人教版九年級上冊數(shù)學(xué)圓專題講義

1．在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做——，其固定的端點(diǎn)O叫做——，線段叫做.2．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做，經(jīng)過圓心的弦叫做.3．圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做.例題講解O基礎(chǔ)題訓(xùn)練AB2．下列說法正確的是()A．直徑是弦，弦是直徑B．過圓心的線段是直徑C．圓中最長的弦是直徑D．直徑只有一條3．下列說法：①半圓是??；②弧是半圓；③圓中的弧分為優(yōu)弧和劣弧．其中正確的個(gè)數(shù)有4．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，O為圓心，∠A＝20°,則∠BOC等于()度數(shù)()6．如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B＝60°,∠C＝70°,則∠BOD的度數(shù)()AAODOABOABCDCCBADODABACAOOB點(diǎn)在同一圓上．DC綜合題訓(xùn)練NM2．平分弦（不是直徑）的直徑，并且平分弦.例題講解【例】如圖，AB是兩同心圓中大圓的弦，交不圓于C、D兩點(diǎn)，求證：AC＝BD.OO基礎(chǔ)題訓(xùn)練1．下列說法正確的是().A．平分弦的直徑垂直于弦B．垂直于弦的直線必過圓心C．垂直于弦的直徑平分弦D．平分弦的直徑平分弦所對的弧2．如圖，已知直徑MN⊥弦AB，垂足為C，下列結(jié)論：①AC＝BC；②EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),AN)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),BN)；③EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),AM)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),BM)；④AM＝BM．其中正確的個(gè)數(shù)為()5．已知⊙O的半徑為4，則垂直平分這條半徑的弦長是()AMCNBAABCDADEDOBAOBONAMB綜合題訓(xùn)練12．小雅同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論：CCNODMABADFF2．平分弦（不是直徑）的直徑，并且平分弦.例題講解=OF.O基礎(chǔ)題訓(xùn)練AEFB .3．如圖，圓弧形橋拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，則拱橋的半徑為()寬AB＝160cm，則油的最大深度為()OAB的標(biāo)準(zhǔn)鋼珠放在小孔上，測得鋼珠頂端與小孔平面的距離h＝8mm，則此小孔的直徑為.______________=6.AO=8，求ABODCAPCBOD處距離O點(diǎn)240米．如果火車行駛時(shí)，周圍200米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．那么火車在鐵路MN上沿ON方向以72千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間為()NM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB＝45°,則四邊形MANB的面積的最大值MAONlB綜合題訓(xùn)練CADOB（2）現(xiàn)有一艘寬3m、船艙頂部為長方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，問此貨船能2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的，所對的.例題講解AOCDB基礎(chǔ)題訓(xùn)練1．下列說法：①相等的圓心角所對的弧相等；②相等的弧所對的弦相等；③相等的弦所對的弧相等；④半徑相等的兩個(gè)半圓是等?。渲姓_的個(gè)數(shù)有()2．如圖，在⊙O中EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),AB)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),AC)，∠A＝30°,則∠C=.4．如圖，弦AE∥直徑CD，連AO，∠AOC＝40°,則DE所對的圓心角的度數(shù)為()EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),BC)CACABDEOAOAAEADBEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),BC)BABCEACODBGE=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),EF).GAEDEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),EC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),BE)CADO=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),EF)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),BE=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),EF)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),BE)；FFEABAABEOFGD綜合題訓(xùn)練EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),CD)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),FB)1．