變化率問(wèn)題第二課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.1 變化率問(wèn)題（第2課時(shí)）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容變化率的兩個(gè)典型實(shí)例.一是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度，二是拋物線的切線的斜率.本小節(jié)計(jì)劃用2課時(shí)，第一課時(shí)：高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度；第二課時(shí)：拋物線的切線的斜率.2.內(nèi)容解析本小節(jié)是2019年人教A版選擇性必修第二冊(cè)第五章第1節(jié).變化率是本章內(nèi)容學(xué)習(xí)的核心概念，是導(dǎo)數(shù)概念建立的核心.變化率問(wèn)題（共2課時(shí)）的主要內(nèi)容是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度，拋物線的切線的斜率.通過(guò)實(shí)例分析，總結(jié)歸納出一般問(wèn)題的平均變化率和瞬時(shí)變化率的概念，在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生掌握平均變化率和瞬時(shí)變化率問(wèn)題解法的一般步驟.第一課時(shí)（問(wèn)題1），由于學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前沒(méi)有學(xué)習(xí)極限，因此就不能用極限理論建立導(dǎo)數(shù)概念.導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)的瞬時(shí)變化率，即函數(shù)平均變化率的極限.通過(guò)高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度這個(gè)特殊實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷由平均速度過(guò)渡到瞬時(shí)速度的過(guò)程，以直觀的方式由平均變化率的極限引出瞬時(shí)變化率.由于導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，其中自然蘊(yùn)含著極限思想，所以導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和正確的世界觀有著重要的作用.從瞬時(shí)速度這個(gè)特殊的瞬時(shí)變化率出發(fā)，再抽象出導(dǎo)數(shù)概念，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.第二課時(shí)（問(wèn)題2），以學(xué)生熟知的特殊曲線（拋物線f(x)=x2）為對(duì)象，研究其在特殊p0(1,1)處的切線及其斜率.與解決問(wèn)題1的過(guò)程與方法類似，問(wèn)題2再次讓學(xué)生在“運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)”“極限思想與方法”的引導(dǎo)下，經(jīng)歷由割線斜率過(guò)渡到切線斜率的完整過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)其中蘊(yùn)含的導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵和思想，進(jìn)一步體會(huì)極限思想.基于上述分析，確定本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)：（1）理解瞬時(shí)速度和極限思想；（2）理解函數(shù)在某點(diǎn)處的切線和以直代曲思想.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)課程目標(biāo)素養(yǎng)目標(biāo)11.通過(guò)兩個(gè)實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)的變化率化率的過(guò)程.2.經(jīng)歷用平均速度“逼近”瞬時(shí)速度的過(guò)程，認(rèn)識(shí) 2.邏輯推理：平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)瞬時(shí)速度的本質(zhì)是平均速度的極限，初步體會(huì)極限 系，割線斜率與切線斜率的關(guān)系.思想.3.經(jīng)歷由割線斜率過(guò)渡到切線斜率的完整過(guò)程，進(jìn)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求瞬時(shí)速度，求拋物線f(x)=x2一步體會(huì)其中蘊(yùn)含的導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵和思想，進(jìn)一步體在點(diǎn)p0(1,1)處的切線方程.會(huì)極限思想.4.直觀想象：割線的變化趨勢(shì).2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）通過(guò)高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度（問(wèn)題1），學(xué)生能借助計(jì)算工具計(jì)算運(yùn)動(dòng)員的平均速度，并通過(guò)觀察平均速度在自變量間隔不斷變小的過(guò)程中的變化趨勢(shì)，得出瞬時(shí)速度；結(jié)合拋物線的切線的斜率（問(wèn)題2），觀察從割線過(guò)渡到切線的過(guò)程中，割線斜率在兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)間隔不斷變小的過(guò)程中的變化趨勢(shì)，得出切線的斜率.