《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》課件第7章

第7章參數(shù)估計(jì)7.1、參數(shù)估計(jì)的基本原理7.2、總體均值、比例和方差的置信區(qū)間估計(jì)7.3、雙總體均值之差、比例之差和方差之比

的置信區(qū)間估計(jì)7.1

參數(shù)估計(jì)的基本原理7.1.1估計(jì)量與估計(jì)值樣本統(tǒng)計(jì)量是樣本觀察值的函數(shù)，匯總了樣本的觀察信息。參數(shù)估計(jì)中，首要問(wèn)題是找到恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量作為參數(shù)的估計(jì)量。估計(jì)值是根據(jù)特定樣本計(jì)算的樣本統(tǒng)計(jì)量值7.1.2點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)(pointestimate)就是找到合適的估計(jì)量，用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的樣本估計(jì)值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值依據(jù)點(diǎn)估計(jì)值

給出

的一個(gè)區(qū)間，總體參數(shù)落入這一區(qū)間的概率可以看做區(qū)間估計(jì)的可靠程度(置信度)，區(qū)間的寬度可以看做估計(jì)誤差的一個(gè)參考。7.1.3評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)1、無(wú)偏性：無(wú)偏性是指估計(jì)量抽樣分布的均值等于總體參數(shù)2、有效性：對(duì)于同樣兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量而言，方差較小的統(tǒng)計(jì)量更為有效。3、一致性：一致性是指隨著樣本容量的增大，估計(jì)值無(wú)限趨近于總體參數(shù)，也即就是估計(jì)量的方差趨近于零。7.2總體均值、比例和方差的置信區(qū)間估計(jì)7.2.1、總體平均數(shù)的置信區(qū)間：總體正態(tài)分布且方差已知根據(jù)樣本均值的抽樣分布根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們必然可以找到Z落入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)對(duì)稱區(qū)間的概率：也就是：令：則一：則二：例7.1、某醫(yī)院育嬰房隨機(jī)抽取9名新生兒，檢查他(她)們的體重?cái)?shù)據(jù)如下(單位KG)：2.8，3.1，3.6，3.7，3.8，3.2，2.9，3.3，4.1。假設(shè)新生兒體重分布服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差為0.4。試估計(jì)新生兒體重置信度為95%的置信區(qū)間。解：樣本均值：由于總體標(biāo)準(zhǔn)差：抽樣標(biāo)準(zhǔn)差：邊際誤差：故新生兒體重95%的置信區(qū)間為：7.2.2、總體平均數(shù)的置信區(qū)間：總體正態(tài)分布且方差未知此時(shí),

例7.2、在例7.1中，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，試估計(jì)新生兒體重總體均值95%的置信區(qū)間。解：樣本平均值：

樣本標(biāo)準(zhǔn)差：0.437抽樣標(biāo)準(zhǔn)差：根據(jù)自由度查得邊際誤差：故新生兒體重95%的置信區(qū)間為：用EXCEL做區(qū)間估計(jì)的方法比較多，一種方法是可以充分利用EXCEL中的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，比如樣本計(jì)算平均值的函數(shù)AVERAGE、計(jì)算樣本方差的函數(shù)VAR、查t分布臨界值的函數(shù)TINV等等。另一種方法則比較簡(jiǎn)單，就是利用EXCEL中的描述統(tǒng)計(jì)功能。在例7.2中，對(duì)9名新生兒體重的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)，過(guò)程和結(jié)果見(jiàn)圖7-2、圖7-2：7.2.3、總體比例的區(qū)間估計(jì)例7.3根據(jù)一個(gè)由某品牌250個(gè)輪胎組成的隨機(jī)樣本，測(cè)試其輪胎防爆特性，發(fā)現(xiàn)有8%的輪胎防爆特性不合格，是以95%的置信度估計(jì)該品牌輪胎防爆特性不合格的比例。解：樣本比例抽樣標(biāo)準(zhǔn)差：邊際誤差：95%的置信區(qū)間（6.3%，9.7%）7.2.4單側(cè)估計(jì)區(qū)間估計(jì)中，我們有時(shí)只僅僅關(guān)心區(qū)間的下限或者上限，這是通常稱作單側(cè)估計(jì)?？傮w均值置信度為1-a下限區(qū)間：總體均值置信度為1-a上限區(qū)間：在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知情形下，通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s替代總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，來(lái)計(jì)算抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤，同時(shí)用t統(tǒng)計(jì)量臨界值代替正態(tài)統(tǒng)計(jì)量臨界值例7-4、為了解某品牌輪胎的使用壽命，隨機(jī)抽取16個(gè)輪胎進(jìn)行破壞性測(cè)試，模擬測(cè)試其在標(biāo)準(zhǔn)路面上的行駛里程數(shù)，結(jié)果數(shù)據(jù)如下(單位：km)：16805，15550，15890，16870，16822，17875，15630，16324，15880，16931，17211，14550，15730，17820，14060，15995。假設(shè)輪胎使用壽命服從正態(tài)分布，試以95%的置信度估計(jì)該輪胎使用壽命不超過(guò)多少公里。解：樣本均值：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤：t分布臨界值：所以，置信度95%置信區(qū)間上限為即：即輪胎使用壽命均值在95%置信度下不超過(guò)16708.6公里。對(duì)于總體比例的單側(cè)區(qū)間估計(jì)，類似于上式可以寫出：總體比例置信度為

