湖南省湘潭市高三下學(xué)期第四次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

2018屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若，則（）A．且 B．且C．且 D．且3.設(shè)集合，，現(xiàn)有下面四個(gè)命題：：，；：若，則；：若，則；：若，則．其中所有的真命題為（）A．， B．，， C．， D．，，4.若雙曲線（）的一條漸近線與直線垂直，則此雙曲線的實(shí)軸長為（）A． B． C． D．5.若，，則（）A． B． C． D．6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A．6 B．7 C．8 D．97.函數(shù)的大致圖象為（）8.某幾何體的三視圖如圖示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．9.已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為（）A． B． C． D．10.已知函數(shù)，若對任意的，關(guān)于的方程（）總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11.在中，，，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，記，四邊形的面積分別為，，則的最大值為（）A． B． C． D．12.若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.的展開式中的系數(shù)為．14.在菱形中，，，為的中點(diǎn)，則．15.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛，問高幾何？”其意思為：“今有一個(gè)長方體（記為）的糧倉，寬3丈（即丈），長4丈5尺，可裝粟一萬斛，問該糧倉的高是多少？”已知1斛粟的體積為2.7立方尺，一丈為10尺，則下列判斷正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的編號）①該糧倉的高是2丈；②異面直線與所成角的正弦值為；③長方體的外接球的表面積為平方丈．16.設(shè)，滿足約束條件若的最大值為2，則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知正項(xiàng)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.從某小區(qū)抽取50戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在至度之間，將用電量的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中的值并估計(jì)這50戶用戶的平均用電量；（2）若將用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶記為類用戶，標(biāo)記為低用電家庭，用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶記為類用戶，標(biāo)記為高用電家庭，現(xiàn)對這兩類用戶進(jìn)行問卷調(diào)查，讓其對供電服務(wù)進(jìn)行打分，并將打分?jǐn)?shù)據(jù)繪制成莖葉圖如圖所示：①從類用戶中任意抽取3戶，求恰好有2戶打分超過85分的概率；②若打分超過85分視為滿意，沒超過85分視為不滿意，請?zhí)顚懥新?lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“滿意與否與用電量高低有關(guān)”？滿意不滿意合計(jì)類用戶類用戶合計(jì)附表及公式：0.0500.0100.001，．19.如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，．（1）確定的位置，使得平面平面，并說明理由；（2）設(shè)二面角的正切值為，，為線段上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長．20.已知點(diǎn)是拋物線：上一點(diǎn)，且到的焦點(diǎn)的距離為．（1）若直線與交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：；（2）若是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)不在直線：上，過作直線垂直于軸且交于點(diǎn)，過作的垂線，垂足為．試判斷與中是否有一個(gè)為定值？若是，請指出哪一個(gè)為定值，并加以證明；若不是，請說明理由．21.已知函數(shù)（，）的圖象在與軸的交點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的解析式；（2）若對恒成立，求的取值范圍．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程；（2）若與曲線相切，且與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，求以為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程．23.選修45：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若恰好存在4個(gè)不同的整數(shù)，使得，求的取值范圍．2018屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科）答案一、選擇題15:610:11、12：二、填空題13.14.15.①③16.三、解答題17.解：（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，則，又，，成等比數(shù)列，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，故．（2）由（1）得，所以，所以，故．18.解：（1），按用電量從低到高的六組用戶數(shù)分別為6,9,15,11,6,3，所以估計(jì)平均用電量為度．（2）①類用戶共9人，打分超過85分的有6人，所以從類用戶中任意抽取3戶，恰好有2戶打分超過85分的概率為．②因?yàn)榈挠^測值，所以沒有的把握認(rèn)為“滿意與否與用電量高低有關(guān)”．19.解：（1）為棱的中點(diǎn)．證明如下：∵四邊形為平行四邊形，∴為的中點(diǎn)，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形，則．又，∴平面平面．（2）過作于，連接，則即為二面角的平面角．∵，，∴．又，，∴．以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，設(shè)，∵，∴，∴與平面所成角的正弦值為，∴，∴或，又，∴或．20.解：（1）依題意得∴，∵，∴，故的方程為．由得，設(shè)，，則，，∴，∴．（2）由（1）知，，故的方程為，設(shè)（且），則的橫坐標(biāo)為，易知在上，則．由題可知：，與聯(lián)立可得，所以，則不是定值，為定值．21.解：（1）由，得，∴切點(diǎn)為，∵，∴，∴，又，∴，．（2）由，得，設(shè)，對恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴．∵，∴由對恒成立得對恒成立，設(shè)（），，當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞減，∴，即．綜上，的取值范圍為．22.解：（1）由，得，，即，故曲線的普通方程為．（2）由，當(dāng)，聯(lián)立得，因?yàn)榕c曲線相切