2024-2025學(xué)年深圳高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題綜合練習(xí)三含解析_第1頁(yè)
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2024-2025學(xué)年深圳高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題綜合練習(xí)三注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.52.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.3.如圖,平面與平面相交于,,,點(diǎn),點(diǎn),則下列敘述錯(cuò)誤的是()A.直線(xiàn)與異面B.過(guò)只有唯一平面與平行C.過(guò)點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D.過(guò)一定能作一平面與垂直4.對(duì)于任意,函數(shù)滿(mǎn)足,且當(dāng)時(shí),函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.5.若、滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.6.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線(xiàn)圖形是一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對(duì) B.3對(duì)C.4對(duì) D.5對(duì)7.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為,,P是雙曲線(xiàn)E上的一點(diǎn),且.若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)交于點(diǎn)M,且M為的中點(diǎn),則雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)方程為()A. B. C. D.8.設(shè),則,則()A. B. C. D.9.函數(shù)f(x)=的圖象大致為()A. B.C. D.10.2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則()A.170 B.10 C.172 D.1211.點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn),線(xiàn)段與線(xiàn)段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M,若,則的最小值為()A. B. C. D.12.如圖,已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,則雙曲線(xiàn)的焦距為_(kāi)_____.14.在如圖所示的三角形數(shù)陣中,用表示第行第個(gè)數(shù),已知,且當(dāng)時(shí),每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和,即,若,則正整數(shù)的最小值為_(kāi)_____.15.已知正數(shù)a,b滿(mǎn)足a+b=1,則的最小值等于__________,此時(shí)a=____________.16.函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),),若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在三棱錐S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點(diǎn),SA=2(I)證明:SD⊥BC;(II)求直線(xiàn)SD與平面SBC所成角的正弦值.18.(12分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間(單位:小時(shí)).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布表:時(shí)間(小時(shí))[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”?男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)總計(jì)附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.(12分)設(shè)函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.20.(12分)已知橢圓過(guò)點(diǎn),設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為,,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線(xiàn)交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率分別為,,若,試判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,(1)若分別為,的中點(diǎn),求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.22.(10分)設(shè),(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長(zhǎng)方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.2.A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個(gè)選項(xiàng),再求時(shí)的函數(shù)值,再排除一個(gè),得正確選項(xiàng).【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),排除B,C,當(dāng)時(shí),,排除D,故選:A.本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時(shí)可通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù),以及函數(shù)值的變化趨勢(shì),排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得正確結(jié)論.3.D【解析】

根據(jù)異面直線(xiàn)的判定定理、定義和性質(zhì),結(jié)合線(xiàn)面垂直的關(guān)系,對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線(xiàn)與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線(xiàn)的性質(zhì)知,過(guò)只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線(xiàn)的性質(zhì)知,過(guò)不一定能作一平面與垂直,故錯(cuò)誤.故選:D本題主要考查異面直線(xiàn)的定義,性質(zhì)以及線(xiàn)面關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.4.A【解析】

由已知可得的單調(diào)性,再由可得對(duì)稱(chēng)性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對(duì)于任意,函數(shù)滿(mǎn)足,因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?,所以?故選:A.本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)形式,屬于中檔題..5.C【解析】

作出不等式組所表示的可行域,平移直線(xiàn),找出直線(xiàn)在軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.由,得,平移直線(xiàn),當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),該直線(xiàn)在軸上的截距最大,此時(shí)取最大值,即.故選:C.本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,考查線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值,一般利用平移直線(xiàn)的方法找到最優(yōu)解,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】

畫(huà)出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì).本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.7.C【解析】

由雙曲線(xiàn)定義得,,OM是的中位線(xiàn),可得,在中,利用余弦定理即可建立關(guān)系,從而得到漸近線(xiàn)的斜率.【詳解】根據(jù)題意,點(diǎn)P一定在左支上.由及,得,,再結(jié)合M為的中點(diǎn),得,又因?yàn)镺M是的中位線(xiàn),又,且,從而直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支只有一個(gè)交點(diǎn).在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,則漸近線(xiàn)方程為.故選:C.本題考查求雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程,涉及到雙曲線(xiàn)的定義、焦點(diǎn)三角形等知識(shí),是一道中檔題.8.A【解析】

根據(jù)換底公式可得,再化簡(jiǎn),比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.本題考查換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.9.D【解析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個(gè)選項(xiàng),再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閒(-x)=≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),排除選項(xiàng)B,C.又f(2)==-<0.排除A,故選D.本題主要考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象,屬于中檔題.10.D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻螅幵谧钪虚g的那個(gè)數(shù),平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí),是一道容易題.11.D【解析】

