2021年高考數(shù)學(xué)立體幾何壓軸題真題模擬題分類匯編：08 體積類問題二（學(xué)生版+解析版）（強基計劃備考）

專題08體積類問題二

1.(2021?廣西模擬)如圖，在四棱柱AbCD-ABCQ中，AB=2,AA,=4,底面ABC。是菱形，4DAB吟,

平面CCQQJ.平面ABCZ),BD1AD..

(1)證明：CRJ■平面ABCD.

(2)求四棱錐人-8￡)。片的體積.

2.(2021?河南模擬)如圖，在幾何體中，四邊形ABCD是矩形，平面BEC,BE±EC,

AB=BE=EC=2,G,尸，M分別是線段BE,DC,AB的中點.

(1)求證：平面GW7/平面ADE；

(2)求三棱錐O-AFG的體積.

A

3.（2021?宿州三模）如圖，在三棱錐尸—ABC中，P4_L底面ABC,PA=BC=AB=2,ZABC=—,。、

3

E、產(chǎn)分別為AC、PA.總的中點.

（I）證明：BD±PC；

（II）求三棱錐C-￡>E〃的體積.

4.（2021?咸陽模擬）如圖，在四棱錐尸-4BC力中，底面反。為正方形，P￡）J_底面ABCD,M為線段

PC的中點，PD=AD=\,N為線段上的動點、

(I)證明：MD上PN；

(II)當(dāng)N為線段8C的中點時，求三棱港A-MND的體積.

5.(2021?馬鞍山三模)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為菱形，為等邊三角形，ZABC=60°,

。為AD的中點.

(1)證明：平面皿)_!_平面POC；

(2)若AD=2,PC=娓,點M在線段尸￡＞上，PM=3MD,求三棱錐尸-OCM的體積.

BC

6.（2021?包頭二模）如圖，在正三棱柱48。-48G中，P、Q分別為8々、AC的中點，E為線段延

長線上一點，且4?=班:，AA=A^=4.

（1）證明：8Q〃平面

（2）證明：點E在平面APC內(nèi)；

（3）求三棱錐A-APC的體積.

7.（2021?河南模擬）四面體ABCD中，平面ABC_L平面BCD,AA8C是邊長為1的等邊三角形，DC1BC,

且DC長為6.設(shè)DC中點為M,8關(guān)于M的對稱點為E,且尸，G分別為CE,4）的中點.

（I）證明：平面PGMJL平面BCD；

（II）求四面體r的體積.

A

8.（2021?攀枝花模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，24_1面45。，A4BC為正三角形，點片在棱24上，

且PA=4PA，4、G分別是棱。8、尸。的中點，直線A4與直線A8交于點O，直線AG與直線AC交

于點E,A8=6,PA=S.

（1）求證：DE/IBC；

（2）求幾何體ABC-AgG的體積.

9.(2D21?赤峰模擬)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AD//BC,NADC=60°,

RPA=AB=PB=BC=2,E為”的中點.

(1)證明：BE//平面PCD；

(2)求三棱錐P-8CZ)體積的最大值.

10.(2021?太原模擬)如圖，在幾何體ABCZ陀產(chǎn)中，四邊形是邊長為2的菱形，且/皿＞=60°,

CE=DE,EF//DB,DB=2EF,平面C￡)EJ■平面48a).

(I)求證：平面8CFJ"平面ABCZ)：

(II)若直線應(yīng):與平面ABCD所成的角為45。，求三棱錐A-CM的體積.

11.(2021?大慶模擬)如圖所示，正方體A8CO-A5GA中棱長為2,且E,F分別為BB1,的中點.

(1)求證：AE〃平面8C/；

(2)求四面體A-5Gb的體積.

12.(2021?攀枝花模擬)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面458是邊長為2的正方形，其它四個側(cè)面都是

側(cè)棱長為逐的等腰三角形，E、尸分別為AB、PC的中點.

(I)證明：3尸//平面PDE：

（II）求三棱錐E-a冰的體積.

13.（2021?陜西模擬）如圖，在四棱錐S-A88中，SO_L平面A8CD,底面A8C7）是菱形，E,尸分別

為SB,AD的中點.

（I）證明：瓦V/平面SCD；

(II)若N84￡>=60°,SD=4,AB=2.求三棱錐C-￡>E/的體積.

C

A

B

14.(2021?涼州區(qū)校級模擬)如圖，在四棱錐尸中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,

ZABC=ZDAB=9(r,BC=2AB=2AD=2,平面PCD_L平面ABC。.

