人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)進(jìn)階課堂小測(cè) 11.2與三角形有關(guān)的角（三階）（附解析答案）

人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)進(jìn)階課堂小測(cè)11.2與三角形有關(guān)的角（三階）一、單選題1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下列結(jié)論①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF.正確的是（）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④2．如圖，BF是∠ABD的平分線，CE是∠ACD的平分線，BF與CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．90°3．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上任一點(diǎn)，過(guò)D作AB的垂線，分別交邊AC、BC的延長(zhǎng)線于EF兩點(diǎn)，∠BAC∠BFD的平分線交于點(diǎn)I，AI交DF于點(diǎn)M，F(xiàn)I交AC于點(diǎn)N，連接BI.下列結(jié)論：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分別平分△ABC的外角∠EAC，內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF.以下結(jié)論：①AD∥BC，②∠ACB=2∠ADB，③∠ADC=90°-∠ABD，④BD平分∠ADC，其中正確結(jié)論有（）.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖，已知△ABC的內(nèi)角∠A=α，分別作內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CDα2 B．α22022 C．α二、填空題6．如圖，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下結(jié)論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°．其中正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）7．將兩張三角形紙片如圖擺放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，則∠5的度數(shù)為.8．如圖，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分別平分∠ABC，∠ACB，則∠BIC=，若BM、CM分別平分∠ABC，∠ACB的外角平分線，則∠M=．9．如圖，在△ABC中，∠ABC=57°，∠BAD=71°，∠DAC=30°，∠ACD=11°，求∠DBC的度數(shù).10．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，則m+n＝.11．在△ABC中，若其中一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角的差，則必有一個(gè)內(nèi)角等于°.12．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠ACB的外角平分線所在直線與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）①∠BOC=90°+12∠A；②∠D=12三、解答題13．學(xué)習(xí)了平行線的判定與性質(zhì)后，某興趣小組提出如下問(wèn)題：已知：如圖，AB//CD．【初步感知】如圖1，若∠C=3∠B，求∠B的度數(shù)；【拓展延伸】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、F在兩平行線之間，且在位于BC異側(cè)時(shí)，求證：∠B+∠E=∠C+∠F；【類(lèi)比探究】如圖3，若∠ABE=3∠EBP，∠CFE=3∠EFP，若∠E=88°，∠C=130°，直接寫(xiě)出∠BPF的度數(shù)．14．（1）已知直線AB∥CD，點(diǎn)P為平行線AB，CD之間的一點(diǎn)．如圖1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，求∠BED的度數(shù)．（2）（探究）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時(shí)，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分線交于點(diǎn)E1，∠ABE1與∠CDE1的角平分線交于點(diǎn)E2，∠ABE2與∠CDE2的角平分線交于點(diǎn)E3，…以此類(lèi)推，求∠En的度數(shù)．（3）（變式）如圖3，∠ABP的角平分線的反向延長(zhǎng)線和∠CDP的補(bǔ)角的角平分線交于點(diǎn)E，試猜想∠P與∠E的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

1．【答案】C【解析】【解答】解：∵BE是中線，∴AE=CE，∴S△ABE＝S△BCE(等底同高的兩個(gè)三角形面積相等)，故①正確；∵CF是角平分線，∴∠ACF=∠BCF，∵AD是高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90∴∠ABC=∠CAD，∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，∴∠AFG=∠AGF，故②正確；根據(jù)已知條件不能推出∠HBC=∠HCB，故③錯(cuò)誤；∵AD是高，∴∠ADB=∵∠BAC=∴∠ABC+∠ACB=∴∠ACB=∠BAD∵CF是角平分線，∴∠ACB=2∠ACF∴∠BAD=2∠ACF即∠FAG=2∠ACF，故④正確.故答案為：C.【分析】由中線的概念可得AE=CE，根據(jù)等底同高的兩個(gè)三角形面積相等可判斷①；由角平分線的概念可得∠ACF=∠BCF，由同角的余角相等可得∠ABC=∠CAD，由外角的性質(zhì)可得∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，據(jù)此判斷②；由同角的余角相等可得∠ACB=∠BAD，由角平分線的概念可得∠ACB=2∠ACF，推出∠BAD=2∠ACF，據(jù)此判斷④.2．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，連接AG，GD，并延長(zhǎng)GD，

∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC，

∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC）

=∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°，

∵BF是∠ABD的平分線，CE是∠ACD的平分線，

∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°，

∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°.

故答案為：B.

