黑龍江省哈爾濱師范大學青岡實驗中學2024-2025學年高二上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

哈師大青岡實驗中學2024--2025學年度開學初考試高二數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1.復數(shù)的實部為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】計算出復數(shù)后，結(jié)合復數(shù)定義即可得.【詳解】，故其實部為2．故選：C.2.已知一個水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示，且，則其平面圖形的面積是（）A.4 B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直觀圖畫出平面圖形，求出相關線段的長度，即可求出平面圖形的面積.【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，所以.故選：A3.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，互斥而不對立的兩個事件是（）A.至少有1個白球和都是白球 B.至少有1個白球和至少有1個紅球C.恰有1個白球和恰有2個白球 D.至少有1個白球和都是紅球【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件和對立事件的概念分析各個選項的具體含義求解即可.【詳解】“至少有1個白球”和“都是白球”可以同時發(fā)生，故它們不互斥；“至少有1個白球”和“至少有1個紅球”，因為1個白球1個紅球時兩種情況同時發(fā)生，故它們不互斥；“恰有1個白球”和“恰有2個白球”不可能同時發(fā)生，所以它們互斥，當2個球都是紅球時它們都不發(fā)生，所以它們不是對立事件；“至少有1個白球”和“都是紅球”不可能同時發(fā)生，所以它們互斥.因為它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事件.故選：C.4.為了解某中學三個年級的學生對食堂飯菜的滿意程度，用分層隨機抽樣的方法抽取30%的學生進行調(diào)查，已知該中學學生人數(shù)和各年級學生的滿意率分別如圖1和圖2所示，則樣本容量和抽取的二年級學生中滿意的人數(shù)分別為（）A.800，360 B.600，108 C.800，108 D.600，360【答案】B【解析】【分析】由扇形圖求出三個年級的學生總?cè)藬?shù)，進而求出樣本容量，求出抽取的二年級學生人數(shù)，再結(jié)合二年級學生的滿意率求解.【詳解】由扇形圖可知，三個年級的學生總?cè)藬?shù)為人，所以樣本容量為人，因為抽取的二年級學生人數(shù)為人，所以抽取的二年級學生中滿意的人數(shù)為人.故選：B5.已知是單位向量，，若在方向上的投影向量是，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知根據(jù)投影向量的定義得出即可求解.【詳解】因為在方向上的投影向量是，所以，所以，又所以.故選：D.6.如圖，在正四面體ABCD中．點E是線段AD上靠近點D的四等分點，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過點E作直線BD的平行線，交AB于點F，連接CF，則為異面直線EC與BD所成角或其補角，利用余弦定理求解即可.【詳解】過點E作直線BD的平行線，交AB于點F，連接CF，則為異面直線EC與BD所成角或其補角，不妨設，易得，，在中，由余弦定理得，所以異面直線EC與BD所成角的余弦值為．故選：A．7.萬丈懸梯高可攀，白塔座落嘉陵邊．白塔作為閬中市的標志性建筑之一．當你登臨頂層，會欣賞到閬中AAAAA風景的全貌．感覺人仿佛在凌空飛翔．現(xiàn)有一數(shù)學興趣小組，如圖，測量河對岸的白塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與．現(xiàn)測得米，在點C測得塔頂?shù)难鼋菫?，則測得的塔高為（）米．