(1)證明：必_1_平面尸8：

(2)若PD=PC=/1,求三棱錐8-ACP的體積.

15.(2021?興慶區(qū)校級二模)已知三棱柱ABC-A4G如圖所示，平面ABCJ.平面4CGA，

ZA4,C=Z4CB=90°,幺4。=30。，AC=24C,點M在線段A瓦上.

(1)求證：朋_LA8：

(2)若5c=26，三棱錐A-BCM的體積為6,求禁的值.

16.（2021?昆明一模）如圖的四棱錐S-PMVE和四棱臺RimE-ABCD是由一個四棱錐S-AB8被過各

側(cè)棱中點的平面所截而成.在四棱臺月3石-458中，%_1_平面AB8,〃是4）的中點，四邊形ABC”

為正方形，AB=AP=2.

（I）證明：CHLED；

（2）求四棱臺尸M/VE-ABCf）的體積.

17.(2021?河南二模)如圖，已知矩形ABC。所在平面垂直于直角梯形莊?所在平面，EP=g,BP=2,

AD=AE=\,AE±EP,AE/fBP.F.G分別是BC,8P的中點.

(l)設(shè)過三點尸，E,。的平面為a,求證：平面AFG〃平面a；

(2)求四棱錐AB尸石與三棱錐P-88的體積之比.

18.(2021?安慶模擬)如圖，在四棱錐夕-4?67)中，底面是邊長為2的菱形，N/)AB=60°,

PB=PD=幣，PA=3.

(1)證明：PAA.BD,

(2)若尸石=2E4,求三棱錐的體積.

AB

19.（2021?陜西模擬）如圖所示，A8CD是正方形，。是正方形的中心，QO_L底面底面邊長=1,

E是PC的中點.

（1）求證：E4〃平面瓦把；

（2）若。尸=2,求三棱錐E-8CD的體積.

20.（2021?安陽一模）如圖①，在平面五邊形SBCD4中，AD//BC,ADLAB,4）=2BC=2AB,將ASAB

沿AB折起到尸的位置，使得平面R48_L底面A4s,如圖②，且E為的中點.

（I）求證：CE〃平面E4B；

(II)若Q4=PB=6,AB=4f求三棱桂A-8CE的體積.

21.（2021?興慶區(qū)校級一模）如圖，在直角梯形尸88中，PD//BC,NDC3=90°,PD=4CD=8,BA上PD,

A為叨中點，現(xiàn)將平面圖形沿AB折成一個直二面角，得到四棱錐P-ABCD,E,尸分別為側(cè)棱尸。、PB

的中點.

（1）證明：平面AEF_L平面?8；

（2）求三棱錐尸-的體積.

22.(2021?南充模擬)如圖，在RiAAOB中，AO=OB=2,AAOC通過&408以。4為軸順時針旋轉(zhuǎn)120。

得到(/BOC=I20。).點O為斜邊上一點，點M為線段8C上一點，且CM=OW.

(1)證明：QM_L平面AO8；

(2)當(dāng)O為線段中點時，求多面體O4C7^D的體積.

A

0)'B

M

23.(2021?長安區(qū)--模)如圖，四棱錐尸-ABCD中，R4J_平面ABCD,AB1AD,AB//CD,

PD=AB=2AD=2CD=2,E為"上一點，SL3PE=2PA.

(I)證明：平面E?C_L平面R4C；

(II)求三棱錐P-BCE的體積.

24.（2021?棗莊二模）如圖，正方體的棱長為1,點尸在棱CG上，過瓦D,,尸三點的

正方體的截面a與直線A4,交于點石.

（1）找到點石的位置，作出截面a（保留作圖痕跡），并說明理由；

（2）已知b=a,求a將正方體分割所成的上半部分的體積V；與下半部分的體積匕之比.

25.（2021?焦作模擬）如圖，在三棱錐S-ABC中，已知AS4C是正三角形，G為AS4C的重心，D,E分

別為SC,的中點，尸在上，且4尸二,48.

3

（1）求證：0E//平面SG尸；

(2)若平面1sAe_L平面4c5,AC=BC=2,ZACB=120°,求三棱錐S—ABC的體積.

26.（2021?池州一模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，點E,尸分別在棱8C,

AP上，且8C=3CE,PA=3PF.

(I)求證：EF//平面PCD；

(II)若AO_L平面AB尸，AD=AP=AB=2,Z^4B=90°,求三棱錐P—DE廠的體積.

