方程的實(shí)際應(yīng)用模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

方我的實(shí)疏成用演型

黑m/aim遣

中考?題型他犢

元一次方程的應(yīng)用

二元一次方程組的應(yīng)用

方程的實(shí)際應(yīng)用模型

分式方程的應(yīng)用

一元二次方程的應(yīng)用

本專題主要對(duì)初中階段的方程應(yīng)用題型進(jìn)形總結(jié)分析，收集匯總各地市?？嫉姆匠虘?yīng)用題型，主要分為

一元一次方程，二元一次方程組，分式方程，一元二次方程幾大題型?？荚囍形覀兛梢钥闯龆淮畏匠探M和

分式方程考試頻率較高。一元一次方程相對(duì)基礎(chǔ)較為簡(jiǎn)單,應(yīng)用題型中出現(xiàn)較少，一元二次方程的應(yīng)用綜合

性較高除了在應(yīng)用題型中有所體現(xiàn)，在二次函數(shù)的應(yīng)用中也經(jīng)常出現(xiàn)。本專題根據(jù)考試題型分類歸納總結(jié)。

模型01一元一次方程的應(yīng)用

一元一次方程的應(yīng)用題型

1.行程問(wèn)題

路程=時(shí)間X速度，時(shí)間=路程+速度，速度=路程-時(shí)間；

（單位:路程--米、千米;時(shí)間--秒、分、時(shí);速度--米/秒、米/分、千米/時(shí)間）

2.工程問(wèn)題：

工作總量=工作時(shí)間x工作效率，工作總量=各部分工作量的和

3.利潤(rùn)問(wèn)題：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)+進(jìn)價(jià)，售價(jià)=標(biāo)價(jià)x折扣

4.等積變形問(wèn)題

長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)X寬X高;圓柱的體積=底面積X高;鍛造前的體積=鍛造后的體積

5.利息問(wèn)題

利息和=本金+利息;利息=本金X利率X時(shí)間

模型02二元一次方程組應(yīng)用

二元一次方程組應(yīng)用：

1.行程問(wèn)題:速度x時(shí)間=路程

順?biāo)俣?靜水速度+水流速度

逆水速度=靜水速度-水流速度

2.配套問(wèn)題:實(shí)際數(shù)量比=配套比

3.商品銷售問(wèn)題:利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià);售價(jià)=標(biāo)價(jià)x折扣;利潤(rùn)率=利潤(rùn)+進(jìn)價(jià)x100%

4.工程問(wèn)題:工作效率x工作時(shí)間=工作總量；甲乙合作效率=甲的效率+乙的效率

模型03分式方程應(yīng)用

分式方程的應(yīng)用解法步驟及題型：

列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟,與列整式方程解應(yīng)用題的步驟一樣，都是按照審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步進(jìn)行.

（1）在利用分式方程解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須進(jìn)行“雙檢驗(yàn)”，既要檢驗(yàn)去分母化成整式方程的解是否為分式方程的

解，又要檢驗(yàn)分式方程的解是否符合實(shí)際意義.

（2）分式方程應(yīng)用題常見(jiàn)類型有行程問(wèn)題、工作問(wèn)題、銷售問(wèn)題等，其中行程問(wèn)題中又出現(xiàn)逆水、順?biāo)叫羞@一

類型.

模型04一元二次;5rm用

一元二次方程的應(yīng)用主要有以下幾種題型：

1.數(shù)字問(wèn)題:個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b,則這個(gè)兩位數(shù)表示為Wb+a.

2.增長(zhǎng)率問(wèn)題:增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量x100%.如:若原數(shù)是a,每次增長(zhǎng)的百分率為工,則第一次增長(zhǎng)后

為a（l+0；第二次增長(zhǎng)后為a（l+xY，即原數(shù)X（1+增長(zhǎng)百分率）2=后來(lái)數(shù).

3.形積問(wèn)題:①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng).②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓

的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通

過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積,得到一元二次方程.

4.運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題:物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡,運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)

用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

5.利潤(rùn)（銷售）問(wèn)題

利潤(rùn)（銷售）問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（成本）

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)x總件數(shù)

更結(jié)?牌型"建:

模型01一元一次方程的應(yīng)用

者I向I套I惻

一元一次方程的應(yīng)用該題型近年主要以應(yīng)用題形式出現(xiàn)，一般為應(yīng)用題型的第一問(wèn)，難度系數(shù)較小，在各

類考試中基本為送分題型。解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)未知量、列方程、解方程，其中列方程是解題

的核心，一般需要我們很好的理解題意。

答I題I技I巧

第一步：審:弄清題意，分清已知量和未知量,明確各數(shù)量間的關(guān)系

第二步：設(shè):設(shè)未知數(shù)，并且用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與所列方程有關(guān)的數(shù)量列:根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)

2

系、相等關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系以及若干倍多或少個(gè)數(shù)字列方程；

第三步：解:解所列的方程，求出未知數(shù)的值以及題目中所要求的相關(guān)數(shù)量的值驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符

合題意，是否符合實(shí)際意義。

I7：<5'l

題目①（2023?上海）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天完成，乙單獨(dú)做需6天完成，現(xiàn)由甲先做3天，乙再加入合

做，還需幾天完成這項(xiàng)工程？設(shè)還需，天完成這項(xiàng)工程，由題意列方程是（）

A正+三一1x+3,x—3cx,x—3_.T+3.a7_

A-10+6T1o-+-^=1C-lo+-^=1

【答案】。

【詳解】解:由題意知，甲在這項(xiàng)工程中做了3+3）天,

則得方程：至#+/=1;

106

故選：O.

