高等數(shù)學練習冊 上（答案）周筱潔

PAGE001PAGE001PAGE002PAGE002參考答案基礎過關

1 實數(shù)集與函數(shù)+π.2 42+2. xx∈+∞.2+2∈. ∈π.221.+2, ,

, ,=, =, ,0 1 | , ,作圖略.

1

e .0;2=1wx;5ww2.;-ππ.略.222V=32·22證明略.證明略提示可用反證法]證明略提示f1=cf1能力拓展

x x x ...n= x .證明略.延伸探究1.

x-1

22 極限的概念和運算法則1數(shù)列的極限2函數(shù)極限的定義和基本性質基礎過關.1N2N3N.不可以.證明略.和.無關無關.m≠m或-和+至少有一個不存在.不存在.證明略提示mmx→-2能力拓展

x

x .證明略.證明略提示n]證明略提示n]證明略.延伸探究證明略.3無窮小量與無窮大量4極限的四則運算5復合函數(shù)的極限、曲線的漸近線基礎過關①②⑥⑦⑨④⑤③⑧⑩.④⑤⑦①②③⑥⑧⑨⑩2..3+∞.1..3 2 2+∞或+p;p為一切實數(shù).2=.+π.2能力拓展

..m..m2…n=xn→∞

∞, 1或,, =.2=-1.函數(shù)x在區(qū)間-∞+∞內無界但不是→+∞時的無窮大量.2延伸探究不一定成立提示1111…1,1211…1,1…234 n

34 n

n+1321…1,1f…1,1…4 nn 3 極限的計算基礎過關

收斂準則 兩個重要極限2..-.25)1.mnnn=,,)2....5)1.mnnn=,,3

,.→∞略提示單調有界準則]n=b→∞能力拓展.!<1.() n

k·k…k·k·…·k·k≤k·k…k·k+..

n n

2=1

k

n

1 2k n延伸探究證明略提示∵=2<ba∴11,2 2同理12212332.假設1nn1則n=2<nnnnnn,2 2nnnn所以bb1a1annnn基礎過關

無窮小的比較 等價無窮小替換..-1.-1..2 6.m x .=2..x+x→+x+能力拓展6 b延伸探究1.e基礎過關

4 函數(shù)的連續(xù)性0為第一類可去間斷點補充定義略=1為第二類無窮間斷點.為第二類振蕩間斷點.0為第一類可去間斷點補充定義略1為第二類無窮間斷點.0為第一類可去間斷點補充定義略=…為第二類無窮間斷點.20...=,在-∞20略.證明略提示令F-]能力拓展.證明略提示令FmF=-∞mF=+∞]x→-∞ →∞證明略提示0]n→∞延伸探究證明略提示令Ff+1

則F在1上連續(xù)應用最值定理和介值定理證明.

2

2n令Ff+n

則F在上連續(xù),nFf1F1f1f2…Ffnn n應用最值定理和介值定理證明1 導數(shù)的概念基礎過關

導數(shù)的定義與性質...1.!.-3.()1-5

221

2-1

x()5

() 2

6.2

2x2+2.x.

4)..x2.= π .2·2

21-x2

2()7-1

()x

()x

s· 2 ·8x8.9- 1 .02xx.在0處連續(xù)且可導.在0處連續(xù)但不可導.證明略...證明略提示1h

h

h能力拓展

h

7..-1..=.7延伸探究.1 導數(shù)的概念 2 導數(shù)的計算基礎過關

函數(shù)的求導法則和公式 1高階導數(shù)2 1 1

nx.-3.-x.nxsx.)

2.4-x2x x x x .) .- .2·n1

2x·xa1a11xx·2.x

x6

3x.n))22...122.2.t.!+n.n! 1 - 1 .32n·π.2

1

1能力拓展1

n·x·

π 2)..2e+4.222.延伸探究2=f) , n為偶數(shù),1!2=2 導數(shù)的計算2隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)基礎過關.23.x·sx-1·x·sx)2

32+1-1 -2 .x 2xx)y.-..1.1.x能力拓展-)..z

z

1 2=1.3延伸探究2-2.

x0

20e e770080083 函數(shù)的微分 導數(shù)的概念(續(xù))基礎過關..2..x.22.1.3 3) 0C;)2C;C;-C;C;2 ω-xC;2xC;)C;2 3)2C上述C均為任意常數(shù))=;==;結論當x愈小二者愈近似......x-y能力拓展

x==, ..

2202 ,x0延伸探究證明略提示利用二階導數(shù)的定義可得22|022|0 2 x 2 x 基礎過關

1 中值定理及其簡單應用..=.=1.3 2證明略提示令F利用羅爾定理]證明略提示令F利用零點定理和羅爾定理]證明略提示利用拉格朗日中值定理的推論]證明略提示-nx2利用拉格朗日中值定理的推論]2 證明略提示令F利用拉格朗日中值定理]能力拓展.證明略提示令利用介值定理證明略提示對上述的用兩次羅爾定理]證明略提示F利用羅爾定理]證明略提示分別對F和Gx利用拉格朗日中值定理]延伸探究證明略提示對x利用柯西中值定理和拉格朗日中值定理]2 未定式的極限 泰勒公式基礎過關..)1.∞.....)1.)1.6 2 24.)1...4.n·n.=23+4.=-++2+…+xn+-x1ξ介于1與x之間.能力拓展-e.2n..)1.-1..2延伸探究

