南通市2024屆高三第二次模擬測試數(shù)學

南通市2024屆高三其次次調研測試

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案干脆填寫在答題卡相應位

?±-

1.已知集合A={x<-l},則.4=▲

2.某學校有8個社團，甲、乙兩位同學各自參與其中一個社團，且他倆參與各個社團的可

能性相同，則這兩位同學參與同一個社團的概率為一^.

3.復數(shù)z="「（其中i為虛數(shù)單位）的模為▲.

4.從編號為0,1,2,79的80件產品中，采納系統(tǒng)抽樣的

方法抽取容量是5的樣本，若編號為28的產品在樣本中，則

該樣本中產品的最大編號為▲.

5.依據(jù)如圖所示的偽代碼，最終輸出的。的值為▲.

6.若則。的取值范圍是▲.

7.若函數(shù)/（無）=無3+依2+法為奇函數(shù)，其圖象的一條切線方程為

y=3x-4>/2,則6的值為▲.

8.設/，機表示直線，機是平面a內的隨意一條直線.則是"/_L或”成立的▲

條件.

（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個）

9.在平面直角坐標系xOy中，設A是半圓O：x2+y2=2（xZO）上一點，直線。4的

傾斜角為45。，過點A作x軸的垂線，垂足為"，過”作Q4的平行線交半圓于點3,

則直線鉆的方程是▲.

10.在△ABC中，。是BC的中點，AO=8,BC=20,則AB-AC的值為▲.

11.設x,y,z是實數(shù)，9無，12y,15z成等比數(shù)列，且工，上，工成等差數(shù)列，則工+二的

xyzzx

值是▲.

12.設/是函數(shù)/（九）=sin（2x+0）的一個零點，則函數(shù)/（%）在區(qū)間（0,2兀）內全部極值點之

和為

13.若不等式（徵%—1）[3相2—（工+1）加-1]20對隨意加￡（0,+oo）恒成立，則實數(shù)x的值

為▲.

14.設實數(shù)a,b,c滿意/+人2WcWl,則a+b+c的最小值為▲.

二、解答題：本大題共6小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分14分）

在△ABC中，已知AC=9,AB.BC=-16.求：

（1）AB的值；

（2）的值.

sinC

16.（本小題滿分14分）

在四棱錐尸一A8C。中，AB//DC,平面必。，PD=AD,AB=2DC,E是尸8的

中點.

P

求證：（1）CE〃平面B4D；

（2）平面PBC_L平面PAB.IV\

17.（本小題滿分14分）IV\

為了凈化空氣，某科研單位依據(jù)試驗得出，在肯定范圍內，每噴X7

灑1個單位的凈化劑，空氣中[,/

釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間x（單位：天）改變的函數(shù)關系式/似為

（第16題）

--1,0WxW4,

6-X

y=\i

5-鼻，4<xW10.

L2

若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應時刻所釋放的

濃度之

和.由試驗知，當空氣中凈化劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到凈化空氣

的作用.

（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天？

（2）若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a（lWaW4）個單位的藥劑，

要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求。的最小值（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：

0取1.4）.

18.（本小題滿分16分）

在平面直角坐標系xOy中，設曲線Cj：區(qū)+以=1（。＞匕＞0）所圍成的封閉圖形的

ab

面積為

40,曲線G上的點到原點0的最短距離為斗.以曲線Ci與坐標軸的交點為頂點

的橢圓記

為C2.

（1）求橢圓C2的標準方程；

（2）設是過橢圓C2中心。的隨意弦，/是線段A8的垂直平分線.M是/上的點（與

O不

重合）.

①若〃。=2。4,當點A在橢圓C2上運動時，求點M的軌跡方程；

②若M是/與橢圓C2的交點，求的面積的最小值.

19.（本小題滿分16分）

設數(shù)列｛斯｝的首項不為零，前w項和為S,,且對隨意的廣，/eN*,都有[=（小

（1）求數(shù)列｛&｝的通項公式（用的表示）;

⑵設〃尸1,Z?i=3,2=S如（〃22,〃EN*）,求證：數(shù)列｛logs或｝為等比數(shù)列；

（3）在（2）的條件下，求T.這/I?

k=2々—1

20.（本小題滿分16分）

設函數(shù)/（%）=/-ox+a（a￡R）,其圖象與不軸交于A（%,0）,次馬，。）兩點，且

X2-

（1）求Q的取值范圍；

⑵證明：r（7^）＜o（（⑴為函數(shù)/（尤）的導函數(shù)）；

（3）設點C在函數(shù)y=/（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記,

求（a—DQ-1）

的值.

21B.選修4—2：矩陣與變換

「3-

已知二階矩陣M有特征值4=1及對應的一個特征向量q=]，且M=.求矩

11

陣跖

21C.選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

fY=12CCS0

在平面直角坐標系尤Oy中，設動點P,Q都在曲線C：一八’(0為參數(shù))上，

[y=2sine

且這兩

點對應的參數(shù)分別為6=c(與6=2a(0<a<27c),設尸。的中點M與定點A(l,0)間的距

離為d,

求d的取值范圍.

