【變量代換在數(shù)學探析中的應用探究4700字（論文）】

變量代換在數(shù)學分析中的應用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u11474變量代換在數(shù)學分析中的應用研究 1166961引言 1267102變量代換概述 282512.1變量代換法的定義 287712.2變量代換法的意義 2191242.3變量代換的分類 36923用變量代換計算極限 3204664用變量代換來計算積分 6115014.1變量代換在第一類換元積分中的應用 667974.4變量代換在不定積分中的應用 830495變量代換在多元函數(shù)微分中的應用 10290076總結 117197參考文獻 12摘要：變量代換在很多數(shù)學問題中都有應用，涵蓋了高數(shù)中的很多內容，例如變量代換可以應用在高等數(shù)學中的函數(shù)、微分、極限和積分等數(shù)學問題中，掌握這種數(shù)學方法是非常重要且必須的.在這篇文章中討論了變量代換法在一些常見數(shù)學問題中的應用及一般計算方法，為更好的理解和學習變量代換法提供一些參考.關鍵詞：極限；積分；變量代換；求導1引言變量代換法的核心部分就是將難以解決的問題轉化成容易解決的問題.因其具有非常靈活及多樣的特性，因此對于變量代換的應用可以簡單也可以復雜，只要適合用這種解題方法就會大大提高計算的效率.其實變量代換也不是任意隨便的替換掉式子中的內容，而是如果不代換掉沒辦法快速的解決問題，且代換的部分可以看做一個有機的整體，才將其進行代換掉，否則就沒有代換掉的意義，也達不到代換掉的效果，一般是用一個簡單的變量來代換掉某個復雜式子中的繁瑣部分，在高中階段其實已經(jīng)有接觸和使用變量代換法，高中階段稱為換元法，換元法即把某部分內容用其他數(shù)值代換，其實核心就是對于新元的構建和設置，即重新設置及構建一個變量，但是須注意的是代換必須是等量才可以代換，即使是不同的對象但是必須等量，即把復雜的代數(shù)式轉化成簡單的代數(shù)式，也可以理解為把問題從原本的繁瑣對象轉換成新的簡單對象再進行計算.這樣做的好處就是讓復雜的問題變得簡單容易處理，提高效率，把得到的代數(shù)式變得更加的標準化，如果不用變量代換是很難達到這樣一個效果的.本篇文章將變量代換的基本原理，基礎，運用方法，一般應用范圍等多個方面進行闡述研究，將變量代換的核心思想理念及靈活應用方法技巧進行總結運用，為更多人學習理解變量代換法提供方向及學習技巧，帶來整個思想上的啟發(fā)，其次將變量代換法用于解決一些比較抽象難以理解的相關題目提高學生的思維廣度，減輕學生學習高等數(shù)學的壓力，不斷提高其解題的速度及解題技巧能力，例如將變量代換的方法運用于計算極限和積分，也讓學生學會將變量代換這種思維方法運用到數(shù)學以外的其他領域，提高個人的學習及解決問題的能力.2變量代換概述2.1變量代換法的定義變量代換顧名思義即把某些結構較為復雜的部分引入一些新的變量將其進行替換，一般運用于繁瑣、復雜、抽象的數(shù)學相關問題，之所以進行替換是因為原來的結構太過于復雜不利于計算，只有經(jīng)過替換才能將原來的復雜問題簡單化，這樣可以減輕解決問題的工作量及難度，其實變量代換的數(shù)學思想運用很廣泛，只是應用在不同的數(shù)學領域有不同的定義【1】.2.2變量代換法的意義變量代換是一種十分受數(shù)學學習研究者歡迎和喜愛的數(shù)學解題方法，應用相當廣泛，只要滿足一定條件就可以使用，可以很明顯的降低解題難度，提高解題效率，尤其是遇到一些復雜的不等式題目如果不用這種解題方法可能耗費大量時間也不一定解決好，但是要注意的是有必要使用變量代換的時候才用，否則就不能達到簡化解題的目的，運用變量代換方法之后可以將題目中隱含的條件體現(xiàn)出來，能夠提供更多的解題思路，提高解題準確度及解題速度，例如在解決不等式相關數(shù)學問題時，為了讓復雜的三角函數(shù)問題更好理解及計算簡單，一般采用增量代換及三角代換方法，又比如倒數(shù)代換這種方法是解決極限問題的最好幫手，能夠讓求解的過程變得容