數(shù)學(xué)（九省新高考新結(jié)構(gòu)卷2）-2024年高考押題預(yù)測卷

2024年高考押題預(yù)測卷02【新九省卷】

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合/=卜卜=3〃-1,〃€2},8=卜［0＜丫＜6},則/門8=（）

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

2.若tan（a-：）=2,則sin2a=

（）

33-44

A.-B.—C.一D.——

5555

3.已知〃=（私1）,5=（3加一1,2）,若://力，則》=（）

2

A.1B.-1C1D.—

3

5

4.（1一2%）’—UQ+ctyX+a2%2+???-\-a5x,則4+%=（）

A.100B.110C.120D.130

5.已知等差數(shù)列{g}的前〃項和為且$2=2,$6=9,則%=（）

A.14B.16C.18D.20

6.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善

行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖

2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧NC所在圓的半徑分別是3和6,且

48c=120。，則該圓臺的體積為（）

圖1圖2

A.竺也兀B.9兀C.7兀D.曳2兀

33

7.己知直線＞+1=MX-2)與圓(x-?+(y-l)2=9相交于"，N兩點.則|ACV|的最小值為()

A.7?B.2石C.4D.6

8.己知可導(dǎo)函數(shù)/(X)的定義域為R，為奇函數(shù)，設(shè)g(x)是/卜)的導(dǎo)函數(shù)，若g(2x+l)為奇函數(shù),

1io

且g(O)=彳，則￡羯(2k)=()

2k=i

11

C.—D.4

2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)2,下列說法正確的是()

A.若z-彳=0,則二為實數(shù)B.若/+亍2=0,則2=亍=。

C.若|z-i|=l,則|z|的最大值為2D.若|二-iR二|+1,則z為純虛數(shù)

10.己知函數(shù)/(》)=??(0田+。)［。＞0.0＜。＜|^的圖象在)，軸上的截距為3，2是該函數(shù)的最小正零點,

貝|JC)

兀

A.＜p=-

B./(x)+/'(x)＜2恒成立

C.在(0,"上單調(diào)遞減

D.將y=/(x)的圖象向右平移1個單位，得到的圖象關(guān)于y軸對稱

11.如圖，已知拋物線。/=2"腦＞0)的焦點為F,拋物線C的準線與x軸交于點D,過點尸的

直線/(直線/的傾斜角為銳角)與拋物線C相交于A,3兩點(4在x軸的上方，B在x軸的下

方)，過點4作拋物線C的準線的垂線，垂足為M,直線/與拋物線C的準線相交于點N,則

()

A.當(dāng)直線/的斜率為1時，|4B|=4pB.若|NR|=|FM|,則直線/的斜率為2

C.存在直線/使得ZAOB=90°D.若萬:=3麗，則直線/的傾斜角為60°

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6

分，滿分18分②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得。分

③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三

個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小

明同學(xué)三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個

選項，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為.

13.在直三棱柱48C-44G中，AB=AC=AA.=4,4CJ.45,過作該直三棱柱外接球的截面，所得

截面的面積的最小值為.

14.在“BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,己知c=2asinC-2ccosN,則sin24=；

若。=2,則面積的最大值為_.

四'解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（本小題滿分13分）己如曲線/（x）=ar!+x-21nY+。（a,beR）在x=2處的切線與直線x+2y+l=0垂直.

（1）求。的值；

（2）若f（x）20恒成立，求6的取值范圍.

16.（本小題滿分15分）為促進全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、

好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時間

（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,

后三個小矩形的高度比為3：2：1.

卜頻率/組距

20406080100120時間/分鐘

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值為代表）：

（2）開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作

為代表分兩周進行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時間處于［80,100）的人數(shù)記為

3求隨機變量4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

17.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐尸-WCD中，底面/BCD是邊長為2的正方形，PA=PB=?,

點”在尸。上，點N為8c的中點，且尸8//平面跖1C.

pt

M

於一一?

BNC

(1)證明：CW〃平面P/N；

(2)若尸C=3,求平面PNN與平面M4c夾角的余弦值.

22

18.(本小題滿分17分)已知橢圓￡:二+匕=1,直線/與橢圓E交于48兩點，。為坐標原點，且

84

OA±OB,0P1AB,垂足為點P.