22.(本小題滿分10分)

在長方體ABC。一A181GO1中,點E是棱A8上一點.且普

(1)當〃=3時，寫出滿意條件的全部數(shù)列｛詼｝(不必寫出過程);

(2)當〃=8時，求滿意條件的數(shù)列｛%｝的個數(shù).

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數(shù)學學科參考答案及評分建議

1,{x|一lWx<3}.2,/.3,乎.4,76.5,48.6,（4,+?）.7,-3.8,充要.9,

后+y-括一1=0.10,-36.11,瑞.12,9兀13,114,.

15,【解】（1）（方法1）HAB-AC=9,ABBC=-16,............................4

分

所以AC-AB-BC=9+16=25,即AB（AC+CB）=25,

-2

亦即AB-=25,AB=5.............................7分

（方法2）設A,B,。的對邊依次為a,b,c,則由條件得方ccosA=9,tzccosB=16.3分

兩式相力口得C(〃COSA+QCOSB)=9+16=25,BPc2=25,故AB=c=5........7分

（方法3）設A,B,。的對邊依次為〃，b,c,

則由條件得方ccosA=9,?ccosB=16.....................3分

由余弦定理得：伊+,2一/）=9,；卜2+/一加）=16,

兩式相加得c?=25,故AB=c=5.................7分

S、sin(A-B)sinAcosB-cosAsinB

10分

sinCsinC

由正弦定理得sin(A-B)=4cosB—6cosA

sinCc

accosB—AcosA=16-9=714八

7-^^~25*................刀

16,EF=CD,于是四邊形。CEP是平行四邊形，

從而CE〃?！付鳦Ez平面必Z),。尸u平面必D,

故CE〃平面E4D.......................7分

(方法2)取A2的中點連EM,CM...............2分

因為E是P8的中點，所以〃抬.

因為AB〃C￡),AB^2DC,所以CM〃AD..............4分

因為￡似二平面抬￡>,B4u平面必D,

所以〃平面B4O.同理，CM〃平面

因為應平面

0CM=M,EM,CMuCEM,（第16題）

所以平面CEM〃平面PAD.而CEu平面PAD,故CE〃平面PAD.

7分

（2）（接（1）中方法1）因為尸￡>=AD,且尸是B4的中點，所以。尸_LK4.

因為A8_L平面E4。，Wu平面B4。，所以..................10

分

因為CE〃。凡所以CE_LR4,CEYAB.

因為R4,ABu平面P4B,PAAB=A,所以CE_L平面B48.

因為CEu平面PBC,所以平面PBC_L平面E48.14

分

17,【解】(1)因為一次噴灑4個單位的凈化劑,

所以濃度/(犬)=4y={87

20-2%,4<x10.

則當0WxW4時，由6*4-—424,解得％20,所以此時0?1?4.................................

8—JV

3分

當4<xW10時，由20-2x、4解得尤W8,所以此時4VxW8.

綜合得0WxW8,若一次投放4個單位的制劑，則有效凈化時間可達8天...........

7分

(2)設從第一次噴灑起，經x(6WxW10)天，

濃度

g(x)=2(5-4x)+a016,、一1=10-%+-^--?=(14-%)+-^--a-4........10分

\2/|_8-(x-6)J14-x14-x

因為14—xc[4,8],而

所以4&$[4,8],故當且僅當14-X=4々時，y有最小值為8&-4.

令8&—Q—4N4,解得24—16忘所以Q的最小值為24—16立Q1.6...........

14分

2ab-4四,

18,【解】(1)由題意得<曲2頁又a>b>0,解得"=8,Z?2=1.

國+/一丁

因此所求橢圓的標準方程為二+丁=1.…4分

8

(2)①設M(x,y),A(m,ri),則由題設知：10Ml=2|。41OAOM=0.

212

m=—y，

f+—4（川+〃2）,解得,4

即8分

mx+=0,

4

桃2

因為點A(m,")在橢圓C2上，所以《-+”2=1,

2

即包+

222

XI=1,亦即土+匕=1.

8,432

22

所以點M的軌跡方程為工+匕=1.........10分

432

②（方法1）設M（無，y）,則A（4y,-；bc）（；lcR,2w0）,

因為點A在橢圓C2上，所以力（V+8/）=8,即/+8/=烏（i）

又尤2+8y2=8(ii)

⑴+（ii）得/+/奇（1+十），...................13分

所以小=。脛3=|彳|（/+*=部田+1）號.

當且僅當4=±1（即KB=±1）時，（^）ran=y................16分

（方法2）假設AB所在的直線斜率存在且不為零，設AB所在直線方程為y=kx（k^O）.