［題目團(tuán)（2023?吉林長(zhǎng)春）列方程解應(yīng)用題

勞動(dòng)課上王老師帶領(lǐng)七（1）班45名學(xué)生制作圓柱形小鼓,其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少7人,并且每名學(xué)生

每小時(shí)可制作2個(gè)鼓身或剪6個(gè)鼓面.

（1）男生有人,女生有人.

（2）①老師組織全班學(xué)生制作小鼓，要求一個(gè)鼓身配兩個(gè)鼓面，為了使每小時(shí)制作的鼓身與剪出的鼓面剛好

配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生制作鼓身？多少名學(xué)生剪鼓面？

②若想每小時(shí)制作78個(gè)小鼓，且制作的鼓身與剪出的鼓面剛好配套，應(yīng)再加入多少名學(xué)生？請(qǐng)你思考此問(wèn)

題，直接寫出結(jié)果和新加入人員具體的分配方案.

【答案】⑴19,26

（2）①分配27名學(xué)生制作鼓身，18名學(xué)生剪鼓面；②新加入20人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面.

【詳解】（1）解:設(shè)男生有力人，則女生有（45—力）人，

根據(jù)題意，得力=45—力一7,

解得力=19,

45—a:=26,

故答案為：19,26;

（2）解:①設(shè)分配m■名學(xué)生制作鼓身，則（45—小）名學(xué)生剪鼓面，

由題意，得2x2m=6（45—m）,

解得x=27,

則45—工=18,

答:應(yīng)分配27名學(xué)生制作鼓身，18名學(xué)生剪鼓面；

②由①知分配27名學(xué)生制作鼓身，18名學(xué)生剪鼓面，則1小時(shí)可制作小鼓27x2=54個(gè),還需制作78-

54=24個(gè)小鼓,

所以應(yīng)再加入制作鼓身24+2=12人，制作鼓面24x2+6=8人.

則新加入12+8=20人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面.

模型02二元一次方程組應(yīng)用

者I向I預(yù)I惻

二元一次方程組應(yīng)用該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大,在各類考試中得分率較高。掌握

二元一次方程組的解法是考試的重點(diǎn)，二元一次方程組的解法主要采用消元法，在應(yīng)用題型中，根據(jù)題意

列二元一次方程組相對(duì)簡(jiǎn)單,該題型設(shè)兩個(gè)未知量,兩個(gè)條件兩個(gè)方程,相對(duì)直觀，只要我們?cè)诮夥匠探M

的過(guò)程中不出現(xiàn)失誤，一般不會(huì)失分。

答I題I技I巧

第一步：“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量,哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等

量關(guān)系；

第二步：“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為X，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；

第三步：“列”就是列方程,即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類

量,單位要統(tǒng)一；

第四步：“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；

第五步：“答”就是寫出答案,注意單位要寫清楚.

即型三停I

題目回（2023?黑龍江哈爾濱）一種商品有大、小盒兩種包裝，3大盒、4小盒共裝108瓶，2大盒、3小盒共裝

76瓶.大盒與小盒各裝多少瓶？若設(shè)大盒每盒裝。瓶，小盒每盒裝"瓶，則可列方程組得（）

AJ36+2g=76J36+4g=760J3力+4g=108j3/+2g=76

，（36+4g=108，\2x+3g=108'[2x+3g=76，\2x+4g=108

【答案】。

【詳解】解:設(shè)大盒裝/瓶，小盒裝“瓶，根據(jù)題意可列方程組為：C"+￥=,

（2c+3g=76

故選：C.

題目Q（2023?安徽）某校準(zhǔn)備租車運(yùn)送450名學(xué)生去合肥市園博園，已知租1輛甲型客車和2輛乙型客車滿

載可坐學(xué)生165名，租2輛甲型客車和1輛乙型客車滿載可坐學(xué)生150名，學(xué)校計(jì)劃同時(shí)租甲型客車小輛，

乙型客車n輛，一次性將學(xué)生運(yùn)往市園博園,且恰好每輛客車都滿載，兩種型號(hào)客車都租用.

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求1輛甲型客車和1輛乙型客車滿載時(shí)分別可坐多少名學(xué)生？

（2）如果乙型客車數(shù)量多于甲型客車數(shù)量，請(qǐng)求出甲型客車、乙型客車各多少輛？

（3）已知甲型客車每輛租金200元，乙型客車每輛租金250元，如果租車總費(fèi)用不超過(guò)2000元,請(qǐng)制定最省

錢的租車方案.

【答案】（1）1輛甲型客車滿載時(shí)可坐45名學(xué)生，1輛乙型客車滿載時(shí)可坐60名學(xué)生

（2）甲型客車2輛、乙型客車6輛

（3）最省錢的租車方案為甲型客車6輛，乙型客車3輛.

【詳解】（1）解:設(shè)1輛甲型客車滿載時(shí)可坐名學(xué)生，1輛乙型客車滿載時(shí)可坐夕名學(xué)生，

由題意得：[；+：沙=；累，

[2x+y=150

解得：m，

5=60

4

答：1輛甲型客車滿載時(shí)可坐45名學(xué)生，1輛乙型客車滿載時(shí)可坐60名學(xué)生;

（2）解：由題意可知45m+6On=450,

整理，得：3m+4n=30,

所以n=30—3m.