頂點(diǎn)在上，并且兩邊都與圓角叫做圓周角.2．一條弧所對的圓周角等于它所對的的一半.3．圓弧或等弧，所對的相等.例題講解EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),C)基礎(chǔ)題訓(xùn)練EEABD則∠AOC的大小是()OOACAC）（AAO5．如圖，∠A＝25°,∠E＝30°,則∠BOD的度數(shù)為.E6．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點(diǎn)，則∠1+∠2=.EAABODADADABDEC）（EEOEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),BC)AFOEBOOABEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),BC)AAOBP于點(diǎn)D.（2如圖②,若∠CAB＝60°,求BD的長.CACDDOO綜合題訓(xùn)練EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),AC)（3）探究：EM與BN之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.yDENFAA預(yù)習(xí)歸納OD._____________E2.圓內(nèi)接四邊形的.求證：∠BAE=∠CAD.基礎(chǔ)題訓(xùn)練=()2.如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝90°,則∠BCD＝.CABAABDODADDBDBD等于()4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個(gè)外角∠DCE＝64°,那么∠BOD的度數(shù)為()5.如圖，AB是半圓O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，∠B＝40°,則∠C的度數(shù)為()6.如圖，在⊙O中，∠AOC＝100°,則∠ABC的度數(shù)為()DACOBOOBAAOBC8.如圖，△ABC中，∠A＝60°,以BC為直徑作⊙O分別交AB、AC于D、E.ADBOE連接AE，∠E＝36°,則∠ADC的度數(shù)是()的圓周角是——.綜合題訓(xùn)練B（2）①求式子的值；②求式子的值.BAAEBDAEBEAC專題利用轉(zhuǎn)化的思想求角度（方法歸納）利用圓的有關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化角度是求角度常用的方法.1.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OBC＝70°,則∠A的度數(shù)是——.則∠C＝——.3.如圖，AB為⊙O的直徑，C為AB的中點(diǎn)，D為半圓ABBCAOCEODBACCD4.如圖，AB為⊙O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，∠ABC＝40°,則∠C＝——.CCCDAABAABBOAC6.如圖，AB為⊙O的直徑，C、D在⊙O上，∠AOD＝AAEOOCBCCOOAB專題利用垂徑定理求長度（方法歸納）利用垂直于弦的直徑得到直角，借助勾股定理溝通弦與半徑之間的關(guān)系.=30°,⊙O的半徑為4，則弦AB的長為.CCDEOOAODEB6.如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB＝.EEABBABBDOAB9.如圖，工程上常用鋼珠測量零件上小孔的直徑，假設(shè)鋼珠的直徑是12毫米，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為9毫米，如圖所示，則這個(gè)小孔的直徑AB＝.CNPAOABMPAOABMD9（方法歸納）圓中兩垂直弦常結(jié)合自己構(gòu)造直角三角形解題AACODODBBAB（4）若點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，求證：ME⊥BD；CMODODBBAOND12（方法歸納）由弧的中點(diǎn)產(chǎn)生與弦垂直的半徑，再用勾股定理構(gòu)建方程O⑴求證：AF＝CF；連AD.EECBA長.CEAOCNBMD（方法歸納）內(nèi)角平分線問題往往與線段和有關(guān)，實(shí)質(zhì)是對角互補(bǔ)的基本圖形.圓與外角平分線問題往往與線段的差有關(guān).ACOBDQ2.如圖，過O、M(1,1)的動(dòng)圓⊙O1交y軸、x軸于A、B，求OA+OB的值.AAOC4.如圖，A(4,0)，B(0,4)，⊙O'經(jīng)過A、B、O三點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)(異于求的值.A5.