(1)求點尸的軌跡方程；

(2)求面積的取值范圍.

19.(本小題滿分17分)置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合/={1,2,…,〃},〃eN+的函數(shù)稱為〃

次置換.滿足對任意屹4/(。=i的置換稱作恒等置換.所有n次置換組成的集合記作S“.對于/⑺eSn,

/、(12???n}

我們可用列表法表示此置換：/(，)=]/⑴/⑵…八〃”，記

⑴若/⑺eS,J⑺=]；213^計算廳⑺；

(2)證明：對任意〃。€其，存在左€味，使得廣⑺為恒等置換；

(3)對編號從1到52的撲克牌進行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯插入，即第1張不動，第

27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就

能恢復(fù)原來的牌型？請說明理由.

2024年高考押題預(yù)測卷02【新九省卷】

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合/={小=3〃-1,“€2},8={司0<》<6},則/門8=()

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

【答案】D

【解析】^={x|x=3w-l,7?eZ},5=1x|0<x<6},則4口8={2,5},故選D

若；

2.tan[a—=2,則sin2a=()

344

A.-B.——C.-D.——

5555

【答案】B

.y,|7t]tana-1、.Q

【解析】由tan|a-7|="|---------=2,得tan(z=-3,

(4)1+tana

.,—.2sinacosa2tana3

sm2?=2sm?cosa=——；------—=-----；—=——,故選B.

sina+cos-a1+tana5

3.己知a=(拉,1),5=(3機-1,2),若'a/b，則加=()

「22

A.1B.—1C.-D.——

【答案】A

【解析】因為。=（加,1）,=（3m-1,2）,a'//'b,所以2%-（3機-1）=0,解得機=1,故選A.

4.若(l-2x)’=a()H--F%/,則%+&=()

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

24

【解析】在（l-2x）5=〃0+41*+42/+…+中，a2=Cjx2=40,t74=C5x2=80,

所以出+%=120,故選C

5.已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，且S?=2,S19,則”=（）

A.14B.16C.18D.20

t答案】D

【解析】設(shè)數(shù)列｛〃“｝的公差為由Sz=2,S6=9,

7

2。［+d=2

8

得《61+等d=9'解得

]_，

4

所以品）=10。]+寸10x9d=?35+4?5=20,故選D.

6.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇‘'與"善”諧音，折扇也寓意“善良'’”善

行''.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖

2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE,4c所在圓的半徑分別是3和6,且

45c=120。，則該圓臺的體積為（）

【答案】D

【解析】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為不大由題意可知（x2兀X3=2Q,解得弓=1,

：x2兀x6=2%，解得：4=2,作出圓臺的軸截面，如圖所示:

DOQ

圖中OD=7]=1,O'A=r2=2,AD-6-3=3,

過點。向4P作垂線，垂足為T,則/7=4-勺=1,

所以圓臺的高b=JAZP-Z4=532-1=2五,

則上底面面積每二兀*^^,$2=兀乂22=4兀，由圓臺的體積計算公式可得：

r=1x(S1+S2+5/S1-S2)x//=1x7jix2>/2=^^,故選D.

7.已知直線"l=Mx-2)與圓(x-iy+(y-l)2=9相交于M,N兩點.則1必叫的最小值為()

A.V5B.2V5C.4D.6

【答案】C

【解析】由圓的方程(x-l)2+(y-l)2=9,可知圓心4(1,1),半徑五=3,

直線y+l=m(x-2)過定點8(2,-1),

因為(2-1)2+(->1)2=5<9,則定點5(2,-1)在圓內(nèi)，

則點8(2,-1)和圓心4L1)連線的長度為d=+(-1-1)2=V5,

當(dāng)圓心到直線MN距離最大時，弦長MN最小，此時

由圓的弦長公式可得|MN|=2/一〃2=2出-訴2=4,

故選：C

8.己知可導(dǎo)函數(shù)/(*)的定義域為R，/6T)為奇函數(shù)，設(shè)g")是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，若g(2x+l)為奇函數(shù),

110

且g(o)=;，則2?g(2左)=()

