人教A版數(shù)學(xué)選修1－1練習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2.1

第三章3.2A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．設(shè)y＝e3，則y′等于(C)A．3e2 B．e2C．0 D．以上都不是[解析]∵y＝e3是一個常數(shù)，∴y′＝0.2．(2016·廣西南寧高二檢測)若函數(shù)f(x)＝x2，則f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為(B)A．2x B．2C．3 D．4[解析]f′(x)＝2x，∴f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為f′(1)＝2.3．已知函數(shù)f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則切線有(B)A．1條 B．2條C．3條 D．不確定[解析]∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切點有兩個，即可得切線有兩條．4．給出下列結(jié)論：①若y＝eq\f(1,x3)，則y′＝－eq\f(3,x4)；②若y＝eq\r(3,x)，則y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若y＝eq\f(1,x2)，則y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，則f′(1)＝3，其中正確的個數(shù)是(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]②y′＝eq\f(1,3\r(3,x2))；③y′＝－2x－3，所以只有①④是正確的．5．下列結(jié)論正確的是(A)A．若y＝sinx，則y′＝cosxB．若y＝cosx，則y′＝sinxC．若y＝eq\f(1,x)，則y′＝eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(1,2)eq\r(x)[解析]∵B項中，y′＝－sinx；C項中，y′＝－eq\f(1,x2)；D項中，y′＝eq\f(1,2\r(x))，∴選A．6．(2018·滁州民辦高中檢測)已知函數(shù)h(x)＝eq\f(4,\r(x))，則h′(4)等于(C)A．－eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)[解析]因為h(x)＝eq\f(4,\r(x))＝4x－eq\f(1,2)，所以h′(x)＝4×(－eq\f(1,2))x－eq\s\up7(\f(3,2))，h′(4)＝4×(－eq\f(1,2))×4－eq\s\up7(\f(3,2))＝－eq\f(1,4).故選C．二、填空題7．曲線y＝xn在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為12，則n等于__3___.[解析]y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12，∴n＝3.8．函數(shù)y＝sinπ，則y′＝__0___.[解析]y＝sinπ＝0，∴y′＝0.三、解答題9．(2016·浙江寧波高二月考)求曲線y＝cosx在x＝eq\f(π,6)處的切線方程.[解析]∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.∴曲線y＝cosx在x＝eq\f(π,6)處的切線的斜率k＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2).又當(dāng)x＝eq\f(π,6)時，y＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，故曲線在x＝eq\f(π,6)處的切線方程為y－eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(1,2)(x－eq\f(π,6))，即y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,12).B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．曲線y＝eq\f(1,3)x3在x＝1處切線的傾斜角為(C)A．1 B．－eq\f(π,4)C．eq\f(π,4) D．eq\f(5π,4)[解析]∵y＝eq\f(1,3)x3，∴y′|x＝1＝1，∴切線的傾斜角α滿足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4).2．(2018·西寧市二十一中檢測)設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝(D)A．0 B．1C．2 D．3[解析]∵y＝ax－ln(x＋1)，y′＝a－eq\f(1,x＋1)，由題意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，∴a＝3.3．正弦曲線y＝sinx上切線的斜率等于eq\f(1,2)的點為(D)A．(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))B．(－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))C．(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))D．(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))或(2kπ－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))[解析]設(shè)斜率等于eq\f(1,2)的切線與曲線的切點為P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝eq\f(1,2)，∴x0＝2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－eq\f(π,3)，∴y0＝eq\f(\r(3),2)或－eq\f(\r(3),2).4．函數(shù)y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為(D)A．eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)[解析]∵y′|x＝2＝e2，∴切線方程為y－e2＝e2(x－2)．當(dāng)x＝0時，y＝－e2，當(dāng)y＝0時，x＝1.故切線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為eq\f(1,2)×|－e2|×1＝eq\f(e2,2)，故選D．5．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為(B)A．1 B．2C．－1 D．－2[解析]設(shè)直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)的切點為(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．又y′＝eq\f(1,x＋a)，所以y′|x＝x0＝eq\f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，則x0＝－1，所以a＝2.故選B．二、填空題6．(2015·陜西理)設(shè)曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝eq\f(1,x)(x>0)上點P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為__(1,1)___.[解析]由于(ex)′＝ex，(eq\f(1,x))′＝－eq\f(1,x2)，故曲線y＝ex在點(0,1)處的切線斜率k＝e0＝1，設(shè)P(x0，eq\f(1,x0))，曲線y＝eq\f(1,x)(x>0)上點P處的切線斜率－eq\f(1,x\o\al(2,0))，若兩直線垂直則有1×(－eq\f(1,x\o\al(2,0)))＝－1，解得x0＝1，故P(1,1)．7．(2017·天津文，10)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－lnx的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為__1___.[解析]∵f′(x)＝a－eq\f(1,x)，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切線l的斜率為a－1，且過點(1，a)，∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y軸上的截距為1.三、解答題8．已知曲線C：y＝x3.(1)求曲線C上點(1,1)處的切線方程；(2)在(1)中的切線與曲線C是否還有其他公共點？[解析](1)∵y′＝3x2，∴切線斜率k＝3，∴切線方程y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－2＝0,y＝x3))消去y得，3x－x3－2＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2.∴其他公共點為(－2，－8)．C級能力提高1．在曲線y＝eq\f(4,x2)上求一點P，使得曲線在該點處的切線的傾斜角為135°，則P點坐標(biāo)為__(2,1)___.[解析]設(shè)P(x0，y0)，∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x2)))′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8xeq\o\al(－3,0)＝－1.∴x0＝2，y0＝1.2．已知函數(shù)y＝asinx＋b的圖象過點A(0,0)、B(eq\f(3π,2)，－1)，試求函數(shù)在原點處的切線方程.[解析]∵y＝asinx＋