全國版2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章立體幾何第5講空間角與距離空間向量及應(yīng)用試題2理含解析

第第頁第八章立體幾何第五講空間角與距離、空間向量及應(yīng)用1.[2024湖北部分重點中學(xué)高三測試]如圖8-5-1,E,F分別是三棱錐P-ABC的棱AP,BC的中點,PC=10,AB=6,EF=7,則異面直線AB與PC所成的角為()圖8-5-1A.30° B.60°C.120° D.150°2.[2024湖南長沙市長郡中學(xué)模擬]圖8-5-2中的三個正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均為所在棱的中點,過E,F,G作正方體的截面.下列各選項中,關(guān)于直線BD1與平面EFG的位置關(guān)系描述正確的是()A.BD1∥平面EFG的有且只有①,BD1⊥平面EFG的有且只有②③B.BD1∥平面EFG的有且只有②,BD1⊥平面EFG的有且只有①C.BD1∥平面EFG的有且只有①,BD1⊥平面EFG的有且只有②D.BD1∥平面EFG的有且只有②,BD1⊥平面EFG的有且只有③3.[2024安徽宣城模擬]如圖8-5-3,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點,M為棱A1B1上一點,且A1M=λ(0<λ<2),設(shè)N為線段ME的中點,則點N到平面D1EF的距離為()A.3λ B.255 C.23λ4.[2024吉林長春質(zhì)量監(jiān)測][雙空題]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,M,N,E,F分別是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中點,則過EF且與MN平行的平面截正方體所得截面的面積為,CE和該截面所成角的正弦值為.

5.[2024廣州市階段模擬]如圖8-5-4,在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD為菱形,BE⊥平面ABCD,G為AC與BD的交點.(1)證明:平面AEC⊥平面BED.(2)若∠BAD=60°,AE⊥EC,求直線EG與平面EDC所成角的正弦值.6.[2024晉南中學(xué)聯(lián)考]如圖8-5-5,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD為等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD,PA⊥PD,∠PAD=60°,Q為PD的中點.(1)證明:CQ∥平面PAB.(2)求二面角P-AQ-C的余弦值.圖8-5-57.[2024湖南六校聯(lián)考]如圖8-5-6,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=2a,點E是SD上的點,且DE=λa(0<λ≤2).(1)求證:對隨意的λ∈(0,2],都有AC⊥BE.(2)設(shè)二面角C-AE-D的大小為θ,直線BE與平面ABCD所成的角為φ,若sinφ=cosθ,求λ的值.圖8-5-68.[2024福建五校聯(lián)考]圖8-5-7是一個半圓柱與多面體ABB1A1C構(gòu)成的幾何體,平面ABC與半圓柱的下底面共面,且AC⊥BC,P為B1A1上的動點(不與B1,A(1)證明:PA1⊥平面PBB1.(2)若四邊形ABB1A1為正方形,且AC=BC,∠PB1A1=π4,求二面角P-A1B1-C的余弦值圖8-5-79.[2024全國卷Ⅱ,20,12分][理]如圖8-5-8,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點,P為AM上一點,過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.10.[2024黑龍江省六校聯(lián)考]如圖8-5-9,正方形ABCD和ABEF所在的平面相互垂直,且邊長都是1,M,N,G分別為線段AC,BF,AB上的動點,且CM=BN,AF∥平面MNG,記BG=a(0<a<1).(1)證明:MG⊥平面ABEF.(2)當(dāng)MN的長度最小時,求二面角A-MN-B的余弦值.圖8-5-911.[2024蓉城名校聯(lián)考]如圖8-5-10(1),AD是△BCD中BC邊上的高,且AB=2AD=2AC,將△BCD沿AD翻折,使得平面ACD⊥平面ABD,如圖8-5-10(2)所示.