2k=i

13131111

A.—B.一—C.—D.--

2222

【答案】D

【解析】因為為奇函數(shù)，則個

即/(xT)=-/(-xT),兩邊求導(dǎo)得了'(XT)=/'(T-1),

則g(x-l)=g(-x-l),可知g(x)關(guān)于直線X=-l對稱,

又因為g(2x+l)為奇函數(shù)，則g(2x+l)+g(-2x+l)=0,

即g(x+l)+g(-x+l)=O,可知g(x)關(guān)于點(1,0)對稱,

令X=l,可得g(2)+g⑼=0,即g(2)=_g⑼=[,

由8—1)=8(-工_1)可得83=8(-工_2),

由g(x+l)+g(-x+l)=0,可得g(x)+g(-x+2)=0,即g(x)=-g(-x+2),

可得g(-x-2)=-g(-x+2),即g(x+4)=-g(x),

令x=0,可得g(4)=-g(0)=-；；

令x=2,可得g(6)=-g⑵=g；

且g(x+8)=-g(x+4)=—[-g(x)]=g(x)，可知8為g(x)的周期，

可知g(8左+2)=g(8左+4)=-g,g(8左+6)=g(8左+8)=g,KeZ,

101111

所以￡修(2左)=--(1+2+5+6+9+10)+-(3+4+7+8)=一一.

k=i222

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)2,下列說法正確的是()

A.若2-7=0,則z為實數(shù)B.z2+z2=0,貝!|z=^=0

C.若|z-i|=l,則|z|的最大值為2D.若|z-iHz|+l,則z為純虛數(shù)

【答案】AC

【解析】設(shè)z="+bi(a/eR),則胃=“_歷，

若z-7=0,即(a+6i)-(a-6i)=26i=0,即6=0,則z為實數(shù)，故A正確；

z2+z2=0,即(a+6i)~+(a-6i)~=0,

a1-b2+2abi+a2-b2-2abi=0,即/=/,即°=±6,

當(dāng)a=b時，2=a+ai,z-a-ai＞此時不一定滿足z=彳=0,

當(dāng)Q=-6時，z=a-ai,z=a+ai,此時不一定滿足z=^=0,故B錯誤；

若匕-i|=l,即|"i|=]=卜+e—1川=J/+(Z>_1)2=1,

所以〃+e-1)2=1,即z表示以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓上的點，

且同表示圓上的點到原點的距離，所以|Z|的最大值為2,故C正確；

若I二一iHz|+l，BP|z-i|=|a+(Z>-l)i|=^a2+(Z>-1)2,

\z\+l=yja2+b2+1,即也2+僅-1)2=，/+廿+i,

化簡可得b=—五+〃,貝!|q=0且丘0,

此時Z可能為實數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯誤；

故選：AC

10.己知函數(shù)/(x)=cos(0X+0)(0>O.O<Q<|J的圖象在y軸上的截距為崇是該函數(shù)的最小正零點,

貝IJ()

兀

A.<P=—

B.〃x)+，(x)M2恒成立

C./(x)在值)上單調(diào)遞減

D.將y=/(x)的圖象向右平移弓個單位，得到的圖象關(guān)于y軸對稱

【答案】AC

【解析】函數(shù)/5)=85回+0)(0>0,0<。<|")的圖象在),軸上的截距為9

所以cosp=L因為0<?<￡,所以夕=工.故A正確：

223

又因為三是該函數(shù)的最小正零點，

12

UL1、I(兀兀、zxULI、I兀兀兀

所以cos0不+1=0,所以O(shè)不+、=不，

解得0=2,所以f(x)=cos(2x+g),/'(x)=—2sin(2x+；),

所以/(x)+/'(x)=cos(2x+g)-2sin(2K+：j=4cos(2x+?+<9)4不，故B錯誤；

當(dāng)xe(()qj時，2x+?e(:兀k(0,兀)，故C正確；

將y=/(x)的圖象向右平移;個單位，得到y(tǒng)=cos[2(x-g)+(=cos^2.r-y

是非奇非偶函數(shù)，圖象不關(guān)于V軸對稱，故D錯誤.

故選：AC.

