南通市2024屆高三第二次模擬測試數(shù)學(xué)

南通市2024屆高三其次次調(diào)研測試

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案干脆填寫在答題卡相應(yīng)位

?±-

1.已知集合A={x<-l},則.4=▲

2.某學(xué)校有8個(gè)社團(tuán)，甲、乙兩位同學(xué)各自參與其中一個(gè)社團(tuán)，且他倆參與各個(gè)社團(tuán)的可

能性相同，則這兩位同學(xué)參與同一個(gè)社團(tuán)的概率為一^.

3.復(fù)數(shù)z="「（其中i為虛數(shù)單位）的模為▲.

4.從編號(hào)為0,1,2,79的80件產(chǎn)品中，采納系統(tǒng)抽樣的

方法抽取容量是5的樣本，若編號(hào)為28的產(chǎn)品在樣本中，則

該樣本中產(chǎn)品的最大編號(hào)為▲.

5.依據(jù)如圖所示的偽代碼，最終輸出的。的值為▲.

6.若則。的取值范圍是▲.

7.若函數(shù)/（無）=無3+依2+法為奇函數(shù)，其圖象的一條切線方程為

y=3x-4>/2,則6的值為▲.

8.設(shè)/，機(jī)表示直線，機(jī)是平面a內(nèi)的隨意一條直線.則是"/_L或”成立的▲

條件.

（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個(gè)）

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A是半圓O：x2+y2=2（xZO）上一點(diǎn)，直線。4的

傾斜角為45。，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為"，過”作Q4的平行線交半圓于點(diǎn)3,

則直線鉆的方程是▲.

10.在△ABC中，。是BC的中點(diǎn)，AO=8,BC=20,則AB-AC的值為▲.

11.設(shè)x,y,z是實(shí)數(shù)，9無，12y,15z成等比數(shù)列，且工，上，工成等差數(shù)列，則工+二的

xyzzx

值是▲.

12.設(shè)/是函數(shù)/（九）=sin（2x+0）的一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)/（%）在區(qū)間（0,2兀）內(nèi)全部極值點(diǎn)之

和為

13.若不等式（徵%—1）[3相2—（工+1）加-1]20對隨意加￡（0,+oo）恒成立，則實(shí)數(shù)x的值

為▲.

14.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿意/+人2WcWl,則a+b+c的最小值為▲.

二、解答題：本大題共6小題，共90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分14分）

在△ABC中，已知AC=9,AB.BC=-16.求：

（1）AB的值；

（2）的值.

sinC

16.（本小題滿分14分）

在四棱錐尸一A8C。中，AB//DC,平面必。，PD=AD,AB=2DC,E是尸8的

中點(diǎn).

P

求證：（1）CE〃平面B4D；

（2）平面PBC_L平面PAB.IV\

17.（本小題滿分14分）IV\

為了凈化空氣，某科研單位依據(jù)試驗(yàn)得出，在肯定范圍內(nèi)，每噴X7

灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中[,/

釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）改變的函數(shù)關(guān)系式/似為

（第16題）

--1,0WxW4,

6-X

y=\i

5-鼻，4<xW10.

L2

若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的

濃度之

和.由試驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到凈化空氣

的作用.

（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？

（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a（lWaW4）個(gè)單位的藥劑，

要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求。的最小值（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：

0取1.4）.

18.（本小題滿分16分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線Cj：區(qū)+以=1（。＞匕＞0）所圍成的封閉圖形的

ab

面積為

40,曲線G上的點(diǎn)到原點(diǎn)0的最短距離為斗.以曲線Ci與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)

的橢圓記

為C2.

（1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是過橢圓C2中心。的隨意弦，/是線段A8的垂直平分線.M是/上的點(diǎn)（與

O不

重合）.

①若〃。=2。4,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；

②若M是/與橢圓C2的交點(diǎn)，求的面積的最小值.

