計(jì)算機(jī)算法分析與設(shè)計(jì)(研究生)全冊(cè)配套課件(二)

計(jì)算機(jī)算法分析與設(shè)計(jì)(研究生)全冊(cè)配套課件(二)0-1背包問(wèn)題(0-1KnapsackProblem)設(shè)有n個(gè)物體和一個(gè)背包,物體i的重量為wi價(jià)值為pi背包的載荷為M,若將物體i(1

i

n,)裝入背包,則有價(jià)值為pi.目標(biāo)是找到一個(gè)方案,使得能放入背包的物體總價(jià)值最高算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法若取W=(20,15,15),P=(40,25,25),C=30例題有限離散問(wèn)題總可以用窮舉法求得問(wèn)題的全部.例如取N=3,問(wèn)題所有可能的解為(解空間):(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)

可表示為一棵3層的完全正則二叉樹(shù)時(shí)間復(fù)雜性:O(2n)求解過(guò)程相當(dāng)于在樹(shù)中搜索滿足條件的葉結(jié)點(diǎn).第五章.回溯法(Backtracking)設(shè)問(wèn)題的解可表示為n元組(x1,x2,…xn),xi

si,si為有限集,n元組的子組(x1,x2,…xi)i<n應(yīng)滿足一定的約束條件D.設(shè)已有滿足約束條件的部分解(x1,x2,…xi),添加xi+1

si+1,若(x1,x2,…xi,xi+1)滿足約束條件,則繼續(xù)添加xi+2;若所有可能的xi+1

si+1均不滿足約束條件,則去掉xi,回溯到(x1,x2,…xi-1),添加尚未考慮過(guò)的xi,如此反復(fù)進(jìn)行,直到(x1,x2,…xk)k

n滿足所有的約束條件或證明無(wú)解.5.1基本思想算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法E={(x1,x2,…xn),xi

si,si為有限集}稱為問(wèn)題的解空間.約束條件隱約束:元組的分量間滿足函數(shù)關(guān)系f(x1,...xn)顯約束:每個(gè)xi的范圍都給定的約束.滿足顯約束的全體向量構(gòu)成解空間.例題算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法1.子集樹(shù):當(dāng)解向量為不定長(zhǎng)n元組時(shí),樹(shù)中從根至每一結(jié)點(diǎn)的路徑集合構(gòu)成解空間.樹(shù)的每個(gè)結(jié)點(diǎn)稱為一個(gè)解狀態(tài),有兒子的結(jié)點(diǎn)稱為可擴(kuò)展結(jié)點(diǎn),葉結(jié)點(diǎn)稱為終止結(jié)點(diǎn),若結(jié)點(diǎn)v對(duì)應(yīng)解狀態(tài)(x1,x2,…xi),則其兒子對(duì)應(yīng)擴(kuò)展的解狀態(tài)(x1,x2,…xi,xi+1).滿足所有約束條件的解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)稱為回答結(jié)點(diǎn).2.排序樹(shù):當(dāng)解向量為定長(zhǎng)n元組時(shí),樹(shù)中從根至葉結(jié)點(diǎn)的路徑的集合構(gòu)成解空間.樹(shù)的每個(gè)葉結(jié)點(diǎn)稱為一個(gè)解狀態(tài).解空間樹(shù)構(gòu)造:搜索按深度優(yōu)先策略從根開(kāi)始,當(dāng)搜索到任一結(jié)點(diǎn)時(shí),判斷該點(diǎn)是否滿足約束條件D(剪枝函數(shù)),滿足則繼續(xù)向下深度優(yōu)先搜索,否則跳過(guò)該結(jié)點(diǎn)以下的子樹(shù)(剪枝),向上逐級(jí)回溯.搜索過(guò)程:求解過(guò)程可表示為在一棵解空間樹(shù)作深度優(yōu)先搜索.0-1背包問(wèn)題設(shè)有n個(gè)物體和一個(gè)背包,物體i的重量為wi價(jià)值為pi背包的載荷為M,若將物體i(1

i

n,)裝入背包,則有價(jià)值為pi.目標(biāo)是找到一個(gè)方案,使得能放入背包的物體總價(jià)值最高算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法

設(shè)N=3,W=(20,15,15),P=(40,25,25),C=30例題x1=123x2=233x3=3ABCDEFGH子集樹(shù)排序樹(shù)中間結(jié)點(diǎn)可以是解,例如,只裝物體1,B是解只有葉結(jié)點(diǎn)可以是解xi表示第i次選擇物體號(hào)ProcedureBACKTRACK(n)；{k:=l；

repeatifTK(x1,x2,...xK-1)中的值未取遍then{xK:＝TK(x1，x2，...,xK-1)中未取過(guò)的一個(gè)值；

ifBK(x1,x2,...,xK)then//狀態(tài)結(jié)點(diǎn)(x1,...xk)被激活

ifk＝nthenoutput(x1,x2,...,xk)//輸出一個(gè)回答結(jié)點(diǎn)

