2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-冪函數(shù)

專題20幕函數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：塞函數(shù)概念

形如>=丁(。6尺)的函數(shù)，叫做暴函數(shù)，其中a為常數(shù).

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

募函數(shù)必須是形如y=%a(acR)的函數(shù)，募函數(shù)底數(shù)為單一的自變量了,系數(shù)為1,指數(shù)為常數(shù).例

如：y=3x4,y=/+i,y=(x—2)2等都不是事函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)二：幕函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1、作出下列函數(shù)的圖象：

-13

(l)y=x；(2)y=%2；(3)y=%2；(4)y=x；(5)y=x.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

基函數(shù)隨著a的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：

(1)所有的嘉函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；

(2)a>0時(shí)，塞函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+◎上是增函數(shù).特別地，當(dāng)1>1時(shí)，塞函數(shù)的

圖象下凸；當(dāng)0<。<1時(shí)，幕函數(shù)的圖象上凸；

(3)a<0時(shí)，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+oo)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象

在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+?)時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸.

2、作塞函數(shù)圖象的步驟如下：

(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象；

(2)若幕函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8)或［0,+8),作圖已完成；

若在(-8,0)或(-8,0］上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性

如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對(duì)稱作出第二象限的圖象；

如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱作出第三象限的圖象.

3、嘉函數(shù)解析式的確定

(1)借助募函數(shù)的定義，設(shè)幕函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值.

(2)結(jié)合幕函數(shù)的性質(zhì)，分析基函數(shù)中指數(shù)的特征.

(3)如函數(shù)/(x)=hx“是塞函數(shù)，求/(x)的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有左=1,即/(x)=x".

4、塞函數(shù)值大小的比較

⑴比較函數(shù)值的大小問(wèn)題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時(shí)，可與。和1進(jìn)行比較.常

稱為“搭橋”法.

(2)比較嘉函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造塞函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大小.

(3)常用的步驟是：①構(gòu)造累函數(shù)；②比較底的大小；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大小.

【題型歸納目錄】

題型一：塞函數(shù)的概念

題型二：塞函數(shù)的圖象的應(yīng)用

題型三：塞函數(shù)的單調(diào)性

題型四：塞函數(shù)的奇偶性

題型五：基值大小的比較

題型六：定點(diǎn)問(wèn)題

題型七：定義域問(wèn)題

題型八：值域問(wèn)題

題型九：解不等式問(wèn)題

題型十：塞函數(shù)綜合問(wèn)題

【典例例題】

題型一：塞函數(shù)的概念

例1.(2023?高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)為塞函數(shù)的是()

2

A.y=2x2B.y=2x2-1C.v=—D.y-x1

'x

【答案】D

【解析】由暴函數(shù)的定義可知：尸/是累函數(shù)，y=2x2,y=2Y_i和y=*的系數(shù)不為1,故不是幕函

X

數(shù)，

故選：D

例2.(2023?江西吉安?高一永新中學(xué)?？计谥?下列函數(shù)是募函數(shù)的是()

A.y=x2-lB.y=x03C.y=TD.y=Q.3x

【答案】B

【解析】由幕函數(shù)的定義可知，B選項(xiàng)中的函數(shù)為幕函數(shù)，ACD選項(xiàng)中的函數(shù)都不是事函數(shù).

故選：B.

例3.（2023?江西贛州?高一?？计谥校┰诤瘮?shù)y='r，y=2x3,y=x2+x,y=l中，幕函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

x"

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】???騫函數(shù)》=%

二y=’?=》2是幕函數(shù)，丁=2/不是幕函數(shù)，＞=/+尤不是幕函數(shù)，

x

y=i不是幕函數(shù)，比幕函數(shù)y=x°（xwo）的圖象多一個(gè)點(diǎn)（。/），

.?.幕函數(shù)的個(gè)數(shù)為1.

故選：B.

變式1.（2023?江蘇揚(yáng)州?高一統(tǒng)考期中）已知事函數(shù)/。）=嚴(yán)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,2）,則。的值為（）

A.——B.-C.—2D.2

【答案】B

【解析】因?yàn)橄『瘮?shù)/口）=/的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,2）,

所以2=4。，

所以a，

2

故選：B.

變式2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知幕函數(shù)l）x"的圖象過(guò)點(diǎn)（"；），貝3+b等于（）

A.-B.0C.』D.1

22

【答案】B

【解析】因?yàn)?（力=伍-1）￡是基函數(shù)，所以％-1=1,解得6=2,

又因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)（也,￡|，可得若）=（若）"=g，解得a=-2,

所以a+6=-2+2=0.

故選:B.

