高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）函數(shù)的定義域和值域

E第一--------RH-函數(shù)的定義域和值域

1基礎(chǔ)知堀要打牢強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

[知識能否憶起]

1.常見基本初等函數(shù)的定義域

⑴分式函數(shù)中分母不等于零.

(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.

(4)y=a,y-sinx,y=cosx,定義域均為R.

(5)y=tanx的定義域?yàn)閉xx/A”+y,AEz].

(6)函數(shù)f{x)=x的定義域?yàn)閧x|x#0}.

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)定義域，除了使函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮實(shí)際問題對函數(shù)自變量的制

約.

2.基本初等函數(shù)的值域

(1)y=kx+6("W0)的值域是R.

?f4ac-1)}\4ac-Z>21

(2)y=ax+b.x+c(aWO)的值域是：當(dāng)a〉0時(shí),.值域?yàn)閇勿24aj；當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)樯瞎?a;

(3)y=1(A#0)的值域是{y|yW0}.

(4)y=a'(a>0且aW1)的值域是{y|y>0}.

(5)y=logajr(a>0且aWl)的值域是R.

(6)y=sinx,y=cosx的值域是[T,1].

(7)y=tanx的值域是R.

[小題能否全取]

1.(教材習(xí)題改編)若/U)=9-2工xE[-2,4],則/U)的值域?yàn)?)

A.[-1,8]B.[-1,16]

C.[-2,8]D,[-2,4]

答案：A

2.函數(shù)y二占的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.RB.

c.D.

解析：選D?.-Y+2^2,

3.（-山東高考）函數(shù)Hx）%Li+花子的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

Cx+l>0,p-1,

解析：選Bx滿足｛x+lNl,艮M向,

14-六20,1-2W啟2.

解得一1〈水0或0〈W2.

4.（教材習(xí)題改編）函數(shù)f（x）=乎=|的定義域?yàn)?/p>

x-420,

解析：由得*24且xW5.

小5W0,

答案：答1x24,且#5}

5.（教材習(xí)題改編）若處有意義，則函數(shù)y=f+3x-5的值域是

解析：?.?爪有意義，，x20.

3\9

2

又v

y-X+3X5-+--5

--2z-4-

當(dāng)o0

X-%--

in5.

答

案,5+8

函數(shù)的最值與值域的關(guān)系

函數(shù)的最值與函數(shù)的值域是關(guān)聯(lián)的，求出了函數(shù)的值域也就能確定函數(shù)的最值情況，但只確定了

函數(shù)的最大（?。┲担幢啬芮蟪龊瘮?shù)的值域.

［注意］求函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)關(guān)系的作用，而且還要特別注意函數(shù)定義域.

高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分|掌握程度

GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN____________________}_____________________J_____________________］

求函數(shù)的定義域

典題導(dǎo)入

lg/-2x

［例1］(1)(?大連模擬)求函數(shù)f(x)=一瓜~,的定義域；

⑵已知函數(shù)H2)的定義域是［-1,1］,求f(x)的定義域.

［x-2x>0,1x<0或x>2,

［自主解答］(1)要使該函數(shù)有意義，需要c2“則有。//。

解得-3〈水0或2〈x<3,

所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?-3,0)U(2,3).

(2)I>(2］的定義域?yàn)椋?1,1］,

即-W，.-.-^2^2,

1

-2

故f(x)的定義域?yàn)?

>>>一題多變

若本例(2)條件變?yōu)椋汉瘮?shù)Ax)的定義域是［-1,1］,求『(log/)的定義域.

解:?函數(shù)f(力的定義域是［-1,1］,

，-IWxWl,-l^loga^r^l,「.■|wxW2.

&

2

故f(10g2X)的定義域?yàn)?/p>

由題悟法

簡單函數(shù)定義域的類型及求法

(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.

(2)對實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.

(3)對抽象函數(shù)：

①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋踑,b］,則函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式aWg(x)W6求出；

②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)椋踑,b\,則Ax)的定義域?yàn)間(x)在xC%,目時(shí)的值域.

