三角函數(shù)概念及三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第第頁知識(shí)點(diǎn)總結(jié)5-1三角函數(shù)概念及三角恒等變換一．角的概念的推廣：1.定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．2.角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向的不同分類3.終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.4.幾種特殊位置的角的集合(1)象限角的集合：①第一象限角：α2k②第二象限角：α2k③第三象限角：α2k④第四象限角：α2k(2)軸線角的集合:①終邊在x軸非負(fù)半軸上的角的集合：αα②終邊在x軸非正半軸上的角的集合：αα③終邊在x軸上的角的集合：αα④終邊在y軸上的角的集合：αα⑤終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：αα(3)終邊在特殊直線上：①終邊在y＝x上的角的集合：αα②終邊在y＝－x上的角的集合：αα③終邊在坐標(biāo)軸或四象限角平分線上的角的集合：αα二．弧度制：1.弧度的角：在圓中，把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示.2.正角、負(fù)角和零角的弧度數(shù)一般的，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.3.角度制與弧度制的換算(1)1°＝π180rad.(2)1rad＝4.如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝lr相關(guān)公式：(1)扇形的弧長公式：l＝nπr180＝|α|r.(2)扇形的面積公式：S＝12lr＝nπr2360三．三角函數(shù)概念(1)利用單位圓定義三角函數(shù)：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：sinα＝y(tǒng).cosα＝x.tanα＝y(tǒng)x(x≠(2)利用終邊上的點(diǎn)定義三角函數(shù)：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊過點(diǎn)P(x，y)，OP=rsinα＝y(tǒng)r.cosα＝xr.tanα＝y(tǒng)x((3)符號法則：一全二正三切四余(4)特殊角的三角函數(shù)值角度弧度0010-1010-10101不存在0不存在0四．三角恒等變形1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：sinαcosα＝tan變形：(1)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα=1±sin2(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(4)sinα＝tanαcosα(α≠2.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限。公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限(1)誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限．“奇”“偶”指的是“k·π2＋α(k∈Z)”中的k“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變．“符號看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時(shí)，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．(2)通用公式：sin(ncos(3.和差角公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α?β)=tanα?tanβ1+tanαtan(α+β)=tanα+tanβ1?tanα3．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α=2tanα拓展：萬能公式：sin2α=2tan4.常用變形結(jié)論(1)降冪公式：sin2cos2sinαcosα=sin2(2)升冪公式：1＋cosα＝2cos2α1－cosα＝2sin21＋sinα＝(sinα1－sinα＝(sinα(3)正切和差角公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．(4)輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中sinφ=特別的sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±π4)；sinα±eq\r(3)cosα＝2sin(α±π3)；eq\r(3)sinα±cosα＝2sin(α±π6)5.拆分角問題：①α=2②α=(α+③α=12④(π4+五．?dāng)U展知識(shí)點(diǎn)(不要求記憶)：(1)三角不等式：①若x∈(0