e1sek:＝k+l；

}

//深度優(yōu)先

e1sek:＝k-l；//回溯

untilk＝0；//回溯到根結(jié)點(diǎn)end；{BACKTRACK}算法模式回溯法解題步驟:1).針對(duì)所給問(wèn)題,定義問(wèn)題的解空間2).確定解空間結(jié)構(gòu).3).以深度優(yōu)先方式搜索解空間.算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法遞歸回溯算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法voidBacktrack(intt){if(t>n)Output(x);else//f(n,t):leftChild;g(n,t):rightChildfor(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++)x[t]=h(i);//Valueforcurrentchildif(Constraint(t)&&Bound(t))Backtrack(t+1)}}voidIterativeBacktrack(void){intt=1;while(t>0){if(f(n,t)<=g(n,t))//對(duì)剩下子樹(shù)處理

for(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(Constraint(t)&&Bound(t)){if(Solution(t))Output(x);elset++;}}//i=f(n,t)-1,進(jìn)入下一結(jié)點(diǎn)

elset--;//所有剩下子樹(shù)處理完畢}}}迭代回溯算法思路1:問(wèn)題的解可表示為k元向量{x1,x2,...xk},1

k

n,xiW

解空間樹(shù)為子集樹(shù).1)當(dāng)i

j,xi

xj

2)3)

問(wèn)題陳述:給定n個(gè)不同正實(shí)數(shù)的集合W={w(i)|1

i

n}和一個(gè)正整數(shù)M,要求找到子集S,使得=M算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>子集和

例如設(shè)n=4,W=(11,13,24,7),M=31

滿足約束條件的子集為(11,13,7),和(24,7),5.2子集和問(wèn)題S=(1,2,4),和S=(3,4),約束條件x1=w1w2w3w4x2=w2w3w4w4w4w4w3w3w4w4w4+xj+1

M+

M選xj+1代表的分枝不超界選xj+1代表的分枝最終能夠達(dá)到M元素不能重復(fù)選取算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法算法思路2:問(wèn)題的解可表示為n元向量{x1,x2,...xn},

xi=1或0則問(wèn)題的解空間樹(shù)為排序樹(shù)約束條件:>子集和+

Mn=4,W=(11,13,24,7),M=31//即使選了下一個(gè),和不超界,所以,選與不選的//子樹(shù)都可以展開(kāi)//未來(lái)值有可能使累和達(dá)到Mproceduresumofsub(s，k，r)；

{正實(shí)數(shù)組W[l..n]，布爾數(shù)組X[l..n).M，n：均為全局量。

W[l..n]按非降次序排列，s=W[j]X[j]，r=W[j]

假定W[l]≤M及W[i]≥M}{X[k]:=1；

lfs+W[k]=MthenPrinttheresultX[1..k]elseifs+W[k]+W[k+1]<＝Mthensumofsub(s+W[k]，k+1，r-W[k])ifs+r-W[k]>＝Mands+W[k+1]≤＝Mthen{X[k]:=0;sumofsub(s,k+1，r-W[k])；}算法復(fù)雜性:約為窮舉法的1/3子集合問(wèn)題回溯算法(排列樹(shù))算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>子集合//進(jìn)右子樹(shù)及條件(不選后不超界,且有達(dá)到M的可能)//進(jìn)左子樹(shù)及條件(選后不超界,而達(dá)到M的可能性在進(jìn)入第k層時(shí)已保證)算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>子集合n=6,m=30,w={5,10,12,13,15,18}時(shí)由算法生成的部分解空間樹(shù)子集和s剩余元素之和r當(dāng)前層次k算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>n后問(wèn)題5.3裝載問(wèn)題問(wèn)題描述:n個(gè)集裝箱裝到2艘載重量分別為c1,c2的貨輪,其中集裝箱i的重量為wi且

問(wèn)題要求找到一個(gè)合理的裝載方案可將這n個(gè)貨箱裝上這2艘輪船。例如當(dāng)n=3,c1=c2=50,w=[10,40,40],可將貨箱1和2裝到第一艘船上;貨箱3裝到第二艘船上;若w=[20,40,40],則無(wú)法將全部貨箱裝船.當(dāng)時(shí)問(wèn)題等價(jià)于子集和問(wèn)題;當(dāng)c1=c2且時(shí)問(wèn)題等價(jià)于劃分問(wèn)題.若裝載問(wèn)題有解,采用如下策略可得一個(gè)最優(yōu)裝載方案:(1)將第一艘輪船盡可能裝滿;(2)將剩余的貨箱裝到第二艘輪船上。將第一艘船盡可能裝滿等價(jià)于如下0-l背包問(wèn)題:xi{0,1},1in可采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解,其時(shí)間復(fù)雜性為:O(2n)算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>裝載問(wèn)題算法思路:用排序樹(shù)表示解空間,則解為n元向量{x1,...,xn},

xi{0,1}

+wj+1

c1約束條件:由于是最優(yōu)化問(wèn)題,可利用最優(yōu)解性質(zhì)進(jìn)一步剪去不含最優(yōu)解的子樹(shù):設(shè)bestw:當(dāng)前最優(yōu)載重量,cw=:當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的載重量;r=:剩余集裝箱的重量;cw+r≤bestw+wj+1>c1選wj+1就超界,所以,左分枝不能選剪左子樹(shù)條件:剪右子樹(shù)條件:不選wj+1,結(jié)果無(wú)法達(dá)到最優(yōu),所以右分枝不能選算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>裝載問(wèn)題例如n=4,c1=12,w=[8,6,2,3].cw=0cw=8cw=14cw=8cw=10cw=13bestw=10cw=8bestw=11cw=0cw=6cw=8bestw=11算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>裝載問(wèn)題template<classType>voidLoading<Type>::Backtrack(inti){//搜索第i層結(jié)點(diǎn)

if(i>n){//到達(dá)葉結(jié)點(diǎn)

bestw=cw；

return；}

//搜索子樹(shù)

r-=w[i];if(cw+w[i]<=c){//x[i]=1cw+=w[i]；

Backtrack(i+1)；

cw-=w[i];//復(fù)原}if(cw+r>bestw){//x[i]=0Backtrack(i+1)；

r+=w[i];//復(fù)原

}

template<classType>TypeMaxloading(typew[],typec,intn,)loading<Type>X；

//初始化XX.w=w;//集裝箱重量數(shù)組

X.c=c;//第一艘船載重量

X.n=n；//集裝箱數(shù)