易許多，其次在一重、二重、三重積分中變量代換都是其題目解決的最常用方法，無論是稍微復雜的問題還是非常復雜的數(shù)學問題只要方法得當就可以大大提高其計算效率，變量代換這一重要數(shù)學方法在整個數(shù)學問題的解決中有著非常重要的地位【2】.2.3變量代換的分類按照變量代換的具體代換量大小多少以及整體局部的關系，一般可以分為局部部分代換法（常見的有整體中難以運算的一部分進行代換）、整體代換法（例如可以看做一個有機整體的函數(shù)進行全部代換）、分式代換（一般是將已經(jīng)設置好的未知量代換掉原來復雜的分式，可以讓題目簡單化）、三角代換（把復雜式子中的三角函數(shù)用設定好的未知數(shù)進行快速代換）、增量代換法（把原來的增量式子用未知數(shù)進行代換），通常是有以上幾種類型，不過在解決具體題目時還是需要靈活判斷及應用，才能達到提高解題效率的最終目的【3】.3用變量代換計算極限3.1用變量代換來求函數(shù)的極限定義1假設，其中，.如果，，，，.有.證因為，，，時，則有，，，時，，，則令，，當，則有則，得證例1試計算：解令，，此時可得，.由于是定義在上的連續(xù)函數(shù)，則，，綜上所述，定義2假設，令，.如果，.證因為，，時，則因為，，時，則，，，，則，，得證.例2試計算.解假設，，此時存在，由于函數(shù)在定義域內是連續(xù)的，因此綜上所述，.例3試計算.解假設，而，此時可以得到：，結合上述假設可知，定義3假設，令，，如果：，，那么，當，的時候，.此時有：證因為，，，時，則，，，，則有，，，令，，則，，可得，即得證.例4請嘗試計算解假設，，此時，，，由于函數(shù)在定義域內是連續(xù)的，當，時，由于，此時可得，.3.2用根式代換來求極限在解含根式的極限時，可以簡單的運用根式來進行代換，然后再消去根號對其進行下一步的求解.例5試計算.解令，，當時，有，此時有例6試計算.解設，，時，則4用變量代換來計算積分4.1變量代換在第一類換元積分中的應用計算某些復雜函數(shù)積分的時候，可以把原函數(shù)先拆分成復合函數(shù)，然后利用變量代換進行下一步的求解.例7試計算.解假設，，因為，，因此可知：，此時將代入上述算式，可得：例8試計算.解，假設，此時當把代入上述式子時，可得：4.2變量代換在含有指數(shù)的積分中的應用當在積分中存在指數(shù)或等形式時，這時便可以利用簡單的指數(shù)代換，用以消掉指數(shù)或等形式，之后便可進行下一步求解.例9試計算.解令，由于，此時有例10試計算.解令，因此，，此時，注意在對不定積分進行計算時，一定不能忘了要加上常數(shù).4.3變量代換在定積分中的應用在對不定積分進行計算時，可以利用變量代換來求解.同樣，在對定積分進行計算時，也是適用的.如果想要得到變量代換在定積分中的應用，那么則需要對變量代換在不定積分中的應用具有一定了解【3】.例11試計算.解令，因此，，此時，由此可知，例12試計算.解由于上式中存在著，這時，令，因此，由于，，因此，4.4變量代換在不定積分中的應用如果復雜，而可以看成是，則可以令=u，原式則可以轉化為，如果容易計算，求出積分以后，再將u換回，則問題得到解決.例13求解.分析：首先仔細分析可以看出，則可以從這個方面入手進行計算.解首先可以令，原式則變成，此時則很容易計算出結果.原式==令，其中單調可導，連續(xù)，0，可得上式為，若t的積分易算出，求出后再將t換成x則可.例14求解.解為了消除兩個根式，我們可以令，就可以達到這個目的，此時將原式化為：進行完這種轉化以后，消除t，則積分過程變?yōu)槌Ｒ?guī)積分過程，積分簡單.例15求解.解這個題中含有如上所說的，所以可以令x=asint，原式可以轉化為：得到這個式子以后就可以就變成常規(guī)的三角函數(shù)的積分.若式子中含有，還可以利用，則令x=acht化去根式；若式子中含有，令x=asht，變成簡的單積分函數(shù).例16求解.解根據(jù)上文中的分析，首先令，則原式可以轉化為：若式子中含有或以及分母中含有x的冪，設消去根式得到關于t的有理式.例17求解.