人教版初中數(shù)學同步講義八年級下冊第03講 數(shù)據(jù)的波動程度（3個知識點+6類熱點題型講練+習題鞏固）（原卷版）

第03講數(shù)據(jù)的波動程度課程標準學習目標①方差②用樣本方差估計總體方差③數(shù)據(jù)分析的步驟掌握方差的定義以及計算公式，并能夠熟練的計算數(shù)據(jù)的方差。能夠熟練的運用樣本方差估算整體方差。能熟練的分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)解決相關(guān)問題。知識點01方差方差的定義與計算公式：定義：若有個數(shù)據(jù)，他們的平均數(shù)是，我們可以用這些數(shù)與平均數(shù)的差的平方，即的平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的。并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。計算公式：用字母來表示方差。＝。方差的意義：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)的，一組數(shù)據(jù)的方差越大，數(shù)據(jù)的波動，一組數(shù)據(jù)的方差越小，數(shù)據(jù)波動。方差的拓展：若數(shù)據(jù)的方差是：數(shù)據(jù)的方差是。數(shù)據(jù)的方差是。數(shù)據(jù)的方差是。標準差：求方差的算術(shù)平方根即為一組數(shù)據(jù)的標準差。極差：一組數(shù)據(jù)的與的差即為一組數(shù)據(jù)的極差?！炯磳W即練1】1．2023年杭州亞運會，有五位同學將參加“中國舞迎亞運”活動，已知小隊中的每個人的身高（單位：cm）分別為：168、167、170、172、158．則這些隊員的身高的方差為（）A．116 B．33.4 C．23.2 D．4.8【即學即練2】2．甲、乙、丙、丁四人各進行了10次射擊測試，他們的平均成績相同，方差分別是S甲2＝0.46，S乙2＝1.15，S丙2＝1.78，S丁2＝0.92．則射擊成績最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【即學即練3】3．一組數(shù)據(jù)的標準差計算公式是s＝，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．【即學即練4】4．已知一組數(shù)據(jù)6、2、4、4、5，則這一組數(shù)據(jù)的極差為（）A．1 B．2 C．3 D．4知識點02用樣本方差估算整體方差用樣本方差估算整體方差：就像用樣本平均數(shù)估算整體平均數(shù)一樣，在考察總體方差時，如果考察的總體包含很多個體時，或者考察本身具有破壞性，則在實際中常常用樣本方差估算整體方差?！炯磳W即練1】5．袁隆平海水稻科研團隊從甲、乙兩種水稻苗中隨機抽取部分稻苗測量苗高，算得它們的方差分別為，，則下列對苗高的整齊程度描述正確的是（）A．甲更整齊 B．乙更整齊 C．一樣整齊 D．無法確定知識點03數(shù)據(jù)分析的步驟數(shù)據(jù)分析的步驟：收集數(shù)據(jù)：確定樣本與抽取樣本的方法。制成統(tǒng)計表。描述數(shù)據(jù)：根據(jù)統(tǒng)計表畫出統(tǒng)計圖（條形圖、直方圖以及折線圖等），使得數(shù)據(jù)分布的信息更清楚的展現(xiàn)出來。數(shù)據(jù)分析：根據(jù)原始數(shù)據(jù)以及各種統(tǒng)計圖表，計算各組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)以及方差等，通過分析圖表以及計算結(jié)果得出結(jié)論?！炯磳W即練1】6．為積極創(chuàng)建“全市兒童青少年近視防控示范學?！?，培養(yǎng)學生良好的用眼習慣，某校本學期開展了正確用眼知識競賽，從中隨機抽取20份學生答卷，并統(tǒng)計成績（成績得分用x表示，單位：分），收集數(shù)據(jù)如下：86829099989690100898387888190931009610092100整理數(shù)據(jù)：80≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤10034a8分析數(shù)據(jù)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)92bc請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）直接寫出上述表格中a，b，c的值；（2）該校有2700名學生參加了知識競賽，請估計成績不低于90分的人數(shù)；（3）請從中位數(shù)、眾數(shù)中選擇一個量，結(jié)合本題解釋它的意義．題型01統(tǒng)計量的計算【典例1】一組數(shù)據(jù)：7，5，9，6，9，12．下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法錯誤的是（）A．眾數(shù)是9 B．中位數(shù)是9 C．平均數(shù)是8 D．