X.bestw=0;//當(dāng)前最優(yōu)載重

X.cw=0;//當(dāng)前載重量

X.r=0;//剩余集裝箱重量

for(inti=1;i<=n;i++)X.r+=w[i]//計(jì)算最優(yōu)載重量

X.Backtrack(1)；

returnX.bestw；}裝載問(wèn)題的回溯算法算法復(fù)雜性:O(2n)算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>n后問(wèn)題5．3批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題描述:給定n個(gè)作業(yè)的集合J=(J1,J2,...,Jn)。每一作業(yè)Ji都有兩項(xiàng)任務(wù)要分別在2臺(tái)機(jī)器上完成.每一作業(yè)須先由機(jī)器l處理,再由機(jī)器2處理.設(shè)tji是作業(yè)Ji在機(jī)器j上的處理時(shí)間,i=1,...,n,j=1,2.Fji是作業(yè)Ji在機(jī)器j上完成處理的時(shí)間.所有作業(yè)在機(jī)器2上完成時(shí)間和:f=∑F2i

稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時(shí)間和.對(duì)于給定的J,要求制定一個(gè)最佳作業(yè)調(diào)度方案,使完成時(shí)間和最小.算法思路:設(shè)解為n元向量{x1,...,xn},

xi{1,..n},用排序樹(shù)表示解空間

約束條件:當(dāng)i

j,xi

xj(元素不能重復(fù)選取)

例題例題算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>作業(yè)調(diào)度voidFlowshop::Backtrack(inti){if(i>n){for(intj=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestf=f;}elsefor(intj=i;j<=n;j++){fl+=M[x[j]][1];f2[i]=((f2[i-1]>fl)?f2[i-1]:fl)+M[x[j]][2];f+=f2[i];if(f<bestf){Swap(x[i],x[j]);Backtrack(i+1);Swap(x[i],x[j]);}fl-=M[x[j]][1];f-=f2[i];}}intFlow(int**M,intn,intbestx[]){intub=32767;FlowshopX;X.x=newint[n+1];//當(dāng)前調(diào)度

X.f2=newint[n+l];X.M=M;//各作業(yè)所需處理時(shí)間

X.n=n;//作業(yè)數(shù)

X.bestx=bestx;//當(dāng)前最優(yōu)調(diào)度

X.bestf=ub;//當(dāng)前最優(yōu)調(diào)度時(shí)間

X.fl=0;//機(jī)器2完成處理時(shí)間

X.f=0;//機(jī)器1完成處理時(shí)間

for(inti=0;i<=n;i++)X.f2[i]=0,X.x[i]=i;X.Backtrack(1);delete[]X.x;delete[]X.f2;returnX.bestf;}算法復(fù)雜性:O(n!)作業(yè)調(diào)度回溯算法算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>作業(yè)調(diào)度

機(jī)器1機(jī)器2

作業(yè)121

作業(yè)231

作業(yè)323tji

這三個(gè)作業(yè)的6種可能調(diào)度方案是:1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,l,2;3,2,l;相應(yīng)的完成時(shí)間和分別是:10,8,10，9，7，8。最佳調(diào)度:3,1,2;完成時(shí)間為7。機(jī)器1機(jī)器2J1J1J3J3J2J2調(diào)度1,3,2例題機(jī)器1機(jī)器2J3J3J2J2調(diào)度3,1,2J1J1算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>作業(yè)調(diào)度

機(jī)器1機(jī)器2

作業(yè)121

作業(yè)231

作業(yè)323tji

這三個(gè)作業(yè)的6種可能調(diào)度方案是:1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,l,2;3,2,l;相應(yīng)的完成時(shí)間和分別是:10,8,10，9，7，8。最佳調(diào)度:3,1,2;完成時(shí)間為7。x1=J1J2J3x2=J2J3J1x3=J3ABCDEFJ2bestx=7J3EFJ3J1J2EFJ2J2J1例題算法思路:將棋盤從左至右,從上到下編號(hào)為1,...,n,皇后編號(hào)為1,...,n.設(shè)解為(x1,...,xn),xi為皇后i的列號(hào),且xi位于第i行.解空間:E={(x1,...,xn)|xi

Si,i=1,...,n},Si={1,...,n},1

i

n解空間為排列樹(shù).其約束集合D為

1)xi

xj2)xi-i

xj-j3)xi+i

xj+j皇后i,j不在同一斜線上算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>n后問(wèn)題5.3n后問(wèn)題皇后i,j不在同一列上問(wèn)題描述:nxn棋盤上放置n個(gè)皇后使得每個(gè)皇后互不受攻擊.即任二皇后不能位于同行同列和同一斜線上.