【分析】連接AG，GD，并延長(zhǎng)GD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)推得∠GBD+∠GCD=30°，結(jié)合角平分線定義得出∠ABG+∠ACG=30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠A=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC），代入數(shù)值即可解答.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠DBF+∠BAC=90°，∵FD⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠DBF+∠BFD=90°，∴∠BAC=∠BFD，故①正確；∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分線交于點(diǎn)I，∴∠EFN=∠EAM，∵∠FEN=∠AEM，∴∠ENI=∠EMI，故②正確；∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分線交于點(diǎn)I，∴∠MAD=∠MFI，∵∠AMD=∠FMI，∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正確；∵BI不是∠B的平分線，∴∠ABI≠∠FBI，故④錯(cuò)誤.故答案為：C.【分析】先根據(jù)∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通過(guò)等量代換即可得出∠BAC=∠BFD，故①正確；

根據(jù)∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分線交于點(diǎn)I可知∠EFN=∠EAM，再由對(duì)頂角相等可知∠FEN=∠AEM，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可判斷出∠ENI=∠EMI，故②正確；

由①知∠BAC=∠BFD，因?yàn)椤螧AC、∠BFD的平分線交于點(diǎn)I，故∠MAD=∠MFI，再根據(jù)∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正確；

因?yàn)锽I不是∠B的平分線，所以∠ABI≠∠FBI，故④錯(cuò)誤.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠ACB，AD平分△ABC的外角∠EAC又∵∠EAC=∠ABC+∠ACB∴∠EAD=∴AD∥BC，故①正確∵∠ADB=∠CBD∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∴∠ABD=∠ADB∴∠ACB=∠ABC=2∠ABD=2∠ADB故②正確；∵AD∥BC∴∠ADC=∠DCF∵CD平分∠ACF∴∠ACF=2∠DCF又∵∠ACF+∠ACB=∴2∠DCF+∠ACB=2∠DCF+∠ABC=2∠DCF+2∠ABD=∴2∠ADC+2∠ABD=即∠ADC+∠ABD=∴③正確；假設(shè)BD平分∠ADC則：∠ADB=∠CDB∵∠ABD=∠ADB∴∠CDB=∠ABD∴AB//CD∴∠DCF=∠ABC，且∠DCF=∠ACD=∠BAC∴∠ABC=∠BAC∵已知條件不具備∠ABC=∠BAC∴BD平分∠ADC假設(shè)不成立∴④錯(cuò)誤故答案為：C.【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合已知得出∠EAC=2∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠EAC=2∠EAD，從而得出∠EAD=∠ABC，根據(jù)同位角相等，二直線平行得出AD∥BC；根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠ADB=∠DBC，由角平分線的定義得出∠ABC=2∠DBC，根據(jù)等量代換即可得出∠ACB=2∠ADB；根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠ADC=∠DCF，由角平分線的定義得出∠ACF=2∠DCF，進(jìn)而根據(jù)平角的定義即可得出∠ADC+∠ABD=90°；利用反證法即可證出BD平分∠ADC不成立.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC＝12∠ABC，∠A1CD＝1又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴12（∠A+∠ABC）＝12∠ABC+∠A∴∠A1＝12∵∠A＝α，∴∠A1＝α2同理可得∠A2＝12∠A1＝12?12同理可得∠A3＝12∠A2＝12?α2……∴∠An＝α2∴∠A2022＝α2故答案為：B．

【分析】根據(jù)角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)分別求出∠A1＝α2，∠A2＝12∠A1＝α22，∠A3＝12∠A26．【答案】①②③④【解析】【解答】解：①設(shè)點(diǎn)A，B在直線MF上，∵BD、CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD＝∠DAC，∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，∴∠FAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①符合題意．②∵BD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝12∠ABC+12∠MBC＝∴EB⊥DB，故②符合題意，③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC＝12∵∠BAC+2∠ACB＝180°，∴12∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③符合題意，④∵∠BEC＝180°﹣12（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣12（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣∴∠BEC＝90°﹣12∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④符合題意，故答案為：①②③④．【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、平行線的判定一一判斷即可．7．【答案】40【解析】【解答】解：如圖，

∠A=180°-（∠1+∠2），

∠B=180°-（∠3+∠4），

∴∠A+∠B=180°-（∠1+∠2）+180°-（∠3+∠4），

=360°-（∠1+∠2+∠3+∠4），

=360°-220°=140°，

則∠5=180°-（∠A+∠B）=180°-140°=40°.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，分別把∠A和∠B用∠1、∠2、∠3和∠4表示出來(lái)，兩式結(jié)合從而求出∠A與∠B之和，在三角形ABC中利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠5的度數(shù)。8．【答案】140°；40°【解析】【解答】解：∵∠A=100°，∵∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°，∵BI、CI分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=1∴∠IBC+∠ICB=12∠ABC+12∠ACB=12∴∠I=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣40°=140°；∵∠ABC+∠ACB=80°，∴∠DBC+∠ECB=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣80°=280°，∵BM、CM分別平分∠ABC，∠ACB的外角平分線，∴∠1=12∠DBC，∠2=1∴∠1+∠2=12∴∠M=180°﹣∠1﹣∠2=40°．故答案為：140°；40°．【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠IBC=12∠ABC，∠ICB=1根據(jù)∠ABC+∠ACB的度數(shù)，算出∠DBC+∠ECB的度數(shù)，然后再利用角平分線的性質(zhì)得到∠1=12∠DBC，∠2=19．【答案】19°【解析】【解答】解：∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-57°-71°-30°=22°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=11°