方差是【變式1】一組數(shù)據(jù)：1，4，7，7，x，4的平均數(shù)是5，則下列說法中正確的是（）A．這組數(shù)據(jù)的極差是3 B．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7 C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4 D．這組數(shù)據(jù)的方差是5【變式2】某校在讀書系列活動中，為了解學生的課外閱讀情況，隨機選取了某班甲、乙兩組學生一周的課外閱讀時間（單位：小時）進行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如圖表，兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)分別為M甲、M乙，方差分別為、，則（）甲組67888910乙組47888912A．M甲＞M乙， B．M甲＝M乙， C．M甲＝M乙， D．M甲＝M乙，【變式3】為了迎戰(zhàn)中考的第一站一體考，某班50名同學積極訓練，一次體能測試后，老師對測試成績進行了統(tǒng)計．由于小剛有事沒有參加本次集體測試，因此計算其他49人的平均分為49分，方差S2＝1.6．后來小剛進行了補測，成績?yōu)?9分，關(guān)于該班50人的測試成績，下列說法正確的是（）A．平均分不變，方差變大 B．平均分不變，方差變小 C．平均分和方差都不變 D．平均分和方差都改變【變式4】教練將某射擊運動員50次的射擊成績錄入電腦，計算得到這50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7.5，方差是1.64．后來教練核查時發(fā)現(xiàn)其中有2個數(shù)據(jù)錄入有誤，一個錯錄為9環(huán)，實際成績應是6環(huán)；另一個錯錄為7環(huán)，實際成績應是10環(huán)．教練將錯錄的2個數(shù)據(jù)進行了更正，更正后實際成績的平均數(shù)是，方差是s2，則（）A．＝1.64 B．＜1.64 C．＞1.64 D．＝1.64【變式5】若一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為3，則數(shù)據(jù)x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是（）A．1 B．3 C．6 D．﹣8【變式6】一組數(shù)據(jù)a、b、c、d、e、f、g的平均數(shù)是m，方差是n，則另一組數(shù)據(jù)3a﹣2、3b﹣2、3c﹣2、3d﹣2、3e﹣2、3f﹣2、3g﹣2的平均數(shù)和方差分別是（）A．3，3n﹣2 B．3m﹣2，n C．m﹣2，3n D．3m﹣2，9n題型02方差的意義【典例1】甲、乙、丙、丁四位選手各10次射擊成績的平均數(shù)和方差如表所示：選手甲乙丙丁平均數(shù)（環(huán)）7887方差（環(huán)2）0.91.10.91則這四人中成績好且發(fā)揮最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【變式1】在日常生活中，對某些技能的訓練，新手的表現(xiàn)通常不太穩(wěn)定．以下是小逸和小亮在射擊訓練中進行10次射擊之后的成績統(tǒng)計，請根據(jù)圖中信息估計誰可能是新手（）A．小亮 B．小逸 C．都是新手 D．無法判定【變式2】在一次投籃訓練中，甲、乙、丙、丁四人各進行10次投籃練習，每人投籃成績的平均數(shù)都是9.3，方差分別為S甲2＝0.54，S乙2＝0.45，S丙2＝0.56，S丁2＝0.62，成績最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【變式3】為慶祝2023年5月30日神舟十六號成功發(fā)射，學校開展航天知識競賽活動，經(jīng)過幾輪篩選，某班決定從甲、乙、丙、丁四名同學中選擇一名同學代表班級參加比賽，經(jīng)統(tǒng)計，四名同學成績的平均數(shù)（單位：分）及方差（單位：分2）如表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要選一名成績好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參賽，應選擇：（）甲乙丙丁平均數(shù)95989698方差2.30.61.21.9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁題型03方差公式的應用【典例1】在對一組樣本數(shù)據(jù)進行分析時，小華列出了方差的計算公式，則下列說法錯誤的是（）A．樣本的方差是2 B．樣本的中位數(shù)是3 C．樣本的眾數(shù)是3 D．樣本的平均數(shù)是3【變式1】在一次國學知識答題比賽中，某支參賽隊伍的選手比賽成績的方差計算公式為：s2＝[（x1﹣82）2+（x2﹣82）2+…+（x5﹣82）2]，下列說法錯誤的是（）A．這支隊伍共有5位選手參賽 B．這支隊伍參賽選手的平均成績?yōu)?2分 C．這支隊伍參賽選手成績的中位數(shù)為82分 D．