從而了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.（2）通過(guò)研究從曲線的割線過(guò)渡到切線、從割線斜率過(guò)渡到切線斜率的過(guò)程，能求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率，進(jìn)而求出切線的方程.（3）通過(guò)兩個(gè)實(shí)例研究，能從平均速度的數(shù)值變化和圖像過(guò)某點(diǎn)處的割線斜率的變化趨勢(shì)直觀感知瞬時(shí)速度是平均速度的極限，切線斜率是割線斜率的極限.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析由于學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前沒(méi)有學(xué)習(xí)極限，所以學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程實(shí)際上是學(xué)生體會(huì)極限思想的過(guò)程.因此，如何用平均速度的極限理解瞬時(shí)速度，用割線斜率的極限理解切線的斜率，并由此體會(huì)極限思想，這是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，要突破這個(gè)難得，需要在“高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度”和“拋物線的切線的斜率”這兩個(gè)案例中，讓學(xué)生充分經(jīng)歷由“平均變化率”過(guò)渡到“瞬時(shí)變化率”的過(guò)程，通過(guò)觀察平均速度的數(shù)值變化和圖像過(guò)某點(diǎn)處的割線的變化趨勢(shì)，正確理解平均速度的極限就是瞬時(shí)速度，以及割線的極限位置就是切線，割線斜率的極限就是切線斜率.在此過(guò)程中，幫助學(xué)生正確理解“極限”的含義是建立導(dǎo)數(shù)概念的關(guān)鍵.基于以上分析，本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是：（1）用平均速度的極限理解瞬時(shí)速度；（2）用2割線斜率的極限理解切線的斜率.四、教學(xué)支持條件分析學(xué)生之前沒(méi)有學(xué)過(guò)極限的概念，而導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)便是極限，同時(shí)導(dǎo)數(shù)的表示要借助極限符號(hào)，這些都增加了學(xué)生抽象概括出導(dǎo)數(shù)概念的難度.因此，教學(xué)中要借助信息技術(shù)工具，使學(xué)生通過(guò)列表觀察平均變化率的變化趨勢(shì)，通過(guò)圖像直觀觀察割線變化到切線的過(guò)程，感受“逼近”過(guò)程，以此降低學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)就是極限的認(rèn)知難度.五、教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程第二課時(shí)（一）復(fù)習(xí)引入回顧舊知：上一節(jié)課我們研究了高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度，探究了某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度和某個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度，我們一起來(lái)回顧一下.在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=?4.9t2+4.8t+11.那么（1）在[t0，t0+?t]（或[t0+?t，t0]）這段時(shí)間里的平均速度v=??=?(t0+?t)??(t0)=?4.9?t-9.8t0+4.8?t ?t（2）令?t→0，則在t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0)=limv=lim(?4.9?t?9.8t0+4.8)=?9.8t0+4.8?t→0 ?t→0思考：你能描述一下從平均速度到瞬時(shí)速度的研究過(guò)程嗎？能否總結(jié)一下對(duì)其研究的思想方法。師生活動(dòng)：給出問(wèn)題后，教師引導(dǎo)學(xué)生描述出：首先，求出在[t0，t0+?t]（或[t0+?t，t0]）??=?(t0+?t)??(t0)這段時(shí)間里的平均速度v=，接著，令?t→0，則在t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度?t?tv(t0)=limv.歸納出：經(jīng)歷了用平均速度“逼近”瞬時(shí)速度的過(guò)程，理解瞬時(shí)速度就是平?t→0均速度的極限，回顧并體會(huì)極限思想方法.引入新課：類比上節(jié)課的研究過(guò)程、思想和方法，這節(jié)課我們來(lái)研究拋物線的切線的斜率.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)從平均速度到瞬時(shí)速度的研究過(guò)程、思想方法的回顧，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用類比3的思想方法研究拋物線的切線的斜率問(wèn)題.培養(yǎng)學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).