4

因?yàn)樾。哦紴檎麛?shù)，且乙型客車數(shù)量多于甲型客車數(shù)量，即

所以?71=2,n=6,

答：甲型客車2輛、乙型客車6輛；

⑶解：結(jié)合⑵可知?■n=2,n=6;m=6,rz=3;

當(dāng)m=2,?i=6時(shí)，200x2+250x6=1900<2000;

當(dāng)nz=6,n=3時(shí)，200x6+250x3=1950<2000.

又因?yàn)?900<1950,

所以最省錢的租車方案為甲型客車6輛，乙型客車3輛.

模型03分式方程的應(yīng)用

考|向|顏|惻

分式方程的應(yīng)用該題型近年在方程的應(yīng)用題型中考試較多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可化

為一元一次方程的分式方程的解法，讓學(xué)生體會(huì)解分式方程過(guò)程中的化歸思想是本節(jié)內(nèi)容的重心。分式方程

及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解分式方程及列分式方程解應(yīng)用題，并要求會(huì)用增根的意義

解題，考題常以解答透折考綱題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題和填空題中。該題型主要難點(diǎn)在于設(shè)、

列、解，屬于應(yīng)用題型的第一問(wèn)，難度系數(shù)不是很大，屬于容易得分項(xiàng)。

答I題I技I巧

第一步：根據(jù)題意設(shè)未知量，分式方程只設(shè)一個(gè)未知量，用一個(gè)量表示另一個(gè)量；

第二步：解分式方程；

第三步：檢驗(yàn)分式方程的解，看是否為增根,注意不檢驗(yàn)會(huì)扣分；

第四步：答：即寫出答案，注意答案完整.

題型手柄

：題目回（2023?山西）我縣文化宮向全縣中小學(xué)生推出“童心讀書(shū)會(huì)”的分享活動(dòng).甲、乙兩同學(xué)分別從距離

活動(dòng)地點(diǎn)800米和400米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動(dòng).甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)

比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn).若設(shè)乙同學(xué)的速度是每分鐘2米,則下列方程正確的是（）

A__1^=4R5^=4C@一幽=4D遜—幽=4

,800400,800400,1.2a:①-L2cc

【答案】D

【詳解】解:設(shè)乙同學(xué)的速度是7米/分，可得：

遜—幽=4

1.2力x

故選D.

題目回（2023?河南）信陽(yáng)毛尖是中國(guó)十大名茶之一,也是河南省著名特產(chǎn)之一.某茶葉專賣店經(jīng)銷兩

種品牌的毛尖，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示:

品牌AB

進(jìn)貨（元/袋）Xx+16

銷售（元/袋）7090

（1）第一次進(jìn)貨時(shí)，該專賣店用4000元購(gòu)進(jìn)A品牌毛尖，用5280元購(gòu)進(jìn)B品牌毛尖，且兩種品牌所購(gòu)得的

數(shù)量相同，求。的值.

（2）第二次進(jìn)貨時(shí)，A品牌毛尖每袋上漲5元，B品牌毛尖每袋上漲6元.該茶葉專賣店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A,B兩

種品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的數(shù)量不超過(guò)A品牌毛尖數(shù)量的2倍.銷售時(shí)，A品牌毛尖售價(jià)不

變，B品牌毛尖售價(jià)提高5%,則該茶葉專賣店怎樣進(jìn)貨，能使第二次進(jìn)貨全部售完后獲得的利潤(rùn)最大？最

大利潤(rùn)是多少？

【答案】（1）2的值為50

（2）購(gòu)進(jìn)A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次進(jìn)貨全部售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3600元

【詳解】（1）解：由題意得，理圓■=卓<，

XT+16

解得g二50,

經(jīng)檢驗(yàn)力=50是原方程的解,

???力的值為50.

⑵解：設(shè)4為小袋，則石為（180-m）袋，

由題知：180—2m,

解得？72>60,

設(shè)總利潤(rùn)為僅元，僅=（70-50-5）m+[90（1+5%）-（50+16）-6]（180-m）=-7.5m+4050,

V-7.5<0,

.,?力隨?71的增大而減小，

當(dāng)m=60時(shí)，僅最大=3600,

???購(gòu)進(jìn)A品牌60袋，石品牌120袋能使第二次進(jìn)貨全部售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3600元.

模型04一元二次方程應(yīng)用

考|向|頸|謝

一元二次方程應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在應(yīng)用題型中或者與二次函

數(shù)相結(jié)合的題型中，具有一定的綜合性和難度。掌握一元二次方程的解法是解答本題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。一

元二次方程中根的判別式的應(yīng)用也需要我們重點(diǎn)理解和熟練應(yīng)用。一元二次方程的解法及根的判別式及其

應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解一元二次方程及列方程解應(yīng)用題。

答I題I技I巧

第一步：審（審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等）；

第二步：設(shè)（設(shè)未知數(shù),有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量）；

第三步：列（根據(jù)題目中的等量關(guān)系,列出方程）；

第四步：解（解方程,注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰）；

驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）

6

第五步:

第六步:答（寫出答案，切忌答非所問(wèn)）.

題型手柄

題目⑶（2023?安徽）某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強(qiáng)了對(duì)教育經(jīng)費(fèi)的投入，2022年投入3億元，預(yù)計(jì)2024年投入

5億元，設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為M下面所列方程正確的是（）

A.3（1+X）2—5B.3/2=5C.3（1+力％）三5D.3（1+rr）+3（1+xf—5

【答案】A

【詳解】解:根據(jù)題意，得3（1+//:5,

故選：A.