這支隊伍參賽選手的團體總分為410分【變式2】已知一組數(shù)據(jù)的方差：，則m+n的值為．【變式3】一組數(shù)據(jù)的方差計算公式為，則這組數(shù)據(jù)的方差是．題型04統(tǒng)計量的選擇【典例1】某校開展校園安全知識競賽，計劃從參加初賽的29名同學中選取前15名參加決賽，參賽選手小明要想知道自己是否入圍，他只需要知道29名參賽選手成績的（）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差【變式1】期中考試后，班里有兩名同學議論他們所在小組同學的數(shù)學成績，小明說：“我們組成績是86分的同學最多．”小英說：“我們組的7名同學中成績排在最中間的恰好也是86分．”小明、小英兩名同學的話能反映的統(tǒng)計量分別是（）A．眾數(shù)和平均數(shù) B．平均數(shù)和中位數(shù) C．中位數(shù)和眾數(shù) D．眾數(shù)和中位數(shù)【變式2】下表是某社團20名成員的年齡分布統(tǒng)計表，數(shù)據(jù)不小心被撕掉一塊，仍能夠分析得出關(guān)于這20名成員年齡的統(tǒng)計量是（）A．平均數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．眾數(shù)【變式3】在懷化市雅禮實驗學校一次數(shù)學競賽中，21名參賽同學的成績各不相同，按照成績?nèi)∏?0名進入決賽，如果小明知道了自己的比賽成績，要判斷能否進入決賽，小明需要知道這21名同學成績的（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差題型05統(tǒng)計順序與方法的選擇【典例1】實施“雙減”政策后，為了解我縣初中生每天完成家庭作業(yè)所花時間及質(zhì)量情況，根據(jù)以下四個步驟完成調(diào)查：①收集數(shù)據(jù)；②分析數(shù)據(jù)；③制作并發(fā)放調(diào)查問卷；④得出結(jié)論，提出建議和整改意見．你認為這四個步驟合理的先后排序為（）A．①②③④ B．①③②④ C．③①②④ D．②③④①【變式1】某學校數(shù)學社團為了解本校學生每天完成家庭作業(yè)所花時間，根據(jù)以下四個步驟完成調(diào)查：①收集數(shù)據(jù)：②分析數(shù)據(jù)；③得出結(jié)論，提出建議；④制作并發(fā)放調(diào)查問卷．這四個步驟的先后順序為（）A．①②③④ B．④①②③ C．①③②④ D．④①③②【變式2】萬州區(qū)教師進修學院為了督查國家雙減政策的落實情況，現(xiàn)調(diào)查某校學生每日睡眠時長問題，選用下列哪種方法最恰當（）A．查閱文獻資料 B．對學生問卷調(diào)查 C．上網(wǎng)查詢 D．對校領(lǐng)導問卷調(diào)查【變式3】國際數(shù)學奧林匹克（InternationalMathematicalOlympiad，簡稱IMO）是世界上規(guī)模和影響最大的中學生數(shù)學學科競賽活動，我國自1985年第一次參加比賽以來取得卓越的成績．想了解歷屆我國參賽的獲獎情況獲得數(shù)據(jù)的方式是（）A．實驗 B．問卷調(diào)查 C．查閱文獻資料 D．實地考察題型06統(tǒng)計應用【典例1】某新型充電電池生產(chǎn)廠研發(fā)了“天干”、“地支”兩種存儲電量相同的快速充電電池，為了掌握這兩種電池從電量為零到充滿電量所需要的時長，從“天干”、“地支”兩種型號電池中各隨機抽取了10塊電池，對它們的充電時長（單位：分鐘）進行整理、描述和分析．下面分別給出了抽取的電池的充電時長的部分信息：“天干”電池的充電時長：28，28，29，29，30，30，30，31，32，33，抽取的“天干”、“地支”電池的充電時長統(tǒng)計表：電池型號平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差天干30ab24地支30292950根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝；（2）該廠在3月份共生產(chǎn)了1000塊“天干”型號的充電電池，估計該型號電池充電時長超過30分鐘的數(shù)量；（3）若電池的充電時長越短，電池性能越優(yōu)異．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪個型號的電池的性能更優(yōu)異，請說明理由．（寫出一條即可）【變式1】某校舉辦國學知識競賽，設(shè)定滿分10分，學生得分均為整數(shù)．在初賽中，甲、乙兩組（每組10人）學生成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑┘捉M：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙組：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．