變式3.（2023?浙江杭州?高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎缓瘮?shù)“X）=W+2〃-2）?一”在（0,+動(dòng)

上是減函數(shù)，則”的值為（）

A.-3B.1C.3D.1或-3

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/（尤）是塞函數(shù)，則“2+2〃-2=1,

所以〃=一3或九=1.

當(dāng)〃=-3時(shí)，〃%）=/在（0,+向上是增函數(shù)，不合題意.

當(dāng)〃=1時(shí)〃尤）二/在（0,+8）上是減函數(shù)，成立.

故選：B.

變式4.（2023?黑龍江大慶?高一大慶中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)=（蘇一相一1）”+3是塞函數(shù)，且在（0,+s）上單

調(diào)遞增，則〃2）=（）

A.1B.211

C.g或2"D.2或2f

【答案】B

^2?—^2—］一］

,c「，解得加=2，〃2）=2”.

{4/77+3>0

故選:B

題型二：塞函數(shù)的圖象的應(yīng)用

例4.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，下列3個(gè)塞函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）

11

A.@y=x-,②y=1,③>=￡B.?y=x-,?y=^,?y=^

C.①,=尤（，②y=③/二X一D.①、=尤3,?y=X-',?y=^

【答案】A

【解析】由函數(shù)>=無(wú)一=」是反比例函數(shù)，其對(duì)應(yīng)圖象為①；

X

函數(shù)y=%=&的定義域?yàn)椋?,+8）,應(yīng)為圖②；

1

因?yàn)閥=?的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，故應(yīng)為圖③.

故選：A.

例5.（2023.黑龍江哈爾濱.高一統(tǒng)考期末）若點(diǎn)P（4,2）在塞函數(shù)“X）的圖象上，則的圖象大致是（）

【答案】B

【解析】設(shè)幕函數(shù)/（x）=x。，將點(diǎn)P（4,2）代入，得邛=2,解得"g，

所以/（?=%,定義域?yàn)椋?,+8）,且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，大致圖像為B,

故選：B.

例6.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知累函數(shù)、且p,4互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，貝ij（）

y

B.q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且/＜。

C.q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且“＞。

q

D.q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且/＜。

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)、J的定義域?yàn)椋?*。＞（。，+8）,且在（。,+8）上單調(diào)遞減,

所以K＜0,

q

因?yàn)楹瘮?shù)V_3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

y

所以函數(shù)）=/為偶函數(shù)，即P為偶數(shù)，

又〃、夕互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，

所以選項(xiàng)D正確，

故選：D.

變式5.（2023.全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知嘉函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（8,4）,則4％）的大致圖象是（）

y-

C

OX

【答案】C

【解析】設(shè)〃H=x"，因?yàn)?X）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（8,4）,

22_

所以8"=4,即23“=22,解得a=§,則〃x）=/=癢，

因?yàn)椤╛）=而彳=狂="尤），所以為偶函數(shù)，排除B、D,

因?yàn)?'（X）的定義域?yàn)镽,排除A.

2

因?yàn)?"）=/在［0，+8）內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)可得/（X）在（-*。］內(nèi)單調(diào)遞減，故c滿足,

故選：C.

【答案】C

【解析】設(shè)暴函數(shù)的解析式為y=x。，因?yàn)樵撃缓瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸

所以2。=；,即2"=2-2,解得&=一2,

4

即該幕函數(shù)的解析式為y=H,其定義域?yàn)閧%1/0},

為偶函數(shù)，且在(0,+00)上為減函數(shù).

故選：C.

題型三：塞函數(shù)的單調(diào)性

例7.(2023?高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)中，在區(qū)間(YO,0］上為增函數(shù)的是()

A.y=~B.y——x2C.y=\［xD.y=—x3

X

【答案】B

【解析】由于y=!在(-應(yīng)0)為單調(diào)遞減函數(shù)，在x=0時(shí)無(wú)意義，A錯(cuò)誤;

X

丁=一/在(—,0］為單調(diào)遞增函數(shù)，B正確；

y=?定義域?yàn)椋?,+刈，在(一%0)無(wú)意義，C錯(cuò)誤；

>在(一8,0］為單調(diào)遞減函數(shù)，D錯(cuò)誤，

故選:B

例8.(2023?重慶?高一校聯(lián)考期中)下列函數(shù)中是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是()

2

A.y=—B.y=x2C.y=2-xD.y=-/

x

【答案】D

【解析】對(duì)于A,>=、在(0,—),(f,0)上為單調(diào)遞減函數(shù)，但不是在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,/(x)=VJ(-x)=x?J(x)=/(-x),故y=d為偶函數(shù),故B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,y=2-X的圖象為不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線，故為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,/(x)=-x3,/(-%)=X3,/(x)=-f(-%),故y=-V為奇函數(shù)，且y=d為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函

數(shù)，故y=-V為單調(diào)遞減函數(shù)，故D正確，

故選：D

例9.(2023?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末)已知幕函數(shù)7'("的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)卜,￡|,則/(X)在定義域內(nèi)()

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有最大值D.有最小值

【答案】B

【解析】設(shè)〃x)=x"，則〃9)=9。=g,

I二1

所以a=—3，即/（尤）=尤2=丁,

則函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?,+。）,

且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，沒(méi)有最大值和最小值.