題目回（2023?山東濟(jì)南）某工廠為了提高產(chǎn)品的銷售量，決定降價(jià)銷售,計(jì)劃用兩個(gè)月的時(shí)間價(jià)格下降到原

來(lái)的64%,則這兩個(gè)月價(jià)格平均每個(gè)月降低的百分率為.

【答案】20%

【詳解】解:設(shè)初始價(jià)格為a,平均每個(gè)月降低的百分率為工,

則根據(jù)題意可得，a（l—x）（l—x）=aX64%,

即（1—02=0.64,

解得/i=0.2,g=1-8,

名為下降率，故0〈力VI,

???力=0.2,即20%.

故答案為：20%.

If回（2023?四川成都）如圖1,用一段長(zhǎng)為33米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩

形ABCD菜園,墻長(zhǎng)為12米.設(shè)AB的長(zhǎng)為t米，矩形ABCD菜園的面積為S平方米，

（1）分別用含c的代數(shù)式表示BC與S；

⑵若S=54,求工的值；

（3）如圖2,若在分成的兩個(gè)小矩形的正前方各開(kāi)一個(gè)L5米寬的門（無(wú)需籬笆）,當(dāng)c為何值時(shí)，S取最大

值，最大值為多少？

【答案】⑴BC=33-3a:,S=-3x2+33x

（2）9

（3）當(dāng),=8時(shí)，S有最大值，最大值為一3X（8—6）2+108=96.

【詳解】⑴解：由題意，BC=33-3%

則矩形ABCD菜園的面積為S=2（33-32）=—3/+33,;

⑵解：當(dāng)S=54時(shí)，由54=-3,2+33/得+18=0,

解得劣產(chǎn)2,%2=9,

二,墻長(zhǎng)為12米，

???0〈33-3力<12,貝”74力VII,

二力二9,

答:名值為9;

（3）解：由題意，33+2義1.5—3]=36-3]，

/.S—6（36—3/）=—3—+36/=—3（力—6）2+108,

?.?墻長(zhǎng)為12米，籬笆長(zhǎng)為33米，

???0<36-36412,

A8<T<12,

V-3<0,

.??當(dāng)力=8時(shí)，S有最大值，最大值為一3義（8—6y+108=96.

真題?強(qiáng)化加綠、

題目工（2023?山東）某個(gè)體商販在一次買賣中，同時(shí)賣出兩件上衣，售價(jià)都是120元，若按進(jìn)價(jià)計(jì)，其中一件

盈利20%,另一件虧本20%,則兩件上衣的進(jìn)價(jià)之和為（）

A.230元B.240元C.250元D.260元

【答案】。

【詳解】解:設(shè)盈利20%的那件進(jìn)價(jià)為c元，虧本20%的那件進(jìn)價(jià)為9元，則

（1+20%）/=120,（1-20%）y=120

解得x—100,y=150

故兩件上衣進(jìn)價(jià)之和為：100+150=250（元）.

故選：C.

題目區(qū)（2023?福建）甲、乙二人分別從相距40km的A,口兩地出發(fā)，相向而行,如果甲比乙早出發(fā)比，那么

乙出發(fā)后2拉,他們相遇;如果他們同時(shí)出發(fā)，那么2.5八后，兩人相距5km,則甲由A地到B地需要（）

A.乎九B.2O7iC.10后或20九D.與八或10八

OO

【答案】。

【詳解】解:設(shè)甲、乙二人的速度分別為滋m/h,ykm/h,

分兩種情況：當(dāng)同時(shí)出發(fā)2.5/i后,兩人相遇前相距5km時(shí)，

（x+2x+2y=40

解得；；

19=2

當(dāng)同時(shí)出發(fā)2.5%后，兩人相遇后相距5km時(shí),

fx+2x+2y—40

L.?40+5,

x+y=』

rr=4

解得

.y=i4

當(dāng)甲的速度為12km/h時(shí)，由＞1地至1B地需要時(shí)間為：40+12=孚（八），

當(dāng)甲的速度為4km/h時(shí)，由A地到B地需要時(shí)間為：40+4=10（/z）,

故選D

題目叵〕（2023?四川）已知從甲站到乙站的高鐵線路長(zhǎng)2200千米，自駕從甲站到乙站的路線長(zhǎng)約1700千米，

開(kāi)車的平均行駛速度是該高鐵設(shè)計(jì)時(shí)速的且從甲站乘坐高鐵到乙站比自駕用時(shí)少6小時(shí).設(shè)該高鐵

的設(shè)計(jì)時(shí)速為/千米/時(shí),則可列方程為（）

口八「口

A..-17-0--0------2--2--0-0-=6?B.--1--7-0--0------2-2--00=6?C.—2；-2-0--0-------1-7--0-0--=6?D.--2-2--0-0-------1-7-00=6

工丁xx2x_Lzpxx2x

22

【答案】A

【詳解】解：由題意，得

17002200日

—j---------------=6?

-LrrX

2

故選4

、題目回（2023?廣東）某興趣小組組織一次圍棋比賽,參賽選手每?jī)扇酥g都要比賽一場(chǎng),按計(jì)劃需要進(jìn)行28

場(chǎng)比賽，設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)2人參與比賽,則可列方程為（）

A.+1）=28B.-1）=28C.x（x—1）=28D.2a;（c—1）=28

【答案】B

【詳解】解:設(shè)參賽的人數(shù)為必，

依題意,得:-1）=28

故選：B.