19.（本小題滿分16分）

設(shè)數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)不為零，前w項(xiàng)和為S,,且對隨意的廣，/eN*,都有[=（小

（1）求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式（用的表示）;

⑵設(shè)〃尸1,Z?i=3,2=S如（〃22,〃EN*）,求證：數(shù)列｛logs或｝為等比數(shù)列；

（3）在（2）的條件下，求T.這/I?

k=2々—1

20.（本小題滿分16分）

設(shè)函數(shù)/（%）=/-ox+a（a￡R）,其圖象與不軸交于A（%,0）,次馬，。）兩點(diǎn)，且

X2-

（1）求Q的取值范圍；

⑵證明：r（7^）＜o(jì)（（⑴為函數(shù)/（尤）的導(dǎo)函數(shù)）；

（3）設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)y=/（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記,

求（a—DQ-1）

的值.

21B.選修4—2：矩陣與變換

「3-

已知二階矩陣M有特征值4=1及對應(yīng)的一個(gè)特征向量q=]，且M=.求矩

11

陣跖

21C.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

fY=12CCS0

在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P,Q都在曲線C：一八’(0為參數(shù))上，

[y=2sine

且這兩

點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為6=c(與6=2a(0<a<27c),設(shè)尸。的中點(diǎn)M與定點(diǎn)A(l,0)間的距

離為d,

求d的取值范圍.

22.(本小題滿分10分)

在長方體ABC。一A181GO1中,點(diǎn)E是棱A8上一點(diǎn).且普

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，寫出滿意條件的全部數(shù)列｛詼｝(不必寫出過程);

(2)當(dāng)〃=8時(shí)，求滿意條件的數(shù)列｛%｝的個(gè)數(shù).

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數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評分建議

1,{x|一lWx<3}.2,/.3,乎.4,76.5,48.6,（4,+?）.7,-3.8,充要.9,

后+y-括一1=0.10,-36.11,瑞.12,9兀13,114,.

15,【解】（1）（方法1）HAB-AC=9,ABBC=-16,............................4

分

所以AC-AB-BC=9+16=25,即AB（AC+CB）=25,

-2

亦即AB-=25,AB=5.............................7分

（方法2）設(shè)A,B,。的對邊依次為a,b,c,則由條件得方ccosA=9,tzccosB=16.3分

兩式相力口得C(〃COSA+QCOSB)=9+16=25,BPc2=25,故AB=c=5........7分

（方法3）設(shè)A,B,。的對邊依次為〃，b,c,

則由條件得方ccosA=9,?ccosB=16.....................3分

由余弦定理得：伊+,2一/）=9,；卜2+/一加）=16,

兩式相加得c?=25,故AB=c=5.................7分

S、sin(A-B)sinAcosB-cosAsinB

10分

sinCsinC

由正弦定理得sin(A-B)=4cosB—6cosA

sinCc

accosB—AcosA=16-9=714八

7-^^~25*................刀

16,EF=CD,于是四邊形。CEP是平行四邊形，

從而CE〃。「而CEz平面必Z),。尸u平面必D,

故CE〃平面E4D.......................7分

(方法2)取A2的中點(diǎn)連EM,CM...............2分

因?yàn)镋是P8的中點(diǎn)，所以〃抬.

因?yàn)锳B〃C￡),AB^2DC,所以CM〃AD..............4分

因?yàn)椤晁贫矫嫣А?gt;,B4u平面必D,

所以〃平面B4O.同理，CM〃平面

因?yàn)閼?yīng)平面

0CM=M,EM,CMuCEM,（第16題）

所以平面CEM〃平面PAD.而CEu平面PAD,故CE〃平面PAD.

7分

（2）（接（1）中方法1）因?yàn)槭?gt;=AD,且尸是B4的中點(diǎn)，所以。尸_LK4.

因?yàn)锳8_L平面E4。，Wu平面B4。，所以..................10

分

因?yàn)镃E〃。凡所以CE_LR4,CEYAB.

