四川省仁壽第二中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬試題理含解析

PAGE20-四川省仁壽其次中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬試題理（含解析）一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】求解二次不等式可得：，求解對數(shù)不等式可得：，結(jié)合交集的定義有：.本題選擇A選項(xiàng).2.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由題意得到，，依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，熟記除法運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.3.的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡得到二項(xiàng)式的通項(xiàng)，求得的值，即可求得綻開式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題意，二項(xiàng)式的綻開項(xiàng)通項(xiàng)為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中嫻熟應(yīng)用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解實(shí)力.4.“”是“為銳角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)充分條件與必要條件的定義推斷即可.【詳解】解：因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以“”是“為銳角”的必要條件；反之，當(dāng)時(shí)，，但是不是銳角，所以“”是“為銳角”的非充分條件.故“”是“為銳角”必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件，與角的余弦在各象限的正負(fù)，屬于基礎(chǔ)題.5.若雙曲線的離心率為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線的離心率為2，，可得，從而求出的值，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的方程和離心率，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的一個周期為 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的一個零點(diǎn)是 D.在單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】依據(jù)周期公式計(jì)算可知，選項(xiàng)A錯誤；依據(jù)的余弦值可知，選項(xiàng)B正確且選項(xiàng)C錯誤；依據(jù)區(qū)間的長度大于半個周期可知，選項(xiàng)D錯誤.【詳解】因?yàn)椋赃x項(xiàng)A錯誤；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C錯誤；的最小正周期為，在內(nèi)不行能是單調(diào)的，選項(xiàng)D錯誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的周期性，對稱軸，零點(diǎn)和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.7.一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是，則推斷框中應(yīng)填入的條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先推斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型，得到推斷框內(nèi)的語句性質(zhì)，然后對循環(huán)體進(jìn)行分析，找出循環(huán)規(guī)律，推斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系，最終得出選項(xiàng)．【詳解】經(jīng)推斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，推斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語句，第一次循環(huán)：；其次次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，此時(shí)退出循環(huán)，依據(jù)推斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句，，故選D．【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問題時(shí)肯定留意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)留意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)留意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)肯定要正確限制循環(huán)次數(shù)；(5)要留意各個框的依次，（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要依據(jù)程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可．8.已知正三棱柱的高為，它的六個頂點(diǎn)都在一個直徑為4的球的球面上，則該棱柱的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，得到棱柱底面與球的截面圓的半徑，進(jìn)而求得底面三角形的邊長為，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】由題意可知球的半徑，因?yàn)檎庵母邽?，則球心到三棱柱底面的距離，依據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，可得，即，解得，棱柱底面與球的截面圓的半徑，三棱柱的底面三角形為截面圓內(nèi)接正三角形，可得三角形的邊長為，所以三角形的面積為，該棱柱的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了棱柱的體積的計(jì)算，以及球的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用求得性質(zhì)，以及正三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合棱柱的體積求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.9.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且點(diǎn)在直線上，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由題得，利用，求出且，，從而推斷出數(shù)列是等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列求和公式，即可求出比值.【詳解】點(diǎn)在直線上，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得：且，又當(dāng)時(shí)，，則，是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列中由與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)問題，等比數(shù)列的判定，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.10.已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，其半焦距為，點(diǎn)在雙曲線上，與軸垂直，到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】在焦點(diǎn)三角形中，可通過解直角三角形得到，結(jié)合雙曲線的定義可求的關(guān)系式，從而得到所求的離心率.【詳解】因與軸垂直，所以為直角三角形且直角頂點(diǎn)為.因?yàn)?，到直線的距離為，故.因?yàn)闉殇J角，故，.在中，，.由雙曲線的定義可得，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解決此類問題的關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，則須要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組.11.已知函數(shù)有奇數(shù)個零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】易得，函數(shù)關(guān)于直線對稱，結(jié)合函數(shù)有奇數(shù)個零點(diǎn)，可得，建立方程求得的值即可.【詳解】，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，函數(shù)有奇數(shù)個零點(diǎn)，則有，即，化簡得：，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)，解題關(guān)鍵是得出函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，考查邏輯思維實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，屬于?？碱}.12.在矩形ABCD中，，，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最小值為（）A. B.1 C.