組別平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲組7a62.6乙組b7cS乙2（1）以上成績統(tǒng)計分析表中a＝，b＝，c＝；（2）小明同學說：“這次競賽我得了7分，在我們小組中屬中游略偏上！”觀察上面表格判斷，小明可能是組的學生；（3）從平均數(shù)和方差看，若從甲、乙兩組學生中選擇一個成績較為穩(wěn)定的小組參加決賽，應選哪個組？并說明理由．【變式2】重慶二外開展校本知識競賽活動，現(xiàn)從八年級和九年級參與競賽的學生中各隨機選出20名同學的成績進行分析，將學生競賽成績分為A、B、C、D四個等級，分別是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面給出了部分信息：其中，八年級學生的競賽成績?yōu)椋?8，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，92，94，95，96，96；九年級等級C的學生成績?yōu)椋?2，83，84，84，87，87，88．兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：學生平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)八年級85.286b九年級85.2a91根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）以上數(shù)據(jù)，你認為在此次知識競賽中，哪個年級的成績更好？請說明理由（一條理由即可）；（3）若八、九年級各有600名學生參賽，請估計兩個年級參賽學生中成績優(yōu)秀（大于或等于90分）的學生共有多少人．【變式3】為了解某校學生的身高情況，隨機抽取該校男生、女生進行抽樣調(diào)查．已知抽取的樣本中，男生、女生的人數(shù)相同，利用所得數(shù)據(jù)繪制如下統(tǒng)計圖表：身高情況分組表組別ABCDE身高（cm）x＜155155≤x＜160160≤x＜165165≤x＜170x≥170根據(jù)圖表提供的信息，回答下列問題：（1）抽取的樣本中，男生的身高眾數(shù)在B組，中位數(shù)在C組；（2）抽取的樣本中，女生身高在E組的人數(shù)有多少人；（3）已知該校共有男生840人，女生820人，請估計身高在C組的學生人數(shù)．1．已知一組數(shù)據(jù)2，3，5，3，7，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法不正確的是（）A．平均數(shù)是4 B．眾數(shù)是3 C．中位數(shù)是5 D．極差是52．一組7個數(shù)據(jù)分別為2，2，2，3，3，4，5．若去掉一個數(shù)據(jù)，平均數(shù)不變，則下列說法正確的是（）A．中位數(shù)與眾數(shù)都不變 B．眾數(shù)與方差都不變 C．中位數(shù)與極差都不變 D．眾數(shù)與極差都不變3．已知一組數(shù)據(jù)26，36，36，2■，41，42，其中一個兩位數(shù)的個位數(shù)字被墨水涂污，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)下列統(tǒng)計量的計算結(jié)果與被涂污數(shù)字無關(guān)的是（）A．平均數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．眾數(shù)4．河南省博物院中五位講解員的年齡（單位：歲）分別為19，23，23，25，28，則三年后這五位講解員的年齡數(shù)據(jù)中一定不會改變的是（）A．方差 B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．平均數(shù)5．甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試，每人10次射擊的平均成績恰好都是9.2環(huán)，方差分別是s甲2＝0.12，s乙2＝0.25，s丙2＝0.35，s丁2＝0.46，在本次射擊測試中，這四個人成績最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．“計”高一籌，“算”出風采．為提高學生的運算能力，某校開展以計算為主題的項目活動．已知甲班10名學生測試成績的方差是s甲2＝0.19，乙班10名學生測試成績的方差是s乙2＝m，兩班學生測試的平均分都是95分，結(jié)果主辦方根據(jù)平均成績和方差判定乙班勝出，則m的值可能是（）A．0.20 B．0.22 C．0.19 D．0.187．某校“英語課本劇”表演比賽中，九年級的10名學生參賽成績統(tǒng)計如圖所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法中正確的是（）A．平均數(shù)是88 B．眾數(shù)是85 C．中位數(shù)是90 D．方差是68．我們知道，“方差”是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量，老師想了解學生對于“方差”概念的掌握情況，給出了一組樣本數(shù)據(jù)方差的計算公式：s2＝．由公式提供的信息，請同學們判斷下列說法錯誤的是（）A．