7.2 萬有引力定律（解析版）-高一物理同步講義（人教版）

7.2萬有引力定律【學習目標】1．了解萬有引力定律得出的思路和過程。2．理解萬有引力定律的含義并會推導(dǎo)萬有引力定律，記住引力常量G并理解其內(nèi)涵。3．知道任何物體間都存在著萬有引力，且遵循相同的規(guī)律。【學習重點】1．萬有引力定律的推導(dǎo)。2．萬有引力定律的內(nèi)容及表達公式?！緦W習難點】1．對萬有引力定律的理解。2．使學生能把地面上的物體所受的重力與其他星球與地球之間存在的引力是同性質(zhì)的力聯(lián)系起來。一、eq\a\vs4\al(太陽與行星間的引力)1．模型簡化（一）兩個理想化模型(1)勻速圓周運動模型：由于太陽系中行星繞太陽做橢圓運動的軌跡的兩個焦點靠得很近，行星的運動軌跡非常接近圓，所以將行星的運動看成勻速圓周運動。(2)質(zhì)點模型：由于天體間的距離很遠，研究天體間的引力時將天體看成質(zhì)點，即天體的質(zhì)量集中在球心上。（二）太陽對行星的引力行星以太陽為圓心做勻速圓周運動，太陽對行星的引力提供了行星做勻速圓周運動的向心力。太陽對行星的引力推導(dǎo)F（1）行星做圓周運動需要的向心力（2）周期T可以觀測，則線速度（3）開普勒第三定律2.太陽與行星間的引力的特點(1)太陽與行星間的引力大小與三個因素有關(guān)：太陽質(zhì)量、行星質(zhì)量、太陽與行星間的距離。太陽與行星間引力的方向沿著二者的連線方向。(2)太陽與行星間的引力是相互的，遵守牛頓第三定律。(3)太陽對行星的引力效果是向心力，使行星繞太陽做勻速圓周運動。3．行星對太陽的引力根據(jù)牛頓第三定律，行星對太陽的引力F′的大小也存在與上述關(guān)系類似的結(jié)果，即F′∝。4．太陽與行星間的引力由于F∝、F′∝，且F＝F′，則有F∝，寫成等式F＝Geq\f(Mm,r2)，式中G為比例系數(shù)。二、萬有引力定律（一）月—地檢驗(1)猜想：維持月球繞地球運動的力與使得蘋果下落的力是同一種力，同樣遵從“平方反比”的規(guī)律。(2)推理：根據(jù)牛頓第二定律，物體在月球軌道上運動時的加速度大約是它在地面附近下落時的加速度的。(3)結(jié)論：自由落體加速度和月球的向心加速度與我們的預(yù)期符合得很好。這表明：地球物體所受的地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規(guī)律。（二）萬有引力定律(1)內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。(2)表達式：F＝，式中質(zhì)量的單位kg，距離的單位m，力的單位N，G是比例系數(shù)，叫作引力常量。(3)引力常量①大?。篏＝6.67×10－11N·m2/kg2，數(shù)值上等于兩個質(zhì)量都是1kg的質(zhì)點相距1m時的相互吸引力。②測定：英國物理學家卡文迪許在實驗室比較精確地測出了G的數(shù)值。（三）eq\a\vs4\al(對萬有引力定律的理解)1.萬有引力公式的適用條件(1)F＝eq\f(Gm1m2,r2)只適用于質(zhì)點間的相互作用，但當兩物體間的距離遠大于物體本身的線度時，物體可視為質(zhì)點，公式也近似成立。(2)當兩物體是質(zhì)量分布均勻的球體時，它們間的引力也可直接用公式計算，但式中的r是指兩球心間的距離。2.對萬有引力定律的理解特點內(nèi)容普遍性宇宙間任何兩個有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互吸引的力相互性兩個有質(zhì)量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力。宏觀性地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質(zhì)量巨大的天體之間，或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用（四）eq\a\vs4\al(萬有引力與重力的關(guān)系)當不忽略地球自轉(zhuǎn)時，在緯度不同的地方，物體隨地球做圓周運動的角速度ω相同，而圓周的半徑不同，設(shè)緯度為α，如圖所示，則向心力F向＝mω2Rcosα(R為地球半徑)，可見，隨著緯度升高，向心力將減小。