27.(2021?安徽模擬)如圖，在四棱錐P—ABCD中，P4_L底面ABCQ,PA=BC=CD=BD=2,

AB=AD=—,AC與應(yīng)＞交于點O,點M在線段Q4上，且PM=3M4.

3

(1)證明：OW//平面P8C；

(II)求三棱錐尸-MC￡＞的體積.

p

28.(2021?洛陽二模)如圖1所示，在直角梯形ABC。中，44DC=9O。，ABi/CD,AD=CD=-AB=2,

2

石為AC的中點，將AACD沿4c折起，使折起后的平面ACD與平面加。垂直，得到如圖2所示的幾何體

D-ABC.

(1)求證：8C_L平面ACD；

(2)點尸在棱CD上，且滿足A。//平面8所，求幾何體尸-8CE的體積.

BA

B

圖1圖2

29.(2021?4月份模擬)如圖，三棱錐P-ABC的底面ABC和側(cè)面力由都是邊長為4的等邊三角形，且平

面平面ABC,點七為線段Q4中點，。為中點，點尸為上的動點.

(I)若PO//平面CEF,求線段AF的長；

(II)在(I)條件下，求三棱錐E-AC尸與四棱錐。-3尸￡尸的體積之比.

30.(2021?淮南一模)如圖，四棱錐P-ABC￡＞的底面4?8是矩形，O是AC與80的交點，E為PB的

中點.

(1)求證：。￡〃平面叫O：

(2)若PO_L平面488,DF±PA,垂足為F,PD=BD=2,4)=1,求三棱錐尸一DEF的體積.

專題08體積類問題二

1.（2021?廣西模擬）如圖，在四棱柱45C。-A4GA中，AB=2,AA,=4,底面ABCD是菱形，ZDAB=^

平面CCRD工平面ABCD，BD±ADt.

（1）證明：CR_L平面ABCD.

（2）求四棱錐的體積.

【答案】（1）見解析（2）4

【詳解】（1）證明：取45中點￡,連結(jié)。E、AC,

?.?底面A48是菱形，.?.A￡）_LAC,

又?.?6O_LAA，ACQAD,=A,.?.3￡>_L平面RAC,

?."Cu平面RAC,BD上DC,

???底面A88是菱形，ZBAD=~,E是中點，.?.￡>E_L7）C，

3

平面CG〃O_L平面ABCD,平面eg〃OC平面ABCD=DC,

.?.小_1平面。0￡>1。，

?.CD|U平面CGRZ）,:.DE±CD1,

vBD[}DE=D,BD、OEu平面A4C0,

..CD、1平面ABCD：

（2）解：由（1）知，CR_L平面ABCD,則

22

.DDi=AAi=4,CD=AB=2,：.CD.=74-2=2x5,

連結(jié)BD、,則匕-8叫羯=2匕一叫A=25_八碼=2%_卅

=2匕wa=2x|sXCD,=2xlxlx2x2x^x2x/3=4.

/.四楂錐4-3。。片的體積為4.

2.（2021?河南模擬）如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形A38是矩形，AB_L平面或;C,BELEC,

AB=BE=EC=2,G,F,M分別是線段BE,DC,AB的中點.

（1）求證：平面GWF〃平面ADE；

（2）求三棱錐。-A尸G的體積.

【答案】（1）見解析（2）3

【詳解】（1）證明：:M、尸分別為矩形的邊回、。。的中點，///AD,

?.?MFC平面ADE,ADu平面ADE,.?.■///平面4)E,

?.?M、G分別為AB、BE的中點，S.MG//AE,

平面ADE,AEu平面AC花，」.MG〃平面ADE,

又MF0]MG=M,MF、MGu平面MGF,

平面GM/〃平面4）石：

（2）解：取8C的中點O,連接反7,則EO1.8C,

.ABL平面DEC，ADu平面ABCD，二平面ABCD±平面DEC，

又平面ABC0C平面8EC=8C,EOu平面8EC,

.?.EO_L平面ABC。，在等腰直角三角形BEC中，由8E=EC=2,求得EO=&.

在矩形ABCD中，AB=2,BC=2叵,可得心奸=gxlx2x/5=&.

勿-"G=%-MF=g%_的=3X§SgDFXfO=wX5X&X>/5=5.

3.（2021?宿州三模）如圖，在三棱錐尸—ABC中，底面ABC,PA=BC=AB=2,^ABC=—.。、

3

E、產(chǎn)分別為AC、PA.尸8的中點.

(I)證明：BDLPCx

(II)求三棱錐C-Z)￡尸的體積.