下限區(qū)間：總體比例置信度為

上限區(qū)間：7.2.5總體方差的區(qū)間估計(jì)對(duì)于樣本方差統(tǒng)計(jì)量有而言：那么，一定有：總體方差置信度為1-a的置信區(qū)間為：例7.5，根據(jù)例7-4的數(shù)據(jù)，試估計(jì)輪胎使用壽命標(biāo)準(zhǔn)差95%的置信區(qū)間解：根據(jù)7-4計(jì)算結(jié)果：樣本方差：查表：所以總體方差95%的置信區(qū)間：即(606805.8,2663662.4)。因此標(biāo)準(zhǔn)差95%的置信區(qū)間：(779.0,1632.1)。方差的單側(cè)估計(jì)置信度為1-a的方差置信下限置信度為1-a的方差置信上限7.3雙總體均值之差、比例之差和方差之比的置信區(qū)7.3.1總體均值之差的區(qū)間估計(jì)1、獨(dú)立樣本2、匹配樣本1、獨(dú)立樣本兩個(gè)總體方差已知時(shí)如果總體方差位置，并相等置信度為1-a的區(qū)間例7-6、在章節(jié)2.1的母嬰關(guān)系的例子中，14名實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組母嬰關(guān)系的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)如表7-1，試估計(jì)兩種照顧方式母嬰親密度之間置信度95%的差異?？刂平M試驗(yàn)組人數(shù)1414樣本平均值3.435.36樣本離差平方33.311.2解：根據(jù)公式查表：95%的置信區(qū)間：即(0.91，2.95)。2、匹配樣本考慮兩種工藝哪種更有效率，先用A工藝加工一定數(shù)量的產(chǎn)品做記錄，再用B工藝加工一定的產(chǎn)品做記錄。為避免工人在加工過(guò)程中的學(xué)習(xí)對(duì)結(jié)果的影響，某個(gè)工人在裝配時(shí)先選擇A工藝還是先選擇B工藝也是隨機(jī)的。序號(hào)123456789A工藝252931282628273030B工藝182227252725202525差值7743-13755設(shè)樣本數(shù)據(jù)的差值來(lái)自實(shí)際上總體差值那么，類似單樣本總體均值的區(qū)間估計(jì)，置信度1-a的置信區(qū)間：其中：對(duì)于上例，解:均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差抽樣標(biāo)準(zhǔn)差兩種工藝單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)品的平均數(shù)置信度為0.95的置信區(qū)間為：7.3.2比例之差的區(qū)間估計(jì)根據(jù)樣本比例之差的的抽樣分布置信度為1-a的置信區(qū)間為：

例7.7、1954年，美國(guó)國(guó)會(huì)曾針對(duì)新發(fā)明的小兒麻痹疫苗的效果進(jìn)行大規(guī)模測(cè)試。在全國(guó)740000個(gè)兒童中，有400000人自愿接種此疫苗。其中只隨機(jī)抽取一半的人注射疫苗，而另一半的人則注射生理鹽水作為安慰劑，其結(jié)果如下(表7-3)：全部觀察兒童兒童人數(shù)患小兒麻痹病病例注射疫苗20000057注射安慰劑(控制組)200000142拒絕接受接種340000157試估計(jì):1)針對(duì)三類兒童，分別計(jì)算患小兒麻痹的比例。2)注射疫苗和安慰劑的兩組患小兒麻痹的比例差異0.95的置信區(qū)間。3)注射疫苗和拒絕接種組患小兒麻痹的比例差異0.95的置信區(qū)間解：可參照公式7.13給出三類兒童總體比例的置信區(qū)間。即(0.000424691,0.000425309)。即(0.000144854,0.000351617)。7.3.3方差之比的區(qū)間估計(jì)由于因此置信區(qū)間例7-8在工程建筑中，用到兩種不同結(jié)構(gòu)的承載構(gòu)件，為比較兩種構(gòu)件承載力得方差，分別選取兩種構(gòu)件各8個(gè)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到它們破壞扭矩?cái)?shù)值如表7-4，試估計(jì)兩種構(gòu)件方差之比95%的置信區(qū)間。A構(gòu)件B構(gòu)件