1．萬有引力和重力的大小關(guān)系(1)在兩極Rcosα＝0，則F向＝0，重力和萬有引力大小相等，mg＝Geq\f(Mm,R2)。(2)在赤道F向＝mRω2，萬有引力等于重力和向心力之和，Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mRω2。2．地球重力加速度g及變化(1)地球表面的重力加速度若不考慮地球自轉(zhuǎn)，在地球表面處有mg＝Geq\f(Mm,R2)，可以得出地球表面處的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)。(2)某高度處的重力加速度在距地表高度為h的高空處，萬有引力引起的重力加速度為g′，則mg′＝Geq\f(Mm,(R＋h)2)。即距地面高度為h處的重力加速度g′＝eq\f(GM,(R＋h)2)＝eq\f(R2,(R＋h)2)g。eq\a\vs4\al(利用萬有引力定律求引力)3.萬有引力的兩點注意(1)引力常量極小，一般物體間的萬有引力是極小的，受力分析時可忽略。(2)任何兩個物體間都存在著萬有引力，但并非所有的物體之間的萬有引力都可以用F＝Geq\f(m1m2,r2)進行計算，質(zhì)點間或能看成質(zhì)點的物體間的引力可以應(yīng)用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)計算其大小。1．判斷下列說法的正誤．(1)萬有引力不僅存在于天體之間，也存在于普通物體之間．(√)(2)牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，并測出了引力常量．(×)(3)質(zhì)量一定的兩個物體，若距離無限小，它們間的萬有引力趨于無限大．(×)(4)由于太陽質(zhì)量大，太陽對行星的引力大于行星對太陽的引力．(×)2．兩個質(zhì)量都是1kg的物體(可看成質(zhì)點)，相距1m時，兩物體間的萬有引力F＝________N，其中一個物體的重力F′＝________N，萬有引力F與重力F′的比值為________．(已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，取重力加速度g＝10m/s2)答案6.67×10－11106.67×10－12知識點一、對太陽與行星間引力的理解萬有引力定律的得出過程【經(jīng)典例題1】關(guān)于行星對太陽的引力，下列說法正確的是()A．行星對太陽的引力提供了行星做勻速圓周運動的向心力B．行星對太陽的引力大小與行星的質(zhì)量成正比，與行星和太陽間的距離成反比C．太陽對行星的引力公式是由實驗得出的D．太陽對行星的引力公式是由開普勒定律和行星繞太陽做勻速圓周運動的規(guī)律推導(dǎo)出來的答案D【變式訓(xùn)練1】(多選)根據(jù)開普勒行星運動定律和圓周運動的知識知：太陽對行星的引力F∝eq\f(m,r2)，行星對太陽的引力F′∝eq\f(m太,r2)，其中m太、m、r分別為太陽質(zhì)量、行星質(zhì)量和太陽與行星間的距離，下列說法正確的是()A．由F′∝eq\f(m太,r2)和F∝eq\f(m,r2)，得F∶F′＝m∶m太B．F和F′大小相等，是作用力與反作用力C．F和F′大小相等，是同一個力D．太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力答案BD解析由于力的作用是相互的，則F′和F大小相等、方向相反，是作用力與反作用力，太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力，故正確答案為B、D.知識點二、萬有引力定律1．萬有引力定律表達式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.2．萬有引力定律公式的適用條件(1)兩個質(zhì)點間的相互作用．(2)一個均勻球體與球外一個質(zhì)點間的相互作用，r為球心到質(zhì)點的距離．(3)兩個質(zhì)量均勻的球體間的相互作用，r為兩球心間的距離．【經(jīng)典例題1】對于萬有引力定律的表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列說法正確的是()A．