(1)求證:AB⊥CD.(2)在圖8-5-10(2)中,E是BD上一點,連接AE,CE,當(dāng)AE與底面ABC所成角的正切值為12時,求直線AE與平面BCE所成角的正弦值12.[2024洛陽市聯(lián)考]如圖8-5-11,底面ABCD是邊長為3的正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,AF∥DE,AD⊥DE,AF=26,DE=36.(1)求證:平面ACE⊥平面BED.(2)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值.(3)在線段AF上是否存在點M,使得二面角M-BE-D的大小為60°?若存在,求出AMAF的值;若不存在,請說明理由圖8-5-1113.如圖8-5-12,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,平面α經(jīng)過棱PC的中點E,與棱PB,AC分別交于點F,D,且BC∥平面α,PA∥平面α.(1)證明:AB⊥平面α.(2)若AB=BC=PA=2,點M在直線EF上,求平面MAC與平面PBC所成銳二面角的余弦值的最大值.圖8-5-1214.[2024安徽江淮十校第一次聯(lián)考]如圖8-5-13(1),已知圓O的直徑AB的長為2,上半圓弧上有一點C,∠COB=60°,點P是弧AC上的動點,點D是下半圓弧的中點.現(xiàn)以AB為折痕,使下半圓所在的平面垂直于上半圓所在的平面,連接PO,PD,PC,CD,如圖8-5-13(2)所示.(1)當(dāng)AB∥平面PCD時,求PC的長;(2)當(dāng)三棱錐P-COD體積最大時,求二面角D-PC-O的余弦值.答案第五講空間角與距離、空間向量及應(yīng)用1.B如圖D8-5-8,取AC的中點D,連接DE,DF,因為D,E,F分別為AC,PA,BC的中點,所以DF∥AB,DF=12AB,DE∥PC,DE=12PC,所以∠EDF或其補(bǔ)角為異面直線PC與AB所成的角.因為PC=10,AB=6,所以在△DEF中,DE=5,DF=3,EF=7,由余弦定理得cos∠EDF=DE2+DF2-EF2圖D8-5-82.A對于題圖①,連接BD,因為E,F,G均為所在棱的中點,所以BD∥GE,DD1∥EF,又BD?平面EFG,DD1?平面EFG,從而可得BD∥平面EFG,DD1∥平面EFG,又BD∩DD1=D,所以平面BDD1∥平面EFG,所以BD1∥平面EFG.對于題圖②,連接DB,DA1,設(shè)正方體的棱長為1,因為E,F,G均為所在棱的中點,所以BD1·GE=(DD1-DB)·(12DA1)=12(D即BD1⊥EG.連接DC1,則BD1·EF=(DD1-DB)·(12DC1)=12(DD1·D又EG∩EF=E,所以BD1⊥平面EFG.對于題圖③,設(shè)正方體的棱長為1,連接DB,DG,因為E,F,G均為所在棱的中點,所以BD1·EG=(DD1-DB)·(DG-DE)=(DD1-DB)·(即BD1⊥EG.連接AF,則BD1·EF=(DD1-DB)·(AF-AE)=(DD1-DB)·(DD即BD1⊥EF.又EG∩EF=E,所以BD1⊥平面EFG.故選A.3.D以D為坐標(biāo)原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立如圖D8-5-9所示的空間直角坐標(biāo)系,則M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),ED1=(-2,0,1),EF=(0,2,0),EM=(0,λ設(shè)平面D1EF的法向量為n=(x,y,z),則n·ED1=-2x+z=0,則點M到平面D1EF的距離d=|EM因為N為線段EM的中點,所以點N到平面D1EF的距離為d2=4.221010如圖D8-5-10,正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)CD,BC的中點分別為H,G,連接HE,HG,GE,HF,ME,圖D8-5-10易知ME∥NH,ME=NH,所以四邊形MEHN是平行四邊形,所以MN∥HE.因為MN?平面EFHG,HE?平面EFHG,所以MN∥平面EFHG,所以過EF且與MN平行的平面為平面EFHG,易知平面EFHG截正方體所得截面為矩形EFHG,EF=2,FH=2,所以截面EFHG的面積為2×2=22.連接AC,交HG于點I,易知CI⊥HG,平面EFHG⊥平面ABCD,平面EFHG∩平面ABCD=HG,所以CI⊥平面EFHG,連接EI,因為EI?