百

【答窠】（1）見解析（2）12

【詳解】證明：（I）\AB=BC,AD=DC,:.BD±AC,

???Q4_L底面ABC,8Ou平面ABC,：.PAYBD,

又H4「|AC=A，..即，平面RAC,

?.PCu平面RAC,

..BDLPCx

解：（H）?.?。為AC的中點，「.A、C到平面。EF的距離相等，

^C-bEF=^A-DEF=^D-AEF'

在MBC中，-BC=AB=2,ZABC=—,:.AC=2M,則4￡）=百，

?.?E、尸分別為24、P8的中點，:.EFUAB,^.EF=-AB=\,

2

由R4_L底面ABC，知Q4_LAB,：.EF1AE,

\BDLAC,作DHLAB,垂足為H,則D"_L平面

在RtAABD中，AB=2,AD=6

：DH=AD^D=43

AB2

1ZIc八口11GG

?'.1*VD-AEFDH=^X2X^2=~\2.

4.（2021?咸陽模擬）如圖，在四棱錐尸-ABCZ）中，底面ABC。為正方形，PDJ■底面ABC。,M為線段

PC的中點，PD=AD=ltN為線段8c上的動點、

（I）證明：MDA.PNx

（II）當(dāng)N為線段5c的中點時，求三棱錐A-MM）的體積.

1

【答案】（1）見解析（2）12

【詳解】（I）證明：?.FD_L平面ABC。，8Cu平面ABC。，.?.BC_LPZ）,

又BC_LZ)C,PD^\DC=DtPD、DCu平面P￡>C,

.?.3C_L平面尸/X?，

又MDu平面PDC,:.MDLBC,

在RtAPDC中，PDA.DC,PD=DC,M為尸C的中點，:.MDA.PC,

VPCQfiC=C,PC、BCU平面尸8C,

二.MDJ?平面尸8C,而PNu平面尸BC,

.\MDA.PN；

(H)解：?.?M為線段PC的中點，N為線段3c的中點,

VV5PD=XX1X1XX1=,

-A-MND=M-A[W=^Mw45iiH

5.（2021?馬鞍山三模）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面AB8為菱形，AMD為等邊三角形，ZABC=60°,

O為M＞的中點.

（1）證明：平面RA￡＞_L平面POC；

（2）若4）=2,PC=46,點M在線段?力上，PM=3MD,求三棱錐P-COf的體積.

3

【答案】（1）見解析（2）8

【詳解】（1）證明：根據(jù)題意可得，PA=PD,AO=OD,:.PO±AD

又???底面ABCD為菱形，ZABC=60°,:.CO±ADt

又?.?尸0noe=。，PO、OCu平面尸OC,..AO,平面尸OC,

又Mu平面BAD,平面皿＞1.平面POC；

（2）解：在等邊三角形A4￡>中，?.?4）=2,.?.OP=OC=G,

又PC=遍，.OP1+OC2=PC2,即POJ_OC,

I14

-S^c=-POOC=-^^=~.

乙乙乙

由（1）可知，ADJ_平面POC,乂PM=3MD,

3312

,'%-COf=^M-POC=W^D-POC=工X§Sy0cxDO=-

6.（2021?包頭二模）如圖，在正三棱柱ABC-A中，夕、Q分別為B耳、AC的中點，E為線段AB延

長線上一點，且=B七，AA=A4=4.

（1）證明：伙2〃平面APC；

（2）證明：點E在平面人尸。內(nèi)；

（3）求三棱錐A-APC的體積.

【詳解】(1)證明：連接AG交AC于。，連接OP，OQ,在正三棱柱A8C-A4G中，

???四邊形ACGA為正方形，「o為對角線AG與Ac的中點，則OQ〃CG，且OQ=gcG，

又點尸為的中點，..PB//CG，且PB=；CC'

:.PB：/OQRPB=OQ,則四邊形8POQ為平行四邊形，

得Q3//OP,又8QU平面平面人尸。，OPu平面APC,

/.3Q//平面APC；

(2)證明：連接CE,PE,在AACE中，是中位線，

:.QBUCE,又QB//OP,:.OP//CE,

故平面A,PC為OP與CE所確定的平面，

因此，點E在平面APC內(nèi)；

(3)解：???點。為正三角形ABC一邊AC的中點，「.BQ_LAC,

又平面ACGA_L平面ABC,..BQ，平面ACGA，

由(1)可知尸O//8Q,故PO_L平面ACQA，

又ACU平面ACGA，-POLA.C,

i2

在中，A>C=^AiA+AC=472,在正三角形ABC中，BQ=20

由(1)可知，OP=BQ=20..S*巾=3ACOP=4#,

???四邊形ACGA是正方形，

又AC|_LOP,且Acnop=。，AC|_L平面APC,

故AO是三棱錐A-APC的高，且AO=2夜,

7.（2021?河南模擬）四面體"8中，平面48。_1平面或力，乂8。是邊長為1的等邊三角形，DC上BC,

且DC長為6.設(shè)DC中點為M,8關(guān)于M的對稱點為E,且尸，G分別為CE,A￡＞的中點.