故選：B.

變式7.（2023?陜西咸陽(yáng)?高一咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是

)

A.y=[x+l|+2B.>=3人『C.y=——D.y=-x+l

x

【答案】A

x+3,x>—1/、

【解析】對(duì)于A：y=|x+l|+2=_,所以滿足在（-1,+8）上是增函數(shù)，故選項(xiàng)A正確;

JiIJi<L

%〉0

對(duì)于B：>=3國(guó)3=’3—八，因?yàn)閥=/在R上是增函數(shù)，所以>在（T。）上單調(diào)遞減，在

—3d,x<u

（0,+。）上單調(diào)遞增，不符合題意，故選項(xiàng)B不正確;

對(duì)于C：v=-'在（-1,0）和（o,+8）上都是增函數(shù)，定義域?yàn)閧xlxxo},不滿足在上單調(diào)遞增，故

X

選項(xiàng)C不正確;

對(duì)于D：>=-尤+1在（-1,-）上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D不正確;

故選：A.

3

變式8.（2023?河南鄭州?高一鄭州市第七中學(xué)校考期末）函數(shù)/（幻=（6_尤一一戶的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.[-<,2]B.[-3,-^]C.[-：,+(?)

D.

222

【答案】A

【解析】/⑺=(6-尤-￡>=J(6一元—尤2丫,

由6-x-x?20得-3VxV2,5^6-x-x2=—fx+—+—,

I2j4

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-；，2.

故選：A.

1

變式9.（2023?福建?高一廈門(mén)一中?？计谥校┮阎瘮?shù)/（幻=（爐_以+31的增區(qū)間為（）

A.（3,+oo）B.（2,+co）C.（-co,2）D.（-oo,l）

【答案】A

【解析】先求得函數(shù)的定義域，再令"/一4X+3,結(jié)合M的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.由

y=

x~—4x+320,

解得x23或E,

因?yàn)閒=/一4尤+3在（-8,1］遞減，在B+8）遞增，

又因?yàn)檠綺1在［0,+s）遞增，

所以“X）增區(qū)間為（3,+8）

故選：A

變式10.（2023?高一單元測(cè)試）累函數(shù)丫=尤八2〃-3是奇函數(shù)，且在（0,+8）是減函數(shù)，則整數(shù)。的值是（）

A.0B.0或2C.2D.0或1或2

【答案】B

【解析】由于事函數(shù)y=x"23-3是奇函數(shù)，且在（0,+8）是減函數(shù)，

故4-2。一3<0,且°2-2a-3是奇數(shù)，且。是整數(shù)，

二?一1vav3,〃￡Z,

當(dāng)a=0時(shí)，a2-2a-3=-3,是奇數(shù)，；

當(dāng)。=1時(shí)，a2-2a-3=-4,不是奇數(shù)；

當(dāng)。=2時(shí)，片-2a-3=-3,是奇數(shù)；

故a=0或2.

故答選：B

變式1L（2023?山西大同?高一統(tǒng)考期中）已知幕函數(shù)〃x）的圖像過(guò)點(diǎn)g,4,則對(duì)“X）的表述正確的有

（）

A.是奇函數(shù)，在（0,+℃）上是減函數(shù)B.是奇函數(shù)，在（-8,0）上是增函數(shù)

C.是偶函數(shù)，在（。,+8）上是減函數(shù)D.是偶函數(shù)，在（-8,0）上是減函數(shù)

【答案】c

【解析】依題意可設(shè)

則g］=4,解得a=-2,所以/（x）=x-2,

故〃x）是偶函數(shù)，且在（-。,0）上是增函數(shù)，在（0,+。）上是減函數(shù).

故選：C.