以題試法

1⑴函數(shù)片U2一的定義域是-

(2)(?沈陽質(zhì)檢)若函數(shù)廠/U)的定義域?yàn)閇-3,5],則函數(shù)g(x)=f(x+D+Hx-2)的定義域是

)

A.[-2,3]B.[-1,3]

C.[-1,4]D.[-3,5]

「OW后2,

(2x-x^O,

解析：(1)由《In2x-1WO,xWl,

得彳

【2x-l〉0,1

x〉g.

所以函數(shù)的定義域?yàn)?，

-3Wx+1W5,

(2)由題意可得

-3Wx-2W5,

解不等式組可得-1WXW4.

所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇-1,4].

答案：⑴，，(1,2](2)C

3求已知函數(shù)的值域

典題導(dǎo)入

[例2]求下列函數(shù)的值域.

⑴y=V+2x(xE[0,3])；

1-/

⑵尸

1+/

4

⑶y=x+-(K0)；

X

(4)f{x}=x-d1-2x.

[自主解答](1)(配方法)

y=x+2x=(x+l)2-l,

y=(x+1)2-1在[0,3]上為增函數(shù),

即函數(shù)3+2x(x￡[0,3])的值域?yàn)閇0,15].

\-x9

⑵廠

2,

-1<]+、一KL即(-1,1].

.??函數(shù)的值域?yàn)?

(3),/T<0,.t.x+^=一(-x-號<-4,

當(dāng)且僅當(dāng)x二-2時(shí)等號成立.

8,-4].

???函數(shù)的值域?yàn)?-8,-4].

,-----1

(4)法一：(換元法)令瞬-2*=t,貝IJ220且x=一

1一/12

于是y二一方二一5(1+1)+1,

-

1

由于t力0,所以工/故函數(shù)的值域是[-

,82

-

法二：(單調(diào)性法)/"(X)的定義域?yàn)?-8,1容易判斷/"(X)為增函數(shù)，所以“X)W/Q)=a

即函數(shù)的值域是1-8,1.

由題悟法

求函數(shù)值域常用的方法

(1)配方法，多適用于二次型或可轉(zhuǎn)化為二次型的函數(shù)(例(1)).

(2)換元法(例(4)).

(3)基本不等式法(例(3)).

⑷單調(diào)性法(例(4)).

⑸分離常數(shù)法(例(2)).

[注意]求值域時(shí)一定要注意定義域的使用，同時(shí)求值域的方法多種多樣，要適當(dāng)選擇..

以題試法

x-3

2.(1)函數(shù)了二=7的值域?yàn)?

X十1.

(2)(??？谀M)在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算中，我們定義新運(yùn)算“十”如下：當(dāng)a^b時(shí)，a?b=a；當(dāng)a<b

時(shí)，乃十6二??設(shè)函數(shù)Hx)=(1十x)x-(2十x),xE[-2,2],則函數(shù)F(x)的值域?yàn)?

x-3x+1-44

解析：(i)y=7TI=1

x+1x+1'

44

因?yàn)槎∷?一二7*1，

即函數(shù)的值域是bdyeR,肌1}.

fx-2,xE[-2,1],

⑵由題意知"X)=3=?

〔x-29,xd1,2J,

當(dāng)xG[-2,1]時(shí),/U)E[-4,-1]；

當(dāng)xG(1,2]時(shí)，f{x)E(-1,6],

即當(dāng)xE[-2,2]時(shí)，f{x)G[-4,6].

答案：⑴{)yGR,月1}(2)[-4,6]

與函數(shù)定義域、值域有關(guān)的參數(shù)問題

典題導(dǎo)入

［例3］(?合肥模擬)若函數(shù)f(x)=g2x?+2ax-a-l的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為.

［自主解答］函數(shù)F(x)的定義域?yàn)镽,所以2/+2@矛-@-1》0對王￡口恒成立，即2f+2ax-a》l,

Y+2ax-a20恒成立，

因此有/=(Za)?+4aW0,解得-IWaWO.