（I）證明：平面廠GMJ■平面BC。；

（II）求四面體BGMF的體積.

【答窠】（1）見解析（2）32

【詳解】（【）證明：因為平面ABCJ_平面86，平面ABCC平面ACZ）=8C,CDJ.BC，

所以COJ?平面ABC,

因為4Cu平面ABC,BCu平面ABC,所以C0_LAC,CD工BC,

又G,M分別為A。，CD的中點，所以GM//AC,

所以G/W_L8,

同理可得,

因為MF0|GM=M,所以COJ?平面GW,

因為COu平面38,

所以平面BCD1.平面FGM；

（II）由（I）可得，MF//BC，

因為3CC平面GMb,平面GW產(chǎn)，

所以3C//平面GMF,故B到平面GMF的距離即為C到平面GMF的距離.

由（1）^CM=-CD=—,即為C到平面GMF的距離，

22

取5。的中點N,則尸，M,N三點共線，連接GN,

MN='BC=L,GN=LAB=L,GM=-AC=-,

222222

所以&GMN=手、（，=絡(luò),

421O

因為“為/W的中點，所以邑^=5必楸=W.

1O

8.（2021?攀枝花模擬）如圖，三棱錐尸-ABC中，抬_1面45（7,A4BC為正三角形，點4在棱E4上，

且尸4=4尸4，用、G分別是極PB、?。的中點，直線A片與直線回交于點。，直線AG與直線AC交

于點E,AB=6,PA=S.

（1）求證：DE//BC；

（2）求幾何體ABC-AqG的體積.

【詳解】證明：（1）?.?與、G分別是棱P8、PC的中點,

???4GU平面BCDE,BCu平面BCDE

:.BQ、//平面BCDE,

巴Gu平面B\CQE,平面BCDEC平面B￡、DE-DE,

:.B￡//DE,則DE//8C；

解：（2）?.?A4BC為正三角形，且邊長為6,24_1_面4?。，24=8,

V.=-x—x6x6x—x8=24G,

Pp-ABCC322

又尸4=4PA,/.PA=2,用到RA的距離為（48=3,

則叢馬4=；x2x3=3，q到平面尸A4的距離為C到平面R48距離的一半，為手?

v_1,373_3>/3

V&W=3x3x-=—

則匕IBC-AMG=XP-ABC一XP-AMG=^P-ABC~%-必用

9.（2021?赤峰模擬）如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，底面為等腰梯形，AD//I3C,Z4ZJC=60°,

且R4=AB=尸8=8C=2,石為F4的中點.

（1）證明：BE//平面PCD；

（2）求三棱錐P-BCD體積的最大值.

【答案】（1）見解析（2）1

【詳解】證明：（1）取PD中點、G，連接EG，CG，

在MW中，?.?￡：為P4的中點，:.EG//AD,EG=-AD,

2

???底面ABCD為等腰梯形，ADIIBC，ZADC=6O°，

.?.4）=4,可得3C//EG且BC=EG,則四邊形EGCE為平行四邊形,

.BEUCG,而CGu平面尸C7），班:《平面PC。,

.?.4E"平面08；

解：（2）要使三棱錐P-3co體枳最大，則平面P4B_L平面AB8,

此時島?的最大值為。=G，

??(VP-ABCD)M=gS^DxGf2x2xsin120。=1,

即三棱錐P-BCD體積的最大值為I.

10.（2021?太原模擬）如圖，在幾何體ABCD及'中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且NR4D=60°,

CE=DE,EF//DB,DB=2EF,平面CDE_L平面ABCD.

（I）求證：平面3c尸_1_平面ABCD；

（II）若直線BE與平面A68所成的角為45。，求三棱錐A-CEV的體積.