延長(zhǎng)CA到E，使CE=CB，易證△CDE?△CDB（SAS）

∴DE=DB

連接EB，則∠AEB=∠CBE=(180°-∠ACB)/2=79°

∠EAB=180°-∠BAC=79°=∠AEB

∴BE=BA

過(guò)B點(diǎn)作AE的垂線BG，交DA延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接EF，

易證FG為∠EFA平分線（三線合一）

∴∠EFG=∠AFB=90°-∠FAG=90°-∠CAD=60°

過(guò)D點(diǎn)向EF延長(zhǎng)線作垂線，垂足為K，過(guò)D點(diǎn)向BF作垂線，垂足為H；

則∠KFD=180°-∠EFB-∠AFB=60°，∠KDF=90°-∠KFD=30°

易證△DHF?△DKF（AAS）

∴∠HDF=∠KDF=30°，DK=DH，

又∵DE=DB

∴Rt△DIB?Rt△DKE（HL）

∴∠HDB=∠KDE

∴∠BDE=∠HDB+∠HDE=∠KDE+∠HDE=∠KDH=∠KDF+∠HDF=30°+30°=60°

∴△DEB為等邊三角形，∠EBD=60°

∠DBC=∠EBC-∠EBD=79°-60°=19°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADC的度數(shù)，同時(shí)可求出∠BAC，∠DCB及∠ACB的度數(shù)；設(shè)∠ADB=x，∠BDC=y，∠CBD=z，∠ABD=m，利用角的和差可建立方程組，解方程組求出z的值，即可得到∠DBC的度數(shù).10．【答案】175【解析】【解答】解：∵2∠B＝5∠A，即∠B＝52∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣72又∵∠A≤∠C≤∠B，∴∠A≤180°﹣72解得∠A≤40°；又∵180°﹣72∠A≤5解得∠A≥30°，∴30°≤∠A≤40°，即30°≤25∴75°≤∠B≤100°∴m+n＝175.故答案為：175.【分析】由2∠B＝5∠A，得∠B＝52∠A，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣72∠A；根據(jù)題意有∠A≤∠C≤∠B，則∠A≤180°﹣72∠A，和180°﹣72∠A≤11．【答案】90【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C-∠A，∴∠A+∠C-∠A+∠C=180°，∴∠C=90°，故答案為：90．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠B=∠C-∠A代入求出∠C即可．12．【答案】①②④【解析】【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∴∠ABD=∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°?(∵CD平分∠ACF，∴∠DCF=1∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，∴∠D=1∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=90°+1∵∠E+∠EBC++BCE=180°，∴∠E=180°?(∵∠DCF=∠DBC+∠D，∴∠E+∠DCF=90°?1∵∠ABD=∠DBC，∴∠E+∠DCF=90°+∠ABD.故④正確，綜上正確的有：①②④，故答案為：①②④.【分析】由角平分線的定義可得∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB），根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理∠BOC=12∠A+90°，據(jù)此可判斷①；由角平分線的定義得∠DCF=12∠ACF，進(jìn)而根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，從而可得∠D=12∠A，據(jù)此可判斷②；根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠MBC+∠BCN=180°+∠A，再利用角平分線的定義得∠EBC+∠BCE=90°+13．【答案】解：【初步感知】解：∵AB//CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠C=3∠B，∴∠B+3∠B=180°，∴∠B=45°；【拓展延伸】證明：過(guò)點(diǎn)E作EM//AB，過(guò)點(diǎn)F作FN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EM//FN，∴∠B+∠BEF+∠FEM=180°，∠EFN+∠EFC+∠C=180°，∠EFN=∠FEM，∴∠B+∠BEF=∠C+∠CFE；【類(lèi)比探究】102°【解析】【解答】【類(lèi)比探究】上結(jié)論知，如圖：

∠ABE+∠E=∠CFE+∠C，∴∠ABE?∠CFE=∠C?∠E=130°?88°=42°，∵∠ABE=3∠EBP，∠CFE=3∠EFP，∴∠EBP?∠EFP=14°，∵∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°，∵∠BOE=∠FOP，∠E=88°，∴∠EBO+88°=∠P+∠EFP，∴∠P=88°+∠EBO?∠EFP=88°+14°=102°．【分析】【初步感知】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B+∠C=180°，結(jié)合∠C=3∠B就可求出∠B的度數(shù)；

【拓展延伸】過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行可得AB∥CD∥EM∥FN，則∠B+∠BEF+∠FEM=180°，∠EFN+∠EFC+∠C=180°，∠EFN=∠FEM，據(jù)此解答；

【類(lèi)比探究】上結(jié)論知∠ABE+∠E=∠CFE+∠C，則∠ABE-∠CFE=∠C-∠E=42°，結(jié)合已知條件可得∠EBP-∠EFP=14°，根據(jù)內(nèi)角和定理可得∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠EBO+88°=∠P+∠EFP，據(jù)此求解.14．【答案】（1）解：如圖1，過(guò)E作EF∥AB，而AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，∴∠BED=∠BEF+∠DE