題目回（2023?山東）4,B兩地相距80千米,一船從A出發(fā)順?biāo)旭?小時(shí)到達(dá)B,而從口出發(fā)逆水行駛5小

時(shí)才能到達(dá)A,則船在靜水中的航行速度是千米/時(shí).

【答案】18

【詳解】解：設(shè)船在靜水中的航行速度是2千米/時(shí)，水流速度為g千米/時(shí),根據(jù)題意得：

=80

解得:尸產(chǎn)，

ly=2

答:船在靜水中的航行速度是18千米/時(shí).

故答案為：18

題目回（2023?河北）某地舉辦了一次足球熱身賽，其計(jì)分規(guī)則及獎(jiǎng)勵(lì)方案（每人）如下表:

勝一場(chǎng)平一場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)

積分310

獎(jiǎng)金（元/人）15007000

當(dāng)比賽進(jìn)行到每隊(duì)各比賽12場(chǎng)時(shí)，A隊(duì)共積20分,并且沒(méi)有負(fù)一場(chǎng).

⑴試判斷力隊(duì)勝、平各幾場(chǎng)？

（2）若每比賽一場(chǎng)每名隊(duì)員均得出場(chǎng)費(fèi)500元，A隊(duì)的某一名隊(duì)員參加了全部比賽，那么他所得獎(jiǎng)金與出場(chǎng)

費(fèi)的和是多少？

【答案】（1）4隊(duì)勝4場(chǎng)，平8場(chǎng)

（2）出場(chǎng)費(fèi)加獎(jiǎng)金一共17600元

【詳解】（1）解:設(shè)4隊(duì)勝利c場(chǎng)，

?.?一共打了12場(chǎng),

平了12—c場(chǎng)，

3x+（12—2）=20,

解得：c=4;

二12—2=8,

A隊(duì)勝4場(chǎng)，平8場(chǎng)；

⑵解：；每場(chǎng)比賽出場(chǎng)費(fèi)500元，12場(chǎng)比賽出場(chǎng)費(fèi)共6000元,

贏了4場(chǎng)，獎(jiǎng)金為1500x4=6000元，

平了8場(chǎng)，獎(jiǎng)金為700x8=5600元，

獎(jiǎng)金加出場(chǎng)費(fèi)一共17600元；

答：一共贏了4場(chǎng)，出場(chǎng)費(fèi)加獎(jiǎng)金一共17600元.

〔題目可（2023?廣西）某健身器材專賣店推出兩種優(yōu)惠活動(dòng),并規(guī)定購(gòu)物時(shí)只能選擇其中一種.

活動(dòng)一:所購(gòu)商品按原價(jià)打八折；

活動(dòng)二:所購(gòu)商品按原價(jià)每滿300元減80元.（如:所購(gòu)商品原價(jià)為300元，可減80元,需付款220元；所購(gòu)

商品原價(jià)為600元，可減160元,需付款440元）

（1）購(gòu)買一件原價(jià)為450元的健身器材時(shí)，選擇哪種活動(dòng)更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）購(gòu)買一件原價(jià)在500元以下的健身器材時(shí)，若選擇活動(dòng)一和選擇活動(dòng)二的付款金額相等,求一件這種健

身器材的原價(jià)；

（3）購(gòu)買一件原價(jià)在900元以下的健身器材時(shí)，原價(jià)在什么范圍內(nèi)，選擇活動(dòng)二比選擇活動(dòng)一更合算？設(shè)一

件這種健身器材的原價(jià)為a元，求出a的取值范圍.

【答案】（1）活動(dòng)一更合算

（2）這種健身器材的原價(jià)是400元；

（3）當(dāng)300Wa<400或600Wa<800時(shí)，活動(dòng)二更合算

【詳解】（1）解：購(gòu)買一件原價(jià)為450元的健身器材時(shí)，

活動(dòng)一需付款：450x0.8=360元，活動(dòng)二需付款：450—80=370元，

活動(dòng)一更合算；

（2）解:設(shè)這種健身器材的原價(jià)是c元，

則0.8c=a;—80,

解得x=400,

答：這種健身器材的原價(jià)是400元；

（3）解:這種健身器材的原價(jià)為a元，

則活動(dòng)一所需付款為：0.8a元，

活動(dòng)二當(dāng)0Va<300時(shí)，所需付款為：a元，

當(dāng)300WaV600時(shí)，所需付款為：（a-80）元，

當(dāng)6004aV900時(shí)，所需付款為：（a-160）元，

①當(dāng)0VaV300時(shí)，a>0.8a,此時(shí)無(wú)論a為何值，都是活動(dòng)一更合算，不符合題意，

②當(dāng)3004aV600時(shí)，a—80Vo.8a,解得300&aV400,

即：當(dāng)3004aV400時(shí)，活動(dòng)二更合算，

10

③當(dāng)600WaV900時(shí)，a—l60Vo.8a,解得600WaV800,

即：當(dāng)6004aV800時(shí)，活動(dòng)二更合算，

綜上：當(dāng)300WaV400或6004aV800時(shí)，活動(dòng)二更合算.

題目⑥（2023?云南）某地要把248噸物資從某地運(yùn)往甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共20輛，恰好能一次性運(yùn)

完這批物資.已知這兩種貨車的載重量分別為16噸/輛和10噸/輛，運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)如下表：

運(yùn)往地車型甲地（元/輛）乙地（元/輛）

大貨車620700

小貨車400550

（1）求大、小兩種貨車各用鄉(xiāng)少輛？

（2）如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設(shè)前往甲地的大貨車為a輛,前往甲、乙兩地的總運(yùn)費(fèi)

為"元，求出"與a的函數(shù)關(guān)系式，并請(qǐng)你設(shè)計(jì)出使總運(yùn)費(fèi)最少的貨車調(diào)配方案，求出最少總運(yùn)費(fèi).