公式中G為引力常量，它是由實驗測得的，而不是人為規(guī)定的B．當r趨近于零時，萬有引力趨于無窮大C．對于m1與m2間的萬有引力，質(zhì)量大的受到的引力大D．m1與m2受到的引力是一對平衡力答案A解析萬有引力定律的表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)，公式中G為引力常量，它是由實驗測得的，而不是人為規(guī)定的，選項A正確；當r趨近于零時，萬有引力定律表達式不再適用，選項B錯誤；m1與m2間的萬有引力是相互作用力，兩物體受到的萬有引力是等大反向的，選項C錯誤；m1與m2受到的引力是一對相互作用力，因作用在兩個物體上，故不是平衡力，選項D錯誤．【變式訓(xùn)練1】關(guān)于萬有引力公式，以下說法正確的是（）A.公式只適用于星球之間的引力計算，不適用于質(zhì)量較小的物體B.當兩物體間的距離趨近于0時，萬有引力趨近于無窮大C.兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律D.公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的【答案】C【解析】【詳解】萬有引力定律適用于任何兩個可以看成質(zhì)點的物體之間或均質(zhì)球體之間的引力計算，故A錯誤；當兩物體間的距離趨近于0時，萬有引力公式不再適用，萬有引力不會趨近于無窮大，故B錯誤；兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律，總是大小相等、方向相反，是一對相互作用力，故C正確；公式中引力常量G的值是卡文迪許測定的，故D錯誤．所以C正確，ABD錯誤．【經(jīng)典例題2】如圖所示，兩球間的距離為r0.兩球的質(zhì)量分布均勻，質(zhì)量分別為m1、m2，半徑分別為r1、r2，則兩球間的萬有引力大小為()A．Geq\f(m1m2,r02) B.eq\f(Gm1m2,r12)C.eq\f(Gm1m2,r1＋r22) D.eq\f(Gm1m2,r1＋r2＋r02)答案D解析兩個勻質(zhì)球體間的萬有引力F＝Geq\f(m1m2,r2)，r是兩球心間的距離，選D.【變式訓(xùn)練2】如圖所示，某行星繞太陽運行的軌道為橢圓，該行星在近日點A受到太陽對它的萬有引力為，在遠日點B受到太陽對它的萬有引力為。和則大小關(guān)系為（）A.﹤ B.= C.﹥ D.無法確定【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)萬有引力定律可得由于該行星在近日點時距離太陽的距離小于在遠日點時距離太陽的距離，故有故C正確，A、B、D錯誤；故選C知識點三、重力和萬有引力的關(guān)系1.地球表面處重力與萬有引力的關(guān)系：除兩極以外，地面上其他點的物體，都圍繞地軸做圓周運動，這就需要一個垂直于地軸的向心力．地球?qū)ξ矬w引力的一個分力F′提供向心力，另一個分力為重力G，如圖3所示．圖3(1)當物體在兩極時：G＝F引，重力達到最大值Gmax＝Geq\f(Mm,R2).方向與引力方向相同，指向地心．(2)當物體在赤道上時：F′＝mω2R最大，此時重力最小Gmin＝Geq\f(Mm,R2)－mω2R方向與引力方向相同，指向地心．(3)從赤道到兩極：隨著緯度增加，向心力F′＝mω2R′減小，F(xiàn)′與F引夾角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大．因為F′、F引、G不在一條直線上，重力G與萬有引力F引方向有偏差，重力大小mg<Geq\f(Mm,R2).2．重力與高度的關(guān)系若距離地面的高度為h，則mg′＝Geq\f(Mm,R＋h2)(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度)．在同一緯度，距地面越高，重力加速度越?。?．特別說明(1)重力是物體由于地球吸引產(chǎn)生的，但重力不是地球?qū)ξ矬w的引力．(2)在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，認為mg＝Geq\f(Mm,R2).