11.如圖，已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線C的準線與X軸交于點D,過點尸的

直線/(直線/的傾斜角為銳角)與拋物線C相交于A,B兩點(4在x軸的上方，8在x軸的下

方)，過點4作拋物線C的準線的垂線，垂足為M,直線/與拋物線C的準線相交于點N,則

()

A.當(dāng)直線/的斜率為1時，|03|=4pB.若|NF|=|EM，則直線/的斜率為2

C.存在直線/使得ZAOB=90°D.若赤=3而，則直線/的傾斜角為60°

【答案】AD

【解析】易知尸信。)，可設(shè)?尸+-禺(左>0),設(shè)/(”1).鞏*2，%),

y=k[X-—I22/2\上2P2

222

與拋物線方程聯(lián)立得fI2kx-(kP+2p)x+-^--=0,

y2=2px

貝I]玉+X2=卜22々密森,

對于A項，當(dāng)直線/的斜率為1時，此時玉+々=3°,

由拋物線定義可知|叫+網(wǎng)*+微+々+卷=|羽=4p,故A正確；

易知是直角三角形，若|N/|=

則ZANM=AFMN=>ZAMF=AFAM,

y\AF\=\AM\,所以AW為等邊三角形，即乙4網(wǎng)=60°，此時a=6，故B錯誤:

由上可知再超+必力=(/+1)k2一與一(天+*2)+

4

=儼+1）①上如曰鷗=一"<0，

''42k244

rUUULU,,3r

即。46v0，故C錯1天；

若AF=3用=>言_玉=312_?二演=2p_3/,

又知xxx2=—=>x2=—,Xj=—,所以弘=6P,

462

k=」一=6

則PV,即直線/的傾斜角為60。，故D正確.

M1--2-

故選：AD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6

分，滿分18分②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得。分

③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三

個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.己知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小

明同學(xué)三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個

選項，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為.

【答案】11

【解析】由題意得小明同學(xué)第一題得6分：

第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得。分、4分和6分；

第二題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得。分、2分和3分；

由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、

15分共8種情況，

所以中位數(shù)為小竺=11,

2

13.在直三棱柱44G中，AB=AC=AA1=4,過ZG作該直三棱柱外接球的截面，所得

截面的面積的最小值為.

【答案】8n

【解析】由直三棱柱4BC-44G可知，平面Z3C,

又ZC_L4B,所以48.4C,44兩兩垂直,

設(shè)直三棱柱里C-451cl外接球的半徑為R

通過構(gòu)造長方體可知該三棱柱的外接球與以AB,AC,AA.為邊長的長方體外接球相同;

過ZG作該直三棱柱外接球的截面，當(dāng)/G為所截圓的直徑時截面面積最小，

因為ACt="2+甲=4>/2，

則所求截面面積最小值為兀=8兀.

14.在AZBC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為4,b,c9已知c=2osinC-2ccosZ,則sin2N=；

若。=2,則"BC面積的最大值為.

…a.32+J7

【答案】-T——

43

【解析】因為c=2asinC-2ccos4,由正弦定理得$111。=2$1114$111。-25111。8$4,

因為CsinCw0,則有sin4—cos4=工,

ii33

所以(sin2—cosa)?=—,得l—2sinZcos/=—,即2sin/cos/=—,故sin2Z=—；

4444

3

IM2sinZcosZ=a,可得sinZ>0,cos/>0,

..1+V7

//1sinZ=--------

sinZ-cosZ=一3得s皿』csin/」x匕女從

由，2,解得<

22224

sinA+cosA=1cosA=-----

4

由余弦定理得，所以叱…空慶,

由〃+,2=4+與1加22加，當(dāng)且僅當(dāng)6=c時等號成立，可得加?方=怖(5+"),

S皿力苧〈(5+萬=苧，即“5c面積的最大值為彳?

四'解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(本小題滿分13分)己如曲線/(x)=ax2+x-21nx+6(a,6eR)在x=2處的切線與直線x+2y+l=0垂直.

⑴求。的值；

⑵若〃x)20恒成立，求6的取值范圍.