平面EFHG,所以CI⊥EI,所以∠CEI為直線CE和截面EFHG所成的角.在Rt△CIE中,易知CE=1+22=5,CI=14AC=25.(1)因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.因為BE⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以AC⊥BE.又BE∩BD=B,所以AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)解法一設(shè)AB=1,在菱形ABCD中,由∠BAD=60°,可得AG=GC=32,BG=GD=1因為AE⊥EC,所以在Rt△AEC中可得EG=AG=32由BE⊥平面ABCD,得△EBG為直角三角形,則EG2=BE2+BG2,得BE=22如圖D8-5-11,過點G作直線Gz∥BE,因為BE⊥平面ABCD,所以Gz⊥平面ABCD,又AC⊥BD,所以建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.G(0,0,0),C(0,32,0),D(-12,0,0),E(12所以GE=(12,0,22),DE=(1,0,22),CE=(12,-3設(shè)平面EDC的法向量為n=(x,y,z),由DE·n取x=1,則z=-2,y=-33所以平面EDC的一個法向量為n=(1,-33,-2)設(shè)直線EG與平面EDC所成的角為θ,則sinθ=|cos<GE,n>|=|12+0-11所以直線EG與平面EDC所成角的正弦值為1010解法二設(shè)BG=1,則GD=1,AB=2,AG=3.設(shè)點G到平面EDC的距離為h,EG與平面EDC所成角的大小為θ.因為AC⊥平面EBD,EG?平面EBD,所以AC⊥EG.因為AE⊥EC,所以△AEC為等腰直角三角形.因為AC=2AG=23,所以AE=EC=6,EG=AG=3.因為AB=BD=2,所以Rt△EAB≌Rt△EDB,所以EA=ED=6.在△EDC中,ED=EC=6,DC=2,則S△EDC=5.在Rt△EAB中,BE=EAVE-GDC=13BE·12S△CBD=16×2×S△ABD由VG-EDC=13h·5=VE-GDC=66,得h=所以sinθ=hEG所以直線EG與平面EDC所成角的正弦值為1010解法三如圖D8-5-12,以點B為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz.不妨設(shè)AB=2,在菱形ABCD中,由∠BAD=60°,可得AG=GC=3,BG=GD=1.因為AE⊥EC,所以在Rt△AEC中可得EG=AG=3.由BE⊥平面ABCD,得△EBG為直角三角形,則EG2=BE2+BG2,得BE=2.則C(2,0,0),E(0,0,2),D(1,3,0),G(12,3所以EG=(12,32,-2),ED=(1,3,-2),EC=(2,0,-2設(shè)平面EDC的法向量為n=(x,y,z),則n·ED令x=3,則z=6,y=1.所以平面EDC的一個法向量為n=(3,1,6).設(shè)EG與平面EDC所成的角為θ,則sinθ=|cos<EG,n>|=|3所以直線EG與平面EDC所成角的正弦值為10106.(1)如圖D8-5-13,取PA的中點N,連接QN,BN.圖D8-5-13∵Q,N分別是PD,PA的中點,∴QN∥AD,且QN=12∵PA⊥PD,∠PAD=60°,∴PA=12AD又PA=BC,∴BC=12AD,∴QN=BC又AD∥BC,∴QN∥BC,∴四邊形BCQN為平行四邊形,∴BN∥CQ.又BN?平面PAB,CQ?平面PAB,∴CQ∥平面PAB.(2)在圖D8-5-13的基礎(chǔ)上,取AD的中點M,連接BM,PM,取AM的中點O,連接BO,PO,如圖D8-5-14.圖D8-5-14設(shè)PA=2,由(1)得PA=AM=PM=2,∴△APM為等邊三角形,∴PO⊥AM,同理BO⊥AM.∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,∴PO⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)B,OD,OP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0,-1,0),C(3,2,0),P(0,0,3),Q(0,32,3∴AC=(3,3,0),AQ=(0,52,3設(shè)平面ACQ的法向量為m=(x,y,z),則m取y=-3,得m=(3,-3,5)是平面ACQ的一個法向量,又平面PAQ的一個法向量為n=(1,0,0),∴cos<m,n>=m·由圖得二面角P-AQ-C的平面角為鈍角,∴二面角P-AQ-C的余弦值為-3377.