【經(jīng)典例題1】(多選)如圖所示，P、Q是質(zhì)量均為m的兩個質(zhì)點，分別置于地球表面不同緯度上，如果把地球看成是一個質(zhì)量分布均勻的球體，P、Q兩質(zhì)點隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動，則下列說法正確的是()A．P、Q受地球引力大小相等B．P、Q做圓周運動的向心力大小相等C．P、Q做圓周運動的角速度大小相等D．P、Q兩質(zhì)點的重力大小相等答案AC解析P、Q兩質(zhì)點所受地球引力都是F＝Geq\f(Mm,r2)，故A正確；P、Q都隨地球一起轉(zhuǎn)動，其角速度一樣大，但P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，根據(jù)Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B錯誤，C正確；物體的重力為萬有引力的一個分力，在赤道處最小，隨著緯度的增加而增大，在兩極處最大，故D錯誤．【變式訓(xùn)練1】火星半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，火星質(zhì)量大約是地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，那么地球表面上質(zhì)量為50kg的宇航員(地球表面的重力加速度g取10m/s2)(1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航員在地球表面能跳1.5m高，那他在火星表面能跳多高？答案(1)222.2N(2)3.375m解析(1)在地球表面有mg＝Geq\f(Mm,R2)在火星表面上有mg′＝Geq\f(M′m,R′2)代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立解得g′＝eq\f(40,9)m/s2則宇航員在火星表面上受到的重力G′＝mg′＝50×eq\f(40,9)N≈222.2N.(2)在地球表面宇航員跳起的高度H＝eq\f(v02,2g)在火星表面宇航員能夠跳起的高度h＝eq\f(v02,2g′)聯(lián)立解得h＝eq\f(g,g′)H＝eq\f(10,\f(40,9))×1.5m＝3.375m.一、單項選擇題1.牛頓得出了萬有引力與物體質(zhì)量及它們之間距離的關(guān)系，但不知道引力常量G的值，第一個在實驗室比較準確測定引力常量G值的科學家是A.哥白尼 B.第谷 C.開普勒 D.卡文迪許【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)物理學史可知，第一個在實驗室比較準確測定引力常量G值的科學家是卡文迪許．A.哥白尼，與結(jié)論不相符，選項A錯誤；B.第谷，與結(jié)論不相符，選項B錯誤；C開普勒，與結(jié)論不相符，選項C錯誤；D.卡文迪許，與結(jié)論相符，選項D正確；2.兩個質(zhì)點之間萬有引力的大小為F，如果將這兩個質(zhì)點之間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍，那么它們之間萬有引力的大小變?yōu)锳. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)萬有引力定律公式得，將這兩個質(zhì)點之間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍，則萬有引力的大小變?yōu)樵瓉淼?，故萬有引力變?yōu)椋瓵.與結(jié)論相符，選項A正確；B.與結(jié)論不相符，選項B錯誤；C.與結(jié)論不相符，選項C錯誤；D.與結(jié)論不相符，選項D錯誤；3.物理學領(lǐng)域中具有普適性的一些常量，對物理學的發(fā)展有很大作用，引力常量就是其中之一。1687年牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，但并沒有得出引力常量。直到1798年，卡文迪許首次利用如圖所示的裝置，比較精確地測量出了引力常量。關(guān)于這段歷史，下列說法錯誤的是（）A.卡文迪許被稱為“首個測量地球質(zhì)量的人”B.