解可以令，則此時原式可以化為：此時只要圍繞進行積分，便可以運用常規(guī)方法進行積分.對于三角函數(shù)有理式的積分，較為復雜，但是sinx，cosx與有關系，，，假設，則，，，原積分就可以化為關于t的有理函數(shù)的積分.例18求解.解可以令，原式可以化為，此時只需要圍繞t+2進行積分即可，積分難度大大降低.有些題目沒有上文中提到的所有方法的一般規(guī)律，不容易直接積分，可以按照第二換元法的思想選擇作一變量代換，使被積函數(shù)形式關于新變量而言易于積分【4】.例19求解.解通過觀察可以發(fā)現(xiàn)lnx的特點，可以令=t，原式可以變?yōu)椋捍藭r只需要針對t進行積分即可，問題順利得到解決.5變量代換在多元函數(shù)微分中的應用 5.1變量代換求解多元函數(shù)的極限在對多元函數(shù)進行求解時，若存在這一形式，那么便可以利用極坐標代換的方法來把原式化簡，再進行下一步的求解【5】.例20試計算.解令，，當時，可得因此，.例21試計算.解令，當，=時，可得5.2變量代換求多元復合函數(shù)的導數(shù)若為上二元函數(shù)，且在點處能夠偏導，當在點可微時，存在以下求導公式：、對上述公式，我們稱為鏈式法則.例22試計算的偏導.解令，，，此時有：例23試求的偏導.解令，，，此時可得：6總結通過上面多個變量代換思想方法在不同類型數(shù)學問題中的具體應用可以發(fā)現(xiàn)變量代換數(shù)學思想方法在數(shù)學的很多領域都有涉及及其應用，尤其是高等數(shù)學中的大多數(shù)數(shù)學問題的解決都離不開變量代換思想的應用，但是這一數(shù)學思想方法的應用核心是必須理解其在變化中求具體問題的解，這種方法可以激發(fā)人們尋找問題答案是思考角度、途徑及具體可行方法，但是這種方法也不是萬能的，必須要在某些特定的題目中滿足特定條件才可以使用，且具體題目應用的變量代換也不是固定不變唯一的，最正確的做法是先確定所有可以使用的代換方法，然后在這些方法中選擇最合適最高效的才去解決這個問題.如果要熟練掌握變量代換方法的技巧及特點，就必須做大量的題目且不斷熟練總結，這樣可以確保自己能夠熟練高效的運用等量代換方法解決大多數(shù)的數(shù)學難題.不難發(fā)現(xiàn)變量代換思想在數(shù)學學習中的廣度及深度，這些都是變量代換在數(shù)學中具有很高地位的原因，尤其是在高數(shù)學習中，這種數(shù)學方法必須學懂、學透、能夠熟練靈活的應用，達到這樣的效果對于提高數(shù)學的解題速度及解題準確度都是輕而易舉的.變量代換思想在數(shù)學中之所以有很重要的地位及重要的意義是因為其應用的廣泛性及大大提高學習者對于原本問題的理解及計算的效率，但是在運用等量代換時還是有很多細節(jié)需要注意，嚴格區(qū)分，等量代換也包括簡單初步的學習理解及應用，也包括復雜抽象的理解及應用，只有將初步簡單的原理及應用完全掌握才能更好的學習更多的關于變量代換的知識.其次必須多做相關題目勤加練習才能熟練掌握其精髓及技巧，也能夠有效擺脫很多學生生搬硬套及難以靈活高效應用此方法的問題，應該達到看到題目快速判斷出相應的解決方法的能力，其次需要注意，和做任何數(shù)學題目一樣必須認真，嚴謹，才不會出現(xiàn)因為疏忽大意因小失大的問題，比如在對不定積分進行求解時，很多同學總會將常數(shù)C忽略.其次不能對等量代換方法進行誤解及復雜理解，必須加深其基本原理的理解及靈活應用，其次在變量代換時一定要準確判斷要代替的部分，多思考一會，考慮清楚不要出現(xiàn)代換錯誤讓整個過程變得更加復雜的情況.參考文獻[1]黃明清.重視變量代換方法[J].成都教育學院學報，2006，6：[2]蔣百華.淺談變量代換法在高等數(shù)學中的應用[J].教育與教學學報，2012，10：[3]李金霞.變量代換法在高等數(shù)學中應用探討[J].科技創(chuàng)新導報，2008，3：[4]劉顯鳳.變量代換法在高等數(shù)學中應用[J].科技信息報，2010，15：[5]林見松.高等數(shù)學中求函數(shù)極限的若干方法舉例探析[J].科技創(chuàng)