（二）探究新知探究：拋物線的切線的斜率我們知道，如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切.對(duì)于一般的曲線C，如何定義它的切線呢？下面我們以拋物線f(x)=x2為例進(jìn)行研究.問(wèn)題1：你認(rèn)為應(yīng)該如何定義拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0（1,1）處的切線？師生活動(dòng)：（1）給出問(wèn)題后，教師啟發(fā)學(xué)生用研究瞬時(shí)速度的方法類比研究拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0（1,1）處的切線.（2）在點(diǎn)P0（1,1）的附件任取一點(diǎn)p(x,x2)，考查拋物線f(x)=x2的割線P0P的變化情況.觀察思考：如圖1，當(dāng)點(diǎn)p(x,x2)沿著拋物線f(x)=x2趨近于點(diǎn)P0（1,1）時(shí)，割線P0P有什么變化趨勢(shì)？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0（1,1）處的切線.利用信息技術(shù)工具演示圖1中P0P的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)，讓學(xué)生經(jīng)歷由割線過(guò)渡到切線的逼近過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)極限思想.進(jìn)而引出拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0（1,1）處的切線的定義.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷由割線過(guò)渡到切線的逼近的完整過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)極限思想.進(jìn)而引出拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0（1,1）處的切線的定義.通過(guò)具體問(wèn)題的觀察和思考，歸納總結(jié)，4抽象出曲線在某點(diǎn)處切線的概念.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).問(wèn)題2：我們知道，斜率是確定直線的一個(gè)要素.割線的斜率與切線的斜率有什么關(guān)系呢？你能否利用這種關(guān)系求拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0（1,1）處的切線P0T的斜率k0呢？師生活動(dòng)：首先引導(dǎo)學(xué)生回顧上述切線的定義發(fā)現(xiàn)，拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0（1,1）處的切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有內(nèi)在聯(lián)系.記?x=x?1(?x可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為零)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+?x，（1+?x）2）.于是，割線P0P的斜率k=f(x)?f(1)=x?1（1+?x）2?1=?x+2.(1+?x)?1其次引導(dǎo)學(xué)生想象，如果不斷縮短橫坐標(biāo)間隔|?x|，那么割線P0P的斜率k就越來(lái)越趨近于切線P0T的斜率k0.然后讓學(xué)生嘗試?yán)眠@種關(guān)系求切線P0T的斜率k0.（1）教師利用信息技術(shù)工具演示割線的斜率逼近切線的斜率的計(jì)算過(guò)程.（2）學(xué)生利用計(jì)算工具演示（計(jì)算）割線的斜率逼近切線的斜率的計(jì)算過(guò)程.得出表1.1（3）讓學(xué)生觀察上面表1，給出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，教師點(diǎn)評(píng)后總結(jié)出結(jié)論：隨著橫坐標(biāo)間隔|?x|的不斷變小，割線P0P的斜率k越來(lái)越接近于常數(shù)2.追問(wèn)1：給出?x更多的值，利用信息技術(shù)工具計(jì)算更多的割線P0P的斜率k值，當(dāng)?x無(wú)限趨近于0時(shí)，割線P0P的斜率k有什么變化趨勢(shì)？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算（操作）—觀察，進(jìn)而得出結(jié)論：當(dāng)?x無(wú)限趨近于0時(shí)，即5無(wú)論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，割線P0P的斜率k都無(wú)限趨近于2.追問(wèn)2：你認(rèn)為通過(guò)上述列表計(jì)算切線斜率的過(guò)程可靠嗎？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題后讓學(xué)生討論，若干學(xué)生發(fā)言后，教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生的發(fā)言，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，通過(guò)前面計(jì)算的割線斜率的值，盡管我們發(fā)現(xiàn)“隨著橫坐標(biāo)間隔|?x|的不斷變小，割線P0P的斜率k越來(lái)越接近于常數(shù)2”.