2024-2025學年新教材高中數學第5章函數應用測評含解析北師大版必修第一冊

第五章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.函數f(x)的圖象與x軸有3個交點,則方程f(x)=0的實數解的個數是()A.0 B.1 C.2 D.3解析:因為函數f(x)的圖象與x軸有3個交點,所以函數f(x)有3個零點,即方程f(x)=0有3個實數解.答案:D2.函數y=x的零點是()A.0 B.(0,0) C.(1,0) D.1解析:函數y=x的零點是其圖象與x軸交點的橫坐標,為0,它是一個實數,而不是點,故選A.答案:A3.函數f(x)=x3-12x-2A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,-4)解析:因為函數f(x)=x3-12x-2在R上為增函數,f(1)=13-121-2=1-2=-1<0,f(2)=23-122-答案:B4.函數f(x)的圖象如圖所示,則能用二分法求出的函數f(x)的零點個數為()A.1 B.2 C.3 D.4解析:能用二分法求出的零點,必需滿意零點左右兩側的函數值異號,由題圖可知,滿意條件的零點只有3個.答案:C5.若f(x)是一個一元二次函數,且滿意f(2+x)=f(2-x),該函數有兩個零點x1,x2,則x1+x2=()A.0 B.2 C.4 D.無法推斷解析:由f(2+x)=f(2-x)知f(x)的圖象關于直線x=2對稱.所以x1+x2=4.答案:C6.夏季高山溫度從山腳起每上升100m,降低0.7℃,已知山頂的溫度是14.1℃,山腳的溫度是26℃,則山的相對高度為()A.1750m B.1730m C.1700m D.1680m解析:設從山腳起上升x百米時,溫度為y℃,依據題意得y=26-0.7x,山頂溫度是14.1℃,代入得14.1=26-0.7x,得x=17(百米),∴山的相對高度是1700m.答案:C7.下表是某次測量中兩個變量x,y的一組數據,若將y表示為關于x的函數,則最可能的函數模型是()x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函數模型 B.二次函數模型C.指數函數模型 D.對數函數模型解析:對于A,由于x勻稱增加1,而y值不是勻稱遞增,故不是一次函數模型;對于B,由于該函數是增函數,故不是二次函數模型;對于C,由于指數函數y=ax過點(0,1),故不是指數函數模型,故選D.答案:D8.2024年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策,其政策的主要內容包括:(1)個稅起征點為5000元;(2)每月應納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點-專項附加扣除;(3)專項附加扣除包括:①贍養(yǎng)老人費用,②子女教化費用,③接著教化費用,④大病醫(yī)療費用等,其中前兩項的扣除標準為:①贍養(yǎng)老人費用:每月扣除2000元,②子女教化費用:每個子女每月扣除1000元,新的個稅政策的稅率表部分內容如下:級數一級二級三級每月應納稅所得額x元(含稅)x≤30003000<x≤1200012000<x≤25000稅率31020現有李某月收入為18000元,膝下有一名子女在讀高三,需贍養(yǎng)老人,除此之外無其他專項附加扣除,則他該月應交納的個稅金額為()A.1800 B.1000 C.790 D.560解析:由題意可得李某該月應納稅所得額(含稅)=18000-5000-2000-1000=10000(元),所以依據新的個稅政策的稅率,他該月應交納的個稅金額為3000×3%+(10000-3000)×10%=790(元).答案:C9.某同學求函數f(x)=lnx+2x-6的零點時,用計算器算得部分函數值如下表所示:f(2)≈-1.3069f(3)≈1.0986f(2.5)≈-0.084f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215f(2.5625)≈0.066則方程lnx+2x-6=0的近似解(精確度為0.1)可取為()A.2.52 B.2.625 C.2.66 D.2.75解析:由表格可知,方程f(x)=lnx+2x-6=0的近似解在區(qū)間(2.5,2.5625),(2.5,2.625),(2.5,2.75)內,又|2.5625-2.5|=0.0625<0.1,所以所求方程精確度為0.1的近似解在區(qū)間(2.5,2.5625)內.據此分析選項,A中2.52符合.答案:A10.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直線x=t截這個梯形位于此直線左方的圖形的面積(如圖中陰影部分)為y,則函數y=f(t)的大致圖象為()解析:當0≤t≤1時,f(t)=12t·2t=t2,當1≤t≤2時,f(t)=12×2×(1+2)-2(2-t)=2t-1,所以當t∈[0,1]時圖象是拋物線的一部分,當t∈[1,2]時圖象是一條線段,故選答案:C11.設函數f(x)=x2+bx+c,x≤0,2,x>0,若f(-4)=f(0),f(-2)A.1 B.2 C.3 D.4解析:∵f(x)=x∴f(0)=c,f(-4)=16-4b+c,f(-2)=4-2b+c,又f(-4)=f(0),f(-2)=-2,∴16-4b+c∴f(x)=x求方程f(x)=x的解的個數,即求函數f(x)與y=x兩圖象交點的個數.在同一平面直角坐標系中,畫出函數f(x)與y=x的圖象,如圖所示.由圖可知,直線y=x與曲線y=f(x)有3個交點,∴關于x的方程f(x)=x有3個解.答案:C12.設f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個函數,若函數y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有兩個不同的零點,則稱f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上是“關聯函數”,[a,b]稱為“關聯區(qū)間”,若f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x+m在區(qū)間[0,3]上是“關聯函數”,則實數m的取值范圍是()A.-94,+C.(-∞,-2] D.[-1,0]解析:∵f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x+m在區(qū)間[0,3]上是“關聯函數”,故函數y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在區(qū)間[0,3]上有兩個不同的零點,故有h解得-94<m≤-2答案:B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案寫在題中的橫線上)13.函數f(x)=(x2-3)(x2-2x-3)的零點為.