(1)由題意SD⊥平面ABCD,AD⊥DC,圖D8-5-15以D為原點,DA,DC,DS的方向分別作為x,y,z軸的正方向建立如圖D8-5-15所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),E(0,0,λa),∴AC=(-2a,2a,0),BE=(-2a,-2a,λa),∴AC·BE=2a2-2a2+0×λa=0,即AC⊥BE.(2)解法一由(1)得EA=(2a,0,-λa),EC=(0,2a,-λa),BE=(-2a,-2a,λa).設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則由n⊥EA,n⊥EC得n·EA取z=2,得n=(λ,λ,2)為平面ACE的一個法向量,易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為DS=(0,0,2a)與DC=(0,2a,0),∴sinφ=|DS·BE||DS|·|BE|=λλ2由sinφ=cosθ得λλ2+4=又λ∈(0,2],∴λ=2.解法二如圖D8-5-16,連接BD,由SD⊥平面ABCD知,∠DBE=φ.圖D8-5-16由(1)易知CD⊥平面SAD.過點D作DF⊥AE于點F,連接CF,則∠CFD是二面角C-AE-D的平面角,即∠CFD=θ.在Rt△BDE中,BD=2a,DE=λa,∴BE=4a2+λ2a2,sinφ=DEBE=λλ2∴AE=aλ2+2,∴DF=在Rt△CDF中,CF=DF2∴cosθ=DFCF由sinφ=cosθ得λλ2+4=又λ∈(0,2],∴λ=2.8.(1)在半圓柱中,BB1⊥平面PA1B1,PA1?平面PA1B1,所以BB1⊥PA1.因為A1B1是上底面對應(yīng)圓的直徑,所以PA1⊥PB1.因為PB1∩BB1=B1,PB1?平面PBB1,BB1?平面PBB1,所以PA1⊥平面PBB1.(2)依據(jù)題意,以C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖D8-5-17所示.圖D8-5-17設(shè)CB=1,則C(0,0,0),A1(0,1,2),B1(1,0,2),所以CA1=(0,1,2),CB1易知n1=(0,0,1)為平面PA1B1的一個法向量.設(shè)平面CA1B1的法向量為n2=(x,y,z),則n2·令z=1,則x=-2,y=-2,所以n2=(-2,-2,1)為平面CA1B1的一個法向量.所以cos<n1,n2>=11×由圖可知二面角P-A1B1-C為鈍角,所以所求二面角的余弦值為-559.(1)因為M,N分別為BC,B1C1的中點,所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因為△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)由已知得AM⊥BC.以M為坐標(biāo)原點,MA的方向為x軸正方向,|MB|為單位長度,建立如圖D8-5-18所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,則AB=2,AM=3.連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形,故PM=233,E(233,13,0).由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC.作NQ⊥AM,垂足為設(shè)Q(a,0,0),則NQ=4-(233-a)2故B1E=(233-a,-23,-4又n=(0,-1,0)是平面A1AMN的一個法向量,故sin(π2-<n,B1E>)=cos<n,B1所以直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為101010.(1)因為AF∥平面MNG,且AF?平面ABEF,平面ABEF∩平面MNG=NG,所以AF∥NG,所以CM=BN=2a,所以AM=2(1-a),所以AMCM所以MG∥BC,所以MG⊥AB.又平面ABCD⊥平面ABEF,且MG?平面ABCD,平面ABCD∩平面ABEF=AB,所以MG⊥平面ABEF.