已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，(1)如圖1，求證：AE=BE；OECDAOOECAxP(2)如圖2，若CE＝4，求四邊形ACBE的面積.上今，點(diǎn)P在圓內(nèi)今.的中點(diǎn).AAD04．過一點(diǎn)可以作個(gè)圓，過兩點(diǎn)可以作圓，過三點(diǎn)可以作個(gè)圓.置關(guān)系是.08．對于三角形的外心，下列說法錯(cuò)誤的是().A．它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等B．它是三角形外接圓的圓心C．它是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)D．它一定在三角形的外部直徑作⊙D.(3)當(dāng)∠A的度數(shù)在什么范圍時(shí)，點(diǎn)A在⊙D內(nèi).10．用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中().A．有一個(gè)內(nèi)角小于60°B．每一個(gè)內(nèi)角都小于至少有一點(diǎn)在⊙A外，求⊙A的半徑r的取值范圍.CDA、B、C、D是否在同一個(gè)圓上，并證明你的結(jié)論.度數(shù).1．設(shè)⊙O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d，則直線l和⊙⊙O相切今dr，直線l和⊙O相離今dr.基礎(chǔ)題訓(xùn)練2.若⊙O的半徑為6，如果一條直線和圓相切，P為直圍是().位置關(guān)系是長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是().為圓心，2．4為半徑作⊙C，則⊙C與斜邊AB位置關(guān)系是.7.∠ACB＝60°,點(diǎn)O在∠ACB的平分線上，AC的位置關(guān)系是.BC的中點(diǎn)，以D為圓心，2．5為半徑作圓，則⊙D與直線AC的位置關(guān)系是.根，則直線l與⊙O相切時(shí)，m的值為共點(diǎn)的圓，則R的取值范圍是.E兩點(diǎn)，設(shè)AD＝x.綜合題訓(xùn)練⑴如圖1，以CD為直徑作⊙O，求證：AB與⊙O相切；1．過半徑的，并且垂直于是圓的切線.2．圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.求證：AC與⊙D相切.線.25°,則∠D＝度.則∠ADC=.40°,∠E=.AEDDOCB⑵如果∠ACB＝75°,⊙O的半徑為2，求BD的長.求證：DE是⊙O的切線.PDBAOCOBDAC已知點(diǎn)A(0,8),求圓心M的坐標(biāo).BCACAEAMFOxCPOB專題切線證明的常用方法【方法歸納】連半徑證垂直或作垂直證半徑是證明圓的切線常用的方法.一、有切點(diǎn)，連半徑，證垂直(一)利用角度轉(zhuǎn)換證垂直求證：AD是⊙O的切線.（二）利用全等證垂直求證：CD是⊙O的切線.（三）利用勾股定理逆定理證垂直二、無切點(diǎn)，作垂直，證半徑直徑作⊙O，求證：CD是⊙O的切線.求證：AC與⊙D相切.1．從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長，這一 .2．與三角形圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形的交點(diǎn)，叫三角形的內(nèi)心.則∠BOC=.4．如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F,若∠C＝80°,則∠EDF=.ECFOABDAADFOCBECBAPBO8．如圖，PA、PB分別切⊙O于A、B，∠P＝50°,點(diǎn)C是⊙O上異于AACB=.ABCAAOPCBAOBP9．如圖，△ABC中，∠C＝90°,⊙I為△ABOOAC半徑.DDOAEOC為半徑作圓與AB相切于點(diǎn)D.OOCHABOB與EF相交于點(diǎn)M，OC與FG相交于點(diǎn)N，連接MAAMONDGGFCDFAOCEBABC中，AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于D，交直線AC于E、(1)試判斷∠BAC與∠CBE的關(guān)系，并證明.(2)若∠BAC為鈍角，其余條件不變，則∠BAC與∠CBE之間又有何關(guān)系？試畫圖并證AAEOEOBDC2.已知AB為⊙O的直徑，弦EF所在的直線與直線AB交于點(diǎn)M.(1)如圖1，若M在⊙O內(nèi)，寫出∠AEF與∠BAF的數(shù)量關(guān)系，(2)如圖1，若M在⊙O外，寫出∠AEF與∠BAF的數(shù)量關(guān)系，并證明.BEMOOAF⌒=PE＋PB，請證明你的結(jié)論；AE、PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論.ACEOPBDAPPOB4.如圖，直線AB經(jīng)過⊙O的圓心，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC=的度數(shù).BOCA【方法歸納】抓住三角形內(nèi)心，外心的性質(zhì)進(jìn)行證明與計(jì)算C長.CAMOCABOBO求OI的長.BABOOI接圓相交于點(diǎn)D，AD、BC交于F.CAAMCOBD12AAAGEECFCCFCDD專題與切線有關(guān)的角度計(jì)算D【方法歸納】連過切點(diǎn)的半徑是解與切線有關(guān)的問題的關(guān)鍵.