題型四：然函數(shù)的奇偶性

例10.（2023?山西呂梁?高一統(tǒng)考期中）累函數(shù)y=/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,◎）,則關(guān)于該事函數(shù)的下列說(shuō)法正

確的是（）

A.經(jīng)過(guò)第一象限和第三象限B.經(jīng)過(guò)第一象限

C.是奇函數(shù)D.是偶函數(shù)

【答案】B

【解析】因?yàn)楸┖瘮?shù)y=/（x）=/的圖象過(guò)點(diǎn)（2,3）,

L11

所以2。=后，解得￡=5，所以/（x）=#=?，

定義域?yàn)椤?8）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故/（幻既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，

由/（尤）=￡=?20知，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一象限.

故選:B

例11.（2023.廣東清遠(yuǎn).高一校聯(lián)考期中）已知幕函數(shù)〃x）的圖像過(guò)點(diǎn)（2,8）,則〃尤）（）

A.是奇函數(shù)，在（0,+8）上是減函數(shù)

B.是偶函數(shù)，在（0,+<?）上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，在（-8,。）上是增函數(shù)

D.是偶函數(shù)，在（-勿,。）上是減函數(shù)

【答案】C

【解析】設(shè)幕函數(shù)解析式為

因?yàn)槟缓瘮?shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（2,8）,

:.”2）=2。=8,解得1=3,

則=

\“勾是奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，

故選：C.

例12.（2023?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）若幕函數(shù)"X）=（〃P+〃L19卜'"的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m=（）

A.一5或4B.-5C.4D.2

【答案】C

【解析】若幕函數(shù)〃x）=（病+加-19卜"'，貝I療+機(jī)-19=1,解得；"=4或機(jī)=-5,

且塞函數(shù)“X）的圖象關(guān)于>軸對(duì)稱，則，"為偶數(shù)，故〃z=4.

故選：C.

225

變式12.（2023?廣西貴港?高一統(tǒng)考期末）若幕函數(shù)〃同=3"+2”,+5的圖象關(guān)于/軸對(duì)稱，/⑺解析式的幕

的指數(shù)為整數(shù)，/（X）在（-雙。）上單調(diào)遞減，則機(jī)=（）

11491.7

A.—B.一或一C.——D.——或一

999333

【答案】D

【解析】由題意知/(尤)是偶函數(shù)，因?yàn)?>(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

所以-加+2"7+］為正偶數(shù)，

又—m2+2m+—=-(m-I)2+—<—,

999

3471

A-(m-l)2+—=2,解得加=］或—3.

故選：D.

變式13.(2023?廣東珠海?高一珠海市第一中學(xué)?？计谥?已知七+2(常數(shù)而。0)在(0,+司上有

最大值〃=3,若/(%)的最小值為N,則M+N=()

A.0B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】令g(x)=/(%)—2=^7aER),g(O)=/(O)-2=O,

所以g(-x)=/(-x)-2=_=所以g(x)為奇函數(shù)，

cueI-a

因?yàn)?■(X)在(o,+8)上有最大值M=3,所以g⑺在(o,+8)上有最大值1,

所以g(X)在(-8,0)上有最小值一1,即〃x)-2在(-<?,0)上有最小值-1,

所以/'(%)在(一8,0)上有最小值1，即N=l,則M+N=4.

故選：C.

題型五：然值大小的比較

例13.(2023?廣東深圳?高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知暴函數(shù)〃%)=(加-"Li)》用，對(duì)任意的

外e(O,y)且&WK?,滿足若a,Z?GR,a+l+b<0,則/(1+。)+/0)的值()

石一工2

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.無(wú)法判斷

【答案】B

【解析】：已知函數(shù)/(%)=(疝-是哥函數(shù)，

nf-m-\=\,m=2,或〃?=-1,f(x)=x7,或=

對(duì)任意的％,X?€(0,4<o)且無(wú)產(chǎn)馬,滿足“*)"%)>0,

故/（X）是增函數(shù)，，〃尤）=/

若〃，Z?GR,a+l+b<0,即a+lv-Z?,

（6Z+1）7<（-Z?）7,即（〃+1）7<-幾即（〃+1）7+Z?7<0.

貝1JF（。）+/（8）=（。+1）7+/<。，

故選：B.

例14.（2023?吉林?高一吉林毓文中學(xué)校考階段練習(xí)）已知?jiǎng)t下列不等關(guān)系中一定成立的是（）

A.ab<b2B.a2>b2C.D.o）>b3

ab

【答案】D

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，取a=2,b=l,滿足a>。，但是必=2>〃=i,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于BC選項(xiàng)，取〃=1,b=-2f滿足，但是/=1<。2=4,—=1>y=-^-,故BC錯(cuò)誤，

ab2

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)y=d在R上單調(diào)遞增，所以由可得故D正確，

故選：D.