目2-1

解方程組1+y得婷=」^28左2

“1+8二

y=kx,

所以。=%,+%2=88左2

H------------渡2,…飛

1+8/1+8F

2

%2_,

y=1，Qi2

81解得稅、念,2_8所以CM?=8（1：萬）.…12分

又

上2+8

V=——X,

k

（解法1）由于%慚？=；江,OM2132(1+/)8(1+-)64(1+左2產

-x-----------------—X------------------=---------------------------------

41+8左②3+8(1+842)(獷+8)

三64（1+/）2=64（1+=256

1（1+8/+.+81當（1+/）281

當且僅當1+8尸=左2+8時等號成立，即％=±1時等號成立，

此時△可1?面積的最小值是S^AMB=3.15分

當左=0,S/^AMB=x4^/2X1=2A/2>;

當人不存在時，S^AMB=2x2^2x2=2\/2>.

綜上所述，面積的最小值為導.16分

11111+8^2+/:2+8_9

(解法2)因為--7H--------7=---------z—I-----------T—

OA2OM28(1+A;2)8(1+/)―8(1+/)--8

1+8左2—8

又」■y+Jv'---'于是。

OA2OM2OAOM9

當且僅當1+8尸=公+8時等號成立，即左=±1時等號成立.(后同方法1)

則3=侑,得畜=〃"即S"=".…

19.【解】(1)因為q=S]W。，令/=1,r=n

2分

當時，為=S“-S“_|=q(2"-l),且當〃=1時，此式也成立.

故數(shù)列｛?！ǎ耐椆綖?4(2〃-1)............5分

(2)當q=l時，由(1)知=%(2〃-1)=2〃-1,S0=〃2.

依題意，〃N2時，b”=Sg.、=bn_y,7分

于是log3bn=log3b?_；=21og3%(〃>2,〃eN),且log3々=1,

故數(shù)列｛log3〃｝是首項為1，公比為2的等比數(shù)列...........10分

(3)由(2)得logjd=1X2"T=2〃T,所以a=32"'(〃eN*).……12分

15分

11

所以?16分

Tk=23UkL23J

20.【解】(1)f'(x)=ex-a.

若aWO,則尸(x)>0,則函數(shù)/(x)是單調增函數(shù)，這與題設沖突.……2分

所以a>0,令/'(x)=O,則x=lna.

當x<lna時，f'(x)<0,/(x)是單調減函數(shù)；x>lna時，f\x)>0,/(x)是單調增

函數(shù)；

于是當x=lna時，/(尤)取得微小值.............4分

因為函數(shù)/(x)=e'-辦+a(aeR)的圖象與x軸交于兩點A(%,0),B(x2,0)(xi<x2),

所以/(Ina)=a(2-Ina)<0,即a>e?..

止匕時，存在l<lna,/(l)=e>0；

存在31na>lna,/（31na）=a3-3aIna+a>a3-3a2+a>0,

又由/(元)在(-00,Ina)及(Ina,+00)上的單調性及曲線在R上不間斷，可知aAe?為所

求取值范圍.................6分

(2)因為F一叫+"=°'兩式相減得°=三*

e電一嗎+〃=0，x2-xi

X］+巧

記^^=s(s>0),則/(A^)=e空一^1^1=寧［2s-(e'-e-')］,…8分

2\2//一％2sL」

設g(s)=2s-(e'-e-'),!U!|gr(s)=2-(es+e-s)<0,所以g(s)是單調減函數(shù)，

西+-2

則有g(s)<g(O)=O,而上^>0，所以尸(看匹卜0.

又((x)=e*-a是單調增函數(shù)，且三上>斥，所以尸(苗)<0.…11分

x,x,

(3)依題意有e-axi+a=Q,則a{xt-1)=e〉0n七>1(，=1,2).

X］+%2__________________________

于是6亍=可(尤］-1)(丁-1)，在等腰三角形A8C中，明顯C=90°,...............13分

即%=/（%）<0

由直角三角形斜邊的中線性質，可知上/=-％,

所以yo+^y^E，即e誓Ua+xJ+a+^L

=0,

1a1

所以。］（項l）（x21）2（入1+%2）2一0，

3=0.

即aJ（%l）（x21）21但1）I（%DI?2

因為羽T"則.后P=

0,

又J&］=1,所以3-8（1+廣）+［（『-1）=0,........................15分

'玉一122

即a=1H—，所以（a—1）（，-1）=2.............................16分

t—1

?、「「〃b~\.「aZ?［「11「1得（j=l,

21B【解】設M=,,則由7=

cdcd—1l—I\c—d=—I.

b13a+b=3,

再由得

d11c+d=1.

21

聯(lián)立以上方程組解得a=2,b=l,c=0,d=X,故0】......................10

分

21C.【解】由題設可知尸(1+2cosa,2sina),Q(l+2cos2a,sin2a),...............2分

于是P。的中點M

(l+cos<z+cos2a,sin(z+sin2a)..........................................4分

從而

d2=AM2=(cos?+cos2(z)"+(sin?+sin=2+2cosa.........................................6分

因為0<a<2兀，所以一lWcosa<l,....................8分

于是0O<4,故］的取值范圍是［0,2)..........................................10分

22.【證】(1)以。為原點，D4為x軸，0c為y軸,

DDi為z軸建立空間直角坐標系.

不妨設A￡>=AAi=l,A