因?yàn)镽4,ABu平面P4B,PAAB=A,所以CE_L平面B48.

因?yàn)镃Eu平面PBC,所以平面PBC_L平面E48.14

分

17,【解】(1)因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑,

所以濃度/(犬)=4y={87

20-2%,4<x10.

則當(dāng)0WxW4時(shí)，由6*4-—424,解得％20,所以此時(shí)0?1?4.................................

8—JV

3分

當(dāng)4<xW10時(shí)，由20-2x、4解得尤W8,所以此時(shí)4VxW8.

綜合得0WxW8,若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天...........

7分

(2)設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6WxW10)天，

濃度

g(x)=2(5-4x)+a016,、一1=10-%+-^--?=(14-%)+-^--a-4........10分

\2/|_8-(x-6)J14-x14-x

因?yàn)?4—xc[4,8],而

所以4&$[4,8],故當(dāng)且僅當(dāng)14-X=4々時(shí)，y有最小值為8&-4.

令8&—Q—4N4,解得24—16忘所以Q的最小值為24—16立Q1.6...........

14分

2ab-4四,

18,【解】(1)由題意得<曲2頁又a>b>0,解得"=8,Z?2=1.

國+/一丁

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+丁=1.…4分

8

(2)①設(shè)M(x,y),A(m,ri),則由題設(shè)知：10Ml=2|。41OAOM=0.

212

m=—y，

f+—4（川+〃2）,解得,4

即8分

mx+=0,

4

桃2

因?yàn)辄c(diǎn)A(m,")在橢圓C2上，所以《-+”2=1,

2

即包+

222

XI=1,亦即土+匕=1.

8,432

22

所以點(diǎn)M的軌跡方程為工+匕=1.........10分

432

②（方法1）設(shè)M（無，y）,則A（4y,-；bc）（；lcR,2w0）,

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C2上，所以力（V+8/）=8,即/+8/=烏（i）

又尤2+8y2=8(ii)

⑴+（ii）得/+/奇（1+十），...................13分

所以小=。脛3=|彳|（/+*=部田+1）號(hào).

當(dāng)且僅當(dāng)4=±1（即KB=±1）時(shí)，（^）ran=y................16分

（方法2）假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y=kx（k^O）.

目2-1

解方程組1+y得婷=」^28左2

“1+8二

y=kx,

所以。=%,+%2=88左2

H------------渡2,…飛

1+8/1+8F

2

%2_,

y=1，Qi2

81解得稅、念,2_8所以CM?=8（1：萬）.…12分

又

上2+8

V=——X,

k

（解法1）由于%慚？=；江,OM2132(1+/)8(1+-)64(1+左2產(chǎn)

-x-----------------—X------------------=---------------------------------

41+8左②3+8(1+842)(獷+8)

三64（1+/）2=64（1+=256

1（1+8/+.+81當(dāng)（1+/）281

當(dāng)且僅當(dāng)1+8尸=左2+8時(shí)等號(hào)成立，即％=±1時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)△可1?面積的最小值是S^AMB=3.15分

當(dāng)左=0,S/^AMB=x4^/2X1=2A/2>;

當(dāng)人不存在時(shí)，S^AMB=2x2^2x2=2\/2>.

綜上所述，面積的最小值為導(dǎo).16分

11111+8^2+/:2+8_9

(解法2)因?yàn)?-7H--------7=---------z—I-----------T—

OA2OM28(1+A;2)8(1+/)―8(1+/)--8

1+8左2—8

又」■y+Jv'---'于是。

OA2OM2OAOM9

當(dāng)且僅當(dāng)1+8尸=公+8時(shí)等號(hào)成立，即左=±1時(shí)等號(hào)成立.(后同方法1)

則3=侑,得畜=〃"即S"=".…

19.【解】(1)因?yàn)閝=S]W。，令/=1,r=n

2分

當(dāng)時(shí)，為=S“-S“_|=q(2"-l),且當(dāng)〃=1時(shí)，此式也成立.