但這種計(jì)算是有限的，不能斷定割線斜率是否永遠(yuǎn)具有這種特征.因此需要從理性的角度加以“說(shuō)明”.具體如下：因?yàn)閽佄锞€f(x)=x2，所以割線P0P的斜率k=f(1+?x)?f(1)=?x+2?x可以直接看出，當(dāng)?x無(wú)限趨近于0時(shí)，?x+2無(wú)限趨近于2，即割線P0P的斜率k無(wú)限趨近于2.這與前面得到的結(jié)論是一致的.我們把2叫做“當(dāng)?x無(wú)限趨近于0時(shí)，k=f(1+?x)?f(1)的極限”.記為?xlimf(1+?x)?f(1)=2?x→0 ?x從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|?x|無(wú)限變小時(shí)，點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0，于是割線P0P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T.這時(shí)，割線P0P的斜率k無(wú)限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T的斜k0.因此，切線P0T的斜率k0=2.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷用割線斜率“逼近”切線斜率的過(guò)程，了解切線斜率就是割線斜率的極限，由此體會(huì)極限思想.發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng).追問(wèn)3：你能用上述研究的方法，定義拋物線f(x)=x2在點(diǎn)（x0,x02）處的切線嗎？試求拋物f(x)=x2在點(diǎn)（x0,x02）處切線的斜率.師生活動(dòng)：學(xué)生討論后，引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言描述：在點(diǎn)P0(x0，x02)的附近任取點(diǎn)P（x，x2），當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|?x|=|x?x0|無(wú)限變小，即點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P就無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)位置的直線就是拋物線f(x)=x2在點(diǎn)（x0,x02）處的切線.然后讓學(xué)生思考計(jì)算拋物線f(x)=x2在點(diǎn)（x0,x02）處切線的斜率.教師通過(guò)信息技術(shù)平臺(tái)展示學(xué)生的解答過(guò)程并點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)切線斜率的極限表示，教師給出規(guī)范解答：6拋物線f(x)=x2過(guò)點(diǎn)（x0,x02）的割線斜率k=f(x0+?x)?f(x0)，令?x→0，則k=2x0+?x→2?xx0所以，拋物線f(x)=x2在點(diǎn)（x0,x02）處切線的斜率k0= limf(x0+?x)?f(x0)=2x0?x→0 ?x設(shè)計(jì)意圖：將求切線斜率的方法推廣到一般情形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)極限思想及從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，從算法的角度體會(huì)求切線斜率的過(guò)程，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).問(wèn)題3：觀察高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度問(wèn)題中的函數(shù)h(t)=?4.9t2+4.8t+11的圖像（圖2）圖2思考：平均速度v=?(1+?t)??(1)的幾何意義是什么？瞬時(shí)速度v(1)呢？(1+?t)?1師生活動(dòng)：學(xué)生討論后，引導(dǎo)學(xué)生回答：平均速度v=?(1+?t)??(1)的幾何意義為割線AB(1+?t)?1的斜率，瞬時(shí)速度v(1)的幾何意義為函數(shù)h(t)在點(diǎn)A處的切線的斜率.設(shè)計(jì)意圖：研究割線、切線的幾何意義，一方面從形數(shù)結(jié)合的角度，讓學(xué)生理解切線斜率是割線斜率的極限，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法；另一方面為下一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義作鋪墊.（三）學(xué)以致用71.求拋物線f(x)=x2在點(diǎn)（-1,1）處切線的斜率.（教科書(shū)P64練習(xí)1）2.求拋物線f(x)=x2+1在點(diǎn)（0,1）處的切線方程.（教科書(shū)P64練習(xí)2）（四）盤(pán)點(diǎn)收獲基礎(chǔ)知識(shí)：曲線過(guò)某點(diǎn)處割線的斜率，在某點(diǎn)處的切線的斜率；某點(diǎn)處的切線是過(guò)該點(diǎn)的割線的極限位置，切線的斜率是割線斜率的極限.基本技能：會(huì)求曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率.數(shù)學(xué)思想：一是極限思想，經(jīng)歷用割線斜率“逼近”切線斜率的過(guò)程，并由此體會(huì)極限思想；二是從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，這是研究數(shù)學(xué)的基本策略，也是數(shù)學(xué)學(xué)科一般觀念