［答案］t-i,o］

由題悟法

求解定義域?yàn)镽或值域?yàn)镽的函數(shù)問題時(shí)，都是依據(jù)題意，對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問

題進(jìn)行解決，而

解決不等式恒成立問題，一是利用判別式法，二是利用分離參數(shù)法，有時(shí)還可利用數(shù)形結(jié)合法.

以題試法

4

3.(?煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)=瓦工的定義域是［a,6］(a,6EZ),值域是［0,1］,則滿足條

件的整數(shù)數(shù)對(a,6)共有個(gè).

44

解析：由0WEO-1W1,即得0W|X|W2,滿足整數(shù)數(shù)對的有(-2,0),(-2,1),

(-2.2),(0,2),(-1,2)共5個(gè).

答案：5

高分障礙要破除攻重點(diǎn)補(bǔ)短板得滿分掌握程度

3GAOFENZHANGAIYAIII

"熱點(diǎn)難點(diǎn)突破——不拉分”系列之(二)

多法并舉，求函數(shù)值域不犯難

函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全

確定，但因函數(shù)千變?nèi)f化，形式各異，值域的求

法也各式各樣，因此求函數(shù)的值域就存在一定的

困難，解題時(shí)，若方法適當(dāng)，能起到事半功倍的

作用.求函數(shù)值域的常用方法有配方法、換元法、

分離常數(shù)法、基本不等式法、單調(diào)性法(以上例2

都已講解)、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.

1.數(shù)形結(jié)合法

利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于圖象的直觀性來求函數(shù)的值域，是一種常見的方法，如何將給定

函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型是解答此類問題的關(guān)鍵.

fa,

［典例1］對&bER,記max|a,b\八函數(shù)/1(x)=max||x+11,|x-2||(xER)的值

［仇；a<b.

域是.

由圖象知函數(shù)的值域?yàn)閨,+8

［答案］I，+g)

［題后悟道］利用函數(shù)所表示的幾何意義求值域(最值)，通常轉(zhuǎn)化為以下兩種類型：

yy-b

(1)直線的斜率：?可看作點(diǎn)(X,力與(0.0)連線的斜率；「可看作點(diǎn)(X,力與點(diǎn)(a,垃連線的斜率.

XX-a

⑵兩點(diǎn)間的距離：7~x-xi~~y-yi—'可看作點(diǎn)(x,力與點(diǎn)(不，跖)之間的距離.

針對訓(xùn)練

1.函數(shù)~x+3~2+16+y/~x-5~晨時(shí)的值域?yàn)?

解析：函數(shù)y=f(x)的幾何意義為：平面內(nèi)一點(diǎn)尸(x,o)到兩點(diǎn)/(-A13,4)和8(5,2)

距離之和.由平面幾何知識，找出6關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)夕⑸-2).連-f接西交x軸

于一點(diǎn)戶即為所求的點(diǎn)，最小值y=M夕|=^/82+62=10.13

即函數(shù)的值域?yàn)椋?0,+8).

答案：［10,+8)

2.判別式法

aix+bix+Ci

對于形如=/：⑸&不同時(shí)為零)的函數(shù)求值域，通常把其轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程,

&x+8x+C2

由判別式/2o,求得y的取值范圍，即為原函數(shù)的值域.

V-x

［典例2］函數(shù)y=-~77的值域?yàn)開_______.

X—X-rL

［解析］法一：(配方法)

]

141

????！础?？1丐，.一產(chǎn)y〈l.

函數(shù)的值域?yàn)?)

法二：(判別式法)

X2-X_

由尸7^771，XCR,

得(尸l)f+(1-y)x+y=Q.

,.,y=1時(shí)，xE。,.,.月1.

又?.?xGR,zl=(l-y)2-4y(y-l)^0,

1

.??函數(shù)的值域?yàn)?/p>

［答案］-1,1］

［題后悟道］本題解法二利用了判別式法，利用判別式法首先把函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)系數(shù)含有y的二次方

程以了)*、灰力x+c(y)=0,則在a(y)W0時(shí)，若xER,則/20,從而確定函數(shù)的最值；再檢驗(yàn)a(y)

=0時(shí)對應(yīng)的x的值是否在函數(shù)定義域內(nèi)，以決定a(y)=0時(shí)y的值的取舍.