【答案】（1）大貨車用8輛，小貨車用12輛.

（2加=70a+10850（0WaW8且為整數(shù)）.9輛小貨車前往甲地；8輛大貨車、3輛小貨車前往乙地.最少

運(yùn)費(fèi)為10850元.

【詳解】（1）設(shè)大貨車用2輛，則小貨車用（20—為輛，根據(jù)題意得

16.+10（20—u）=248,

解得x=8,

20—x—20—8=12.

答：大貨車用8輛，小貨車用12輛.

（2）設(shè)前往甲地的大貨車為a輛，則前往乙地的大貨車為（8—a）輛，前往甲地的小貨車為（9一a）輛，前往

乙地的小貨車為（3+a）輛，

w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550（3+a）=70a+10850,

w=70a+10850（0WaW8且為整數(shù)）.

,/w=70a+10850,A:=70>0,

.?.K;隨a的增大而增大，

:04aW8

當(dāng)a=0時(shí)，tu最小，最小值為w—70a+10850=10850.

使總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)配方案是：9輛小貨車前往甲地；8輛大貨車、3輛小貨車前往乙地.最少運(yùn)費(fèi)為

10850元.

［題目⑥（2023?山東）在國(guó)道202公路改建工程中，某路段長(zhǎng)4000m,由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)擬在30天內(nèi)（含30

天）合作完成.已知兩個(gè)工程隊(duì)各有10名工人（設(shè)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的工人全部參與改建，兩工程隊(duì)內(nèi)每人

每天的工作量相同）.甲工程隊(duì)1天、乙工程隊(duì)2天共修路200??；甲工程隊(duì)2天、乙工程隊(duì)3天共修路

350m.

（1）試問(wèn)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天分別修路多少米？

（2）已知甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.6萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.35萬(wàn)元，要使該工程的施

工費(fèi)用最低，甲，乙兩隊(duì)需各做多少天？最低費(fèi)用為多少？

【答案】（1）甲隊(duì)每天修路100m,乙隊(duì)每天修路50m

（2）甲隊(duì)做30天，乙隊(duì)做20天，最低費(fèi)用為25萬(wàn)元

【詳解】（1）解：設(shè)甲隊(duì)每天修路工小，乙隊(duì)每天修路ym,

（x-\-2y=200

血+3g=350

解得嚴(yán);，

[y=50

答：甲隊(duì)每天修路100m,乙隊(duì)每天修路50m.

（2）設(shè)甲工程隊(duì)需做a天，乙工程隊(duì)需做b天，

100a+506=4000,

b=80—2a,

,.<0<6<30,

0W80—2aW30,

解得25WaW40.

又04a430,

25Wa430.

設(shè)總費(fèi)用為W萬(wàn)元,依題意，得

W=0.6a+0.35b=0.6a+0.35（80-2a）

——0.1a+28.

-0.1<0,

...當(dāng)a=30時(shí)，咻小=-0.1x30+28=25（萬(wàn)元）,

fe=80-2a=20（天）.

甲隊(duì)做30天，乙隊(duì)做20天，最低費(fèi)用為25萬(wàn)元

題目兀（2023?貴州）運(yùn)輸公司要把120噸物資從人地運(yùn)往B地，有甲、乙、丙三種車型供選擇，每種型號(hào)的

車輛的運(yùn)載量和運(yùn)費(fèi)如表所示.

車型甲乙丙

運(yùn)載量（噸/輛）5810

運(yùn)費(fèi)（元/輛）450600700

解答下列問(wèn)題：（假設(shè)每輛車均滿載）

（1）若全部物資僅用甲、乙型車一次運(yùn)完,需運(yùn)費(fèi)9600元，則甲、乙型車分別需要多少輛？

⑵若用甲、乙、丙型車共14輛同時(shí)參與運(yùn)送,且一次運(yùn)完全部物資，其中甲型車有2輛，則乙、丙型車分別

需要多少輛？此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)是多少？

【答案】（1）甲、乙型車分別需要8輛、10輛

（2）乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)為8800元

【詳解】⑴設(shè)甲、乙型車分別需要a輛、6輛.

根據(jù)題意，得露鬻黑96。。，

解得后0，

答：甲、乙型車分別需要8輛、10輛；

（2）設(shè)乙、丙型車分別需要工輛、夕輛,

根據(jù)題意得鼠二舄。…。，

x=5

解得

y=7'

12

此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為450x2+600x5+700x7=900+3000+4900=8800（元）.

答：乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)為8800元.

題目①（2023?重慶）某商店要購(gòu)進(jìn)4B兩種型號(hào)的文具,通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研得知：A種型號(hào)文具的單價(jià)比B種

文具的單價(jià)多100元，且用22500元購(gòu)買A種型號(hào)文具的數(shù)量是用10000元購(gòu)買B種文具的數(shù)量的1.5倍.

（1）求A、B兩種型號(hào)文具的單價(jià)分別為多少？

（2）學(xué)校計(jì)劃用不超過(guò)10000元的資金購(gòu)買A、B兩種文具共40套,為使購(gòu)買的A種型號(hào)的文具盡可能多，

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出購(gòu)買方案.

