diǎn)G是△45C的重心，A(0,-1),B(0,1),在x軸上有一點(diǎn)M滿足I加I

=IMCI,GM=AABaeR),則點(diǎn)C的軌跡方程為(C)

A.5+y2=lB與一/=1

c［+y2=l(/0)D.y-/=1(燈0)

解析設(shè)點(diǎn)C(x,y),則G(或p.由已知可得點(diǎn)C不與N,8共線，所以存0.(易

錯(cuò)：注意尋找變量的范圍)

設(shè)“Go,0),則加=(-xo,-1),標(biāo)=(x—xo,了)G#0),GM=(xo-p

-p(x#0),AB=(0,2),

由而K南QeR),得(比一宗-p=2(0,2),所以x°三(x?0)①，

2222

由I~MAI=IMCI,得JXQ+1=J(x—x0)+y(x#0),即以+1=(%—x0)+y

(x#0)②，

將①代入②得獲+產(chǎn)=1(/(J).故選C.

7.［情境創(chuàng)新］已知△48C中，48=4,AC=45BC=3,動(dòng)點(diǎn)P自點(diǎn)。出發(fā)沿線段CB運(yùn)

動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)3時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)。自點(diǎn)3出發(fā)沿線段3c運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止，且動(dòng)點(diǎn)。的

速度是動(dòng)點(diǎn)P的2倍.若二者同時(shí)出發(fā)，且一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則該

過程中方.而的最大值是(C)

749

A.-B.4C.—D.23

22

解析解法一因?yàn)?5=4,NC=4百，BC=8,所以是直角三

角形，且/A4C=90°,ZACB=30°,/48C=60°.如圖，分別以/C,所在直線為x

軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)I而I=t,則I的I=2t,且0W2云8,即0</<4,

則A(0,0),Q(V3/,4—/),P(4V3-y?,與)，而=(V3z,4一力，屁=(4A/3-

乎，夕)，所以喬而=同(4V3-yf)+5(4—0=-25+1書(0<Z<4),當(dāng)時(shí)，

喬而取得最大值，最大值為表故選C.

解法二因?yàn)?8=4,/C=4百，BC=8,所以△48。是直角三角形，

且N/=90°,NC=30°,ZB=6Q°.

設(shè)CP=/,則3。=2/,且g2"8,即0W”4,

麗與尼的夾角為30。，而與荏的夾角為60。，所以而?而=(ZC+CP)?(X5+FQ)=

ACAB+AC-BQ+CPAB+CPBQ=443x2txcos30°+4x/xcos60°一2祥=-2t2+14/

(0<Z<4),當(dāng)時(shí)，存?而取得最大值，最大值為?，故選C.

8.已知樂_1_前，\AB\=~,\AC\=t,若點(diǎn)P是△N8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且?=下絲

tIAB

則麗?玩的最大值是(D)

IAC|

A.16B.4C.82D.76

解析以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則4(0,0),

______《_1

(1,0),c(0,r)(?>0),則屈=(i0),尼=(0,?),;.Q=

,41n

t(p0)+1(0,t)=(1,9),即P(1,9),:廊=(|-1,-9),PC

=(-1,f-9),二麗定=1-%+81=82-⑼+》.V/>0,：.9t+^2

(當(dāng)且僅當(dāng)%=[即/=：時(shí)取等號)，.,.而?陷82—6=76.故選D.

9.[2024遼寧鞍山月考]設(shè)△NBC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,尸是△NBC所在

平面上的一點(diǎn)，PAPB=^PAPC+^PA2=-PBPC+—PB2,則點(diǎn)尸是△/BC的

bbaa

(C)

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

解析因?yàn)榉?方=￡巨3正+匕方2=￡麗.無十巴三麗2,所以可.而—而2=￡方.(PC

bbaab

-PA),PAPB-PB2=-PB-(.PC-PB),即麗?荏=：西?正，BAPB=-PBBC,所

aba

以刀ccosZPAB=^-bcos/PAC,而ccosZPBA=-麗acosZPBC,所

IIbITAIaIIII

以/PAB=NPAC,/PBA=NPBC,所以4P在NA4c的角平分線上，BP在/ABC的再

平分線上，所以點(diǎn)尸是△4BC的內(nèi)心.故選C.

10.[2023河北石家莊一中等校聯(lián)考]已知點(diǎn)列｛P,.｝中的所有點(diǎn)都在△NBC內(nèi)部，產(chǎn)“的面

積與△如尸“的面積比值為g.在數(shù)列｛%中，ai=l,若V〃dN*且稔2,河=3為樂+

（4斯―1+3）前恒成立，那么04=（D）

A.15B.31C.63D.127

解析如圖，延長4P.交2C于。，則也竺包=也厘=烈.

S^ABDS^/CD4。

又△/AP“的面積與△/(#“的面積比值為工，.?.2￡=工，.?.更=工，

3SMCD3CD3

.?.點(diǎn)D是邊8c上最靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn).

AD^AB+BD=AB+-BC=AB+-(.AC-AB)^-AB+-AC,

4444

5CXPn=3anAB+(4Q“_I+3)AC,AD//APnf

,3an4%i+3

?1，

44

??dn4Q“-1+3(〃>2).

由ai=l,依次計(jì)算得到Q2=7,s=31,44=4x31+3=127.故選D.

11.［考法創(chuàng)新］如圖所示，A,B,C,。是正弦函數(shù)y=sinx圖象上四個(gè)點(diǎn)，且在4,。兩點(diǎn)

函數(shù)值最大，在5,。兩點(diǎn)函數(shù)值最小，則(0A+0B)?(0C