故數(shù)列｛?！ǎ耐?xiàng)公式為=4(2〃-1)............5分

(2)當(dāng)q=l時(shí)，由(1)知=%(2〃-1)=2〃-1,S0=〃2.

依題意，〃N2時(shí)，b”=Sg.、=bn_y,7分

于是log3bn=log3b?_；=21og3%(〃>2,〃eN),且log3々=1,

故數(shù)列｛log3〃｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列...........10分

(3)由(2)得logjd=1X2"T=2〃T,所以a=32"'(〃eN*).……12分

15分

11

所以?16分

Tk=23UkL23J

20.【解】(1)f'(x)=ex-a.

若aWO,則尸(x)>0,則函數(shù)/(x)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)沖突.……2分

所以a>0,令/'(x)=O,則x=lna.

當(dāng)x<lna時(shí)，f'(x)<0,/(x)是單調(diào)減函數(shù)；x>lna時(shí)，f\x)>0,/(x)是單調(diào)增

函數(shù)；

于是當(dāng)x=lna時(shí)，/(尤)取得微小值.............4分

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=e'-辦+a(aeR)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(%,0),B(x2,0)(xi<x2),

所以/(Ina)=a(2-Ina)<0,即a>e?..

止匕時(shí)，存在l<lna,/(l)=e>0；

存在31na>lna,/（31na）=a3-3aIna+a>a3-3a2+a>0,

又由/(元)在(-00,Ina)及(Ina,+00)上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知aAe?為所

求取值范圍.................6分

(2)因?yàn)镕一叫+"=°'兩式相減得°=三*

e電一嗎+〃=0，x2-xi

X］+巧

記^^=s(s>0),則/(A^)=e空一^1^1=寧［2s-(e'-e-')］,…8分

2\2//一％2sL」

設(shè)g(s)=2s-(e'-e-'),!U!|gr(s)=2-(es+e-s)<0,所以g(s)是單調(diào)減函數(shù)，

西+-2

則有g(shù)(s)<g(O)=O,而上^>0，所以尸(看匹卜0.

又((x)=e*-a是單調(diào)增函數(shù)，且三上>斥，所以尸(苗)<0.…11分

x,x,

(3)依題意有e-axi+a=Q,則a{xt-1)=e〉0n七>1(，=1,2).

X］+%2__________________________

于是6亍=可(尤］-1)(丁-1)，在等腰三角形A8C中，明顯C=90°,...............13分

即%=/（%）<0

由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知上/=-％,

所以yo+^y^E，即e誓Ua+xJ+a+^L

=0,

1a1

所以。］（項(xiàng)l）（x21）2（入1+%2）2一0，

3=0.

即aJ（%l）（x21）21但1）I（%DI?2

因?yàn)橛餞"則.后P=

0,

又J&］=1,所以3-8（1+廣）+［（『-1）=0,........................15分

'玉一122

即a=1H—，所以（a—1）（，-1）=2.............................16分

t—1

?、「「〃b~\.「aZ?［「11「1得（j=l,

21B【解】設(shè)M=,,則由7=

cdcd—1l—I\c—d=—I.

b13a+b=3,

再由得

d11c+d=1.

21

聯(lián)立以上方程組解得a=2,b=l,c=0,d=X,故0】......................10

分

21C.【解】由題設(shè)可知尸(1+2cosa,2sina),Q(l+2cos2a,sin2a),...............2分

于是P。的中點(diǎn)M

(l+cos<z+cos2a,sin(z+sin2a)..........................................4分

從而

d2=AM2=(cos?+cos2(z)"+(sin?+sin=2+2cosa.........................................6分

因?yàn)?<a<2兀，所以一lWcosa<l,....................8分

于是0O<4,故］的取值范圍是［0,2)..........................................10分

22.【證】(1)以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為y軸,

DDi為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)A￡>=AAi=l,A