(2)由(1)知,MG⊥NG,MG=1-a,NG=a,所以MN=a2+(1-a)2=2a2-2以B為坐標(biāo)原點,分別以BA,BE,BC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖D8-5-19所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz,圖D8-5-19則A(1,0,0),B(0,0,0),M(12,0,12),N(12設(shè)平面AMN的法向量為m=(x1,y1,z1),因為AM=(-12,0,12),MN=(0,12所以m·AM=-x12+z設(shè)平面BMN的法向量為n=(x2,y2,z2),因為BM=(12,0,12),MN=(0,12所以n·BM=x22+z2所以cos<m,n>=m·又二面角A-MN-B為鈍二面角,所以二面角A-MN-B的余弦值為-1311.(1)由題圖(1)知,在題圖(2)中,AC⊥AD,AB⊥AD.∵平面ACD⊥平面ABD,平面ACD∩平面ABD=AD,AB?平面ABD,∴AB⊥平面ACD,又CD?平面ACD,∴AB⊥CD.(2)以A為坐標(biāo)原點,AC,AB,AD所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖D8-5-20所示的空間直角坐標(biāo)系,圖D8-5-20不妨設(shè)AC=1,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),D(0,0,1),AD=(0,0,1),BC=(1,-2,0),DB=(0,2,-1).設(shè)E(x,y,z),由DE=λDB(0<λ<1),得(x,y,z-1)=(0,2λ,-λ),得E(0,2λ,1-λ),∴AE=(0,2λ,1-λ),又平面ABC的一個法向量為AD=(0,0,1),AE與底面ABC所成角的正切值為12所以|tanAD,AE|=2,于是|cosAD,AE|=15即|1-λ(2λ)2則E(0,1,12),AE=(0,1,12),BE=(0,-1,1設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z),則n·BC令y=1,得x=2,z=2,則n=(2,1,2)是平面BCE的一個法向量,設(shè)直線AE與平面BCE所成的角是θ,則sinθ=|cosAE,n|=|AE故直線AE與平面BCE所成角的正弦值為4512.(1)因為平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE?平面ADEF,DE⊥AD,所以DE⊥平面ABCD.因為AC?平面ABCD,所以DE⊥AC.又四邊形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.因為DE∩BD=D,DE?平面BED,BD?平面BED,所以AC⊥平面BED.又AC?平面ACE,所以平面ACE⊥平面BED.(2)因為DA,DC,DE兩兩垂直,所以以D為坐標(biāo)原點,建立如圖D8-5-21所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.圖D8-5-21則A(3,0,0),F(3,0,26),E(0,0,36),B(3,3,0),C(0,3,0),所以CA=(3,-3,0),BE=(-3,-3,36),EF=(3,0,-6).設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),則n取x=6,得n=(6,26,3)為平面BEF的一個法向量.所以cos<CA,n>=CA·n|所以直線CA與平面BEF所成角的正弦值為1313(3)假設(shè)在線段AF上存在符合條件的點M,由(2)可設(shè)M(3,0,t),0≤t≤26,則BM=(0,-3,t).設(shè)平面MBE的法向量為m=(x1,y1,z1),則m令y1=t,得m=(36-t,t,3)為平面MBE的一個法向量.由(1)知CA⊥平面BED,所以CA是平面BED的一個法向量,|cos<m,CA>|=|m·CA整理得2t2-66t+15=0,解得t=62故在線段AF上存在點M,使得二面角M-BE-D的大小為60°,此時AMAF13.(1)因為BC∥平面α,BC?平面PBC,平面α∩平面PBC=EF,所以BC∥EF,且F為棱PB的中點,因為BC⊥AB,所以EF⊥AB.因為PA∥平面α,PA?平面PAC,平面α∩平面PAC=DE,所以PA∥DE.因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,所以DE⊥AB.又DE∩EF=E,DE?平面DEF,EF?平面DEF,所以AB⊥平面DEF,即AB⊥平面α.(2)如圖D8-5-22,以點B為坐標(biāo)原點,分別以BA,B