針對訓(xùn)練

mx+4\［3x+n__

2.已知函數(shù)y=---西而----的最大值為7,最小值為-1,則/+〃的值為()

A.-1B.4

C.6D.7

解析：，選C函數(shù)式可變形為（y-4/一4（才+（y一〃）=o,xER,由已知得y-/70,所以4二（一

4（I_4（y_4.（y-n）20,即/一n）y+{mn-12）WO,①

由題意，知不等式①的解集為則-1、7是方程/-（勿+〃）p+（而7-12）=0的兩根，

1+m+n+mn-12=0,{m-5,{m-1,

代入得49-7m+n+mn-12=0'解得，〃=1或，〃二5.

所以/n+n=6.

求解函數(shù)的值域要根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑴?zhǔn)確記憶常見函數(shù)的值域，熟練掌握各種

類型函數(shù)值域的求法，除前面介紹的幾種方法外，還有單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法(以后還要講解).

用|解題RI隼要高整CAOXIAO抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

A級全員必做題

1.函數(shù)y=-/白lg(2x-1)的定義域是()

A.[|,+8)B￡,+8)

。?修,+8)D.&I)

j3x-2>0,9

解析：選C由L…得

1>0。

-x~+\lx-1

2.(-汕頭一測)已知集合4是函數(shù)f(x)='----金——的定義域，集合6是其值域，則/U6的子

集的個(gè)數(shù)為()

A.4B.6

C.8D.16

Cl-x^Q,

解析：選C要使函數(shù)f(x)的解析式有意義，則需|*-1>0,

解得x=l或x=-l,所以函數(shù)

If

的定義域上{—1,1}.而f⑴=『(-1)=0,故函數(shù)的值域8={0},所以如8={1,-1,0},其子集的

個(gè)數(shù)為2,=8.

3.下列圖形中可以表示以〃={xIOWxWl}為定義域，以"={y|OWj<l}為值域的函數(shù)的圖象是(.

ABCD

解析：選c由題意知，自變量的取值范圍是[0,1],函數(shù)值的取值范圍也是[0,1],故可排除A、B；

再結(jié)合函數(shù)的定義，可知對于集合〃中的任意x,"中都有唯一的元素與之對應(yīng)，故排除D.

4.(?長沙模擬)下列函數(shù)中，值域是(0,+8)的是()

A.y=y/x-2x+1B.y=二y(xE(0,+8))

11

c--―2入+153)D■片以可

解析：選D選項(xiàng)A中y可等于零；選項(xiàng)B中y顯然大于1；選項(xiàng)C中xEN,值域不是(0,+8)；選

項(xiàng)D中|x+l|〉0,故y>0.

5.已知等腰△/比周長為10,則底邊長F關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為尸10-24則函數(shù)的定義域?yàn)?)

A.RB.{x|x>0}

C.{x|0〈x〈5}D.；"3〈水51

po,

解析：選c由題意知即0<K5.

[10-2Qx〉Xn0,

9

6.函數(shù)y=-的定義域是(-8,i)u[2,5),則其值域是()

X—1

A.(-8,o)ug,2B.(-8,2]

C.1-8,Ju[2,+8)D.(0,+8)

解析：選A?「xe(-8,l)u[2,5),.

故X-1E(-8,0)U[l,4),

2.。、)叱，2J一

,____x-10

7.(?安陽4月模擬)函數(shù)/=產(chǎn)1+丁=一的定義域是..

(x+120,

產(chǎn)-1,

x-1W0,得「*1,

解析：由5

2-x>0,1x2,

12—xWl

則IslWx<2,所以定義域是｛小仁皿，或小⑵.