42\

例15.（2023?山東聊城?高一山東聊城一中?？计谥校┮阎?出［6=5'=由"貝U（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a>b>cD.b<c<a

【答案】B

421

222

化簡(jiǎn)"［口,7霜。=。

2111

因?yàn)榛瘮?shù)y=/在（0,y）上單調(diào)遞增，而

222

所以imj

故選：B.

變式14.（2023?遼寧葫蘆島?高一校聯(lián)考期中）設(shè)為=1產(chǎn)，H=8",為=13006,則（）

A.B.C.%>%>%D.

【答案】D

【解析】由題意可知，%=112=（la）。'：］21。.6,

%=814=（23）1,4=24-2=（27）0,6=1280-6,

因?yàn)?=產(chǎn)在（0,+8）上是增函數(shù),130>128>121,所以%>%>%.

故選：D.

變式15.（2023?福建南平?高一統(tǒng)考期中）下列比較大小中正確的是（）

A.ir<ir

33

C-(-2.1"<(-2.2)下

【答案】C

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?gt;=戶在［0,供）上單調(diào)遞增，所以（鏟5<《嚴(yán)，故A錯(cuò)誤,

對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)閥*在y,0）上單調(diào)遞減，所以（、尸>（-/—,故B錯(cuò)誤,

33

對(duì)于C選項(xiàng),>=必為奇函數(shù)，且在［0,+◎上單調(diào)遞增，所以、=尸在（-8,0）上單調(diào)遞增,

3

333

1175,7

因?yàn)?-2.2)；又(-2.1》<

33

所以（-2,1）7<（一2.2尸,故C正確,

4

對(duì)于D選項(xiàng)，）戶在0+8）上是遞增函數(shù),

]9

又（一9=（1］,所以（手\與，所以>(?3,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

題型六：定點(diǎn)問(wèn)題

例16.（2023?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）當(dāng)aeR時(shí)，函數(shù)y=尤"-2的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

【答案】（I,」）

【解析】由于對(duì)任意的aeR,>=尤。恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)（LI）,所以函數(shù)y=x“-2的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（L-l）,

故答案為：（1,-1）

例17.（2023?上海徐匯?高一位育中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知/（x）=（2x-l）"+l,則函數(shù)y=/（x）的圖象恒過(guò)的

定點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【答案】（1,2）

【解析】令=得x=l,y=2,

故函數(shù)Ax）圖象過(guò)定點(diǎn)尸（1,2）,

故答案為：（L2）

例18.（2023?高一課時(shí)練習(xí)隔函數(shù)y=xa（aeR）的圖像恒過(guò)定點(diǎn)

【答案】（1,1）

【解析】哥函數(shù)＞=eR）的圖像恒過(guò)定點(diǎn)（1,1）.

故答案為：（1,1）

變式16.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）有關(guān)塞函數(shù)的下列敘述中，錯(cuò)誤的序號(hào)是.

①塞函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或者關(guān)于,軸對(duì)稱；

②兩個(gè)募函數(shù)的圖像至多有兩個(gè)交點(diǎn)；

③圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,1）的嘉函數(shù)，一定不關(guān)于y軸對(duì)稱；

④如果兩個(gè)幕函數(shù)有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同.

【答案】①②④

【解析】①，＞=不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也不關(guān)于，軸對(duì)稱，所以①錯(cuò)誤.

fx=0

②④，由[y=x3解得[x=l1或[x=-l1或1八，

[y=X[y=l[y=-l[y=o

即基函數(shù)＞與y=/有3個(gè)交點(diǎn)，所以②④錯(cuò)誤.

③，由于塞函數(shù)過(guò)點(diǎn)。,1）,所以圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-M）的幕函數(shù)，一定不關(guān)于y軸對(duì)稱，③正確.

故答案為：①②④

變式17.（2023?陜西渭南?高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2+￡（。為不等于0的常數(shù)）的

圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（1,3）

【解析】因?yàn)閥=x"的圖象恒過(guò)（1,1）,

所以〃x）=2+x。的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P（l,3）.

故答案為：（1,3）

變式18.（2023?河南濮陽(yáng)?高一濮陽(yáng)一高校考期中）不論實(shí)數(shù)。取何值，函數(shù)y=（x-l）"+2恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)

是.

【答案】（2,3）

【解析】因?yàn)?。=1,故當(dāng)X-l=l,即無(wú)=2時(shí)，＞=3,

即函數(shù)丫=（尤-1）"+2恒過(guò)定點(diǎn)（2,3）.

故答案為：（2,3）.

題型七：定義域問(wèn)題

例19.（2023?浙江?高一校聯(lián)考期末）已知募函數(shù)y=-3ax。，則此函數(shù)的定義域?yàn)?