【解】(1)由于x+2y+l=0的斜率為一；，所以/(2)=2,

2?1

又/'(x)=2辦+1-：故/'⑵=4“+1-/=2,解得4=5，

(2)由(1)知。=〈，所以/，(X)=X+1-Z=X2+~2=(X+2)(X-1),

2xxx

故當(dāng)x>l時，/'(x)>O,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<l時，f'(x)<O,/(x)單調(diào)遞減,

故當(dāng)x=l時，/(X)取最小值/(1)=；+1+6,

13

要使/(x)20恒成立，^/(1)=-+1+^>0,解得62一］,

3

故b的取值范圍為6N-］

16.(本小題滿分15分)為促進全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、

好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時間

(單位：分鐘)，得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,

后三個小矩形的高度比為3：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時間的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值為代表)；

(2)開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作

為代表分兩周進行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時間處于［80,100)的人數(shù)記為

求隨機變量4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解】(1)由題知：各組頻率分別為：0.15,0.25,0.3,0,2,0.1,

日均閱讀時間的平均數(shù)為：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67（分鐘）

（2）由題意，在[60,80）,[80,100）,[100,120]三組分別抽取3,2,1人

4的可能取值為：0,1,2

c3c°C2cl3

則PC=0)=造2=產(chǎn)它=1)=,=

55

=1

尸?=2)=

Cl5

所以自的分布列為:

c113.11

E1)=Ox—4-lx—+2x—=1

555

17.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐尸-48。）中，底面4BCD是邊長為2的正方形，PA=PB=下,

點河在尸￡>上，點N為8C的中點，且尸3〃平面跖1C.

（1）證明：GW//平面HW：

（2）若尸C=3,求平面尸4N與平面MZC夾角的余弦值.

【解】（1）連接交4C與點。，連接OM,可得平面的與平面M4c的交線為,

因為尸8〃平面M4C,P3u平面P3Q,所以PBUOM,

又因為O為助的中點，所以點M為產(chǎn)口的中點,

取力的中點E,連接EM,EN,可得EM〃/D且EM="D,

又因為N為的中點，可得3〃⑷）[[CN=；4D,

所以EMUCN且EM=CN,所以四邊形￡MCR為平行四邊形，所以CM“EN,

又因為CW<Z平面尸3,且ENu平面H4N,所以CM〃平面尸4V.

（2）取43的中點S,連結(jié)PSCS,

因為P4=PB=#,可得PS14B.S.PS=>JPB2-BS2=2.

又因為sc=JBC^+BS?=邪，且尸C=3,

所以PC?=尸$2+$。2,所以尸S_LSC,

又因為zsnsc=s,且ZBSCu平面4BCD,所以尸S_L平面4BCD,

以S為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系S-盯二，

可得4(-1,0,0),8(1,0,0卜。(1,2,0),￡>(-1,2,0),尸(0,0,2),

ni-PN=x1+yl-2zl=0

取x=2,可得y=-4,z=-l,所以方=（2,-4,-1）,

_——?3

n-AM=—x2+y2-z2=0

設(shè)為=@2，%，22）是平面M4c的法向量，貝”:，

n-MC=-x+%+工2=0

.22

取x=2,可得y=-2,z=l,所以方=（2,-2.1）；

l/n-nl1111721

設(shè)平面尸3與平面跖tc的夾角為e,則cose=匕哥=7寶=工一,

|m||n|3。2163

18.(本小題滿分17分)已知橢圓E:二+上=1,直線/與橢圓E交于4、B兩點,。為坐標原點，且

84

OALOB,。尸工48,垂足為點尸.

(1)求點尸的軌跡方程；

（2）求AQ4B面積的取值范圍.

【解】（1）①當(dāng)直線/斜率不存在時，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)直線/在y軸右側(cè),

直線at的方程為y=，,

「解得A平'"平'所以'”2娓

由，84

~T

y=x

巫,此時尸（千2店,0.

所以,直線48的方程為戈

33

同理,當(dāng)直線/在y軸左側(cè)時，P

②當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=H+m,/（石，乂），3（巧，力），

y=kx+tn

由1x2y2消去y整理得，(1+2/戶2+4加田+2"?2-8=0,

184

-4km2〃，一8

?,A=6442—8"，+32>0?IL石+X2=

又???O4J_O8,.?.豆.麗=0即：玉*2+%%=°，

所以，xxx2+(AXi+7??)(Ax2+77/)=0,

則（1+左2）玉馬+力〃（玉+工2）+〃戶=0,

故(1+犬)(2"/一8)4kM(1+2/)

十一=0,

1+2―1+2421+2左2

所以3加2=8儼+1）滿足△＞（）,

所以，囪二懸二居T昭P半

綜匕QR=半，所以，點尸的軌跡方程為？+產(chǎn)=：

Q

（2）①由（1）可知，當(dāng)直線/斜率不存在或斜率為。時，S^MC=-

②當(dāng)直線1斜率存在且不為0時，

⑷=J1+F忖一止J1+F+%

4娓|(1+*)。+4*)

次＞。一..止+身4,當(dāng)且僅當(dāng)T，即』孝等號成立?