3 2 2證明略提示在x處的二階泰勒展開式中分別取x1與x分別將上面兩式相減和相加]3 函數(shù)的性態(tài)函數(shù)的單調性與極值基礎過關.單調增區(qū)間-∞+∞單調減區(qū)間.)單調增區(qū)間:1+∞單調減區(qū)間1.2 2證明略提示令∈利用單調性證明]99010010證明略提示令利用單調性證明]極小值=8極大值.極小值=-1極大值.3 2.2個.駐點極小值.2單調增區(qū)間-∞+∞單調減區(qū)間極小值f=π極大值:24π有兩條斜漸近線x和.4證明略提示令F利用單調性證明]體積最大值為3.x 1能力拓展.證明略.證明略.距點C42m時射門最好.延伸探究→∞最小值;n→∞曲線的凹凸性、函數(shù)圖形的描繪基礎過關.凹區(qū)間和+∞凸區(qū)間-∞拐點.垂直漸近線斜漸近線..提示令n.略.略.能力拓展...極小值極大值凹區(qū)間+∞凸區(qū)間-∞拐點.略.延伸探究32 323a+b2.1 不定積分的基本概念基礎過關nC.-sC.-xC.)C.-nC.-sC.-xC.)C.. x C. 23 3 5x 3 2 2 33.x.2C.-3C.-5 2xC.C.3C.

332.證明略提示求導驗證]2.2能力拓展

xC, x<,() 2xC0≤x≤1.32.fxx=2 , ,2+1C,x>. 22 不定積分的換元法和分部積分法基礎過關

不定積分的換元法3①FC;②F3C;③F1C;④F(xC;3⑤FC;⑥FxC;⑦FC;⑧FC;⑨FC;⑩FC;FC;FC;F(2C.-325C.nxC.2xC.)-325C.nxC.2xC.2 2 4

2

40 x3)2C.xC.xC.)12C.-x2C.2)2C.)2C.

n)2 2 4 2)-C.t+C.4 4 2ω)C.)C.xC.2 2C.8 6 2-+C.)+C.5 3 7 9-+C.C.2C.2 4 x110120123xC.C.3x C.(4

- 4

C.+8-x8

2C.1-x2

+x2

1+x

x+4

(nx2C.)2s3C.x C.||-2C.C.nx

x2+1C.x xx+2+C.2)2 2)+2C.)+1)2C.3 8 3 4)++C.2 2xxC.能力拓展-C.-2+C.n2C.4 2 62xnxC.延伸探究x+1

-nx+x

C..x

C.2 2 4

x-

x基礎過關

不定積分的分部積分法2C.-2C.xxC.xxC.C.24 8 x22C.x(xC.-2-12C.2 22+222+2C.+當0時原式C當220時原式x+-x-+C.xC.2 5 0+1C.2 4C.能力拓展2xnxx2x4xC..1

xxC..x

C.k2+1C0<x<.C0<x<

1+x證明略提示n=利用分部積分公式]延伸探究1C2Cn1x

2….1sx13 特殊類型函數(shù)的不定積分基礎過關)nx-C.-2+C.4 2 2 3-9C.) x7- x8+ x9C.9 -) -) -)--1 +2C.-1C.2 )4 x1C或+ 2xC或π-xC.n2 4 2n2x3n2x+nnxC或nnx.2 2 3 3 2

3 3 2)nnx-1nx2C.2 2 4 21 x 1

nx-n

3C.)n

2C.x2xC.2nxnx-xC或-2C.2能力拓展

+

|+3C.-xxxC.3 2-3·31C.2 PAGE013PAGE013PAGE014PAGE014延伸探究-n21

+12C. 4 23 1 定積分的概念與性質 2 微積分學基本定理基礎過關....f)1b.x4x.fb-aa)1..x-2.2 x π3.)π3.

)π..<.≥.≤.-1x≤2.440..-1.證明略.4-4....4403 3 3 3 2證明略.單調遞減區(qū)間-∞單調遞增區(qū)間+∞極小值Φ.yx.y.xy x+3, , +F=3-2,.

=12

π

1-x2. 3能力拓展2..1.2單調遞減區(qū)間2單調遞增區(qū)間2極小值=1-2凹區(qū)間.證明略.

2

2

2 3 621=23=1.2證明略提示對在11上分別利用羅爾定理延伸探究略.

2

2 3 定積分的換元法和分部積分法基礎過關..)π..8.2 65)π.)4.)π.2...2.2 5 2 6)1..1.)5.2 221.1..證明略.)π-1.2 2 8 4能力拓展.-1.T.證明略.2. x 2.2延伸探究證明略.基礎過關

2 44 定積分的應用

x 2+4-4..2...2.3.3 3 8 7 5343.43能力拓展a+3a..2.)π.V2.3 22 3

2延伸探究5=V=.證明略.5基礎過關

5 反常積分)1...)8.2 3)2.)π.發(fā)散.)8.5 2 3能力拓展)2.).π.=-π.π π 2 2延伸探究≤..

自測題一(函數(shù)與極限)一二2.-1..1.4.4 81 )三...).→∞四證明略提示單調有界定理]n→∞在-∞+∞內都是連續(xù)的=1是跳躍間斷點.證明略提示令f-1-1利用零點定理33 自測題二(導數(shù)與微分)一二1!..1.n!..2 1bxabx三.!.axbaxbnaa.bxabx.1

xx·2+1x.x x 8四.在區(qū)間-∞+∞內連續(xù)且可導在0處不連續(xù).證明略.自測題三(中值定理和導數(shù)的應用)一二.3條.極大值+π…極小值-+π….2 4 2 466.1.=4=-1.8 3 3三、 1 1 1 -