【答案】（1）見解析（2）1

【詳解】（I）證明：設(shè)點G、”分別是CD,8的中點,

連接EG,FH,GH,則G7///D8，且DB=2GH,

因為EF//DB，且DB=2EF,

所以EF//GH,且EF=GH,

所以瓦'GH是平行四邊形，可得FH//EG,

因為CE=￡>E,所以EG_LCD,

因為平面CDE_L平面ABC。，所以EGJL平面ABC。，

所以,_L平面ABC。，

因為切u平面BC『，

所以平面331.平面ABCD；

（II）連接尻；，由（I）可得EG_L平面ABCD,

因為直線BE與平面ABCD所成角為45°,

所以/￡3G=45。，所以BG=EG,

設(shè)ACp|8O=O,

連接?！?可得OEF6是平行四邊形，所以O(shè)E//BF,

因為四邊形A8CO是邊長為2的菱形，且NB4O=60。，

所以三角形相￡＞和三角形38都是邊長為2的等邊三角形,

所以5G=6,

所以^A-CEF=^F-ACE=%-ACE=^E-ABC=§-EG

=亂8@=上手x4x6=l.

11.（2021?大慶模擬）如圖所示，正方體A4GA中棱長為2,且E,F分別為3用,OR的中點.

（1）求證：A￡；〃平面BC/；

（2）求四面體A-8G廠的體積.

【詳解】(1)證明：取CG的中點G，連接Z)G，EG,

ABCD-44GA是正方體，點G和E為所在棱的中點，

..AD//EG,AD=EG,則四邊形AEG。為平行四邊形，可得A￡//Z)G,

在正方體CZ)AG中，點G和尸為中點，

..C.F//DG,得AE/，F(xiàn)C、,

又AEU平面8G產(chǎn)，C/u平面BC/，

.?.隹//平面8加產(chǎn)；

(2)解：?.?他〃平面8G尸,

匕-8C|F=VE-BJF=VF-BC’E'

在四面體產(chǎn)一8GE中，S^E=^BECXB=^xlx2=l,

產(chǎn)到平面BQE的距離為2,

匕-gF=%-gE=5*1'2=5'

12.(2021?攀枝花模擬)如圖，四棱錐P-A5CD中，底面A3CD是邊長為2的正方形，其它四個側(cè)面都是

惻棱長為G的等腰三角形，E、尸分別為AB、尸。的中點.

(I)證明：BF//平面PDE；

【答窠】(1)見解析(2)6

【詳解】證明：(I)?.?尸為PC的中點，取PD的中點為G,連EG,FG

?.?ABCD為正方形，E為的中點，

，BEUCDRBE=、CD,

2

又?.尸G//8,RFG=-CD,

2

二.四邊形BEG"為平行四邊形，故8尸〃EG,

?.EGu平面尸DE,8尸仁平面尸。石，

:.BFU平面PDE；

解：（II）「ABC。為正方形，且PA=PB=PC=PD，

..P-ABCD為正四棱錐，則?在平面ABCD的射影為AC的中點O,

'*'F為PC的中點＞=-S正方形Age。

=

=VF-BDEg^P-ABCD

PA=6,0A=&,;.OP=1,

^P-ABCD=--221=-,

33

13.（2021?陜西模擬）如圖，在四棱錐S-A8a＞中，S￡＞J_平面A4C。，底面A88是菱形,尸分別

為SB,4）的中點.

（I）證明：瓦7/平面SCD：

(II)若4>V)=6O。，SD=4,AB=2,求三棱錐C-DEF的體積.

V3

【答案】（1）見解析（2）3

【詳解】（【）證明：如圖，取SC的中點G,連接0G,EG

是S3的中點，

反;是AS6c的中位線，

..EG//BC,EG=-BC.

2

又DF//BC，DF=LBC,

2

.EG//DF.EG-DF,

四邊形EGDF是平行四邊形，

:.EFUDG.

又所《平面SCD,Z）Gu平面SCO,

:.EFU平面SC￡）；

（II）解：如圖，連接4C,BD交于點O,連接比>,

:.BO=OD

..EO//SD,EO=-SD=2.

2

又SO_L平面ABC。，

/.EO_L平面ABCD.

在菱形ABC￡）中，NK4￡>=60。，AB=2-

o

5AC/,F=-Z）FCDsinl20=-xlx2x—=—,

ACPF2222

,v_v_1Mc_1r6

??^C-bEF—*fc-CDF-4EO,S&CDF——x2xw--

E

14.（2021?涼州區(qū)校級模擬）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,

ZABC=ZZM8=90°,BC=2AB=2AD=2,平面PCD_L平面ABC。.

（1）證明：8￡>J_平面尸8；

⑵若PD=PC=6,求三棱錐8-AC尸的體積.