【答案】（―8,o）u（o,y）.

1-i1

【解析】由幕函數(shù)y=-3'，可得-3q=1,解得4=q，即y=/=我，

則滿足XHO,即幕函數(shù)、=的定義域?yàn)?）U（0,+?）.

故答案為:（-x,o）u（o,y）.

3

例20.（2023,JWJ一*課時(shí)練習(xí)）幕函數(shù)y=冗5的定義域是.

【答案】［0,+。）

3

【解析】由于>=虹="，

3

所以募函數(shù)y=#的定義域是［。,+e）.

故答案為：［。,+8）

例21.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知幕函數(shù)〃尤）=|3-2處,的定義域?yàn)椋邸悖?8），則實(shí)數(shù)〃，=

【答案】1

【解析】由題意得到|3-2叫=1,解得：m=1或機(jī)=2,

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，/（x）=G,定義域?yàn)椋?,+。），符合題意；

當(dāng)〃z=2時(shí)，f（x）=x,定義域?yàn)镽,不符合題意.

故m=1.

故答案為：1

變式19.（2023?上海青浦?高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=的定義域是—

【答案】［1,田）

【解析】；y==Jx-1，.,.X-l>0,解得：X>1,

y=（x-l）；的定義域?yàn)椋?,+OO）.

故答案為：［1,+8）.

變式20.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若（3x+J有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

【答案】［-§,+8）

【解析】直接根據(jù)負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方根求解.若（3x+i）；有意義，

則3x+l>0,

解得

所以實(shí)數(shù)X的取值范圍是,+8）,

故答案為：,+8）

*

變式2L（2023?山東荷澤高一階段練習(xí)）已知/（%）=萬(wàn)；+（3x+l）°,則/（九）的定義域?yàn)?

【答案】（-00,--）^（--,2）

【解析】要使函數(shù)有意義，則需解得x<2且xw-：,所以其定義域?yàn)?/p>

[3x+lw03<3JV3J

故答案為：（一ga]

題型八：值域問(wèn)題

例22.（2023?黑龍江雞西?高一雞西市第四中學(xué)校考期中）函數(shù)y=/在區(qū)間[—%—2]上的最小值是.

【答案】-1/-0.125

8

【解析】解析：因?yàn)楹瘮?shù)>在（-8,0）上單調(diào)遞減，

X

11

所以當(dāng)x=-2時(shí)，％，加=（-2）一=存歹=一§.

故答案為：

O

x,0<x<1,

例23.（2023?高一課時(shí)練習(xí)涵數(shù)〃無(wú)）=11的值域?yàn)開(kāi)_______.

一,x之L

【答案】[0,1]

【解析】0<尤<1時(shí)，/（X）=XG[0,1）,

時(shí)，/（x）=^e（O,l],

所以〃x）的值域?yàn)閇0,1].

故答案為：[0』

例24.（2023?河北石家莊?高一石家莊市第九中學(xué)?？计谥校┤裟缓瘮?shù)Ax）的圖象過(guò)點(diǎn)（4,2）,則/（x）的值

域?yàn)?

【答案】（0,+8）

【解析】設(shè)〃x）=/,因?yàn)槟缓瘮?shù)“X）的圖象過(guò)點(diǎn)（4,所以4“=±=4-2

\lo/io

所以。=一2,所以/（%）=%-2=/_￡（0,+co）

故答案為：（。,+00）

（ba<b

變式22.（2023.全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知max{a,6}=廠一設(shè)函數(shù)〃x）=max{N，/},其定義域?yàn)?/p>

Itz,a>b

{x|x<0或x>0},則函數(shù)〃尤）的最小值為.

【答案】1

fIY|x<—1nl/v>1

【解析】根據(jù)定義得到/（》）=I2二?1，然后利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.由題意得：

［X1<x<1

“加4:T或產(chǎn)，

當(dāng)了<-1或時(shí)，/（x）>1,

當(dāng)一1V%V1時(shí)，/（%）>1,

綜上：函數(shù)“X）的最小值為1,

故答案為：1

21

變式23.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）己知暴函數(shù)y=該函數(shù)的值域?yàn)?

【答案】

［0,+<?）

【解析】根據(jù)募函數(shù)的定義，得。=1,函數(shù)為>=尤5,由圖象得函數(shù)的值域?yàn)椋?,+e）,

故答案為：［。,+8）.