-1 D.【答案】C【解析】分析】以A為原點(diǎn)，直線AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得的坐標(biāo)的參數(shù)形式，再由用坐標(biāo)表示，這樣就可表示為的三角函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變換可求得其最小值．【詳解】以A為原點(diǎn)，直線AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線，圓C與直線BD相切，所以圓C的半徑，圓C的方程為，設(shè)點(diǎn)，即，又，∴，所以.即時(shí)，取得最小值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用兩種不同方法表示，從而把表示為參數(shù)的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)學(xué)問求得最小值．二?填空題13.設(shè)等比數(shù)列滿意，，則______.【答案】1【解析】【分析】依題意得到方程組解得即可；【詳解】解：等比數(shù)列，有，兩式相除可得，所以，代回可得.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14.已知拋物線C：，則拋物線C與過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線所圍成的圖形的面積為______.【答案】【解析】【分析】先由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，從而可得拋物線的方程，然后利用定積分的幾何意義求出所求圖形的面積即可.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，所以拋物線方程為，所以所求面積，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義，利用定積分求曲邊圖形的面積，屬于基礎(chǔ)題.15.已知，，函數(shù)，若對于隨意的都有恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算公式化簡，并求函數(shù)的值域，并且依據(jù)不等式求的范圍，轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，的值域?yàn)?，要使恒成立，即，所以，解?【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積與三角函數(shù)的恒等變形，以及性質(zhì)，依據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題型.16.下列推理正確的是______.①，，，②，③，④，⑤，【答案】①②④【解析】【分析】由平面的性質(zhì)：公理1，可推斷①；由線面垂直的定理可推斷②；由線面的位置關(guān)系可推斷③④；由直線與平面平行的性質(zhì)定理可推斷⑤.【詳解】解：①，，，，即，故①對；②，，故②對；③，，可能l與相交，可能有，故③不對；④，，必有故，④對；⑤，，則l，m可能平行，也可能異面，⑤不對，故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.三?解答題17.在中，角的對邊分別是，的面積為，且.（1）求角的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用面積公式和正弦定理可得，結(jié)合及兩角和的余弦可得的值，從而求出的值.（2）利用余弦定理可得，再依據(jù)面積及正弦定理可求與的關(guān)系，從而可關(guān)于的方程，解方程后可得的值.【詳解】解：（1）由題意得：，由正弦定理得：（為外接圓的半徑），，，.（2）由正弦定理可得，又，故.由余弦定理得：，.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，一般地，假如題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.本題屬于中檔題.18.期中考試后，老師把學(xué)生的成果分為較低?及格(不含優(yōu)秀)?優(yōu)秀三類，制成下表.類別較低及格優(yōu)秀人數(shù)7其中低分率與優(yōu)秀率分別是與.（1）求全班人數(shù)及，的值；（2）老師重點(diǎn)關(guān)注成果較低的及成果優(yōu)秀的學(xué)生，利用課外時(shí)間給他們的家長打電話做電話家訪，為了保證電話家訪的質(zhì)量，他每天隨機(jī)打給三位學(xué)生的家長，求在第一天老師抽取的三位學(xué)生中成果優(yōu)秀者的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）全班人數(shù)為50人，，；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）依據(jù)低分率和較低人數(shù)求得全班人數(shù)，再依據(jù)優(yōu)秀率求得，最終求得即可.（2）由題知須要家訪的共11人，其中成果優(yōu)秀的有4人，依題意可得全部可能的取值為，分別求出相應(yīng)取值的概率，最終求得即可.【詳解】解：（1），，.（2）須要家訪的共11人，其中成果優(yōu)秀的有4人，依題意可得全部可能的取值為.；；；，X0123P.【點(diǎn)睛】本題主要考查求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.19.如圖，在四面體中，直角三角形，且有，為正三角形，且有.（1）證明：平面平面；（2）延長到點(diǎn)E，運(yùn)用得，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可知，又由于，可得平面，從而可證平面平面；（2）由得，然后如圖以A為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，方向?yàn)閥軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，若設(shè)，則表示出圖中點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用空間向量可求出二面角的余弦值.【詳解】（1）是直角三角形，，所以，又，，所以平面，平面，平面平面.（2），兩個三棱錐的高都可以是點(diǎn)C到平面的距離，所以與的面積相等，即可得出，以A為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以有，，，設(shè)向量是平面的一個法向量，則，即，令，則；同理設(shè)向量是平面的一個法向量，則，即.，令，則，所以，且二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查空間圖形中證面面垂直，利用空間向量求二面角的余弦值，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.20.已知拋物線C：，過點(diǎn)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，圓M以線段為直徑.（1）證明：圓M與直線相切；（2）當(dāng)圓M過點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.【答案】（1）證明見解析；（2直線l的方程為，圓M的方程或直線l的方程為，圓M的方程..【解析】【分析】（1）由題可知直線l的斜率存在，設(shè)線為，與拋物線方程聯(lián)立成方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而可求出圓心坐標(biāo)，然后利用弦長公式求出的長，可得半徑的長，再求圓心到直線的距離，即可證明結(jié)論；（2）由（1）可得圓方程為，由于圓過點(diǎn)，所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程中可求出的值，從而可求出直線l與圓M的方程.【詳解】（1）直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，所以直線的斜率肯定存在，可設(shè)直線為，與拋物線聯(lián)立有，，，則有，圓M的半徑為，的中點(diǎn)即圓M的圓心為，圓心到直線的距離為等于圓M的半徑，所以在圓M與直線相切.（2）由（1）知圓M的方程可寫為，把點(diǎn)代入后得，解得或.當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，圓M的方程；當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，圓M的方程.【點(diǎn)睛】此題考查拋物線與直線的位置關(guān)系，圓與直線的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）若恒成立，求m的最大值；（2）設(shè)a為整數(shù)，且對于隨意正整數(shù)n，，求a的最小值.【答案】（1）1；（2）3.【解析】【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，推斷函數(shù)的單調(diào)性，最終求出最小值，由題意可得m的最大值；（2）由(1)可得時(shí)，，令對此進(jìn)行放縮，最終利用裂項(xiàng)相消法求出的最小值.【詳解】（1），當(dāng)，，為減函數(shù)；當(dāng)，，為增函數(shù)，所以在處取得最小值，且，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，即所以m的最大值為1.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，令，則有，即有，即有，即，對隨意恒成立，又，所以整數(shù)a的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性并求最小值問題，考查了通過放縮法求不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值問題.22.在直角坐標(biāo)系中，