A/6

【答案】（1）見解析（2）6

【詳解】（1）證明：因為四棱錐P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC,NABC=NZXB=90。,

BC=2AB=2AD=2,所以8￡>=+4￡>?=&,DC=42,

可得：BD2+CD2=BC2,所以8OJ_Z）C,又因為平面尸CO_L平面ABCD,

且平面PC￡>C平面ABCD=CD,又BQu平面ABCZ),

所以8￡>J_平面尸8.

（2）解：因為PD=PC=應(yīng)，取8的中點O，連接PO,

則由（1）知DC=近,則,￡心為等邊三角形，所以尸O_LCD,

又因為平面P8_L平面A5C￡）,POu平面PCD,且平面P8C平面ABCD=CD,

所以POJ?平面BCD，PO=V2x—=—,

22

所以\'B-ACP=VP-ABC=PO=；x；xlx2x塔二李.

3322o

15.（2021?興慶區(qū)校級二模）已知三棱柱ABC-A4G如圖所示，平面A8CJ?平面ACGA，

。，AC=2BC,點在線段片上.

ZA4,C=ZACfi=90°,41AC=30MA

（1）求證：AA,_L48：

（2）若3c=2石，三棱錐A-BCM的體積為6,求劣”的值.

【答案】（1）見解析（2）1

【詳解】（1）證明：?.?平面AAC_L平面4CGA，平面AACC平面ACGA=AC,

BCLAC,BCu平面A5C,BCJL平面CA,,

而ACu平面A4,GC,:.BCL\C,得乙4,08=90。，

設(shè)8C=x,\AC=2BC,則AC=2x,XZA4)C=90°,幺AC=30。，

/.A^C=x?A4J=GX,B=y/2x,AB=\/5x>

而M+A"=3f+2f=5/=AB2,

..AA.LA.B；

(2)解：過M作MN_LA8交A8于N,

若BC=26,由(1)得，AC=2x/J,.缺=BB1=6，

V.瞰m=、MNS"R=6，^-MNx-x2y/3x2y/3=6,

-t>C?Vj332''

解得“V=3,又?.?NA418=N/\34=90。，

A.MMN3\

"麗一直一片一5'

.?.4”=(44，則AM=M81,得喘~=】?

16.（2021?昆明一模）如圖的四棱錐S-PMN石和四棱臺PMNK-ABC。是由一個四棱錐S-ABCD被過各

側(cè)棱中點的平面所截而成.在四棱臺必伊也-4夕8中，A4_L平面ABCD,“是A￡＞的中點，四邊形ABC”

為正方形，AB=AP=2.

（I）證明：CHLEDx

（2）求四棱臺PMVE-AHCT）的體積.

【答案】（1）見解析（2）7

【詳解】（1）證明：???四邊形ABC”為是正方形，.?.C77_LA//,

?.A4_L平面ABC。，C〃u平面ABCZ）,:.CH±PA,

又AP「|A//=A,AH.APu平面HIDE,

.?.3_1_平面以￡）石，而EDu平面皿史,

:.CH1ED；

（2）解：將四棱錐S-尸MNE與四棱臺廣肱\任-鉆8拼回成原四棱錐S-ABC。,

根據(jù)題意，可知四邊形ABCD與四邊形RW7VE都是直角梯形，

?「尸、M、N、E分別是四棱錐S-ABC。四條側(cè)棱的中點,

:.PE=-AD=2,PM=-AB={,MN=-BC=\,SP=-SA=2,

2222

\(PE+MN)XPMc,、,

%-PMNE-x----------------------x5P=1

32

Vs-ABCD處四

32

四棱臺PMNE-ABCD的體積為匕tb>-^_mv￡=8-1=7.

17.（2021?河南二模）如圖，已知矩形A3CD所在平面垂直于直角梯形尸石所在平面，EP=6BP=2,

AD=AE=\,AEA.EP,AE//BP,F,G分別是BC,BP的中點.

（1）設(shè)過三點P,E,C的平面為a,求證：平面APG〃平面a；

（2）求四棱錐。-AB/石與三棱錐尸-88的體積之比.

3

【答案】（1）見解析（2）2

【詳解】（1）證明：=G是8尸的中點，.?.PG=48P=1,

2

vAE=l,:.AE=PG,

?;AE!/PG,AE_L￡P(guān),.?.四邊形AEPG是矩形，

/.AG//EP,

平面a,尸Eu平面a,AG//平面a,

?.?尸、G分別是BC、8尸的中點，」.AG是MCP的中位線，:.FG//PC,

平面a,PCu平面a,「.FG〃平面a，

vAGpFG=G,且AG、FGu平面AFG,

平面AAG〃平面a.