變式24.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知幕函數(shù)/（X）的圖象過(guò)（2,4）,那么/⑴在。e］上的最大值為

【答案】/

【解析】設(shè)/（尤）=/,因?yàn)椤ㄓ龋┑膱D象過(guò)（2,4）,

:.T=4,解得a=2,

/（x）=x2

/（X）在［0,e］上是單調(diào)遞增的

/（無(wú)）在［0,e］上的最大值為F（e）=",

故答案為:e?

題型九：解不等式問(wèn)題

例25.（2023?重慶?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)=若〃a+l）<〃3-2a）,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

是（）

C.（4,+00）

【答案】B

【解析】/（X）=|+g為偶函數(shù)，且在（。,+8）上遞減.

Vf（?+l）＜/（3-2fl）,

+1|＞13—2al+＞（3-2a），

a+1^0,3—2aH0,；.aH—1且a力：，ae,

故選：B

例26.（2023?甘肅張掖?高一統(tǒng)考期末）已知基函數(shù)〃x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,32）,若〃。+1）+〃-1）＞0,貝的

取值范圍為（）

A.（2,+8）B.（L+°°）C.（0,+oo）D.（-l,+oo）

【答案】C

【解析】設(shè)基函數(shù)y=/（x）=j,其圖象過(guò)點(diǎn)（2,32）,所以2。=32,解得￡=5,

所以/。）=4.

因?yàn)椤╛x）=（r）5=_〃x）,所以/（力=/為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，

所以/（。+1）+/（-1）＞0可化為/（a+l）＞_/（-l）=/（l）,

可得a+l＞l,解得＜7＞0,所以。的取值范圍為（。,+8）.

故選:C.

例27.（2023?河南洛陽(yáng)?高一統(tǒng)考期中）已知累函數(shù)y=〃x）過(guò)點(diǎn)（2,0）,則/（x+l）＜2的解集為（）

A.[—1,4）B.[—1,1）C.[—1,3）D.（―cc,3）

【答案】C

【解析】設(shè)〃x）=x"，貝1」〃2）=2。=逝，則。=（.."（力=￡=五,

由〃7+1）=4+1＜2可得℃+1＜4,解得-lVx＜3,

因此，不等式〃x+l）＜2的解集為

故選：C.

變式25.（2023?江蘇蘇州?高一星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┎坏仁剑?+i產(chǎn)<（3-2%產(chǎn)的解為（）

2

A.（。,+8）B.——,+00

3

【答案】D

【解析】尸；3定義域?yàn)椋?8,0）1；（0,口），且在（-8,。）與（0,+8）上均為減函數(shù),

且當(dāng)了￡（-co,0）上，,=/<（）恒成立，當(dāng)X?0,+co）上，,=/>0恒成立,

x+1<0x+l>0

x+l<0

故①或3—2%<0②或<3-2無(wú)>。③,

3-2x>0

3-2x<x+13-2x<x+1

解①得：x<—1,

解②得：0,

23

解③得：-<x<-,

綜上:不等式的解為（-s，T）U

故選：D

11

變式26.（2023?浙江溫州?高一溫州中學(xué)校考期中）若（2m+l）d>（加_機(jī)-3>,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

（1-V131

B.一品

122」

1+巫j

C.（-1,4）D.

丁’1

【答案】D

1

【解析】解:由題知構(gòu)造/（%）=/,（工>0）,

由幕函數(shù)性質(zhì)可知/（%）單調(diào)遞增，

（2m+1）6>（〃，一〃?一3尸,

2m+1>0

<m2-m-3>0

2m+l>m2-m-3

m>

2

1+V13,1-而

m>--------,m<----------

22

-1<m<4

…,FI+A/13八

綜上:Mie---,4.

,2J

故選:D

變式27.(2023?福建三明?高一校聯(lián)考期中)若伍+1屋(3-21，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

222323

A.[§,+co)B.(—co,-]C.(-,—]D.[-,—]

【答案】D

11

【解析】不等式(4+1)52(3-2a)5可化為:

a+l>0

23

3-2^>0,解得：

32

〃+123—2〃

故選：D

變式28.(2023?高一課時(shí)練習(xí))己知嘉函數(shù)^f(a+l)<f(10-2a),則。的取值范圍為()

A.(—3,5)B.(一5,3)C.(—5,—3)D.(3,5)

【答案】D

【解析】因?yàn)槟缓瘮?shù)=的定義域?yàn)?0,+“)，且〃尤)是定義域上的減函數(shù)，

Q+1>0,

所以若/(a+l)<〃10-2a),則10-2a>0,解得3<。<5.

〃+1>10-2a,

故選：D.