如四后問(wèn)題的解算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>n后問(wèn)題回溯求解四后問(wèn)題過(guò)程中被激活過(guò)的結(jié)點(diǎn)算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>n后問(wèn)題算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>n后問(wèn)題boolQueen::Place(intk){for(intj=1;j<k;j++)if((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k]))returnfalse;returntrue;}

voidQueen::Backtrack(intt){if(t>n)sum++;elsefor(inti=1;i<=n;i++){x[t]=i;if(Place(t))Backtrack(t+1)}}intnQueen(intn){QueenX；

//初始化X

X.n=n；//皇后個(gè)數(shù)

X.sum=0；

int*p=newint[n+1]；

for(inti=0；i<=n；i++)p[i]=0；

X.x=p；

X.Backtrack(1)；

ddete[]p；

returnX.sum；}n后問(wèn)題的回溯算法算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>最大團(tuán)問(wèn)題設(shè)無(wú)向圖G=(V,E),UV,若對(duì)任意u,vU,有(u,v)

E,則稱U是G的一個(gè)完全子圖。G的完全子圖U是G的一個(gè)團(tuán)(完備子圖)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。如果UV,且對(duì)任意u,vU,(u,v)

E,則稱U是G的一個(gè)空子圖。G的空子圖U是G的一個(gè)獨(dú)立集當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的空子圖中。G的最大獨(dú)立集是G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的獨(dú)立集。*若U是G的一個(gè)完全子圖,則U是G的補(bǔ)圖的一個(gè)獨(dú)立集.5.7

最大團(tuán)問(wèn)題

問(wèn)題描述:在G中找一個(gè)最大團(tuán).

例如最大團(tuán):{1,2,5},{1,4,5},:{2,3,5}G的補(bǔ)圖基本概念設(shè)無(wú)向圖G=(V,E),|V|=n,用鄰接矩陣a表示圖G,問(wèn)題的解可表示為n元向量{x1,...xn},

xi{0,1}.問(wèn)題的解空間用排序樹(shù)表示.約束條件:{x1,x2,...xi}

{xi+1}是團(tuán).目標(biāo)函數(shù)限界:設(shè)bestn:已求出的最大團(tuán)的尺寸;cn:當(dāng)前團(tuán)的尺寸;r:剩余結(jié)點(diǎn)數(shù)目;當(dāng)cn+r≤bestn時(shí),將cn對(duì)應(yīng)右子樹(shù)剪去。.算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>最大團(tuán)問(wèn)題

算法思路.........101101算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>最大團(tuán)問(wèn)題

最大團(tuán)問(wèn)題的回溯算法voidclique::Backtrack(inti)if(cn+n-i>bestn){{if(i>n){//找到更大團(tuán),更新x[i]=0;//進(jìn)入右子樹(shù)

for(intj=1;j<=n；j++)Backtrack(i+1);}bestx[j]=x[j];bestn=cn;return;}

//檢查頂點(diǎn)i是否與當(dāng)前團(tuán)相連

intOK=1;for(intj=1;j<=i;j++)if(x[j]&&a[i][j]==0){//i不與j相連

OK=0;break;}if(OK){//進(jìn)入左子樹(shù)

x[i]=1;//把i加入團(tuán)

cn++;Backtrack(i+1);cn--;}intMaxClique(int**a,intv[i],intn)CliqueY;Y.x=newint[n+l];Y.a=a;//圖G的鄰接矩陣

Y.n=n;//圖G頂點(diǎn)數(shù)

Y.cn=0;//當(dāng)前團(tuán)頂點(diǎn)數(shù)

Y.bestn=0;//當(dāng)前最大團(tuán)頂點(diǎn)數(shù)

Y.bestx=v;//當(dāng)前最優(yōu)解

Y.Backtrack(1);delete[]Y.x;returnY.best}算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>著色問(wèn)題圖的m色判定問(wèn)題:給定無(wú)向連通圖G和m種顏色。用這些顏色為圖G的各頂點(diǎn)著色.問(wèn)是否存在著色方法,使得G中任2鄰接點(diǎn)有不同顏色。圖的m色優(yōu)化問(wèn)題:給定無(wú)向連通圖G,為圖G的各頂點(diǎn)著色,使圖中任2鄰接點(diǎn)著不同顏色,問(wèn)最少需要幾種顏色。所需的最少顏色的數(shù)目m稱為該圖的色數(shù)。5.8圖的m著色問(wèn)題

問(wèn)題描述若圖G是個(gè)平面圖,則它的色數(shù)不超過(guò)4色(4色定理).4色定理的應(yīng)用:在一個(gè)平面或球面上的任何地圖能夠只用4種顏色來(lái)著色使得相鄰的國(guó)家在地圖上著有不同顏色4321512345a).將G的結(jié)點(diǎn)按照度數(shù)遞減的次序排列.b).用第一種顏色對(duì)第一個(gè)結(jié)點(diǎn)著色,并按照結(jié)點(diǎn)排列的次序?qū)εc前面著色點(diǎn)不鄰接的每一點(diǎn)著以相同顏色.c).用第二種顏色對(duì)尚未著色的點(diǎn)重復(fù)步驟b).用第三種顏色繼續(xù)這種作法,直到所有點(diǎn)著色完為止.