（2）過P作P"_LAB,垂足為“,

由題意得AZ)_L平面莊，

V

D-/BPE=!S梯形ABPE.AO=；XX小xl=g,

?.?平面ABC。_L平面AB尸石，平面ABCDC平面加匚平面錨莊,

.??/￥/_1_平面4?8,即尸〃是三棱錐。-8c。的高，

?：AG=EP=BPG=AE=\,BG=BP-PG=2-\=\,

.?.由勾股定理得AB=7AG2+BG2=J(拘:+『=2.

CD=AB=2sinZABG=—=—,

fAB2

PH=BPsinZABG=2x—=75,

2

?.kcD=gxSABa)xP〃=gxgx2x|x6=等,

G

T

二.四棱錐。-AB莊與三棱錐尸-BCD的體積之比為：

V3

18.(2021?安慶模擬)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面MCD是邊長為2的菱形，ZZMB=60°,

PB=PD=@，PA=3.

(1)證明：PA1BD；

(2)若PE=2EA,求三棱錐E-P8C的體積.

【詳解】（1）證明：連接4c交加）于點O,???底面488為菱形，

..BD上AC,OB=OD,

又?.?PB=PD,..BD工PO,而4?？凇?。=。，

.?.8Z5_L平面P4C,

又???Blu平面Q4C,..PA上BD；

（2）解：由（1）知，8。_1_平面24C,則三棱錐3—PEC的高為工8。=1,

2

???底面是邊長為2的菱形，.?.AC=2>/5,

?;PB=PD=&,.?.尸O=遍.

在AE4O中，PA=3,PO=s/6,AO=石，則尸O?+AO?=E4?,BPPOLOA.

又?.?PE=2EA,=|^c=|xlx2x/3x>/6=272.

V=V=-x2V2x1=2近.

fEc—rPoBtC-oB-rtPLELC.3▼3

19.（2021?陜西模擬）如圖所示，是正方形，。是正方形的中心，PO_L底面A3CD,底面邊長AB=1,

E是PC的中點.

（1）求證：尸A〃平面及比；

（2）若QP=2,求三棱錐的體積.

【詳解】（1）證明：連接OE，如圖所示，

?.?O、E分別為AC、PC的中點，:.OE//PAf

?.QEu平面也無，24e平面比）E,

.?.N"平面或石；

（2）解：取OC中點F,連接所，

?.?E為PC的中點，.?.￡1〃為APOC的中位線，則EF//PO,REF=-OP=\,

2

又?.尸O_L平面A5C￡>,「.所_1?平面AAS,

1Z11Z11,,.1

-V￡_iCD=-y￡__=-x-xlxlxl=-.

20.（2021?安陽一模）如圖①，在平面五邊形S4CD4中，AD3BC，AD±AB,AD=2BC2AB,將ASAB

沿AB折起到『的位置，使得平面P4B_L底面ABCD,如圖②，且E為PD的中點.

（I）求證：CE//平面以8；

（H）若24=Q8=6,AB=4,求三棱錐A-8C石的體積.

16后

【答案】（1）見解析（2）3

【詳解】（I）證明：設(shè)尸為Q4的中點，連接石尸，F(xiàn)B,

因為E為電）的中點，所以E尸//AO且防=

2

又因A￡>〃6c且AD=2BC,

所以EFHBC且EF=BC，

所以四邊形BCEF為平行四邊形，

所以CE〃加',

又因Mu平面BAB,CE<t平面R44,

所以CE〃平面FAB：

(II)解：如圖，設(shè)。為AB中點，連接PO、OD,過E作E77//PO交。。于點”,

因為PA=PB=6,AB=4,

所以PO_LAB,PO=>]PA2-AO2=4>/2,

又因平面P4B_L底面人4cD,平面P45c底面A〃a>=A3,

所以PO_L底面ABCD,而EH//PO,

所以硝JL底面ABCD,

所以￡”是三棱錐“一抽。的底面AtfC上的高，且BH=+0=2五,

2

又ADIIBC,ADA.AB,BC=AB,

所以A8_L8C,S=->4BBC=-x4x4=8,

MA/lWtJVe22

所以匕.8CE=%TK=g?%?cE"=gx8x2Vi=￥?

21.（2021?興慶區(qū)校級一模）如圖，在直角梯形尸BCD中，PD//BC.NDCB