【答案】（1）購(gòu)買A種型號(hào)文具的單價(jià)為300元，購(gòu)買B種型號(hào)文具的單價(jià)為200元

（2）購(gòu)買A種型號(hào)玩具20套，購(gòu)買B種型號(hào)玩具20套

【詳解】（1）解:設(shè)購(gòu)買B種型號(hào)文具的單價(jià)為c元，則購(gòu)買A種型號(hào)文具的單價(jià)為（2+100）元

^250（L=10000XL5

x+100x

解得，x=200

經(jīng)檢驗(yàn)c=200是原分式方程的解，且符合題意

rr+100=200+100=300（元）

答：購(gòu)買4種型號(hào)文具的單價(jià)為300元，購(gòu)買B種型號(hào)文具的單價(jià)為200元；

（2）解:設(shè)購(gòu)買4種型號(hào)玩具m套，則購(gòu)買B種型號(hào)玩具（40—m）套,根據(jù)題意得：

300m+200（40-m）＜10000

解得W20

小的最大值為20,此時(shí)40—巾=40—20=20（套）

答：購(gòu)買A種型號(hào)玩具20套，購(gòu)買B種型號(hào)玩具20套

題目亙（2023?四川）某商場(chǎng)用5萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一批襯衫，很快就銷售一空，于是商場(chǎng)打算再購(gòu)進(jìn)一批相同的襯衫

銷售，由于該襯衫暢銷，導(dǎo)致每件襯衫的進(jìn)價(jià)漲了10元，所以商場(chǎng)6萬(wàn)元購(gòu)買的襯衫與上次數(shù)量一樣多.

（1）每件襯衫原來(lái)的進(jìn)價(jià)是多少元？

（2）根據(jù)第二次的進(jìn)價(jià),當(dāng)銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多

售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本，為了盡可能讓利給顧客,商場(chǎng)決定降價(jià)出售.要使每天的銷售利

潤(rùn)為3000元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

【答案】（1）50;

（2）80.

【詳解】（1）解:設(shè)原來(lái)襯衫每件進(jìn)價(jià)為2元，則后一批襯衫每件進(jìn)價(jià)為（C+10）元，

依題意得：駟也=網(wǎng)幽，

x劣+10

解得：2=50,

經(jīng)檢驗(yàn)，c=50是原方程的解，且符合題意.

答：原來(lái)襯衫每件進(jìn)價(jià)為50元.

（2）解:設(shè)定價(jià)為a元，根據(jù)題意得

（a-60）[50+5（100-a）]=3000.

整理得a-170a+7200=0,

解得ai=80,a2=90,

?.?為了盡可能讓利給顧客，

a=80,

答：定價(jià)為80元的時(shí)候可以每天的利潤(rùn)達(dá)到3000元同時(shí)讓利于顧客.

版1［13］（2023?河北）《九章算術(shù)》中記載:今有人共買物，人出八,盈三;人出七，不足四，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾

何？譯文:今有人合伙買東西,每人出8錢，會(huì)多3錢,每人出7錢,又會(huì)差4錢，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各是多少？設(shè)

合伙人有2人，物價(jià)為y錢，則可列方程組為（)

（y^8x-3（y=8x+3c(x=8y-3n(x=8y+3

\y-4=7x\y+4：=7x\y-^^8x\y+4=7x

【答案】A

【詳解】解:依題意得：

故選：A.

題目J4］（2024.湖南常德.一模）如圖，有一張長(zhǎng)30cm,寬20cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)

為xcm的正方形,然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，要使制成紙盒的底面積是原來(lái)

矩形紙板面積的白，則。的值為

【答案】5

【詳解】解：由題意可知，無(wú)蓋紙盒的長(zhǎng)為（30—2c）cm,寬為（20—2,）cm,

（30-22）（20—2c）=30x20x。，

整理得/-25力+100=0,

解得為=5,62=20（不合題意，舍去），

故力的值為5.

故答案為：5

題目口1］新冠肺炎傳染性很強(qiáng)，曾有2人同時(shí)患上新冠肺炎，并且每人每天平均傳染c人，若經(jīng)過(guò)兩天傳染

后就有128人患上了新冠肺炎，則c的值為.

【答案】7

【分析】根據(jù)“2人同時(shí)患上新氮肺炎，經(jīng)過(guò)兩天傳染后128人患上新冠肺炎”，即可得出關(guān)于，的一元二次

方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】解:依題意得:2（1+/）2=128,

解得：Xi=7,g=—9（不合題意，舍去）.

故答案為：7.

題目口引如圖，4B=4cm,=3cm./CAB=/DBA,點(diǎn)P在線段4B上以Icm/s的速度由點(diǎn)A

向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為力（s）,則當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為

cm/s時(shí)，4ACP與△BPQ有可能全等.

cD

【答案】1或1.5

【詳解】解:設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度是xcm/s,

則有AP—tcm,BP=(4—t)cm,BQ—xtcm,

?：NCAB=/DBA,

/\ACP與ZkBPQ全等，有兩種情況：

①AP=BP,AC=BQ,

則t=4T,

解得t—2s,

貝3—2x,

解得x=1.5cm/s;

②AP=BQ,AC=BP,

則t—tx,4—1=3,

解得t—1,x—1.

故答案為：1或1.5.

［題目兀（2024?重慶?一模）某地計(jì)劃修建一條長(zhǎng)1080米的健身步道，由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作完成.已知乙

施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度比甲施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度多，若乙施工隊(duì)單獨(dú)修建這項(xiàng)工程，那么他比甲施工

隊(duì)單獨(dú)修建這項(xiàng)工程提前3天完成.