任意圖的著色WelchPowell法a1a5a4a6a2a3a7a8

排序:a5,a3,a7,a1,a2,a4,a6,a8

著第一色:a5,a1,

著第二色:a3,a4,a8

著第三色:a7,a2,a6圖論

>對(duì)偶圖與著色算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>圖的m著色設(shè)圖G=(V,E),|V|=n,顏色數(shù)=m,用鄰接矩陣a表示G,用整數(shù)1,2…m來(lái)表示m種不同的顏色。頂點(diǎn)i所著的顏色用x[i]表示。問(wèn)題的解向量可以表示為n元組x={x[1],...,x[n]}.x[i]{1,2,...,m},解空間樹(shù)為排序樹(shù),是一棵n+1層的完全m叉樹(shù).在解空間樹(shù)中做深度優(yōu)先搜索,約束條件:x[i]

x[j],如果a[j][i]=1.

算法思路n=3,m=3時(shí)的解空間樹(shù)132a=算法設(shè)計(jì)與分析>回溯法>著色問(wèn)題intmColoring(intn,intm,int**a){ColorX；

//初始化XX．n=n；//圖的頂點(diǎn)數(shù)

X．m=m//可用顏色數(shù)

X．a(chǎn)=a；//圖的鄰接矩陣

X．Sum=0;//已找到的著色方案數(shù)

int*p=newint[n+1]；

for(inti=0；i<=n；i++)p[i]=0；

X.x=p//當(dāng)前解；

X.Backtrack(1)；

delete[]p；

returnX．sum；}

算法復(fù)雜性:著色問(wèn)題回溯算法boolColor::Ok(intk){//檢查顏色可用性

for(intj=1；j<=n；j++)if((a[k][j]==1)＆＆(x[j]==x[k]))returnfalse；

returntrue；voidColor::backtrack(intt){if(t>n){sum++；

for(inti=1;i<=n;i++)cout<<x[i]<<‘’；

cout<<endl；}elsefor(inti=1;i<=m;i++){x[t]=i;if(Ok(t))Backtrack(t+1);}}M叉樹(shù)的剪枝條件31第5章分支限界法32學(xué)習(xí)要點(diǎn)理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法通過(guò)應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。（1）單源最短路徑問(wèn)題（2）裝載問(wèn)題；（3）布線問(wèn)題（4）0-1背包問(wèn)題；（5）最大團(tuán)問(wèn)題；（6）旅行售貨員問(wèn)題（7）電路板排列問(wèn)題（8）批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題335.1 分支限界法的基本思想分支限界法與回溯法（1）求解目標(biāo)：回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹(shù)中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。（2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)。

345.1 分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹(shù)。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。活結(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。355.1 分支限界法的基本思想常見(jiàn)的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。

（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。365.2 單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明單源最短路徑問(wèn)題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。375.2 單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問(wèn)題產(chǎn)生的解空間樹(shù)。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。385.2 單源最短路徑問(wèn)題2.算法思想解單源最短路徑問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來(lái)存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開(kāi)始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。395.2 單源最短路徑問(wèn)題3.剪枝策略在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)。在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)剪去。405.2 單源最短路徑問(wèn)題

while(true){for(intj=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]<inf)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])){//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束

dist[j]=E.length+c[E.i][j];prev[j]=E.i;//加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列

MinHeapNode<Type>N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);}try{H.DeleteMin(E);}//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

catch(OutOfBounds){break;}//優(yōu)先隊(duì)列空

}}頂點(diǎn)I和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng)415.3裝載問(wèn)題1.問(wèn)題描述有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。容易證明：如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。425.3裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄?；罱Y(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。435.3裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法while(true){//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

if(Ew+w[i]<=c)//x[i]=1EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n);//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的

EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);//x[i]=0Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

if(Ew==-1){//同層結(jié)點(diǎn)尾部

if(Q.IsEmpty())returnbestw;Q.Add(-1);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;}//進(jìn)入下一層}}445.3裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)表示將此集裝箱裝上船，右子樹(shù)表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+r

bestw時(shí)，可將其右子樹(shù)剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹(shù)成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹(shù)的時(shí)候更新bestw的值。455.3裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

Typewt=Ew+w[i];//左兒子結(jié)點(diǎn)的重量

if(wt<=c){//可行結(jié)點(diǎn)

if(wt>bestw)bestw=wt;//加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列

if(i<n)Q.Add(wt);}提前更新bestw//檢查右兒子結(jié)點(diǎn)

if(Ew+r>bestw&&i<n)Q.Add(Ew);//可能含最優(yōu)解

Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)右兒子剪枝

465.3裝載問(wèn)題4.構(gòu)造最優(yōu)解

為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲(chǔ)相應(yīng)子集樹(shù)中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。

classQNode{QNode*parent;//指向父結(jié)點(diǎn)的指針

boolLChild;//左兒子標(biāo)志

Typeweight;//結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量475.3裝載問(wèn)題找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。4.構(gòu)造最優(yōu)解//構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解for(intj=n-1;j>0;j--){bestx[j]=bestE->LChild;bestE=bestE->parent;}485.3裝載問(wèn)題5.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹(shù)中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。495.4布線問(wèn)題1.算法思想解此問(wèn)題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置a開(kāi)始將它作為第一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過(guò)的方格標(biāo)記為2，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個(gè)過(guò)程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格b或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。505.4布線問(wèn)題Positionoffset[4];offset[0].row=0;offset[0].col=1;//右

offset[1].row=1;offset[1].col=0;//下

offset[2].row=0;offset[2].col=-1;//左

offset[3].row=-1;offset[3].col=0;//上定義移動(dòng)方向的相對(duì)位移

for(inti=0;i<=m+1;i++)grid[0][i]=grid[n+1][i]=1;//頂部和底部

for(inti=0;i<=n+1;i++)grid[i][0]=grid[i][m+1]=1;//左翼和右翼設(shè)置邊界的圍墻515.4布線問(wèn)題for(inti=0;i<NumOfNbrs;i++){nbr.row=here.row+offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==0){//該方格未標(biāo)記

grid[nbr.row][nbr.col]=grid[here.row][here.col]+1;if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col))break;//完成布線