一、一條切線APB=.APB交AB于點(diǎn)D，則∠ADP=.AACDOPOOCPBADD等于若四邊形ABCD為平行四邊形，則∠A的度數(shù)為.二、兩條切線.PPAACABCOA.8．如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC＝80°,則∠BOC=.AMB=PBCOABACOCOCDDBO【方法歸納】利用切線構(gòu)造直角三角形是解決與切線有關(guān)的計(jì)算的常用方法.B一、連過切線的半徑構(gòu)造直角三角形BAMOPAA二、通過直徑對直角構(gòu)造直角三角形AOOA三、作垂線構(gòu)造直角三角形CCAOO【方法歸納】構(gòu)造圓中的基本圖形來實(shí)現(xiàn)角度的轉(zhuǎn)化是證明角度問題常用的方法.12AOCE=∠BFD.EE二、構(gòu)造直角三角形斜邊上的高的基本圖形轉(zhuǎn)化角求證：∠AEC=∠D.三、構(gòu)造切線長定理的基本圖形轉(zhuǎn)化角交⊙O于E，求證：∠B＝2∠BDE.BADABABOCDA四、利用直徑構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化角OEADOBC【方法歸納】綜合運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)是證線段關(guān)系的關(guān)鍵.AD為半徑的⊙D與直線BC相切于點(diǎn)E，求證：BC＝CD.BPAOEEDABDC，DB交AC于F，求證：BC＝CF.DAFCBC二、證線段和差點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線分別交AB、AC的延長線與點(diǎn)E、F．求證：AF＋CF＝AB.AOCBCFF13CBECBEDOFOGD【方法歸納】在圓中證平行或垂直，實(shí)質(zhì)上還是通過基本圖形轉(zhuǎn)化角度來實(shí)現(xiàn).一、利用基本圖形證平行于D，求證：AD∥BC.BEAADOCCBABODCBDBDO二、利用基本圖形證垂直⊙O的切線交AC于E，求證：DE⊥AC.CBDBDEAO中點(diǎn)，AM平分∠BAC交BC于M，求證：AM⊥CE.EB6．如圖，⊙O中，弦CD垂直于直徑AB，E為AB=EF，求證：FB⊥DE.EDFOACCA專題切線與垂徑定理【方法歸納】連過切點(diǎn)的半徑，作垂直于弦的直徑，得到直角，通分配勾股構(gòu)建方程.5OADBAOB的切線，且PH⊥OH.PMHMODEDCPC專題切線與勾股定理【方法歸納】連過切點(diǎn)的半徑，通過勾股定理構(gòu)建方程.E為切點(diǎn)，連接CE交AB于點(diǎn)F.BDABDOE2．如圖，正方形ABCD的邊長為4，以BC為直徑作圓，過A點(diǎn)作圓的切線，交DC切點(diǎn)為F.DADFECOBCOCEBABOAAECDOB專題切線與等腰三角形【方法歸納】抓住等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合圓的切線進(jìn)行證明與計(jì)算.交于點(diǎn)E，過D作DF⊥AC于點(diǎn)F.上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC相切于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E.DK3專題圓中的動(dòng)態(tài)問題(二)(含切線)I.試證明.二、點(diǎn)在線段上→點(diǎn)在線段的延長線上(2)若D為MB延長線上一點(diǎn)，其余條件不變論.三、直徑→弦1．把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的——，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的.例題講解【例】如圖，正△ABC外接圓的半徑為R，求正△ABC的邊長，邊心距，周長和面積.AAOBC基礎(chǔ)題訓(xùn)練1．下列正多邊形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是().A．正三角形B．正方形C．正2．下列多邊形中，是正多邊形的是().3．下列正多邊形中，對稱軸條數(shù)是6條的為().4．正五邊形的中心角是度.5．正多邊形的中心角等于其內(nèi)角的是正邊形.6．正五邊形的ABCDE的對角線AC、BD相交于點(diǎn)P，則∠APB的度數(shù)是.7．一個(gè)正多邊形的中心角為90°,則它的邊數(shù)為.329．(2014呼和浩特)已知⊙O的面積為2π,則其內(nèi)接正三角形的面積22AEOPB11．半徑相等的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長比為.中正確的結(jié)論是().A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④DCBPAEODCDODADCBC綜合訓(xùn)練題⑶試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案).MBAONCAOMBDANCEOMNBDACFMBEONCD1．n°的圓心角對對的弧長為，所對的扇形兩邊為.例題講解則圖中陰影部分面積為()基礎(chǔ)題基礎(chǔ)2．鐘面上的分針長6cm．經(jīng)過25分鐘，分