（1）求甲、乙兩施工隊(duì)每天各修建多少米？

（2）若甲施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為13000元，乙施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為15000元，實(shí)際修建時(shí)，先由甲施

工隊(duì)單獨(dú)修建若干天，為了盡快完成工程，后請(qǐng)乙施工隊(duì)加入，甲、乙施工隊(duì)共同修建，乙工作隊(duì)恰好工作3

天完成修建任務(wù)，求共需修建費(fèi)用多少元？

【答案】（1）甲施工隊(duì)每天修建90米，乙施工隊(duì)每天修建120米

（2）共需修建費(fèi)用149000元

【詳解】⑴解:設(shè)甲施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度為立米，則乙施工隊(duì)每天修建（1+米

「

依題意，得108010803

x+排

解得a?=90

經(jīng)檢驗(yàn)，x90是原分式方程的解

(1+x90=120(米)

甲施工隊(duì)每天修建90米，乙施工隊(duì)每天修建120米;

⑵解：設(shè)甲施工隊(duì)單獨(dú)修建y天，

依題意，得1080=90x（夕+3）+120x3

解得y—5

甲施工隊(duì)單獨(dú)修建5天

則13000x（5+3）+15000x3=149000（元）

共需修建費(fèi)用149000元.

題目包（2024.廣東惠州.一模）廣東百千萬(wàn)高質(zhì)量發(fā)展工程預(yù)計(jì)到2025年將實(shí)現(xiàn)縣域經(jīng)濟(jì)發(fā)展加快，鄉(xiāng)村

振興取得新成效.某鄉(xiāng)村龍眼上市，先后兩次共摘龍眼21噸，第一次賣出龍眼的價(jià)格為0.5萬(wàn)元/噸;因龍

眼大量上市，價(jià)格下跌，第二次賣出龍眼的價(jià)格為0.4萬(wàn)元/噸，兩次龍眼共賣了9萬(wàn)元.

（1）求兩次各摘龍眼多少噸？

（2）由于龍眼放置時(shí)間短，村民把龍眼加工成桂圓肉和龍眼干進(jìn)行銷售,預(yù)計(jì)還能摘20噸，若1噸龍眼可加

工成桂圓肉0.2噸或龍眼干0.5噸，桂圓肉和龍眼干的銷售價(jià)格分別是10萬(wàn)元/噸和3萬(wàn)元/噸，若全部的

銷售額不少于36萬(wàn)元,則至少需要把多少噸龍眼加工成桂圓肉？

【答案】（1）第一次賣出龍眼6噸，則第二次賣出龍眼15噸

（2）至少需要把12噸龍眼加工成桂圓肉

【詳解】⑴解:設(shè)第一次賣出龍眼土噸，則第二次賣出龍眼（21—0噸，

由題意得：0.5a:+0.4（21—x）—9,

解得:x—6,

二21-2=21—6=15（噸）,

答：第一次賣出龍眼6噸，則第二次賣出龍眼15噸；

（2）解：設(shè)把0噸龍眼加工成桂圓肉，則把（20—y）噸龍眼加工成龍眼干，

由題意得：10x0.2y+3X0.5（20-y）>36

解得：y>12,

答：至少需要把12噸龍眼加工成桂圓肉.

題目向小明和爸爸同時(shí)從家騎自行車去圖書(shū)館,爸爸先以150米/分的速度騎行一段時(shí)間，休息了5分鐘,

再以m米/分的速度到達(dá)圖書(shū)館，小明始終以同一速度騎行，兩人行駛的路程V（米）與時(shí)間，（分）的關(guān)系如

圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象，解答下列問(wèn)題：

⑴Q=分，b=分，m=米/分：

（2）若小明的速度是120米/分,小明在途中與爸爸第二次相遇的時(shí)間是分,此時(shí)距圖書(shū)館的距離

是______米：

（3）五荷質(zhì)條件下，爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書(shū)館前，與小明相距100米的時(shí)間是分.

【答案】（1）10,15,200;

（2）18.75,750;

⑶17.5或20

【詳解】（1）解：由題意可知，折線OABC為爸爸行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系圖，線段OD為小明行駛的路程與

時(shí)間的關(guān)系圖，

.?.a=1500+50=10分鐘，

b—a+5—15分鐘，

（3000-1500）+（22.5-15）=200米/分,

故答案為：10,15,200;

（2）解：由圖象可知，小明在途中與爸爸第二次相遇在BC段，

設(shè)BC段的關(guān)系式為yi=kx+b,

將點(diǎn)（15,1500）和（22.5,3000）代入，得：

f15A;+b=1500rp=200

（22.5k+b=3000'制牛仔：［b=-1500'

段的解析式為y=20（te—1500,

小明的速度是120米/分，

OD段的關(guān)系式為%=120a;,

y、=y2,即200?-1500=120a;,

解得：c=18.75,即小明在途中與爸爸第二次相遇的時(shí)間是18.75分，

此時(shí)行駛的路程陰=7/2=2250,

距圖書(shū)館的距離是3000—2250=750米，

故答案為：18.75,750;

（3）解:①當(dāng)爸爸和小明第二次相遇前相距100米,

則y2-yi=12Cte-（200a;-1500）=100,

解得：x=17.5;

②當(dāng)爸爸和小明第二次相遇后相距100米，

則%—的=200a;—1500—120,=100,

解得：x—20,

即爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書(shū)館前，與小明相距100米的時(shí)間是17.5或20分,

故答案為：17.5或20

［題目,（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)為綠化美麗校園,