Q.Add(nbr);}}找到目標(biāo)位置后，可以通過(guò)回溯方法找到這條最短路徑。525.50-1背包問(wèn)題算法的思想首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。在下面描述的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問(wèn)題的最優(yōu)值。535.50-1背包問(wèn)題上界函數(shù)while(i<=n&&w[i]<=cleft)//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間{cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間b+=p[i];//p[i]表示i的價(jià)值i++;}if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;

//b為上界函數(shù)545.50-1背包問(wèn)題

while(i!=n+1){//非葉結(jié)點(diǎn)

//檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)

Typewwt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結(jié)點(diǎn)為可行結(jié)點(diǎn)

if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);}up=Bound(i+1);//檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)

if(up>=bestp)//右子樹(shù)可能含最優(yōu)解

AddLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);

//取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）}分支限界搜索過(guò)程555.6最大團(tuán)問(wèn)題給定無(wú)向圖G=(V，E)。如果U

V，且對(duì)任意u，v

U有(u，v)

E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團(tuán)。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團(tuán)。1.問(wèn)題描述565.6最大團(tuán)問(wèn)題2.上界函數(shù)用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹(shù)中所處的層次；用cliqueSize+n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。575.6最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想子集樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其它頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹(shù)中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)upperSize>bestn時(shí)，右子樹(shù)中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹(shù)中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。585.6最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。對(duì)于子集樹(shù)中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSize＝cliqueSize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過(guò)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。595.7旅行售貨員問(wèn)題1.問(wèn)題描述某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。旅行售貨員問(wèn)題的解空間可以組織成一棵樹(shù)，從樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問(wèn)題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。605.7旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法開(kāi)始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹(shù)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：615.7旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述1、首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。2、當(dāng)s<n-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)x[s+1:n-1]中選取的頂點(diǎn)x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost<bestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。625.7旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹(shù)的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。635.8電路板排列問(wèn)題算法描述算法開(kāi)始時(shí)，將排列樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)置為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小cd值的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。首先考慮s=n-1的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的電路板排列。計(jì)算出與x相應(yīng)的密度并在必要時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解。當(dāng)s<n-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的密度node.cd。當(dāng)node.cd<bestd時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)N插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。645.8電路板排列問(wèn)題算法描述do{//結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展

if(E.s==n-1){//僅一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)

intld=0;//最后一塊電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)ld+=B[E.x[n]][j];if(ld<bestd){//密度更小的電路板排列

delete[]bestx;bestx=E.x;bestd=max(ld,E.cd);}S=n-1的情況，計(jì)算出此時(shí)的密度和bestd進(jìn)行比較。655.8電路板排列問(wèn)題算法描述else{//產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)

for(inti=E.s+1;i<=n;i++){BoardNodeN;N.now=newint[m+1];for(intj=1;j<=m;j++)//新插入的電路板

N.now[j]=E.now[j]+B[E.x[i]][j];665.8電路板排列問(wèn)題intld=0;//新插入電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)if(N.now[j]>0&&total[j]!=N.now[j])ld++;N.cd=max(ld,E.cd);if(N.cd<bestd){//可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點(diǎn)

N.x=newint[n+1];N.s=E.s+1;for(intj=1;j<=n;j++)N.x[j]=E.x[j];N.x[N.s]=E.x[i];N.x[i]=E.x[N.s];H.Insert(N);}elsedelete[]N.now;}delete[]E.x;}算法描述計(jì)算出每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)的密度與bestd進(jìn)行比較大于bestd時(shí)加入隊(duì)列675.9批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題1.問(wèn)題的描述給定n個(gè)作業(yè)的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一個(gè)作業(yè)Ji都有2項(xiàng)任務(wù)要分別在2臺(tái)機(jī)器上完成。每一個(gè)作業(yè)必須先由機(jī)器1處理，然后再由機(jī)器2處理。作業(yè)Ji需要機(jī)器j的處理時(shí)間為tji，i=1,2,…,n；j=1,2。對(duì)于一個(gè)確定的作業(yè)調(diào)度，設(shè)是Fji是作業(yè)i在機(jī)器j上完成處理的時(shí)間。則所有作業(yè)在機(jī)器2上完成處理的時(shí)間和稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時(shí)間和。批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題要求對(duì)于給定的n個(gè)作業(yè)，制定最佳作業(yè)調(diào)度方案，使其完成時(shí)間和達(dá)到最小。685.9批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題2.限界函數(shù)在結(jié)點(diǎn)E處相應(yīng)子樹(shù)中葉結(jié)點(diǎn)完成時(shí)間和的下界是：注意到如果選擇Pk，使t1pk在k>=r+1時(shí)依非減序排列，S1則取得極小值。同理如果選擇Pk使t2pk依非減序排列，則S2取得極小值。這可以作為優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中的限界函數(shù)。695.9批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題3.算法描述算法的while循環(huán)完成對(duì)排列樹(shù)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的有序擴(kuò)展。在while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小bb值（完成時(shí)間和下界）的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。首先考慮E.s=n的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)E是排列樹(shù)中的葉結(jié)點(diǎn)。E.sf2是相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的完成時(shí)間和。當(dāng)E.sf2<bestc時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值bestc和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解bestx。當(dāng)E.s<n時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)E的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的完成時(shí)間和的下界bb。當(dāng)bb<bestc時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。而當(dāng)bb