A. B.10 C. D.30【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得由余弦定理可得的值，然后在中，由，即可得到結(jié)果.【詳解】在中，由得所以米，在中，由余弦定理可得，所以，在，可得，所以米.故選：D8.如圖，在中，M，N分別為AB，AC邊上的中點，P是線段MN上的一個動點（不含端點），CP與AB交于點D，BP與AC交于點E，，，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】設，則，利用三角形相似得到，，表達出，利用基本不等式求出最值即可.【詳解】設，則，因為M，N分別為AB，AC邊上的中點，所以，，故，因為∽，所以，設，則，，故，故，同理可得，，因為∽，所以，設，則，，，故，，則因為，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，故.故選：C二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.一組樣本數(shù)據(jù)為7，12，13，17，18，20，32，則（）A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的極差、第百分位數(shù)和平均數(shù)的公式計算判斷各個選項；【詳解】對于A項，極差等于，故A正確；對于B項，，故分位數(shù)為20，B錯誤；對于C項，平均數(shù)等于；故C正確；對于D項，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D項正確，故選：ACD．10.已知互不相同的兩條直線，和兩個平面，，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，且，則D.若，，且，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系逐項判斷即可得答案.【詳解】對于A，若，，則或與異面，故A不正確；對于B，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，B正確；對于C，若，，且，則或與相交，故C不正確；對于D，若，，則，過作平面，使得，因為，所以，所以，因為，所以.故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，則下列說法正確是（）A.若，則將的圖象向左平移個單位長度，能得到函數(shù)的圖象B.若，則當時，的值域為C.若在區(qū)間上恰有個零點，則D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】AD【解析】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷．【詳解】，當時，，則將的圖象向左平移個單位長度得到：，故A正確；當時，，當時，，故，則的值域為，故B錯誤；令，，則，，又，若在區(qū)間上恰有個零點，則，解得，故C錯誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，又，所以，解得，又，所以，由可得，要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故D正確．故選：AD．三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)12.已知向量，且，則__________.【答案】4【解析】【分析】先算出的坐標，然后由向量的數(shù)量積公式列方程即可求解.【詳解】因為向量，所以，而，所以，解得.故答案為：4.13.一個封閉的正三棱柱容器，高為8，內(nèi)裝水若干（如圖1，底面處于水平狀態(tài)將容器放倒（如圖2，一個側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時水面所的平面與各棱交點E，F(xiàn)，，分別為所在的棱的中點，則圖1中水面的高度為________．【答案】6【解析】【分析】設正三棱柱的底面邊長為，在圖1中，設水面的高度為，根據(jù)圖1和圖2中水的體積相等可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】設正三棱柱的底面邊長為，則，在圖1中，設水面的高度為，則水的體積為，在圖2中，幾何體直四棱柱，因為為等邊三角形，分別為棱的中點，所以，則水的體積為，解得.故答案為：6.14.在銳角中，角的對邊分別為，的面積為，滿足，若，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由結(jié)合余弦定理和面積公式可得，再利用同角三角函數(shù)的關系可求得的值，由化簡得，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，從而可求出的最小值.【詳解】因為，，所以，所以，因為，所以，即，解得或（舍去），因為，所以，在銳角中，有，，則，所以，因為，因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，設（），則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案：【點睛】關鍵點點睛：此題考查利用余弦定理解三角形，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，考查基本不等式的應用，解題的關鍵是利用余弦定理和三角形的面積公式對化簡變形，考查計算能力，屬于難題.四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.已知，，．（1）求與的夾角；（2）求與．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運算律展開已知條件，將，代入求解可得；（2）利用向量平方等于模的平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【小問1詳解】由，得，即，求得，再由，可得．【小問2詳解】；．16.2024年5月15日是第15個全國公安機關打擊和防范經(jīng)濟犯罪宣傳日，某市組織了多個小分隊走進社區(qū)，走進群眾，開展主題為“與民同心，為您守護”的宣傳活動，為了讓宣傳更加全面有效，某個分隊隨機選擇了200位市民進行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：（1）請估計這200位市民的平均年齡（同組數(shù)據(jù)用組中值代替）；（2）現(xiàn)用分層抽樣方法從年齡在區(qū)間和兩組市民中一共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算規(guī)則計算可得；（2）首先求出年齡在區(qū)間和中抽取的人數(shù)，再列出所有可能結(jié)果，最后由古典概型的概率公式計算可得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得這200位市民的平均年齡為：；【小問2詳解】樣本中年齡在區(qū)間的頻率為，年齡在區(qū)間的頻率為，則年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、、、，年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、，從這6人中隨機抽取2人進行電話回訪可能結(jié)果有、、、、、、、、、、、、、、共個，其中滿足抽取的2人的年齡差大于10歲的有、、、、、、、共個，所以“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.17.甲?乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和，假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響．（1）求甲?乙各射擊一次，至少擊中目標一次的概率；（2）若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)2次未擊中目標就會被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.（2）根據(jù)“第次擊中，后兩次未擊中”求得乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．【小問1詳解】甲?乙各射擊一次，至少擊中目標一次的概率為：.【小問2詳解】乙恰好射擊4次后被終止射擊，則“第次擊中，后兩次未擊中”，故所求概率為：.18.在以下三個條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答.①；②；③的面積為（如多選，則按選擇的第一個記分）問題：在中，角，，的對邊分別為，，，且

.（1）求角；（2）若，求面積的最大值；（3）在（2）的條件下，若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）3（3）【解析】【分析】（1）選①：由正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡得到求解；選②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；選③利用三角形面積公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.（2）利用余弦定理和基本不等式即可解題；（3）由正弦定理得到，從而有求解.【小問1詳解】若選①：由正弦定理得，則，，，．若選②：，切化弦，得到，則由正弦定理得，，即，，，若選③：，則，由正弦定理得，，.【小問2詳解】由余弦定理得，，則，當且僅當“”時，取“＝”號，即．，則，當且僅當“”時取得最大值．【小問3詳解】由正弦定理得，則，，由于為銳角三角形，則，..19.如圖，在矩形中，，，是線段AD上的一動點，將沿著BM折起，使點到達點的位置，滿足點平面且點在平面內(nèi)的射影落在線段BC上．（1）當點M與點重合時，①證明：平面；②求二面角的余弦值；（2）設直線CD與平面所成的角為，二面角A'-BM-C的平面角為，求【答案】（1）①證明見解析；②（2）【解析】【分析】（1）①由題意可得，，，則平面，從而有，再由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；②過E作EO⊥BD于點O，連接，可證得為二面角的平面角，然后在中求解即可；（2）過點做交于，所以直線與平面所成的角,即為直線與平面所成的角，過E作EO⊥BM于點O，連接，連接，是直線與平面所成的角，是二面角A'-BM-C平面角，設，然后表示出化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.【小問1詳解】①當點M與端點D重合時，由可知，由題意知平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以因為，平面，平面，所以平面；②過E作EO⊥BD于點O，連接.因為平面，平面，所以，因為EO⊥BD，，，平面，所以平面，因平面，所以，所以為二面角的平面角,且在四邊形ABCD中，A、O、E三點共線.因為所以，所以，所以，所以，所以，所以在中，，即二面角的余弦值為.【小問2詳解