由題意得,再利用基本不等式即可求解.【詳解】將平方得,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),,的最小值為,故選:D.本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.12.C【解析】

直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),由此推導(dǎo)出,由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為,直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),如圖過(guò)A、B分別作于M,于N,由,則,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB,則,∴,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為,把代入直線(xiàn),解得,故選:C.本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中參數(shù)的求法,考查拋物線(xiàn)的性質(zhì),是中檔題,解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】

由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn),以及求得的值即可得答案.【詳解】由于雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,即①,把代入,得,即②又③聯(lián)立①②③,得.所以.故答案是:1.本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì),注意題目“雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為”這一條件的運(yùn)用,另外注意題目中要求的焦距即,容易只計(jì)算到,就得到結(jié)論.14.2022【解析】

根據(jù)條件先求出數(shù)列的通項(xiàng),利用累加法進(jìn)行求解即可.【詳解】,,,下面求數(shù)列的通項(xiàng),由題意知,,,,,,數(shù)列是遞增數(shù)列,且,的最小值為.故答案為:.本題主要考查歸納推理的應(yīng)用,結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),屬于難題.15.3【解析】

根據(jù)題意,分析可得,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值,進(jìn)而分析基本不等式成立的條件可得a的值,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,正數(shù)a、b滿(mǎn)足,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為3,此時(shí).故答案為:3;.本題考查基本不等式及其應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

令,則,恰有四個(gè)解.由判斷函數(shù)增減性,求出最小值,列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解:令,則,恰有四個(gè)解.有兩個(gè)解,由,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,可得.設(shè)的負(fù)根為,由題意知,,,,則,.故答案為:.本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(I)證明見(jiàn)解析;(II)1【解析】

(I)過(guò)D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到證明.(II)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥SE于F,證明DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線(xiàn)SD與平面SBC所成角,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(I)過(guò)D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)角度的垂直關(guān)系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根據(jù)余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD?平面SED,故SD⊥BC.(II)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF?平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線(xiàn)SD與平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=本題考查了線(xiàn)線(xiàn)垂直,線(xiàn)面夾角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18.(1)男生人數(shù)為人,女生人數(shù)55人.(2)列聯(lián)表答案見(jiàn)解析,有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).【解析】

(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表,先求出二聯(lián)表中數(shù)值,再結(jié)合公式計(jì)算,利用表格數(shù)據(jù)對(duì)比判斷即可【詳解】(1)因?yàn)槟猩藬?shù):女生人數(shù)=900:1100=9:11,所以男生人數(shù)為,女生人數(shù)100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的人數(shù)為:(1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05)×100=75人,每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的女生人數(shù)為37人,聯(lián)表如下:男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)71825每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)383775總計(jì)4555100因?yàn)?.892>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).本題考查分層抽樣,獨(dú)立性檢驗(yàn),熟記公式,正確計(jì)算是關(guān)鍵,屬于中檔題.19.(1)當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),無(wú)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);(2)或.【解析】

(1)求出,對(duì)分類(lèi)討論,先考慮(或)恒成立的范圍,并以此作為的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),若不恒成立,求解,即可得出結(jié)論;(2)有解,即,令,轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,根據(jù)(1)中的結(jié)論,即可求解.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),,綜上,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),無(wú)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);(2),令,原方程只有一個(gè)解,只需只有一個(gè)解,即求只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),的取值范圍,由(1)得當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,且,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),原方程只有一個(gè)解,當(dāng)時(shí),由(1)得在出取得極小值,也是最小值,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),原方程只有一個(gè)解,當(dāng)且遞增區(qū)間時(shí),遞減區(qū)間時(shí);,當(dāng),有兩個(gè)零點(diǎn),即原方程有兩個(gè)解,不合題意,所以的取值范圍是或.本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到單調(diào)性、零點(diǎn)、極值最值,考查分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20.(1)(2)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】

(1)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),所以①,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),因?yàn)?,所以,又,所以②,將①②?lián)立解得(負(fù)值舍去),所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由(1)可知,設(shè),.將代入,消去可得,則,,,所以,所以,此時(shí),所以,此時(shí)直線(xiàn)的方程為,即,令,可得,所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.21.(1)見(jiàn)解析(2)【解析】試題分析:(1)第(1)問(wèn),轉(zhuǎn)化成證明平面,

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