bestc時(shí)，可將結(jié)點(diǎn)node舍去。705.9批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題

while(E.s<=n){if(E.s==n){//葉結(jié)點(diǎn)

if(E.sf2<bestc){bestc=E.sf2;for(inti=0;i<n;i++)bestx[i]=E.x[i];}delete[]E.x;}3.算法描述當(dāng)E.sf2<bestc時(shí)，更新當(dāng)前最優(yōu)值bestc和相應(yīng)的最優(yōu)解bestx715.9批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題3.算法描述else{//產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的兒子結(jié)點(diǎn)

for(inti=E.s;i<n;i++){Swap(E.x[E.s],E.x[i]);intf1,f2;intbb=Bound(E,f1,f2,y);if(bb<bestc){MinHeapNodeN;N.NewNode(E,f1,f2,bb,n);H.Insert(N);}Swap(E.x[E.s],E.x[i]);}delete[]E.x;}//完成結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展當(dāng)bb<bestc時(shí)，將兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中72第6章 NP完全性理論736.1 計(jì)算模型6.1.1隨機(jī)存取機(jī)RAM6.1.2隨機(jī)存取存儲(chǔ)程序機(jī)RASP6.1.3RAM模型的變形與簡(jiǎn)化6.1.4圖靈機(jī)6.1.5圖靈機(jī)模型與RAM模型的關(guān)系6.1.6問(wèn)題變換與計(jì)算復(fù)雜性歸約746.1.1隨機(jī)存取機(jī)RAM1.RAM的結(jié)構(gòu)756.1.1隨機(jī)存取機(jī)RAM2.RAM程序

一個(gè)RAM程序定義了從輸入帶到輸出帶的一個(gè)映射。可以對(duì)這種映射關(guān)系作2種不同的解釋。解釋一：把RAM程序看成是計(jì)算一個(gè)函數(shù) 若一個(gè)RAM程序P總是從輸入帶前n個(gè)方格中讀入n個(gè)整數(shù)x1，x2，…，xn，并且在輸出帶的第一個(gè)方格上輸出一個(gè)整數(shù)y后停機(jī)，那么就說(shuō)程序P計(jì)算了函數(shù)f(x1，x2，…，xn)=y解釋二：把RAM程序當(dāng)作一個(gè)語(yǔ)言接受器。 將字符串S=a1a2…an放在輸入帶上。在輸入帶的第一個(gè)方格中放入符號(hào)a1，第二個(gè)方格中放入符號(hào)a2，…，第n個(gè)方格中放入符號(hào)an。然后在第n+1個(gè)方格中放入0，作為輸入串的結(jié)束標(biāo)志符。如果一個(gè)RAM程序P讀了字符串S及結(jié)束標(biāo)志符0后，在輸出帶的第一格輸出一個(gè)1并停機(jī)，就說(shuō)程序P接受字符串S。766.1.1隨機(jī)存取機(jī)RAM3.RAM程序的耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)一：均勻耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 在均勻耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下，每條RAM指令需要一個(gè)單位時(shí)間；每個(gè)寄存器占用一個(gè)單位空間。以后除特別注明，RAM程序的復(fù)雜性將按照均勻耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)衡量。標(biāo)準(zhǔn)二：對(duì)數(shù)耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)數(shù)耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是基于這樣的假定，即執(zhí)行一條指令的耗費(fèi)與以二進(jìn)制表示的指令的操作數(shù)長(zhǎng)度成比例。在RAM計(jì)算模型下，假定一個(gè)寄存器可存放一個(gè)任意大小的整數(shù)。因此若設(shè)l(i)是整數(shù)i所占的二進(jìn)制位數(shù)，則776.1.2隨機(jī)存取存儲(chǔ)程序機(jī)RASP1.RASP的結(jié)構(gòu) RASP的整體結(jié)構(gòu)類似于RAM，所不同的是RASP的程序是存儲(chǔ)在寄存器中的。每條RASP指令占據(jù)2個(gè)連續(xù)的寄存器。第一個(gè)寄存器存放操作碼的編碼，第二個(gè)寄存器存放地址。RASP指令用整數(shù)進(jìn)行編碼。2.RASP程序的復(fù)雜性

不管是在均勻耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下，還是在對(duì)數(shù)耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下，RAM程序和RASP程序的復(fù)雜性只差一個(gè)常數(shù)因子。在一個(gè)計(jì)算模型下T(n)時(shí)間內(nèi)完成的輸入-輸出映射可在另一個(gè)計(jì)算模型下模擬，并在kT(n)時(shí)間內(nèi)完成。其中k是一個(gè)常數(shù)因子?？臻g復(fù)雜性的情況也是類似的。786.1.3RAM模型的變形與簡(jiǎn)化1.實(shí)隨機(jī)存取機(jī)