樣本的總數(shù)n＝4 B．樣本的眾數(shù)是6 C．樣本的中位數(shù)是4 D．樣本的方差值9．許老師在調(diào)查學生每天完成作業(yè)時間時，得到了一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則在①、②、③、④中正確結(jié)論的序號是（）①x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均數(shù)②x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位數(shù)③x2，x3，x4，x5的方差不小于x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差④x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6的極差A．①④ B．①③ C．②③ D．②④10．若一組數(shù)據(jù)a1，a2，…，an的平均數(shù)為10，方差為4，則數(shù)據(jù)a1+3，a2+3，…，an+3的平均數(shù)和方差分別是（）A．13，7 B．13，4 C．10，4 D．10，711．實施“雙減政策”之后，為了解貴陽市某初中2735名學生平均每天完成各科家庭作業(yè)所用的時間，根據(jù)以下4個步驟進行調(diào)查活動：①整理數(shù)據(jù)；②得出結(jié)論，提出建議；③分析數(shù)據(jù)；④收集數(shù)據(jù)．對這4個步驟進行合理的排序移動：．12．為了解游客在A，B，C三個城市旅游的滿意度，某旅游公司商議了四種收集數(shù)據(jù)的方案．方案一：在多家旅游公司調(diào)查1000名導游；方案二：在A城市調(diào)查1000名游客；方案三：在三個城市各調(diào)查5名游客；方案四：在三個城市各調(diào)查1000名游客，其中最合理的是方案．13．《義務教育勞動教育課程標準》（2022年版）首次把學生學會炒菜納入勞動教育課程，并做出明確規(guī)定．某班有5名學生已經(jīng)學會炒的菜品的種數(shù)依次為：3，4，3，5，5．則這組數(shù)據(jù)的方差是．14．某校舉行射擊比賽，甲、乙兩個班各選5名學生參加比賽，兩個班參賽學生的平均成績都是9.8環(huán)，其方差分別是s甲2＝2.34，s乙2＝1.63，則參賽學生成績更穩(wěn)定的是班．15．已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4的平均數(shù)為3，方差為2，則數(shù)據(jù)3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均數(shù)為11，方差為．16．某學校要從甲乙兩名射擊運動員中挑選一人參加全市比賽，在選拔賽中，每人進行了5次射擊，甲的成績（環(huán)）為：9.7，10，9.6，9.8，9.9乙的成績的平均數(shù)為9.8，方差為0.032（1）甲的射擊成績的平均數(shù)和方差分別是多少？（2）據(jù)估計，如果成績的平均數(shù)達到9.8環(huán)就可能奪得金牌，為了奪得金牌，應選誰參加比賽？17．學校組織七、八年級學生參加了“國家安全知識”測試．已知七、八年級各有200人，現(xiàn)從兩個年級分別隨機抽取10名學生的測試成績x（單位：分）進行統(tǒng)計：七年級：86?94?79?84?71?90?76?83?90?87八年級：88?76?90?78?87?93?75??87?87?79整理如下：年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級84a9044.4八年級8487b6.6根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：a＝，b＝；（2）A同學說：“這次測試我得了86分，位于年級中等偏上水平”，由此可判斷他是七年級的學生；（3）學校規(guī)定測試成績不低于85分為“優(yōu)秀”，估計該校這兩個年級測試成績達到“優(yōu)秀”的學生總?cè)藬?shù)．18．為引導學生廣泛閱讀文學名著，某校在七、八年級開展了以“走進名著，誦讀經(jīng)典”為主題的知識競賽活動．學生競賽成績分為A，B，C，D四個等級，分別是A：0≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．現(xiàn)從七、八年級參加競賽的學生中各隨機選出20名學生的成績整理如下：七年級學生的競賽成績?yōu)椋?2，70，86，86，99，86，86，88，84，79，81，91，95，98，93，84，58，81，90，83；八年級中等級為C的學生成績?yōu)椋?9，87，85，85，84，84，83．學生平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級8586b86八年級85a9180.76根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）根據(jù)表格寫出a＝，b＝，m＝