萬有引力定律是牛頓和卡文迪許共同發(fā)現(xiàn)的C.這個實驗裝置巧妙地利用放大原理，提高了測量精度D.引力常量不易測量的一個重要原因就是地面上普通物體間的引力太微小【答案】B【解析】【詳解】A．卡文迪許因為首次比較精確地測量出了引力常量，被稱為“首個測量地球質(zhì)量的人”，選項A正確，不符合題意；B．萬有引力定律是牛頓發(fā)現(xiàn)的，選項B錯誤，符合題意；C．這個實驗裝置巧妙地利用放大原理，提高了測量精度，選項C正確，不符合題意；D．引力常量不易測量的一個重要原因就是地面上普通物體間的引力太微小，選項D正確，不符合題意。故選B。4.牛頓定律不適用于下列哪些情況()A.研究原子中電子的運動 B.研究“嫦娥三號”的高速發(fā)射C.研究地球繞太陽的運動 D.研究飛機從北京飛往紐約的航線【答案】A【解析】【詳解】A.牛頓第二定律不適用于微觀原子，A正確；BCD.都是宏觀低速運動的物體（與光速比速度較低），牛頓運動定律都適用，BCD錯誤。故選A。5.兩個質(zhì)量均勻的球體相距r，它們之間的萬有引力為，若它們的質(zhì)量、距離都增加為原來的2倍，則它們間的萬有引力為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)萬有引力定律得，若它們的質(zhì)量、距離都增加為原來的2倍，則萬有引力不變．則，故選A.6.如圖所示，兩個星體的質(zhì)量均為m，O為兩星體連線的中點，連線的垂直平分線為MN，可視為質(zhì)點的一顆小行星從O點沿OM方向運動（到無窮遠），則小行星所受到的萬有引力大小F隨距離r的大致變化為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】因為在連線的中點時所受萬有引力的和為零，當運動到很遠很遠時合力也為零（因為距離無窮大萬有引力為零），而在其他位置不是零所以先增大后減小。設(shè)兩個質(zhì)量均為m的星體的距離是2L，物體質(zhì)量是m′，物體沿OM方向運動距離是r時，它所受到的萬有引力大小為所以F和r不是線性關(guān)系。故選D。7.萬有引力常量G的單位是（）A.N?kg2/m2 B.kg2/N?m2 C.N?m2/kg2 D.m2/N?kg2【答案】C【解析】【詳解】萬有引力定律F=G，公式中，質(zhì)量m的單位為kg，距離r的單位為m，引力F的單位為N，由公式推導(dǎo)得出，G的單位為N?m2/kg2．故C正確，ABD錯誤；故選C．8.地球的質(zhì)量為M，半徑為R。質(zhì)量為m的宇航員離地面高度為h時，受到地球的萬有引力為（）A.F＝G B.F＝GC.F＝G D.F＝G【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)萬有引力公式有，其中萬有引力大小為故D正確，ABC錯誤；故選D。二、多項選擇題9.對于公式理解正確是（）A.m1與m2之間的相互作用力，總是大小相等、方向相反，是一對平衡力B.m1與m2之間的相互作用力，總是大小相等、方向相反，是一對作用力與反作用力C.當r趨近于零時F趨向無窮大D.當r趨近于零時，公式不適用【答案】BD【解析】【詳解】AB．兩物體間的萬有引力是一對相互作用力，而非平衡力，故A錯誤，B正確；CD．萬有引力公式F=只適用于質(zhì)點間的萬有引力計算，當r→0時，物體便不能再視為質(zhì)點，公式不適用，故C錯誤，D正確。故選BD。10.下列說法符合史實的是（）A.開普勒發(fā)現(xiàn)了行星的運動定律B.牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律C.卡文迪許第一次在實驗室里測出了萬有引力常量D.牛頓發(fā)現(xiàn)海王星和冥王星【答案】ABC【解析】【詳解】AB．牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，開普勒發(fā)現(xiàn)了行星的運動規(guī)律，故AB正確；C．卡文迪許首次在實驗室里精確測出了萬有引力常量，故C正確；D．科學家亞當斯通過對天王星的長期觀察發(fā)現(xiàn)，其實際運行的軌道與圓軌道存在一些偏離，且每隔時間t發(fā)生一次最大的偏離．亞當斯利用牛頓發(fā)現(xiàn)的萬有引力