RRAM在RRAM模型下，一個(gè)存儲(chǔ)單元可以存放一個(gè)實(shí)數(shù)。下列的各運(yùn)算為基本運(yùn)算且每個(gè)運(yùn)算只耗費(fèi)單位時(shí)間。(1)算術(shù)運(yùn)算+，－，×，／。(2)2個(gè)實(shí)數(shù)間的比較(<，≤，=，≠，≥，>)。(3)間接尋址(整數(shù)地址)。(4)常見(jiàn)函數(shù)的計(jì)算，如三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等。優(yōu)點(diǎn)：能夠方便處理實(shí)數(shù)；

適合于用FORTRAN，PASCAL等高級(jí)語(yǔ)言寫的算法。796.1.3RAM模型的變形與簡(jiǎn)化2.直線式程序 對(duì)于許多問(wèn)題，所設(shè)計(jì)的RAM程序中的轉(zhuǎn)移指令僅用于重復(fù)一組指令，而且重復(fù)的次數(shù)與問(wèn)題的輸入規(guī)模n成比例。在這種情況下，可以用重復(fù)地寫出相同指令組的方法來(lái)消除程序中的循環(huán)。由此，對(duì)每一個(gè)固定的n得到一個(gè)無(wú)循環(huán)的直線式程序。經(jīng)過(guò)對(duì)RAM模型的簡(jiǎn)化，得到直線式程序的指令系統(tǒng)如下：x←y+zx←y-zx←y*zx←y/zx←i其中x，y和z是符號(hào)地址(或變量)，而i是常數(shù)。每條指令耗費(fèi)一個(gè)單位時(shí)間。806.1.3RAM模型的變形與簡(jiǎn)化3.位式計(jì)算 直線式程序計(jì)算模型顯然是基于均勻耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的。在對(duì)數(shù)耗費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下，使用另一個(gè)RAM的簡(jiǎn)化計(jì)算模型，稱之為位式計(jì)算(BitwiseComputation)模型。 除了下列2點(diǎn)外，該計(jì)算模型與直線式程序計(jì)算模型基本相同：(1)假設(shè)所有變量取值0或1，即為位變量。(2)所用的運(yùn)算是邏輯運(yùn)算而不是算術(shù)運(yùn)算。 用∧代表與，∨代表或，

代表異或，

代表非。在位式計(jì)算模型下，每個(gè)邏輯運(yùn)算指令耗費(fèi)一個(gè)單位時(shí)間。

816.1.3RAM模型的變形與簡(jiǎn)化4.位向量運(yùn)算(BitVectorOperations)若在直線式程序計(jì)算模型中，假設(shè)所有變量均為位向量，而且所用的運(yùn)算均為位操作指令，則得到位向量運(yùn)算計(jì)算模型。例如，要表示一個(gè)有100個(gè)頂點(diǎn)的圖中從頂點(diǎn)v到其余各頂點(diǎn)間有沒(méi)有邊相連，可以用100位的一個(gè)位向量表示。若頂點(diǎn)v到頂點(diǎn)vj之間有邊相連，則該位向量的第j位為1，否則為0。缺點(diǎn)：所需的機(jī)器字長(zhǎng)要遠(yuǎn)大于其他模型。

826.1.3RAM模型的變形與簡(jiǎn)化5.判定樹(shù)判定樹(shù)是一棵二叉樹(shù)。它的每個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)形如x∶y的比較。指向該結(jié)點(diǎn)左兒子的邊相應(yīng)于x≤y，標(biāo)號(hào)為≤。指向該結(jié)點(diǎn)右兒子的邊相應(yīng)于x>y，標(biāo)號(hào)為>。每一次比較耗費(fèi)一個(gè)單位時(shí)間。下圖是對(duì)a，b，c三個(gè)數(shù)進(jìn)行排序的一棵判定樹(shù)。在判定樹(shù)模型下，算法的時(shí)間復(fù)雜性可用判定樹(shù)的高度衡量。最大的比較次數(shù)是從根到葉的最長(zhǎng)路徑的長(zhǎng)度。836.1.3RAM模型的變形與簡(jiǎn)化6.代數(shù)計(jì)算樹(shù)ACT 以x=(x1，x2，…，xn)為輸入的一棵代數(shù)計(jì)算樹(shù)T是一棵二叉樹(shù)，且：(1)每個(gè)葉結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)輸出結(jié)果YES或NO。(2)每個(gè)單兒子內(nèi)部結(jié)點(diǎn)(簡(jiǎn)單結(jié)點(diǎn))v表示下列形式運(yùn)算指令：

op或op或其中，和分別是結(jié)點(diǎn)v在樹(shù)T中的祖先結(jié)點(diǎn)v1和v2處得到的結(jié)果值，或是x的分量；op∈{+，－，×，/}；c是一個(gè)常數(shù)。(3)每個(gè)有2個(gè)兒子的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)(分支結(jié)點(diǎn))v，表示下列形式的測(cè)試指令：>0或≥0或=0其中，是結(jié)點(diǎn)v在樹(shù)T中的祖先結(jié)點(diǎn)v1處得到的結(jié)果值，或是x的分量