答案：｛x|或KX2)

8.函數(shù)y=F-x(x20)的最大值為

解析

1

艮[1JPinax=7

答案

9.(?太原?？?已知函數(shù)『5)的定義域?yàn)閇0,1],值域?yàn)榭?2],則函數(shù)￡(x+2)的定義域?yàn)?/p>

值域?yàn)?

解析：由已知可得x+2C[0,1],故xG[-2,-1],所以函數(shù)/U+2)的定義域?yàn)閇-2,-1].函數(shù)

Hx)的圖象向左平移2個(gè)單位得到函數(shù)/U+2)的圖象，所以值域不發(fā)生變化，所以函，數(shù)F(x+2)的值域

仍為[1,2].

答案：[-2,-1][1,2]

10.求下列函數(shù)的值域.

1-X------

d)y=,n；(2)y=2x-1-A/13-4x

L9iXi0v

17

+

l-x~22牙+52

解：⑴J'=2x+5=2x+5

7

15

+

--2-

2x+5'

7

21

因?yàn)槎?i^0,所以1-,

所以函數(shù)尸分2的值域?yàn)椴窙_-/

(2)法一：(換元法)設(shè)#13-4x=t,

13-5

則力>0,x=4，

13-t*12*5713

于是y=g⑺=2?----1-t

1111、2

=-產(chǎn)2-力+可=-W+D+6,

顯然函數(shù)g(8在［0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù),

所以g(6Wg(0)=y,

因此函數(shù)的值域是1-8,y.

法二：(單調(diào)性法)函數(shù)定義域是［以號1,

當(dāng)自變量X增大時(shí)，2公1增大，713-4升減小,

所以2x-1-勺13-4覺曾大,

因此函數(shù)F(x)=2x-1-713-4x在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù),

所以當(dāng)x=子時(shí)，函數(shù)取得最大值(竽)=y,

故函數(shù)的值域是1-8,y.

11.若函數(shù)f(x)x+a的定義域和值域均為［1,b\(A>1),求a、6的值.

1

+a-

-2,其對稱軸為X=L

即［1,切為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

1

\

-1!-a--

/■(72

f(X)睜=r(Z))=-b+a=喀

3

a=0

由①②解得

b=3.

12.(?寶雞模擬)已知函數(shù)g(x)=5+1,力(x)=~xE(-3,a\,其中乃為常數(shù)且a>0,令函數(shù)

x十J

f(x)=g(x)?力(x).

(i)求函數(shù)r(x)的表達(dá)式，并求其定義域；

⑵當(dāng)a二;時(shí)，求函數(shù)F(x)的值域.

y]x+1

解:⑴f(x)=——r,xE[0,a](a>0).

1-

O--

(2)函數(shù)fU的定義域?yàn)?4

_

3

令5+1=力，則x=(力-1)2,tE1,-,

/\/\21

方+：-2

當(dāng)力?時(shí)，t=±241,|,又大e1,/時(shí)，力+：單調(diào)遞減，尸㈤單調(diào)遞增，尸㈤E

-1

-

即函數(shù)/的值域?yàn)?

-

B級重點(diǎn)選做題

1,函數(shù)曠=2-2--+4x的值域是()

A.[-2,2]B.[1,2]

C.[0,2]D.[-72,R

解析：選C-x+4x=-(^-2)2+4^4,

0^-/+4^2,

0^2-^/-/+4^2,所以0Wj<2.

2.定義區(qū)間[不，為](x《X2)的長度為劉-xi,已知函數(shù)f(x)=1lojxl的定義域?yàn)閇a,6],值域?yàn)閇0,2],

則區(qū)間［a,6］的長度的最大值與最小值的差為—一.

-1

解析：由函數(shù)F(x)=|log|x|的圖象和值域?yàn)椋?,2］知，當(dāng)a=：時(shí)，正［1,4］；當(dāng)6=4時(shí)，aE4-

-

所以區(qū)間［a,6］的長度的最大值為4-3=午，最小值為1-：=|.

153

所以區(qū)間長度的最大值與最小值的差為7-I=3.

答案：3

3.運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x