4.4數(shù)學(xué)歸納法課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第四章數(shù)列4.4*數(shù)學(xué)歸納法人教A版

數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過關(guān)知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:歸納奠基

→證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0

(n0∈N*)時(shí)命題成立初始值n0的值要結(jié)合題意而定,不要理所當(dāng)然認(rèn)為是1歸納遞推→以“當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立”為條件,推出“當(dāng)

時(shí)命題也成立”只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.n=k+1思考辨析利用數(shù)學(xué)歸納法證明在進(jìn)行第二步時(shí),推證n=k+1時(shí)一定要用n=k時(shí)的假設(shè)嗎?提示

一定要用,因?yàn)榈诙绞亲C明了一種遞推關(guān)系的成立.自主診斷1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí),左邊增加的項(xiàng)數(shù)為

.

2k解析

左邊增加的項(xiàng)為(2k+1)+(2k+2)+…+(2k+2k),共2k項(xiàng).即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由①②知,對于n∈N*等式成立.重難探究·能力素養(yǎng)速提升重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解【例1】

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)時(shí),初始值n0應(yīng)等于

.

6解析

由題意,得當(dāng)n=1時(shí),21<(1+1)2;當(dāng)n=2時(shí),22<(2+1)2;當(dāng)n=3時(shí),23<(3+1)2;當(dāng)n=4時(shí),24<(4+1)2;當(dāng)n=5時(shí),25<(5+1)2;當(dāng)n=6時(shí),26>(6+1)2,所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)時(shí),初始值n0應(yīng)等于6.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的過程如下:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,則當(dāng)n=k+1時(shí),1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.由此可知對于任何n∈N*,等式都成立.上述證明,錯(cuò)誤是

.

未用歸納假設(shè)解析

本題在由n=k成立證明n=k+1成立時(shí),應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式,而未用上歸納假設(shè),這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.規(guī)律方法

數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)注意點(diǎn)(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ):找準(zhǔn)起點(diǎn),奠基要穩(wěn),有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵:數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推,要正確分析式子中項(xiàng)數(shù)的變化,弄清式子兩邊的構(gòu)成規(guī)律.(3)利用假設(shè)是核心:在第二步證明n=k+1時(shí),一定要利用歸納假設(shè).B探究點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例2】

[蘇教版教材習(xí)題]用數(shù)學(xué)歸納法證明(1-x)(1+x+x2+…+xn-1)=1-xn.證明

(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-x,右邊=1-x,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),等式成立,即(1-x)(1+x+x2+…+xk-1)=1-xk.那么,當(dāng)n=k+1時(shí),(1-x)(1+x+x2+…+xk-1+xk)=(1-x)(1+x+x2+…+xk-1)+xk(1-x)=1-xk+xk(1-x)=1-xk+xk-xk+1=1-xk+1.所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.由此可知,對于任何n∈N*,等式都成立.規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的方法

變式訓(xùn)練2[北師大版教材例題]用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=na1+.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)①和②,可知等式對任意正整數(shù)n都成立.探究點(diǎn)三用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例3】

[北師大版教材例題]用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).證明

(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+α,右邊=1+α,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,即(1+α)k≥1+kα.那么,當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)棣?gt;-1,所以1+α>0.根據(jù)假設(shè)知,(1+α)k≥1+kα,所以(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)·(1+α)=1+(k+1)α+kα2.因?yàn)閗α2≥0,所以1+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α.從而(1+α)k+1≥1+(k+1)α.這表明,當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.根據(jù)(1)和(2),該命題對于任意正整數(shù)n都成立.規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

探究點(diǎn)四歸納—猜想—證明【例4】

將正整數(shù)進(jìn)行如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),……分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和,如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,……(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,試猜測S1+S3+…+S2n-1的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜測S1+S3+…+S2n-1=n4.證明如下:記Mn=S1+S3+…+S2n-1.①當(dāng)n=1時(shí),猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4.Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.由①②,可知對任意n∈N*,猜想都成立.規(guī)律方法

“歸納—猜想—證明”的基本步驟

探究點(diǎn)五數(shù)學(xué)歸納法在證明整除問題中的應(yīng)用【例5】

用數(shù)學(xué)歸納法證明:23n-1(n∈N*)能被7整除.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),23×1-1=8-1=7,能被7整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),23k-1能被7整除,那么當(dāng)n=k+1時(shí),23(k+1)-1=8×23k-1=8×23k-8+7=8(23k-1)+7,因?yàn)?3k-1能被7整除,所以8(23k-1)+7能被7整除,所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)可知,23n-1(n∈N*)能被7整除.規(guī)律方法

使用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題常用的方法:將n=k+1時(shí)的式子分成兩部分,一部分應(yīng)用歸納假設(shè),另一部分通過變形處理,確定其能夠被某個(gè)數(shù)整除.常用的變形技巧是加減同一個(gè)數(shù)以方便能夠提取公因式.變式訓(xùn)練4[北師大版教材習(xí)題]用數(shù)學(xué)歸納法證明:x2n-y2n能被x+y整除(n∈N*).證明①當(dāng)n=1時(shí),x2-y2=(x+y)(x-y).故x2-y2能被x+y整除,命題成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),x2k-y2k能被x+y整除.那么,當(dāng)n=k+1時(shí),x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k.○*把x2k=(xk+yk)(xk-yk)+y2k,代入○*得x2k+2-y2k+2=x2(xk+yk)·(xk-yk)+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),由假設(shè)知x2k-y2k能被x+y整除,x2-y2能被x+y整除,故x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除.所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.綜上,對于n∈N*,原命題成立.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念.(2)增加或減少項(xiàng)的個(gè)數(shù)問題.(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式、整除問題.(4)歸納—猜想—證明.2.方法歸納:代入法檢驗(yàn),數(shù)學(xué)歸納法.3.常見誤區(qū):(1)對n0取值的問題易出錯(cuò);(2)增加或減少的項(xiàng)數(shù)易出錯(cuò);(3)從n=k到n=k+1時(shí),注意兩邊項(xiàng)數(shù)的變化.重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1231.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),第一步當(dāng)n=1時(shí),左邊的代數(shù)式是(

)A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4+5C1232.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是(

)A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)C解析

當(dāng)n=k時(shí),左邊共有2k+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當(dāng)n=k+1時(shí),左邊共有2k+3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.1233.用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n-2n(n∈N*)能被3整除”的過程中,n=k+1時(shí),為了使用假設(shè),應(yīng)將5k+1-2k+1變形為(

)A.