變式29.(2023?山東泰安?高一山東省泰安第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知幕函數(shù)/(%)=(6-2°-2卜(eR)

在(0,+8)上單調(diào)遞增，不等式/口+5)</(/_3q的解集為()

A.(-8,-5)一(1,也)B.(5,包)C.(-1,5)D.(-5,1)

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(元)=(〃—2a-2)x"(aeH)為暴函數(shù)，所以/_2a-2=1,解得。=3或a=T,

又塞函數(shù)〃x)=儂-2a-2卜"(aeR)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a=3,此時(shí)/(%)=%3在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(尤+5)</(尤2-3何，所以尤+5</一3》，解得X>5或X<—1,

所以不等式/(x+5)<f(^-3x)的解集為(一8,-1)(5,+8),

故選：B.

題型十：幕函數(shù)綜合問(wèn)題

例28.(2023?四川廣安?高一?？茧A段練習(xí))已知募函數(shù)=(一+%-5卜(〃zwR)在(O,+s)上單調(diào)遞

增.

⑴求m的值及函數(shù)〃x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(無(wú))=電(x)T+2依+1-a在［0,2］上的最大值為3,求實(shí)數(shù)0的值.

【解析】⑴嘉函數(shù)“X)=(一+%-5卜(小eR)在(0,+“)上單調(diào)遞增,

故『十:一：一1，解得％=2,故/(x)=x)

［m+l>0

(2)由(1)知：/(x)=%3,

所以g(x)=—，［/(力］2+2ax+l-a=-x2+2ax+l-a,

所以函數(shù)g(x)的圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為直線1=〃；

由于g⑺在［。，2］上的最大值為3,

①當(dāng)〃22時(shí)，g(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，故g(x)a=g(2)=3a-3=3,解得〃=2；

②當(dāng)時(shí)，g(x)在［0,2］上單調(diào)遞減，故g(x)皿=g(0)=l—a=3,解得〃=一2；

③當(dāng)0<a<2時(shí)，g(x)在［0,。］上單調(diào)遞增，在2］上單調(diào)遞減，故8⑺回=g(a)=Q2+i_Q=3,解得

a=-1(舍去)或a=2(舍去).

綜上所述，a=±2.

例29.(2023?高一單元測(cè)試)已知事函數(shù)〃x)=(1-5根+7卜g(meR)為奇函數(shù).

⑴求的值；

(2)若/(2°+l)>/(a),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)由m2—5相+7=1,得根=2或機(jī)=3,

當(dāng)“=2時(shí)，/(x)=x-3是奇函數(shù)，滿足題意，

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，/(x)=xT是偶函數(shù)，不滿足題意，

所以小)=二，=

(2)因?yàn)?("=二的定義域?yàn)?—8,0)U(0,+a)),單調(diào)減區(qū)間為(-00),(0,+功,

由/(2?+1)>/(?),可得2Q+1<〃<0或0<2〃+1<〃或2a+l>0>〃，

解得av—l或-;<QV0,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍為或-g〈Q<0.

例30.(2023?遼寧遼陽(yáng)?高一校聯(lián)考期末)已知事函數(shù)〃刈=("+a-5卜。為奇函數(shù).

⑴求〃x)的解析式；

91

⑵若正數(shù)根/滿足3帆+12〃+5a=0,若不等式一+―源恒成立.求8的最大值.

mn

【解析】⑴./(X)為幕函數(shù)，，a2+a_5=l,解得：。=2或a=-3；

當(dāng)a=2時(shí)，"x)=f,貝iJ/(—x)=f=/(x),即〃尤)為偶函數(shù)，不合題意，舍去；

當(dāng)a=-3時(shí)，/(x)=x-3,貝廳(―x)=-x—3=—〃x),即為奇函數(shù)，符合題意；

綜上所述：f(x)=x\

(2)由(1)得：3%+12〃=—5a=15,BPm+4n=5,又相>0,n>0,

911/4\191m36nyif。36〃11__,m36n

.,.一十―加+4〃)—+—=-13+—+>-13+2J------=：x(l3Z1+]21)=5(當(dāng)且僅n當(dāng)t_z=-----，

mnjnJ5nmJ51Vnm]5nm

即加=3,〃時(shí)取等號(hào))，

…超ax=5.

變式30.(2023?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末)已知暴函數(shù)〃尤)=(蘇-3加+3)”-后是偶函數(shù).

⑴求函數(shù)的解析式;

⑵若〃2X—1)</(2T),求x的取值范圍.

【解析】⑴己知事函數(shù)〃元)=(病一3機(jī)+3)/“扇，貝1|加-3m+3=1,解得機(jī)=1或m=2,

所以或/⑺=/，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以/⑺=_/；

⑵由于募函數(shù)”司=/在[0,+e)上單調(diào)遞增，又函數(shù)