解析:令f(x)=0,得x=±3,或x=3,或x=-1.答案:±3,3,-114.用一根長為12m的細鐵絲彎折成一個矩形的鐵框架,則能彎成的框架的最大面積是.

解析:設框架的一邊長為xm,則另一邊長為(6-x)m.設框架面積為ym2,則y=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0<x<6),所以ymax=9,即能彎成的框架的最大面積是9m2.答案:9m215.已知f(x)是定義域為R的奇函數,且在區(qū)間(-∞,0)內的零點有2012個,則f(x)的零點的個數為.

解析:因為f(x)為奇函數,且在區(qū)間(-∞,0)內有2012個零點,由奇函數的對稱性知,在(0,+∞)內也有2012個零點,又x∈R,所以f(0)=0,因此共有4025個零點.答案:402516.已知函數f(x)(x∈R)滿意f(2-x)=-f(x),若函數y=1x-1與y=f(x)圖象的交點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),則x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4=解析:函數f(x)(x∈R)滿意f(2-x)=-f(x),∴f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,而函數y=1x-1的圖象也關于點∴函數y=1x-1與y=f(x)的圖象的交點也關于點∴x1+x2+x3+x4=4,y1+y2+y3+y4=0,∴x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4=4.答案:4三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)推斷下列函數是否存在零點,假如存在,懇求出:(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=x2+x+2;(3)f(x)=x3+1.解:(1)因為f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)·(x-1),令f(x)=0,可解得x=-18或x=所以函數的零點為-18和1(2)令x2+x+2=0,因為Δ=12-4×1×2=-7<0,所以方程無實數解.所以函數f(x)=x2+x+2不存在零點.(3)因為f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1.所以函數的零點為-1.18.(12分)已知函數f(x)=x2-x+m的零點都在區(qū)間(0,2)內,求實數m的取值范圍.解:由題意可得f解得0<m≤14.所以實數m的取值范圍是019.(12分)已知函數f(x)=lg若方程f(x)=k無實數解,求實數k的取值范圍.解:當x≥32時,函數f(x)=lgx是增函數∴f(x)∈lg3當x<32時,函數f(x)=lg(3-x)是減函數∴f(x)∈lg32,+∞.故f(要使方程無實數解,則k<lg32故實數k的取值范圍是-∞20.(12分)是否存在這樣的實數a,使函數f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在區(qū)間[-1,3]上恒有一個零點,且只有一個零點?若存在,求出實數a的取值范圍;若不存在,請說明理由.解:若存在實數a滿意條件,則只需f(-1)f(3)≤0即可,即f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,解得a≤-15,或a≥1檢驗:a.當f(-1)=0時a=1,所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程f(x)=0在區(qū)間[-1,3]上有兩解,不合題意,故a≠1.b.當f(3)=0時a=-15此時f(x)=x2-135x-6令f(x)=0,即x2-135x-65=解得x=-25,或x=3方程f(x)=0在區(qū)間[-1,3]上有兩解,不合題意,故a≠-15綜上所述,a∈-∞,-15∪(1,21.(12分)某工藝公司要對某種工藝品深加工.已知每個工藝品進價為20元,每個的加工費為n元,銷售單價為x元.依據市場調查,須有n∈[3,6],x∈[26,32],x∈N,同時日銷售量m(單位:個)與10-x成正比.當每個工藝品的銷售單價為29元時,日銷售量為1000個.(1)寫出日銷售利潤y(單位:元)與x的函數關系式;(2)當每個工藝品的加工費用為5元時,要使該公司的日銷售利潤為100萬元,試確定銷售單價x的值.(提示:函數y=10x-26與y=x-25的圖象在區(qū)間[26,32]上有且只有一個公共點)解:(1)設m=k·10-x=k10x,當x=29時m=1000,則k=1032,∴m=103210x=1032∴y=m(x-20-n)=(x-20-n)·1032-x,x∈[26,32],x∈N.(2)當n=5時,y=(x-25)·1032-x=100×104=106.整理得x-25=10x-26.∵函數y=10x-26與y=x-25的圖象在區(qū)間[26,32]上有且只有一個公共點,且當x=26時,等式成立,∴x=26是方程x-25=10x-26的唯一的根,∴當每個工藝品的加工費用為5元時,要使該公司的日銷售利潤為100萬元,銷售單價為26元.22.(12分)近年來,“共享單車”的出現為市民“綠色出行”供應了極大的便利.某共享單車公司支配在甲、乙兩座城市共投資120萬元,依據行業(yè)規(guī)定,每個城市至少要投資40萬元,由前期市場調研可知:甲城市收益P與投入a(單位:萬元)滿意P=32a-6,乙城市收益Q與投入a(單位:萬元)滿意Q=14a+2,設甲城市的投入為x(單位:萬元),兩個城市的總收益為f(x)(單位:萬元(1)當甲城市投資50萬元時,求此時公司總收益;(2)試問如何支配甲、乙兩個城市的投資,才能使總收益最大?解:(1)當x=50時,此時甲城市投