人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《勾股定理的逆定理（第3課時(shí)）》示范教學(xué)課件

勾股定理的逆定理

（第3課時(shí)）人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

1．勾股定理：

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為

a，b，斜邊長(zhǎng)為

c，那么

a2＋b2＝c2．

2．勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長(zhǎng)

a，b，c滿足

a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（1）當(dāng)△ABC三邊分別為

6，8，9時(shí)，△ABC為_(kāi)______三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為

6，8，11時(shí)，△ABC為_(kāi)______三角形．銳角鈍角

在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，設(shè)

c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)

a2＋b2＝c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)

a2＋b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式

a2＋b2和

c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．68106811689

解：（1）直角三角形兩直角邊分別為

6，8時(shí)，斜邊＝

＝10，∴△ABC三邊分別為

6，8，9時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為

6，8，11時(shí)，△ABC為鈍角三角形．（2）猜想，當(dāng)

a2＋b2和

c2滿足什么關(guān)系時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)

a2＋b2和

c2滿足什么關(guān)系時(shí)，△ABC為鈍角三角形．解：（2）當(dāng)

a2＋b2＞c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)

a2＋b2＜c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形．

在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，設(shè)

c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)

a2＋b2＝c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)

a2＋b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式

a2＋b2和

c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．

在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，設(shè)

c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)

a2＋b2＝c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)

a2＋b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式

a2＋b2和

c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．（3）判斷當(dāng)

a＝2，b＝4時(shí)△ABC的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的

c2

的取值范圍．

解：（3）∵c為最長(zhǎng)邊，2＋4＝6，∴4≤c＜6，∴16≤c2＜36，

a2＋b2＝22＋42＝20，

①a2＋b2＞c2，即

c2＜20，

∴當(dāng)16≤c2＜20時(shí)，這個(gè)三角形是銳角三角形；

②a2＋b2＝c2，即

c2＝20，∴當(dāng)c2＝20

時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形；

③a2＋b2＜c2，即

c2＞20，∴當(dāng)20＜c2＜36時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形．勾股定理與勾股定理的逆定理的條件和結(jié)論相反．勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根據(jù)直角三角形探求邊長(zhǎng)的關(guān)系，體現(xiàn)了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化；勾股定理的逆定理是由三角形的三邊關(guān)系探求三角形的形狀，體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化．ABCDMN北東

例1

一艘輪船從

A港向南偏西

48°方向航行

100

km到達(dá)

B島，再?gòu)?/p>

B島沿

BM方向航行

125

km到達(dá)

C島，A港到航線

BM的最短距離是

60

km．（1）若輪船速度為

25

km/h，求輪船從

C島沿

CA方向返回

A港所需的時(shí)間；

分析：（1）在

Rt△ABD中，利用勾股定理可求得

BD的長(zhǎng)度，則

CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得

AC的長(zhǎng)度，最后由“時(shí)間＝路程÷速度”求出所需的時(shí)間；

∴

（km）．

解：（1）由題意

AD＝60

km，

在

Rt△ABD中，由

AD2＋BD2＝AB2得

602＋BD2＝1002．

∴BD＝80（km）．

∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．

75÷25＝3（h）．

答：從

C島沿

CA方向返回

A港所需的時(shí)間為

3

h．ABCDMN北東（2）C島在

A港的什么方向？

分析：（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定義作答即可．

解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15

625，BC2＝1252＝15

625，

∴AB2＋AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°．

∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．

∴C島在

A港的北偏西

42°方向上．

ABCDMN北東

例2

拖拉機(jī)行駛過(guò)程中會(huì)對(duì)周?chē)a(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺(tái)拖拉機(jī)沿公路

AB由點(diǎn)

A向點(diǎn)

B行駛，已知點(diǎn)

C為一所學(xué)校，且點(diǎn)

C與直線

AB上兩點(diǎn)

A，B的距離分別為

150

m和

200

m，AB＝250

m，拖拉機(jī)周?chē)?/p>

130

m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校

C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？

分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，然后利用三角形面積得出

CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出學(xué)校

C是否會(huì)受噪聲影響；ABCD

解：（1）學(xué)校

C會(huì)受噪聲影響．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)

C作

CD⊥AB于

D，

∵AC＝150

m，BC＝200

m，AB＝250

m，

∴AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形．

∴S△ABC＝

AC·BC＝

CD·AB，

∴150×200＝250·CD，

∴CD＝

＝120（m）．

∵拖拉機(jī)周?chē)?/p>

130

m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，

∴學(xué)校

C會(huì)受噪聲影響．ABCD（2）若拖拉機(jī)的行駛速度為

50

m/min，拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？

分析：（2）利用勾股定理得出

ED以及

EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間．ABCDEF

∴EF＝100（m）．

解：（2）如圖，取

EC＝130

m，F(xiàn)C＝130

m，當(dāng)拖拉機(jī)在

EF上時(shí)學(xué)校會(huì)受噪聲影響．

∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，

∴ED＝50（m），

∵拖拉機(jī)的行駛速度為

50

m/min，

∴100÷50＝2（min），即拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有

2

min．ABCDEF

例3

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10

．（1）求四邊形

ABCD的面積．

分析：（1）連接

AC，然后根據(jù)勾股定理可以求得

AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ACD的形狀，從而可以求得四邊形

ABCD的面積；

解：（1）連接

AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，ABCDABCD∴

．∵CD＝10，AD＝10

，∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝

＝200，∴CD2＋AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴四邊形ABCD的面積是

＝74，即四邊形ABCD的面積是

74．（2）求對(duì)角線

BD的長(zhǎng)．

分析：（2）作

DE⊥BC，然后根據(jù)三角形全等和勾股定理，可以求得對(duì)角線

BD的長(zhǎng)．

解：（2）作

DE⊥BC交

BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E，則∠DEC＝90°，∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE＋∠ACB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠CAB．ABCDE∴AB＝CE，BC＝ED．∴