???$皿=軻?⑷嗚2冏,

19.(本小題滿分17分)置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合4={L2,…,"},〃eN+的函數(shù)稱為〃

次置換.滿足對任意ie4/(i)=i的置換稱作恒等置換.所有〃次置換組成的集合記作S”.對于/(i)eS,,

.f12…n]

我們可用列表法表示此置換：/?z)=(/⑴/(2)/(〃)上記

/(i)=r(i)，/(/(i))=r(i)J(r(i))=r(j),…,/(/-?))=「()於4斤eN+.

234、

⑴若/。)小4，/(，)=(4213J'計算,即)；

(2)證明：對任意/(i)eS4,存在才eN+，使得/*(，)為恒等置換；

(3)對編號從1到52的撲克牌進行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯插入，即第1張不動，第

27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就

能恢復(fù)原來的牌型？請說明理由.

【解】⑴M/\)=n〕423143、}

由題思可知/⑺\+n2344J、-R'//\1n234、}

―/、n234、一\

(2)解法一：①若/(。=J234'則/⑺為恒等置換;

②若存在兩個不同的i,使得/（，）=，，不妨設(shè)好1,2,則〃。=

A234、

所以/⑺=I__4，即尸⑺為恒等置換;

I1乙3*）

<12341

③若存在唯一的i,使得/（，）=，，不妨設(shè)i=2,則/⑺=1241或/（'）=

/、n234、…

當(dāng)/（'）=4213時’由（D可知/（（為恒等置換;

同理可知，當(dāng)［?）=J241時，/1）也是恒等置換；

④若對任意的，,〃，）工，

234)或、/("=fl234或/"八卜、(1234、

則情形一：/（0=[43][34]2J132

情形二：/（/g、Q（13234公J或，/、⑺口24314、⑺，、=口1234)

142)

或〃，)=(;23J4)或“/'、An1213243、]或〃，>、[/41323]4

42

對于情形一：尸⑺為恒等置換;

對于情形二：/Mi）為恒等置換;

綜上，對任意/⑺仁邑，存在左eN+，使得/（，）為恒等置換;

解法二:對于任意ie{1,2,3,4},都有/'(0，/2(0)/3(0>/4(06{1,2,3,4},

所以⑺中，至少有一個滿足/"（，）=，，

即使得m=7'的左的取值可能為1,2,3,4.

當(dāng)i分別取1,2,3,4時，記使得/⑺=7?的左值分別為左后他危，

只需取先為左,&/，勺的最小公倍數(shù)即可.

所以對任意〃，）eS4,存在左eN+，使得了"（，）為恒等置換；

（3）不妨設(shè)原始牌型從上到下依次編號為1到52,則洗牌一次相當(dāng)于對｛12…,52｝作一次如下置換:

2345-52]作,”2人-1,

，（“一[1272283527'^^~\16+k,i=2k,

其中無=1,2,...,26.

注意到各編號在置換中的如下變化：

fffffffff

1—1，2—27—14—33—17—9—5—3—2，

ffffffff

4-28—40—46—49—25—13—7-4，

ffffffff

6-29—15—8-30—41—21-11-6,

ffffffff

10-31—16—34—43—22—37—19—10，

ffffffff

12-32—42—47—24—38—45—23—12，

18,35，18，

ffffffff

20-36—44—48—50—51—26—39—20，

52,52，

所有編號在連續(xù)置換中只有三種循環(huán)：一階循環(huán)2個，二階循環(huán)2個，八階循環(huán)48個，

注意到L2,8的最小公倍數(shù)為8,由此可見，最少8次這樣的置換即為恒等置換，

故這樣洗牌最少8次就能恢復(fù)原來的牌型.